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4 Técnicas de localización basadas en medidas de rango

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(1)

4 Técnicas de localización basadas en medidas de rango

Podemos asumir, de forma general, que un sistema de localización se compone de una serie de dispositivos que emiten una señal al medio (luz, ultrasonidos, radio) y de otros dispositivos electrónicos que reciben esa misma señal tras su propagación a través de dicho medio.

En los receptores o sensores se miden una serie de características de la señal captada (rangos, energías, tiempos de vuelo, etc.) y a partir de ellos, mediante diferentes técnicas, se estima la posición de cada uno de los elementos cuya posición es desconocida en base a las posiciones conocidas de una serie de nodos y de los parámetros medidos relativos a dichos nodos.

Existen multitud de sistemas de localización y navegación, clasificados según diferentes criterios

[3]

que se han ido desarrollando en las últimas décadas, en ocasiones impulsados por necesidades militares y de seguridad:

Tipo de entorno. Existen sistemas solo válidos para exteriores (GPS, Loran - Long

Range Navigation) y otros que por limitaciones de alcance están destinados a su uso en interiores (UWB, WLAN, Bluetooth, etc.).

Tipo de variable medida. Medida de rangos por tiempos de vuelo (ToA - Time of

Arrival), medida de la diferencia de tiempos de llegada (TDoA – Time Difference of

Arrival) medida de ángulos (AoA - Angle of Arrival), medida aproximada de rangos

por intensidad de la señal recibida (RSSI – Received Signal Strength Intensity),

medida de proximidad, etc.

(2)

Tipo de algoritmo de estimación de posición. Los algoritmos de cálculo de posición

se utilizan para estimar las coordenadas físicas del objetivo, utilizando como entradas las variables medidas del tipo concreto. Cuando partimos de tiempos de llegada o diferencias de tiempo de llegada, se utilizan algoritmos de multilateración.

Estos algoritmos pueden resolver el problema encontrando la solución de un sistema de ecuaciones por varios métodos, entre ellos, métodos algebraicos, pseudoinversa, aproximación de Taylor, técnicas de optimización iterativas, o mediante multilateración atómica y colaborativa.

Cuando las variables disponibles son los ángulos de llegada se utiliza la técnica conocida como triangulación.

En el caso de detectar la proximidad, la estrategia más sencilla es asignar al nodo desconocido la posición del nodo por el que ha sido detectado. En redes de sensores inalámbricos, donde sólo hay un número muy pequeño de nodos en posiciones conocidas, existen múltiples estrategias que se dividen en las que requieren un procesamiento central y las que hacen el cálculo estimativo de manera local percibiendo las variables (rango, ángulos,...) a otros nodos en el entorno más próximo.

Precisión. Existen sistemas de precisión centimétrica como es común en las técnicas

ultrasónicas y UWB (UltraWide Band), o por el contrario pueden ser de precisiones métricas (entre 1 y 50 metros) como en el caso de la navegación por satélite GPS o la localización por telefonía móvil GSM, Bluetooth, WLAN.

Existencia de sincronismo.

Si existe sincronismo entre las balizas fijas y las unidades móviles que se desea localizar, se dice que el sistema puede operar por multilateración esférica. Si no hay sincronismo se utiliza multilateración hiperbólica.

El nombre viene del tipo de hipersuperficies utilizadas al resolver los sistemas de ecuaciones en busca de las coordenadas incógnita.

Coordenadas de localización. Podemos localizar respecto a un sistema de

referencia general (localización absoluta), u obtener la posición relativa a varios de

los nodos que forman parte del sistema sensorial.

(3)

Granularidad. Los sistemas pueden proporcionar un conjunto de coordenadas

bidimensionales o tridimensionales (de localización física), o pueden dar como resultado localizaciones simbólicas, indicando si el objeto a localizar está o no dentro de un área concreta, pero sin especificar su posición exacta.

Necesidad de desarrollo de Hardware a medida. Algunas de las técnicas de

posicionamiento requieren implementar unos dispositivos electrónicos con capacidad de transducción y procesamiento, y otras no requieren desarrollo de hardware alguno, ya que se basan en la infraestructura ya existente (GSM, WLAN).

En este caso la labor fundamental consiste en desarrollar aplicaciones software.

Movilidad de nodos. Parte de los nodos pueden ser estáticos y estar situados en

posiciones fijas (balizas), o pueden ser totalmente reubicables sin dejar por ello de pertenecer a la red sensorial.

Lugar de cálculo de la posición.

Normalmente cuando las señales se trasmiten del dispositivo móvil a localizar hacia una serie de nodos en su entorno, estos pasan su información a un sistema central de proceso donde se realiza el cómputo de la posición del nodo de posición desconocida. Se llama a este método centralizado.

Por otro lado, el método distribuido es aquel en el que el nodo a localizar recibe la señal de diferentes nodos de su vecindario y por tanto tiene la información necesaria para calcular por sí mismo su posición (método utilizado por el GPS).

Tipo de energía utilizada.

Las soluciones ultrasónicas son aquellas con las que se

obtiene mayor precisión (del orden de 1-2 cm). Existen también soluciones

acústicas con propiedades similares pero con la ventaja añadida del mayor alcance

del sonido audible (500-18000 Hz) frente a las soluciones ultrasónicas a 40 Khz que

suelen llegar hasta los 8 metros. Las soluciones basadas en radio son las más

variadas hoy en día ya que hacen uso de muchos de los dispositivos creados para

comunicaciones inalámbricas. Hablamos de telefonía móvil (GSM, GPRS, UMTS), de

redes inalámbricas locales o WLAN (WiFi), redes personales (Bluetooth, UltraWide

Band), redes de radiodifusión. Otras alternativas son las señales ópticas (diodos

infrarrojos, láser) y la visión artificial usando cámaras para detectar el movimiento

de los objetos en el entorno.

(4)

4.1 Multilateración

La multilateración

[4]

es una técnica de navegación basada en la medida de la diferencia en la distancia entre dos o más estaciones situadas en posiciones conocidas, que emiten señales en instantes de tiempo también conocidos.

A diferencia de medidas absolutas de distancia o ángulo, la medida de la diferencia da como resultado un número infinito de localizaciones que satisfacen las condiciones.

Cuando se trazan estas posibles localizaciones, se encuentra que forman una curva hiperbólica. Para situar la localización exacta a lo largo de la curva, se toma una segunda medida de un par de estaciones diferentes para producir una segunda curva, que ha de intersecar la primera. Al comparar ambas, se recuperan un número reducido de posibles localizaciones, produciéndose un ajuste.

La multilateración es una técnica común en sistemas de navegación radio, donde se la conoce como “Navegación hiperbólica”.

Imagen 4-1. Hiperboloide de dos hojas

(5)

Estos sistemas son relativamente fáciles de construir, además de no necesitar un reloj común, y la diferencia en el tiempo de las dos señales puede obtenerse visualmente en un osciloscopio.

La introducción de los microprocesadores simplificó en gran medida la operación, incrementado considerablemente la popularidad de estos sistemas durante la década de los 80. El sistema de navegación hiperbólica más popular fue el LORAN-C, que fue usado en todo el mundo hasta que cesó en 2010. Hoy en día se siguen utilizando otros sistemas, pero el uso de sistemas de navegación por satélite como el GPS, hacen estos sistemas redundantes.

No debe confundirse la multilateración con la trilateración, que usa distancias o medidas absolutas del tiempo de vuelo desde tres o más sitios, o con la triangulación, que usa la medida de ángulos absolutos. Estos dos sistemas se usan conjuntamente con los sistemas de navegación radio, de hecho, la trilateración es la base del GPS.

4.1.1 Principio de operación

La multilateración se utiliza comúnmente en aplicaciones de vigilancia civil y militar para localizar con precisión un avión, un vehículo o un emisor estacionario, mediante la medida de la diferencia de tiempos de llegada ("Time Difference of Arrival" (TDoA)) de una señal procedente de un emisor en tres o más localizaciones receptoras.

En el caso de un pulso emitido desde una plataforma, éste llegará en momentos ligeramente diferentes a dos receptores separados en el espacio, de manera que el TDoA

[5],

[6], [7]

se debe a las diferentes distancias de cada receptor de la plataforma.

De hecho, para localizaciones dadas de dos receptores, todo un conjunto de localizaciones darán como resultado la misma medida de TDoA. Dados dos localizaciones de receptor y un TDoA conocido, el lugar geométrico de los posibles emisores es la mitad de un hiperboloide de dos hojas.

En términos simples, con dos receptores en posiciones conocidas, un emisor puede localizarse sobre un hiperboloide. Nótese que los receptores no necesitan conocer el tiempo absoluto en el cual fue transmitido el pulso –sólo se necesita la diferencia.

Considérese ahora un tercer receptor en una tercera localización. Éste proporcionará

una segunda medida de TDoA y por tanto una localización del emisor sobre un segundo

(6)

hiperboloide. La intersección de ambos hiperboloides describe la curva donde se encuentra el emisor.

Si se incluye un cuarto receptor en el sistema, se tiene disponible una tercera medida de TDoA. La intersección del hiperboloide resultante con la curva ya encontrada con los otros tres receptores, da como resultado un único punto en el espacio. Por tanto se obtiene la localización exacta del receptor en 3D.

En la práctica, los errores en la medida del tiempo de llegada de los pulsos implican que se puede obtener una mayor precisión con más de cuatro receptores.

En general, N receptores producen N-1 hiperboloides. Cuando tenemos N

4 receptores, los N

1 hiperboloides deberían, suponiendo un modelo y unas medidas perfectas, cortarse en un sólo punto. En la realidad, debido a varios errores, las superficies rara vez se cortan.

En este caso, puede verse el problema como uno de optimización, y resolverse utilizando por ejemplo un método de mínimo cuadrados (como se expondrá más adelante) o un filtro de Kalman extendido.

Además, el TDoA de múltiples pulsos transmitidos desde un mismo emisor pueden promediarse para mejorar la precisión.

La multilateración puede utilizarse también con un sólo receptor para localizar su propia posición, mediante la medida de los TDoA de diferentes señales emitidas desde tres o más transmisores sincronizados en localizaciones conocidas, es decir, el caso recíproco al anterior.

Esto puede usarse por los sistemas de navegación, como por ejemplo el sistema Decca desarrollado por Gran Bretaña durante la segunda guerra mundial, que utilizaba la diferencia de fase de dos transmisores en lugar del TDoA de un pulso, para definir los hiperboloides.

Esto permitía a los transmisores emitir una forma de onda continua. Tanta la diferencia de

fase como la diferencia de tiempos pueden considerarse de igual forma para transmisores

de banda estrecha.

(7)

4.1.1.1 Geometría TDoA

Considérese un emisor caracterizado por un vector de posición desconocido

( , , )

Ex y z

que se quiere localizar.

La fuente está dentro del rango de N

1 receptores en localizaciones conocidas

0

, ,..,

1 m

,...,

N

P P P P

El subíndice m hace referencia a cualquiera de los receptores:

( , , )

0

m m m m

P x y z

m N

 

La distancia

( )R

del emisor a uno de los receptores en términos de coordenadas es

2 2 2

( ) ( ) ( )

m m m m m

RPExxyyzz

(1)

Se puede simplificar el cálculo si se coloca el origen en uno de los receptores ( P

0

) , lo cual hace su distancia al emisor:

2 2 2

R0xyz

(2)

4.1.1.2 Medida de la diferencia de tiempos en un sistema TDoA

El problema de la estimación de la posición a través de la diferencia en el tiempo de

llegada (TDoA) se produce en multitud de aplicaciones, desde la redes de comunicación

wireless hasta el posicionamiento electrónico militar. El análisis de correlación de la señal

transmitida da lugar a una única curva hiperbólica. Con más de dos receptores, podemos

calcular más funciones hiperbólicas que idealmente se intersecan en un único punto. Debido

a la incertidumbre inherente a la medida de TDoA, hacemos frente a un problema de

estimación no lineal.

(8)

La distancia R

m

en la ecuación (1) es la velocidad de la onda  multiplicada por el tiempo de tránsito ( ) T

m

. Un sistema TDoA mide la diferencia en la que un frente de onda llega a cada receptor ( ) 

m

. La ecuación TDoA para los receptores m y 0 es

0

m

T

m

T



 (3)

0

m

R

m

R



 

(4)

La función correlación cruzada ( * P P

1 0

) realiza una convolución en el tiempo de una curva sobre otra y devuelve el valor máximo cuando las dos curvas coinciden. El máximo en el tiempo es una medida de la diferencia de tiempos entre las formas de onda grabadas, que es también el valor  que se requiere en las ecuaciones (3) y (4).

La función de correlación cruzada muestra la importancia que tiene la elección de la geometría del receptor. Al representar gráficamente la función, se observa que existen máximos en cada período de la señal. Para obtener una solución única de la medida de la diferencia de tiempos, el espacio entre cualesquiera dos receptores debe ser menor que la longitud de onda de la señal que se emite.

Algunos sistemas, como el LORAN-C y Decca usan distancias mayores que una longitud de onda e incluyen equipos, como detectores de fase, para contar el número de ciclos de señal transcurridos a medida que el emisor se mueve. Esto sólo funciona para formas de onda continuas y de banda estrecha, debido a la relación entre la fase

( )

, la frecuencia

( )f

y el tiempo

( )T  2 f T 

.

El detector de fase verá las variaciones de frecuencia como ruido en la fase, que será

una incertidumbre que se propaga en la localización calculada. Si el ruido de fase es

suficientemente grande, el detector de fase puede volverse inestable.

(9)

4.1.1.3 Solución 3D

Las ecuaciones (3) y (4) dan lugar al hiperboloide descrito en la sección anterior, donde cuatro receptores  0

 

m 3  dan lugar a tres ecuaciones no lineales con tres incógnitas

( , , )x y z

.

El objetivo a partir de este punto es resolver la posición del emisor en tiempo real.

Algunos sistemas de multilateración para el control del tráfico aéreo civil utilizan la respuesta del transpondedor de Modo C SSR para hallar la altitud

( )z

.

Tres o más receptores en localizaciones conocidas se utilizan para determinar las otras dos dimensiones

( , )x y

.

Intentar mejorar la precisión con un gran número de receptores puede ser un problema para dispositivos con procesadores de baja capacidad instalados, debido al tiempo que se requiere para resolver varias ecuaciones no lineales. El problema TDoA puede transformarse en un sistema lineal cuando se incluyen en el sistema cinco o más receptores, lo que puede reducir el tiempo de cálculo.

Comenzando con la ecuación (3), se resuelve para R

m

, elevando al cuadrado ambos términos, reagrupando términos y dividiendo todo por

m

:

 

2 2

0

2 2 2

0 0

2 2 2

0 0

2 2

0 0

( )

( ) 2

0 ( ) 2

0 ( ) 2

2

m m

m m m

m m m

m m

m

R R

R R R

R R R

R R

R



 

 

 

 

  

   

   

(5)

Si se elimina el término 2R

0

se eliminarán todos los términos en raíz cuadrada. Esto se hace substrayendo la ecuación TDoA del receptor m

1 de cada uno de los restantes

(2 m N)

.

(10)

 

 

   

2 2

0 0

2 2

0 1

1 0

1

2 2 2 2

0 0 1

1

1

0 ( ) 2

2

0 2

2

0 2 2

m m

m

m m

m

R R

R

R R

R

R R R R

 

 

 

 

   

    

 

   

(6)

Fijémonos un momento en la ecuación (1). Si se eleva al cuadrado R

m

, se agrupan términos similares y se usa la ecuación (2) para sustituir algunos términos con R

0

.

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2 2 2

2 2 2

2 2 2

m m m m m m m

m m m m m m

m m m m m m m

R x y z x x y y z z x y z

x y z x x y y z z R

R R x y z x x y y z z

        

      

       

(7)

Combinando las ecuaciones (6) y (7), se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales para las coordenadas del emisor

( , , )x y z

.

1 1

1 1

1 1

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1

1

0

2 2

2 2

2 2

m m m m

m m

m

m m

m

m m

m

m m m

m m

m

xA yB zC D

x x

A

y y

B

z z

C

x y z x y z

D

 

 

 

 

 

   

 

 

 

   

   

(8)

Usando la ecuación (8) se generan las cuatro constantes A B C

m

,

m

,

m

, D

m

de las distancias medidas y el tiempo para cada receptor 2 m

 

N . Esto dará como resultado N ecuaciones lineales homogéneas.

Hay muchos métodos algebraicos robustos para la resolución de los valores

( , , )x y z

,

como la descomposición de único valor o la Eliminación Gaussiana.

(11)

4.1.1.4 Solución 2D

Para averiguar la posición de un emisor en una geometría bidimensional puede usarse cualquiera de los métodos utilizados para una geometría 3-D.

El sistema de coordenadas se define normalmente para hacer la dimensión

z

cero o constante.

A continuación se detalla un estudio para un sistema 2D donde se comparan diferentes técnicas y algoritmos.

De lo anteriormente expuesto inferimos que dos receptores cooperantes pueden calcular una diferencia de caminos dada la diferencia en el tiempo de llegada, y el hecho de que esta diferencia de caminos corresponde a una función hiperbólica.

Las medidas de TDoA se calculan como sigue:

El emisor transmite una señal

s t( )

que se retrasa en el tiempo un valor

i

hasta llegar al receptor i de acuerdo con la distancia a cada receptor.

El análisis de correlación proporciona un retraso

 ij

correspondiente a la diferencia de caminos entre los receptores

i j,

.

Las señales del receptor son:

( ) ( ) ( )

1, 2,...

i i i i

y t a s t e t

i n

  

(9)

Donde el receptor

i

está localizado en x y

i

,

i

,y el transmisor está en (

x y,

) posición desconocida.

Conocida la referencia

s t( )

y con una perfecta sincronización, podemos estimar directamente

i

(ToA) y estimar (

x y,

) usando una estructura no lineal de mínimos cuadrados, similar al GPS.

Si no se tiene referencia conocida, la idea más simple es comparar por parejas las

señales recibidas. Supongamos una función de correlación que por parejas calcula una

estimación de:

(12)

, ( ), 1

i j i j

d

i j n

  

  

  

(10)

Donde  es la velocidad del sonido, la luz o las vibraciones de agua. Aquí n es el número de receptores y

( , )i j

es una enumeración de todos los

K

pares recibidos, donde

K

=

2

 n

  

(11)

Cada

di j,

corresponde a posiciones

( , )x y

sobre una hipérbola.

En primer lugar suponemos que los receptores están localizados en el eje x en x

D / 2 y x

 

D / 2 , respectivamente. La función hiperbólica puede pues expresarse como,

2 2

2

2 2

1

2 1

2 2 2 2

( / 2) , ( / 2) ,

( , , )

( / 2) ( / 2) ,

d y x D

d y x D

d d d h x y D

y x D y x D

  

   

   

     

(12)

Tras una serie de simplificaciones, estas ecuaciones pueden escribirse de forma más compacta como:

2 2 2 2

2 2 2

1

/ 4 / 4 / 4

x y x y

a

b

d

D d

  

(13)

La solución a esta ecuación tiene asíntotas a lo largo de las líneas:

2 2

2

/ 4 / 4

/ 4

b D d

y x x

a d

     

(14)

Que define el ángulo de llegada para transmisores lejanos.

(13)

Imagen 4-2. TDoA constante usando dos receptores

La

Imagen 4-2 ilustra la función hiperbólica en el sistema de coordenadas locales

( , )x y

Para una posición del receptor arbitraria, simplemente trasladamos la función hiperbólica (13) en coordenadas locales

( , )x y

a coordenadas globales

( , )X Y

usando:

0

0

cos sin

sin cos

X

X x

Y

Y y

 

 

  

    

    

      

(15)

Donde

X0 (XiXj) / 2,Y0 (YiYj) / 2

localiza el punto central del par receptor.

Entonces, la función hiperbólica en coordenadas globales viene dada por

di j,h x y D( , , )

en (13), con

(14)

2 2

0

0

( ) ( )

cos sin

sin cos arctan

i j i j

i j

i j

D Y Y X X

X X

x

Y Y y

Y Y

X X

 

 

   

  

   

  

    

    

  

   

(16)

Tenemos por tanto una forma funcional apropiada para representar la incertidumbre en la medida de TDoA, que implica un área hiperbólica incierta en lugar de una línea. Esto se ilustra en la Imagen 4-3. Cuanto más alejados a lo largo de la asíntota, mayor es la incertidumbre en la posición.

Imagen 4-3. TDoA con ruido utilizando dos receptores.

(15)

4.1.1.5 El problema no lineal de los mínimos cuadrados

El problema general es solucionar el (posiblemente sobre-determinado) sistema no lineal de

K

ecuaciones

, ( , ; , ; , ), 1

i j i i j j

d h X Y X Y X Y i j n

    

(17)

Para la posición del transmisor

( , )X Y

, dadas las posiciones del receptor  X Y

i

,

i

 Ahora, la estimación no lineal de

( , )X Y

mínimos cuadrados viene dada por

 

ˆ ˆ, arg min(X Y, )

i j, ( , ; i, ;i j, j)

2

i j

X Y d h X Y X Y X Y

 

(18)

Para simplificar la notación, usamos

P x y( , )

para la posición. Entonces, escribimos el problema de minimización en notación vectorial usando un criterio de mínimos cuadrados ponderado (con pesos).

ˆ argmin( ( ))

T 1

( ( ))

P

P  

d h P R

 

d h P

(19)

Donde

  

d ( d

1,2

,...

d

n1,n

)

T

y

RCov(d)

y es la matriz de covarianza para las medidas de TDoA. Su solución define la mínima varianza estimada. Asumiendo que el ruido en el TDoA es gaussiano, esto coincide con la estimación de máxima verosimilitud.

Usando la suposición de que

 

d h P ( )

0

e , donde P

0

es la verdadera posición y el ruido de TDoA tiene covarianza

Cov e( )R

, un desarrollo de Taylor alrededor del valor verdadero da h P ( )

h P ( )

0

h P

P

( )(

0

P

P

0

) . En este caso la teoría de mínimos cuadrados da como resultado:

0 0

( ) ˆ (

P

( )) ((

P

( )) )

T

Cov P

h P

R h P

(20)

(16)

A condición de que

ˆP

esté suficientemente cerca de la verdadera posición. Para ruido gaussiano e, esta expresión también define el límite inferior de Cramér-Rao. Esto es, ningún estimador dará un mejor resultado que éste límite, dado que hemos encontrado una zona suficientemente cerca de la posición real.

De (20) podemos obtener directrices para obtener un P

0

favorable, o cómo colocar los receptores de la mejor manera posible.

Algoritmos

Se han comparado tres aproximaciones diferentes

Cálculo del punto de intersección de cada par de funciones hiperbólicas. Hay

2 2

2 K

 

n

     

   

   

(21)

pares de funciones hiperbólicas. La posición puede por tanto estimarse como el promedio (ponderado) de las posiciones encontradas.

Dado que cada par puede tener ninguna, una, o dos intersecciones, la lógica para encontrar la correcta no es trivial. Es más, también resultado complicado encontrar los pesos adecuados para la media ponderada.

Aplicar el algoritmo de gradiente estocástico al problema no linear de mínimos cuadrados.

Usar técnicas basadas en Monte Carlo para resolver el problema no lineal de mínimos cuadrados y obtener una aproximación numérica. A este método se le conoce como filtro de partículas (PF).

La primera aproximación ha demostrado dar peor resultado que las dos restantes. Las opciones 2 y 3 se describen a continuación:

El algoritmo de gradiente normalizado puede escribirse como sigue.

Algoritmo de gradiente estocástico

( 1) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ( ))

m m m m m

P P  h PP  d h P

(22)

Un tamaño de paso adecuado puede calcularse con técnicas de bisección, línea de

búsqueda o, como en las simulaciones, como el tamaño de paso del LMS (Least Mean

Squares) normalizado.

(17)

( )

( ) ( )

( ( )) ( )

m

m T m

P P

h P h P

  

 

(23)

El filtro de partículas es una versión estática del algoritmo SIR (Sequential Importance Resampling).

Filtro estático de partículas

Aleatorizar N “partículas” (aquí son posiciones posibles) P

t

.

Elegir constantes de jittering C y

R CQ

y la covarianza de posición aleatoria Q

C

Q

/ k

2

y el ruido de jittering de la medida

R R CR/k2

Lo que se persigue con el ruido de jittering es explorar un área cada vez más pequeña y más precisa alrededor de la posición.

Iterar para

k 1, 2...

hasta

P kˆ( )

haya convergido.

Calcular el peso de las partículas

wi

usando la similitud y normalizar:

exp(( ( ))

1

( ( )))

i i T i

w

  

d h P R

 

d h P

/ ( )

i i i

w

ww

Calcular el

P k( )

estimado

ˆ( ) i i P k

iw P

Volver a muestrear con reemplazo de las partículas, donde la probabilidad de elegir una partícula es proporcional a su peso. Tras el muestreo, los pesos se resetean a valor

wi 1/N

Extender las partículas como

PiPiw

, donde w

N (0, ). Q

El paso de remuestreo es la clave para obtener un algoritmo de trabajo. En el filtro estándar de partículas, k denota el tiempo y existe un paso donde se actualiza el tiempo y las partículas se mueven de acuerdo a una medida de velocidad y a un ruido de movimiento

w , por lo demás los algoritmos son bastante similares.

Tras una simulación utilizando los algoritmos descritos se observa que al añadir ruido

gaussiano a la función hiperbólica, las curvas ya no se cortan en un punto claro. De ahí la

necesidad de hacer trabajar algoritmos iterativos que incluyan una fase de training (o

aprendizaje) para ajustar el resultado a la posición real.

(18)

Aunque se ha probado que la primera aproximación (calcular el punto de corte de cada par de hipérbolas) da peores resultados que las siguientes dos (algoritmo estocástico de gradiente y filtro de partículas), la elección de un método para la resolución del problema de mínimos cuadrados depende de la complejidad y geometría del sistema, siendo los expuestos sólo un ejemplo de cómo abordar el problema.

Ejemplos de sistemas de multilateración 2-D son las comunicaciones de larga distancia con ondas de radio cortas a través de la atmósfera terrestre, la propagación de ondas acústicas y el sistema de navegación LORAN C.

4.1.1.6 Precisión

Para la trilateración o la multilateración, el cálculo se hace en base a distancias, lo que requiere el cómputo de la frecuencia y la forma de onda de una transmisión recibida. Para la triangulación o la multiangulación, el cálculo se hace en base a ángulos, lo que requiere también el conocimiento de la fase recibida.

Comparando la lateración con la angulación, el problema matemático es similar, pero el problema técnico es mayor en el caso de obtener la medida de los ángulos, dado que los ángulos requieren dos medidas por posición cuando se utilizan medios ópticos o electrónicos para la medida de las diferencias de fase en lugar de contar ciclos de onda.

En general, la triangulación consiste en realizar cálculos con triángulos de distancias/tamaños conocidos, lo que constituye un sistema matemáticamente muy sólido.

En un triángulo, los ángulos pueden derivarse si se conoce la longitud de todos los lados, pero la longitud de todos los lados no puede derivarse conocidos los ángulos, no sin conocer al menos la longitud de un lado (un base).

En 3D, cuando cuatro o más ángulos están en juego, las localizaciones pueden calcularse de n

 

1 4 ángulos medidos más una base conocida o simplemente de n

 

1 4 lados medidos.

La multilateración es, en general, mucho más precisa a la hora de localizar un objeto,

que otras aproximaciones más escasas como la trilateración, donde sólo son conocidas y

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calculadas tres distancias en problemas en un plano. La multilateración se usa para varios aspectos:

Sobre-determinación de un problema cuadrático de n variables con

(n 1) m

ecuaciones cuadráticas.

Errores estocásticos que prohíban un enfoque determinista a la solución de las ecuaciones.

Agrupaciones que se necesitan para segregar miembros de varios clústers que contribuyen a varios modelos de resolución, por ejemplo: localizaciones fijas, localizaciones oscilantes y localizaciones en movimiento.

La precisión de la multilateración es una función de varias variables, entre ellas:

o La geometría del sensor o antena del receptor y el transmisor para transmisiones electrónicas u ópticas.

o La precisión en el tiempo del sistema receptor, es decir, la estabilidad con la temperatura de los osciladores del reloj.

o La precisión de la sincronización en frecuencia de los osciladores del receptor con los osciladores del transmisor.

o La sincronización en fase de la señal transmitida con la señal recibida, como efectos de propagación, por ejemplo difracciones o reflexiones que cambian la fase de la señal indicando desviaciones de la línea de vista, es decir, reflexiones multicamino.

o El ancho de banda de los pulsos emitidos y por tanto, el tiempo de subida de los pulsos con codificación de pulso en la transmisión.

o Falta de precisión en la localización del transmisor o receptor que se utiliza como localización conocida.

La precisión puede calcularse usando el límite de Cramér-Rao y teniendo en cuenta el resto de factores para su formulación.

4.1.2 Ejemplos y aplicaciones

Sound ranging – Se usa el sonido para localizar fuego de artillería.

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Sistema de Navegación Decca – Un sistema utilizado desde la segunda guerra mundial hasta el año 2000, que emplea la diferencia en fase de múltiples transmisores para la localización sobre hiperboloides.

Sistema de navegación OMEGA – Sistema similar a Decca utilizado en todo el mundo hasta 1997.

GEE – Técnica británica para la localización de aviones durante la segunda guerra mundial, que usa transmisores de referencia precisos.

LORAN-C – Sistema de navegación que utiliza el TDoA de señales provenientes de múltiples transmisores sincronizados.

Sistemas de multilateración pasiva ESM – localización de un transmisor utilizando múltiples receptores.

Seguimiento de teléfonos móviles – Usando muchas estaciones base de telefonía para estimar la localización del teléfono móvil (a través del propio teléfono, o de la red a la que pertenece).

Monitorización de Separación Vertical Mínima Reducida (RVSM) usando Radar Secundario de Vigilancia – El modo transpondedor C/S responde para calcular la posición de una aeronave.

4.1.3 Simplificación

En aplicaciones donde no se necesita la determinación de coordenadas absolutas, es ventajosa la implementación de soluciones más simples. La otra opción, frente al concepto de localización nítida inherente a la multilateración, se deriva del concepto de localización difusa (fuzzy locating), donde se obtiene la relación entre el detector y el objeto detectado con una sola distancia. Sin embargo, este tipo de unilateración nunca da como resultado la posición angular referenciada al detector.

Hoy en día existen muchas soluciones disponibles, como la estimación de la posición

basada en la combinación de varias lateraciones. Esta aproximación no suele ser estable

cuando el ambiente wireless está afectado por metales o masas de agua.

Referencias

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