Algebra y cálculo vectorial. 1.-Magnitudes escalares y vectoriales

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Algebra y cálculo vectorial.

1.-Magnitudes escalares y vectoriales

Existen dos tipos de magnitudes en Física:

 Magnitudes que quedan definidas con el número que expresa su medida con su unidad

correspondiente, se llaman magnitudes escalares. Por ejemplo: masa, carga eléctrica. longitud...

 Magnitudes que necesitan, para definirlas, especificar, además del número y la unidad que expresa su medida, su dirección, su punto de aplicación y su sentido; se les llama magnitudes vectoriales.

Ejemplos de este tipo son la velocidad, la aceleración, la fuerza...

→ Se representan con una letra minúscula y una flechita encima:

a

2.-Definición operacional de un vector

Un vector es un segmento orientado en el que se distinguen los siguientes elementos:

• El origen o punto de aplicación del vector, que es donde se aplica el vector.

• La dirección , que viene indicada por la recta que contiene al vector.

• El sentido, que se manifiesta mediante una flecha.

• El módulo, que expresa la longitud del vector, en las unidades correspondientes de acuerdo con la magnitud que está expresada ese vector. Por ejemplo, en el vector velocidad sería m/s.

Teniendo en cuenta el punto de aplicación, los vectores pueden ser:

• Fijos: su punto de aplicación es un punto perfectamente determinado. Por ejemplo el peso de un cuerpo.

• Deslizantes: su punto de aplicación es un punto cualquiera de la recta que determina la dirección del vector. Ejemplo: la fuerza aplicada a un sólido rígido.

• Libres: su punto de aplicación es un punto cualquiera del espacio. Ejemplo: velocidad de la luz.

3.-Definición referencial de un vector. Composición de vectores. Descomposición de vectores.

• La composición de vectores se refiere a la suma de vectores

Al vector que se obtiene de la suma de varios vectores se le llama vector resultante o vector suma, y a los vectores sumando se les llama vectores componentes.

Vamos a componer o sumar vectores en dos casos:

a) Si los vectores tienen la misma dirección b) Si los vectores no tienen la misma dirección

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2 a) Si los vectores tienen la misma dirección

1) Suma de vectores de la misma dirección y sentido

El vector resultante de dicha suma es otro vector de la misma dirección y sentido que los vectores de los que procede y cuyo módulo es igual a la suma de los módulos de los vectores de los que procede.

2) Suma de vectores de la misma dirección y sentido opuesto

El vector resultante de dicha suma es otro vector de la misma dirección de los vectores de los que procede, su sentido es el del vector mayor y su módulo es igual a la diferencia de los módulos.

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3 b) Si los vectores no tienen la misma dirección

Se usan dos métodos: el del paralelogramo y el de transporte de vectores.

1) Método del paralelogramo

En el método del paralelogramo se ha de disponer de dos vectores concurrentes ( con un mismo origen o punto de aplicación común); si no son concurrentes se construyen vectores equipolentes a ambos hasta llevarlos a un origen común (dos vectores son equipolentes si tienen un mismo sentido y sus direcciones son paralelas). El vector suma de dos vectores usando el método del paralelogramo se obtiene

construyendo un paralelogramo sobre ambos vectores resultando el vector suma coincidente con la diagonal de dicho paralelogramo. Para calcular la longitud o módulo del vector suma o vector resultante se aplica la regla de Pitágoras, o si no forman noventa grados, se aplica el teorema del coseno que dice que el valor de la diagonal de un cuadrilátero se calcula así:

˄ a 2 = b2 + c 2 + 2•b•c cos( b, c)



El módulo del vector suma, S, se calcula así:

˄       

│S│

²

= │a│

²

+ │b│

²

+ 2 │a│•│b│ cos ( a , b )

   

Si los vectores a y b forman 90 º , ocurre que cos ( a , b ) = cos 90º = 1 , la fórmula anterior se reduce al teorema de Pitágoras:

  

│S│

²

= │a│

²

+ │b│

²

Cuando hay que sumar más de dos vectores que no son de la misma dirección, se procede así:

Se obtiene el vector suma de dos de ellos cualesquiera con el método del paralelogramo, y a este vector suma se le adiciona un tercer vector para obtener otro nuevo vector suma, y así sucesivamente.

2) Método del polígono de vectores

En el método de transporte de vectores, al realizar la suma de dos vectores para obtener el vector suma o vector resultante se debe proceder del modo siguiente: se lleva sobre el extremo de uno de los vectores el origen del otro, obteniéndose el vector suma al unir el origen del primer vector con el extremo del segundo.

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4 Cuando hay que sumar más de dos vectores se procede del modo siguiente: se elige un vector cualquiera y sobre su extremo se lleva el origen de otro vector, a cuyo extremo se llevará el origen de un tercer vector, así sucesivamente. El vector suma se obtiene al unir el origen del primer vector con el extremo del último vector.

• Descomposición de vectores

Se refiere a las componentes de los vectores con relación a los sistemas de referencia. Los sistemas de referencia más usados son los de coordenadas cartesianas. La suma de los vectores componentes deben originar el vector inicial.

Vamos a estudiar cómo se expresa un vector con relación a un sistema de referencia cartesiano.

Previamente hemos de saber que para proyectar un vector sobre un eje se proyecta su origen y su extremo. Para ello hay que tener en cuenta que la proyección de un punto sobre un eje se hace trazando una perpendicular del punto al eje.

Proyección de un vector sobre un eje: para ello se proyecta el origen y el extremo del vector:

a)Para un vector contenido en un plano.



Cogemos un sistema de referencia cartesiano bidimensional. Dado un vector V cualquiera, vamos a ver qué componentes tiene

Las componentes de un vector son las proyecciones de ese vector con relación a los ejes coordenados.

Para ello se proyecta el origen y el extremo. Al haber dos ejes se hacen dos proyecciones:

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5 A la componente en el eje x se le llama Vx y a la componente en el eje y se le llama Vy.

→ → → → →

El vector V sería suma de dos vectores: V = Vx + Vy.. El vector V se expresa del modo siguiente usando sus componentes:



V = ( Vx , Vy )

Vx y Vy pueden tener signos positivos o negativos.

b) Para un vector en un sistema tridimensional (en el espacio) 

Vamos a proyectar un vector V en tres dimensiones. Para proyectar un vector basta con que proyectemos el origen y el extremo. Primero se proyecta en la base. Y el vector de la base se proyecta en los ejes de ese plano.

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6 El vector une en ambos casos dos vértices no consecutivos del paralelepípedo.

A la componente en el eje x se le llama Vx , a la componente en el eje y se le llama Vy, y a la componente en el eje z se le llama Vz.

→ → → → →

El vector V sería suma de tres vectores: V = Vx + Vy +Vz. El vector V se expresa del modo siguiente usando sus componentes.



V = ( Vx , Vy, Vz )

Vx , Vy y Vz pueden tener signos positivos o negativos.

4.-Módulo de un vector referido a sus componentes

 

El módulo de un vector V, que se representa así, │V│, se define del siguiente modo:

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7 Se representan en función de sus componentes así:

→ →

V = (Vx, Vy) V = (Vx, Vy, Vz)

5.-Producto de un vector por un número real.

El producto de un número real ( o escalar) por un vector es otro vector que tiene las siguientes características:

• Su dirección es la misma que la del vector original.

• Su módulo es igual al producto del número real en valor absoluto por el módulo del vector inicial.

• Su sentido es el mismo que el del vector original si el número real es positivo, y el opuesto si el número real es negativo.

6.-Vectores unitarios

Un vector unitario es aquel que tiene como módulo la unidad.



Para obtener un vector unitario a partir de uno dado, V, se multiplica este vector por el inverso de su módulo

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8 

Como consecuencia de esto, se deduce que todo vector V puede expresarse como el producto de su módulo por un vector unitario de su misma dirección y sentido.

7.-Componentes escalares de un vector

 

Sea un vector V en la dirección positiva del eje X, y sea el vector i un vector unitario en la dirección positiva del eje X. Se podrá expresar así:

 

Análogamente, sea un vector V´en la dirección positiva del eje Y, y sea el vector j un vector unitario en la dirección positiva del eje Y. Se podrá expresar así:

En general, cualquier vector en dos dimensiones se puede expresar usando los dos vectores unitarios anteriores del modo siguiente:

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9 

donde Vx y Vy se denominan componentes escalares del vector V, y se expresa así: ( Vx, Vy ) Ejemplos:

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El cálculo de las componentes escalares v_x y v_x se realiza mediante trigonometría:

→ Del mismo modo se puede expresar un vector en el espacio, teniendo en cuenta el vector unitario k 

en la dirección Z positiva. Así, un vector V se expresará:



donde V_x, V_y y V_z se denominan componentes escalares del vector V en el espacio, y se expresa así:

(Vx, Vy, Vz).

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11 Ejemplo:

Tanto en el plano como en el espacio, estas componentes pueden ser positivas o negativas, y el módulo de un vector se puede expresar en función de ellas del modo siguiente:

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Repaso de trigonometría. Razones trigonométricas

Para calcular las componentes escalares o las componentes de un vector se necesitan las razones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo que está formado por dos catetos y una hipotenusa, y que posee un ángulo de 90º, se pueden establecer unos cocientes o razones entre los distintos lados del triángulo relacionados con los ángulos del mismo distintos del ángulo de 90º. Estos cocientes se les llama razones

trigonométricas.

Donde a y b son los catetos y h es la hipotenusa (Cumplen el teorema de Pitágoras: h²= a² + b² )

Estos cocientes o razones trigonométricas para un ángulo determinado α son los siguientes:

Seno de α = sen α = cateto opuesto (al ángulo α) = a Hipotenusa h

Coseno de α = cosα = cateto contiguo (al ángulo α) = b Hipotenusa h

Tangente de α = tag α = cateto opuesto (al ángulo α) = a = sen α Cateto contiguo(al ángulo α) b cosα

Recordar: el cateto contiguo (u adyacente) es uno de los lados que forma el ángulo

¡Ojo¡ ¡las razones trigonométrícas no tienen unidades pues son cocientes entre longitudes¡

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13 Ejemplo para realizar en la clase: Sea el triángulo siguiente:

a)Calcula las razones trigonométricas del ángulo α b)Calcula las razones trigonométricas del ángulo β

¿Qué observas?

REGLA MNEMOTÉCNICA PARA RECORDAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS FRECUENTES

sen0º sen30º sen45º sen60º sen90º

√0 2

√1 2

√2 2

√3 2

√4 2

cos90º cos60º cos45º cos30º cos0º

Enseñar al alumnado a calcular razones trigonométricas con calculadora

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8.-Cosenos directores de un vector

Se denomina así a los cosenos de los ángulos que forma ese vector con cada uno de los ejes coordenados.

Dichos cosenos no son independientes entre sí, sino que entre ellos existe la siguiente relación:

(Recordar que las componentes escalares tienen signo y en los cosenos hay que ponerlos con sus signos)

9.-Cálculo vectorial

Se refiere al conjunto de operaciones que se pueden efectuar con los vectores: suma, resta y diferentes tipos de productos.

9.1. -Suma de vectores

La suma de dos vectores cualesquiera es otro vector. Para obtener dicho vector sumando se puede proceder de forma geométrica o analítica.

• De forma geométrica:

Para sumar dos vectores se toma un origen fijo y común para ambos, y a partir de dicho origen se construyen vectores equipolentes (un vector equipolente a uno dado es otro vector del mismo módulo, dirección y sentido, pero sólo varía el origen) a los vectores que queremos sumar, transportándolos a dicho origen y sumándolos geométricamente por el método del paralelogramo construyendo el

paralelogramo sobre ambos vectores y obteniendo la resultante como la diagonal de dicho paralelogramo, y sabiendo que si ambos vectores son perpendiculares se aplica la regla de Pitágoras, o si no forman noventa grados, se aplica el teorema del coseno que dice que el valor de la diagonal de un cuadrilátero se calcula así:

˄ a 2 = b2 + c 2 + 2•b•c cos( b, c)

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15 

El módulo del vector suma, S, se calcula así:

˄       

│S│

²

= │a│

²

+ │b│

²

+ 2 │a│•│b│ cos ( a , b )

   

Si los vectores a y b forman 90 º , ocurre que cos ( a , b ) = cos 90º = 1 , la fórmula anterior se reduce al teorema de Pitágoras:

  

│S│

²

= │a│

²

+ │b│

²

Otra forma de sumarlos geométricamente es mediante la construcción del polígono de vectores: se lleva el origen del segundo vector a sumar sobre el extremo del primero, obteniendo la resultante al unir el origen del primero con el extremo del segundo.

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16 En el caso de sumar más de dos vectores:

-en el caso del método del paralelogramo, se componen o suman los dos primeros, y la resultante obtenida se suma con el tercero, obteniendo una nueva resultante que se suma al siguiente, etc;

-si se procede con el método, del polígono de vectores, se lleva el origen de cada vector al extremo del anterior, obteniendo el vector resultante al unir el origen del primero con el extremo del último

.

• De forma analítica

Para ello se suman algebraicamente las componentes respectivas de cada vector, es decir, el vector suma tiene como componentes la suma de las componentes de los vectores sumando.

  

Dados los vectores A y B, el vector suma S de ambos se obtiene de forma analítica así

De modo análogo se procede para vectores de dos componentes en el plano

La suma de vectores goza de las propiedades:

    -Conmutativa: A + B = B + A

      -Asociativa: A + (B +C) = (A + B ) + C

Hay en física algunas magnitudes que se les asigna carácter vectorial, como la velocidad angular. A esas magnitudes se les llama axiales o pseudovectores. Para que una magnitud física pueda ser representada por un vector, ha de ser conmutativa su suma.

9.2.- Diferencia de vectores

La resta o diferencia de dos vectores cualesquiera es otro vector. Para obtener dicho vector diferencia se puede proceder de forma geométrica o analítica.

La diferencia entre dos vectores se obtiene sumado al minuendo el opuesto del vector sustraendo.

Se llama vector opuesto a un vector dado, a otro vector equipolente con él pero del mismo módulo y sentido contrario.

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17 En el método geométrico, si queremos restar dos vectores, una regla sencilla es aquella que dice que el vector resultante de restar dos vectores es aquel que va del extremo del sustraendo al extremo del minuendo:

Para restar dos vectores de forma analítica, se restan algebraicamente las componentes respectivas de cada vector, es decir, el vector /diferencia S tiene como componentes la diferencia de las componentes de los vectores que se restan.

  

Dados los vectores A y B, el vector diferencia S de ambos se obtiene de forma analítica así

De modo análogo se procede para vectores de dos componentes en el plano

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18 9.3.-Producto de un vector por un número real

El producto de un número real por un vector es otro vector. Para obtener dicho vector diferencia se puede proceder de forma geométrica o analítica.

El producto de un número real por un vector es otro vector que tiene las siguientes características:

-Su dirección es la misma que la del vector original.

-Su módulo es igual al producto del número real en valor absoluto por el módulo del vector inicial.

-Su sentido es el mismo que el del vector original si el número real es positivo, y el opuesto si el número real es negativo.

Desde el punto de vista analítico es sólo multiplicar el escalar por la expresión analítica del vector.

Las propiedades que cumple este producto de un escalar por un vector son las siguientes:

    -Asociativa: ( λ • μ ) • A = λ • ( μ ) • A λ y μ ϵ ℝ y A ϵ V   

-Distributiva: A • ( λ + μ ) = A • λ + A • μ  

-Conmutativa : A • μ = μ • A

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19 9.4.-Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores origina un número real

El producto escalar de dos vectores es un número que se obtiene de multiplicar los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.

Propiedades del producto escalar:

    -Conmutativo: A • B = B • A

-Asociativo respecto a la multiplicación por números reales:

   

(n • A ) • (m • B) = n • m ( A • B ) donde n y m ϵ ℝ

       -Distributiva: A • ( B + C ) = A • B + A •C

Este producto escalar puede tener un valor MÁXIMO y otro MÍNIMO, según que el coseno de φ valga +1, -1 ó 0. En el caso de valer 1 ó -1 los dos vectores son paralelos, y si vale 0, son perpendiculares.

˄    

-Si cos ( A , B ) = cos φ = 1  φ = 0º  A • B tiene valor máximo positivo A y B son PARALELOS DEL MISMO SENTIDO

˄     -Si cos ( A , B ) = cos φ = - 1  φ = 180º  A • B tiene valor máximo negativo  A y B son PARALELOS DE SENTIDO OPUESTO

˄    

-Si cos ( A , B ) = cos φ = 0  φ = 90º  A • B tiene valor nulo  A y B son PERPENDICULARES

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• De forma analítica:

La expresión analítica del producto escalar de dos vectores se determina del modo siguiente:

El producto escalar de dos vectores coincide con el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre el primero.

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21 9.5.- Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores origina un VECTOR

El producto vectorial de dos vectores es un VECTOR, que tiene las siguientes características:

• Su módulo se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el seno del ángulo que forman.

• Su dirección es perpendicular al plano formado por los dos vectores que se multiplican vectorialmente

• Su sentido es aquel en el que avanza un sacacorchos cuando se le hace girar de tal manera que se haga coincidir el primer vector con el segundo por el camino más corto.

    -El valor máximo de A x B ocurre cuando sen φ =1  φ = 90 º luego A es perpendicular a B     -El valor mínimo de A x B ocurre cuando sen φ =0  φ = 0 º ó 180 º luego A es paralelo a B   

En este último caso: A x B = 0

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• De forma analítica:

La expresión analítica del producto vectorial de dos vectores se obtiene del modo siguiente:

Propiedades del producto vectorial:

    -Anticonmutativa: A x B = - ( B x A )

    -Asociativa respecto a la multiplicación por números: n•A x m•B = n•m ( A x B )       

-Distributiva: A x ( B + D ) = A x B + A x D

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23 Geométricamente, se demuestra que el módulo del vector producto vectorial coincide con el área del paralelogramo construido sobre los vectores.