de = I ν dt da cos θ dω dν.

CAPITULO 1

PROCESOS RADIATIVOS

1.1 Radia ión, generalidades

1.1.1 Intensidad

El ampo de radia ión queda des rito por la intensidad de radia ión, llamada en según que ontextos,

intensidadespe í a(por tratarsedeenergíaporunidaddeintervalodefre uen ia)obrillo(normalmente,

uando nos referimos a la intensidad re ibida de una fuente). La intensidad Iν(r, k, t) ^{es fun ión de la}

posi iónr,deladire ióndadapor elve torunitariokydeltiempot^{. Eslaenergíaporunidaddetiempo}

queatraviesaunáreaunidadperpendi ularaladire iónk, entradaenlaposi iónr,transportadaporla radia iónque sepropagadentro deunángulo sólidounidad entradoen ladire iónk, en unaunidadde intervalodefre uen ia,

dE = Iνdt dA cos θ dΩ dν.

Sus dimensiones son erg s

−1

m

−2

sr

−1

Hz

−1

. Como laintensidad es un ujo de energíapor unidadde

ángulosólido,sumagnitudnovaría onladistan iaalafuente(enelespa iolibre).

-



dA

dΩ

k

dA cos θ n

3 θ

PPPPPP

Figura 1.1: Energía dentro de un ángulo sólido dΩ ^{que atraviesa una área} dA ^{uya normal} n forma un ánguloθ ^{onladire ión} onsideradak

LaintensidadmediaI¯ν ^{eselpromedioangulardelaintensidad}

I¯ν = 1 4π

Z

4π

IνdΩ.

Si laintensidad pro edede una fuente quesubtiende unpequeño ángulo sólido∆ΩS^{, laintensidadmedia}

produ idaporlafuente es

I¯ν =∆ΩS

4π Iν.

El fa tor∆ΩS/4π^{re ibeelnombredefa torde dilu ión.}

Problema1.1Demostrarquelaintensidadnovaría onladistan ia.

Solu ión: SeanlasáreasdA^ydA^{′. Laenergíaqueatraviesa}dA^{porunidaddetiempo,dentro}

>

dA

n

n

′ dA^′

- PiPPPPPPP

k

k

θ ′ θ^′

dΩ^′ dΩ

Iν ```````````````d ``````` I_ν^′

hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh hh h

delángulo sólidodΩ^denidopordA^{′ ydelintervalodefre uen ia} dν ^es dE = Iνdt dA cos θ dΩ dν,

donde θ ^{eselángulo entre lanormala}dA ^{yladire ión k. Esta energíaatraviesa}dA^{′, porlo}

tanto,tienequeserigualalaenergíare ibidapordA^{′ dentrodelángulosólido}dΩ^{′ denidopor} dA^{,enelmismo intervalode}fre uen ia,

dE = Iνdt dA cos θ dΩ dν = I_ν^′ dt dA^′ cos θ^′dΩ^′dν = dE^′.

Simpli ando, seobtiene

IνdA cos θ dΩ = I_ν^′ dA^′ cos θ^′dΩ^′.

PerodΩ = dA^′cos θ^′/d^{2 y}dΩ^′ = dA cos θ/d^2,donde d^{esladistan ia entre losdospuntos. Por}

lotanto,nalmente,

Iν = I_ν^′.

1.1.2 Ángulo sólido, oordenadas angulares

El ángulosólidoesel áreasobre laesferade radio unidad. Enun sistemade oordenadasesféri as (φ, θ)^,

dondeθ^{eselángulopolar, elángulo sólido} orrespondienteaunáreaA^{sobrelaesferaunidades} Ω =

Z Z

A

sen θ dθ dφ.

Porejemplo,elángulosólido orrespondienteaun onodesemiaberturaθ0 ^es

Ω = Z 2π

0

dφ Z θ0

0

sen θ dθ = 4π sen²θ0

2 ,

que,paravalorespequeños deθ0^{, sepuedeaproximar omo}Ω ≃ πθ0^{2. En general,unárea}diferen ialdA^a

unadistan iad^{subtiendeunángulosólido}

dΩ = dA cos θ d² ,

dondeθ^{eselánguloqueformalanormalalasuper ie onlavisual.}

Para des ribiruna posi ión en el ielo utilizaremos los osenosdire tores(l, m) ^{del punto del ielo}

sepuedenaproximarporlas oordenadas artesianasenelplanotangenteal ieloenelpuntodereferen ia.

En estaaproxima ión,elelementodeángulosólidovale

dΩ = dl dm

√1 − l²− m² ≃ dl dm

ylos osenosdire toresdeunpuntodeas ensiónre tayde lina ión(α, δ)^valen l = (α − α0) cos δ0

m = δ − δ0

donde (α0, δ0) ^{son las} oordenadas elestes del punto de referen ia onsiderado. En lugar de as ensión re tayde lina ión,pueden ser ualquierparde oordenadas elestes omo, porejemplo, a imutyaltura,

olongitud ylatitudgalá ti as.

1.1.3 Densidad de ujo, luminosidad

Ladensidad de ujoo,simplementeujo,Fν^{,eselujodeenergíaqueatraviesaeláreaunidadporunidad}

deintervalode fre uen ia. Porlotanto, eslaintensidad integradapara todaslasdire iones,teniendoen

uentaelfa tordeproye ióndeláreaperpendi ularmentealadire ión onsiderada,cos θ^, Fν =

Z

4π

Iν cos θ dΩ,

aunque,aefe tosprá ti os,al al ularladensidaddeujodeunafuentedis reta,eldominiodeintegra ión

esmu homenorde4π^{sr,ysepuedepres indir delfa tor}cos θ^, Fν=

Z

fuente

IνdΩ.

Lasdimensionesdeladensidaddeujosonergs

−1

m

−2

Hz

−1

. Launidadprá ti aeselJansky(Jy)ysus

submúltiplos(mJy,µ^{Jy). ElJanskysedene omo}

1 Jy = 10⁻²³ erg s⁻¹ cm⁻² Hz⁻¹.

Problema1.2Cal ularlaenergíare ibidadeuna fuente de100Jyporunteles opio onuna

área ole torade1000m

2

duranteunahora,enunintervalodefre uen iade100MHz.

Solu ión:

E = Fν∆t A ∆ν = 100 × 10⁻²³· 3600 · 1000 × 10⁴· 100 × 10⁶= 3.6 × 10⁻³ erg.

Laluminosidadespe í aalafre uen iaν^{deunafuenteisótropasituadaadistan ia}d^{delobservador}

seobtieneintegrandosudensidad deujoparaunasuper ieesféri aderadio d^, Lν = 4πd²Fν.

Lasdimensionesdelaluminosidadespe í asonergs

−1

Hz

−1

.

Laluminosidadbolométri adeunafuenteeslaintegral,paratodaslasfre uen ias,desuluminosidad

espe í a. Esla energíatotalradiada porla fuente porunidadde tiempo ysus dimensiones sonergs

−1

.

Launidadprá ti aeslaluminosidadsolar,

L⊙= 3.826 × 10³³ erg s⁻¹.

Mu hasve esseutilizatambiénlaluminosidad deunalíneaespe tral, onelsigni adodelaintegraldela

luminosidad espe í a sobreel rangode fre uen ias dela líneaespe tral. Así porejemplo, sedi eque la

luminosidaddelmáserdeH2^OenW37esde3 × 10⁻⁵ L⊙^.

1.1.4 Ley de Plan k

En equilibriotermodinámi o,laradia iónestáen equilibrio onlamateriaysu intensidadvienedadapor

laleyde Plan kparaun uerponegro,

Bν(T ) = 2hν³ c²

1 e^hν/kT − 1,

dondeT ^eslatemperatura,úni oparámetroquedes ribeelequilibriotermodinámi o.

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10⁸ 10⁹ ν (GHz)

10^-16 10^-14 10^-12 10^-10 10^-8 10^-6 10^-4 10^-2 10⁰

Bν (erg s-1 cm-2 sr-1 Hz-1 )

1 m 1 mm 1 µm 1nm

λ

10⁴ K

10³ K

100 K

10⁵ K

10 K 2.7 K

Figura 1.2: Ley de Plan k, Bν^{, en fun ión de la} fre uen ia, para distintas temperaturas, desde la de la radia ióndefondo,2.7K,hasta10^5K.

Parafre uen iasbajas(otemperaturaselevadas)sepuedeha erlaaproxima ióne^hν/kT−1 ≃ hν/kT

ylaleydePlan kseredu ealeyde Rayleigh-Jeans,

Bν ≃2kν² c² T.

Laaproxima ióndeRayleigh-Jeansesválida uandohν ≪ kT^{,queenunidadesprá ti aspuedeexpresarse}

omo

 ν GHz



≪ 20 T K

 .

Laaproxima ión orrespondientesparaaltasfre uen iaseslaleyde Wien,Bν≃ (2hν³/c²) e^−hν/kT.

Lafre uen ia alaqueun uerponegroradialamáximaintensidaddependedelatemperatura,yes

del ordende kT /h^{. Conmásexa titud, la fre uen ia} νmax ^{delmáximo de lafun ión dePlan k}Bν ^viene

dadaporlaleydel desplazamientode Wien,quepuedeexpresarse,enunidades prá ti as, omo

hνmax

GHz

i= 59 T K

 .

Elujodeenergíaemitidoporunasuper ie queradia omo un uerponegroseobtieneintegrando

paraunhemisferio,

Fν = Z

2π

Bν cos θ dΩ = Z 2π

0

dφ Z π/2

0

Bν cos θ sen θ dθ = π Bν.

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ hν/kT

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

(c2 h2 /2k3 T3 )B ν

Rayleigh-Jeans Wien

Planck function

Figura1.3: LeydePlan kenunidades normalizadas,x³/(e^x− 1)^,dondex = hν/kT^{,junto onlasaproxi-}

ma ionesparabajafre uen ia(leydeRayleigh-Jeans)yaltafre uen ia(leydeWien).

El ujo total emergente (energía por unidad de tiempo y de área) se obtiene integrandopara todas las

fre uen ias,

F = Z ∞

0

π Bνdν = σT⁴,

dondeσ^{esla onstante de} Stefan-Boltzmann,σ = 5.6705 × 10^{−5 ergs−1 m−2 K−4.}

1.1.5 Ley de Nyquist

La ley de Plan k des ribe la intensidad de la radia ión para un uerpo negro tridimensional. Otro aso

deinterés esel deun uerponegrounidimensional: un ondu tor, unalineadetransmisión ouna guíade

ondas. Eneste aso,laradia ióntérmi a(enequilibriotermodinámi o)vienedes ritaporlaenergíasaliente

porunidaddetiempoydeintervalodefre uen ia, wν^{, onunidadesdeergs}−1

Hz

−1

. Suexpresiónpuede

dedu irsedeformamuypare idaalaleydePlan kyresulta:

wν = hν e^hν/kT − 1.

La aproxima iónde baja fre uen ia, equivalente a la ley de Rayleigh-Jeans, re ibe el nombre de ley de

Nyquist,

wν = kT.

1.1.6 Temperatura de brillo, temperatura de radia ión

Engeneral,laradia iónnoestáenequilibrio onlamateriay,porlotanto,laintensidadIν ^{novienedadapor}

unafun ióndePlan k. Sinembargo,a adafre uen iaν ^{podemosdeniruna}temperatura,latemperatura de brillo TB^{,talquelaintensidadaestafre uen iatengaelvalordelaplan kianaa}temperaturaTB^:

Iν = Bν(TB).

Esta e ua ión no es más que la deni ión de la temperatura de brillo. En general, TB ^{depende de la}

Enlaaproxima ióndeRayleigh-Jeans,latemperaturadebrillovienendadapor

Iν ≃2kν² c² TB,

on lo que la intensidad resulta propor ional a la temperatura de brillo. Aunque no pueda utilizarse la

aproxima ióndeRayleigh-Jeans,esmuyprá ti ointrodu irunatemperaturapropor ionalalaintensidad,

latemperatura de radia iónTR^,queenlaaproxima ióndeRayleigh-Jeans oin ide onlatemperaturade brillo,

Iν =2kν² c² TR,

pero,engeneral,seexpresaenfun ióndelatemperaturadebrillomediante

TR= Jν(TB),

dondeJν ^{eslallamadaintensidaden unidadesde} temperatura,yvienedadapor

Jν(T ) = hν/k e^hν/kT − 1.

Para una fre uen ia dada, Jν(T ) ^{esuna fun ión re iente de la} temperatura y limT →∞Jν(T ) = T^{. Sin}

embargo, Jν(T ) ^{puede ser bastante distinto de} T ^para temperaturas bajas a fre uen ias su ientemente altas. Porejemplo,a115GHz,para latemperaturadefondo osmológi aJν(2.7 K) = 0.82^K.

1.1.7 Respuesta dire ional del teles opio, intensidad observada

El poder separadorde losteles opios que trabajan a longitudesde onda larga(lejano infrarrojo, submil-

imétri asyradio)estánormalmentelimitadopordifra ión: supoderseparadoresdelordendeλ/D^,donde D^{unalongitudque} ara terizaeltamañodelaaberturadelteles opio(normalmente,eldiámetrodelespejo primario).

Laimagenqueelteles opiodadeunafuentenoresuelta(unaestrellaounafuente muy ompa ta),

Pn^{, se llama fun ión de dispersión de punto (Point Spread Fun tion PSF) o respuesta puntual del in-}

strumento, oen el asode los radioteles opios, diagrama del haz. La resolu ión angular del instrumento

puede ara terizarsemediantelaan huraaalturamitaddeestafun ión,θA^{(FullWidthatHalfMaximun}

FWHM,otambiénHalf-PowerBeamWidth HPBW).Elsubíndi en^dePn ^{indi aquelafun iónsetoma}

normalizada, de forma que su máximo, en la dire ión del eje del teles opio, sea launidad. Si onsider-

amos un sistema de oordenadas angularesligado al teles opio y entrado en la dire ión de su eje, será

Pn(0, 0) = 1^.

Otraformade ara terizarlarespuestaangulardelteles opioesapartirdelángulosólidodelhazdel

teles opio,ΩA^{,laintegralsobretodaslas}dire ionesdeldiagramadelhaz,

ΩA= Z

4π

PndΩ.

Susigni adoeseldelángulosólidoequivalentedel ualelteles opiore iberadia ión.

Laradia iónmedidaporelteles opiopro ede prin ipalmente desuhazprin ipal (esde ir,laparte

entral del haz,sin tener en uenta los lóbulosse undarios, resultadode ladifra iónporlaaberturadel

instrumento). El ángulo sólido del haz prin ipal, ΩM^{, eslaintegralpara elhaz prin ipaldel diagramade}

radia iónPn^{,yesmenorqueelángulosólidodetodoelhaz,}ΩA^{. El o ienteentreelángulosólidodelhaz}

prin ipalyelángulosólidodetodoelhazeslae ien ia delhaz prin ipal, ηM^,

ηM=ΩM

ΩA

< 1.

0.0 θ 0.5 1.0

Pn θ_A

Figura1.4: Diagramadelhaztípi o,mostrandoelhazprin ipal,laan huraaalturamitad,θA^{,yloslóbulaos}

se undarios.

Paraunteles opio onunhazprin ipal gaussiano,dean huraaalturamitad θA^{, elángulo sólidodelhaz}

prin ipalvienedadopor

ΩM= π

4 ln 2θ²_A≃ 1.133 θA².

Consideremos un teles opio que apunta ha ia una dire ión (l, m) ^{donde está situada una fuente}

ara terizadapor unaintensidadIν(l^′, m^′)^{. Larespuestadelteles opiosepuede alibrarenunidadesdela}

intensidad observada de lafuente, I_ν^{obs, queesel promediode laintensidadde lafuente, utilizando omo}

pesoelhazdelteles opio,

I_ν^obs(l, m) = 1 ΩA

Z Z

Iν(l^′, m^′)Pn(l^′− l, m^′− m) dl^′dm^′.

Estarela iónindi aquelaintensidadobservadaes(salvounfa tormultipli ativo)elprodu tode onvolu ión

delaintensidaddelafuenteporeldiagramadelhazdelteles opio(másexa tamente,porPn(−l, −m)^{). De}

estaforma,porejemplo,siobservamosunafuentegaussianadediámetroaintensidadmitadθS^,eltamaño

observado delafuente es

θ_S^obs= q

θS2+ θA2.

Asimismo,elujototaldelafuentepuedeobtenerseintegrandolaintensidadobservada. Enefe to,

Z Z

I_ν^obs(l, m) dl dm = Z Z

Iν(l, m) dl dm RR Pn(l, m) dl dm ΩA

= Fν.

Laintensidad máxima observada, normalmente uandoel teles opio apunta al entro de lafuente,

re ibeelnombredeintensidaddepi o

1

,I_ν^{pico. Una}aproxima ióndelujototaldelafuentepuedeobtenerse multipli andolaintensidaddepi oporeltamañoobservadodelafuente,Ω^obs_S ^,

Fν ≃ Iν^picoΩ^obs_S .

Esta rela ión esexa ta para el asode una fuente gaussiana y unteles opio onun haz gaussiano. Las

unidadesprá ti asdelaintensidaddepi osondedensidaddeujoporhaz,Jyhaz

−1

. Lautilidaddeestas

unidades esque, paraunafuente noresueltaangularmente(detamañoangularΩS≪ ΩM^{),elnúmeroque}

dalaintensidaddepi o,enJyhaz

−1

, oin ide onelquedaladensidaddeujodelafuente,enJy. Estas

unidades suelen utilizarseen instrumentos de síntesis (interferómetros),en losque elhazdel instrumento

essintetizadoporsoftware,ysetomagaussiano, onunángulosólidodelhazbiendenido.

1

Enlaliteraturasedenominaave es,erróneamente,alaintensidaddepi o omoujodepi o,Fν^pico.

1.1.8 Energía aptada por el teles opio

La apa idaddeunteles opio parala apta ión deenergíadelaradia iónin idente sepuede ara terizar

porun áreae az ole toraen fun iónde ladire ión, que puede separarse en dos omponentes, elárea

e azpropiamentedi ha,Ae^{,ylarespuestadelteles opiosegúnladire ión,}Pn^{. Deestaforma,laenergía}

aptada por el teles opio, por unidad de tiempo y de intervalo de fre uen ia, wν ^{( on} dimensiones de ergs

−1

Hz

−1

),puedeexpresarse omo

wν= 1 2Ae

Z

4π

IνPndΩ.

El fa tor 1/2 ^{da uenta del} a oplamiento de la polariza ión del radioteles opio on la de la radia ión in idente. Es exa to en el aso de radia ión no polarizada,y una buena aproxima iónen la mayoría de

asosdebido alabajafra ión depolariza iónde laradia iónnatural. El áreae az Ae ^{esmenorque el}

áreageométri adelespejoree tor debidoalbloqueo delsubree tory otrosfa tores. Paraunteles opio

de diámetro D^{, el o iente entre elárea e az y el área}geométri a, πD²/4 ^{sedenomina e ien ia de la}

abertura,ηA^,

ηA= Ae

πD²/4 < 1.

Eláreae az, Ae^{, yel ángulosólidodel haz,}ΩA^{, noson}independientes. Poruna parte, Ae≃ D^2,

mientrasqueellímite dedifra iónnosdi equeΩA≃ θ²A≃ (λ/D)^{2. Porlotanto,} AeΩA≃ λ^{2. Dehe ho,}

estarela iónesexa ta: sepuededemostrarfá ilmente,apartirdeunrazonamientotermodinámi o,que

AeΩA= λ².

Problema1.3Demostrarque,efe tivamente,AeΩA= λ^2.

T T

T

∆Ω

Solu ión: Consideremosunaantenadeáreae azAe^{yángulosólidodelhaz}ΩA^{, one tadaa}

unaresisten iaatemperaturaT^{,queapuntaaun uerponegroa}temperaturaT^{,quesubtiende}

un ángulo sólido ∆Ω ^{desde la antena, en la dire ión} (l, m)^{. Todo el onjunto está a su vez}

dentro de una avidad en equilibrio termodinámi o atemperaturaT^{. Como} onse uen ia del equilibrio,laenergíaporunidaddetiempoydeintervalodefre uen iaradiadayre ibidaporla

antenadentrodelángulosólido∆Ω^{soniguales. Laenergíatotalradiadaes}kT ∆ν ^{ylafra ión}

ontenidaenelángulosólido∆Ω^es

kT ∆ν Pn(l, m)∆Ω ΩA

.

Laenergíare ibidadel uerponegroes

1 2Ae

2kν²

c² T Pn(l, m) ∆Ω.

IgualandoambasexpresionesseobtienequeAeΩA= λ^2.

1.1.9 Temperatura de antena, temperatura del haz prin ipal

Enunradioteles opio,laleydeNyquistpermitedenirunaes aladetemperaturaparalaenergía aptada

por la antena y suministrada al radiómetro. Si el teles opio está re ibiendo una energía por unidad de

tiempoydeintervalo defre uen iawν^{,sedena la}temperaturadeantena,TA^,apartirde

wν = kTA.

Según la ley de Nyquist, la temperatura de antena es la temperatura que debería tener una resisten ia

para propor iona en sus bornes la misma poten ia espe tral térmi a wν ^{que la antena.} Evidentemente, la temperatura de antena no tiene nada que ver on la temperatura físi a de la antena (la temperatura

ambiente).

Apartirdeladenióndetemperaturadeantena,temperaturaderadia iónydelarela iónentreAe

yΩA^{, seobtiene}

TA=Ae

2k Z

4π

IνPndΩ = Ae

2k 2kν²

c² Z

4π

TRPndΩ = 1 ΩA

Z

4π

TRPndΩ.

Latemperaturadeantenaes,porlotamto,rlpromediodelatemperaturaderadia ióndelafuenteentodo

elhazdelteles opio.

Parateles opiosderee torúni o(singledishteles opes),sesuele ara terizarlaradia iónmedida

porelteles opiomediantelatemperaturade radia ión observadaotemperaturadel hazprin ipal, TMB^,que

esel promedioparael ángulosólidodel hazprin ipal dela temperaturade radia ióndela fuente,TR ^(o,

enlaaproxima ióndeRayleigh-Jeans,delatemperaturadebrillo,TB^),

TMB= 1 ΩM

Z

TRPndΩ.

La temperatura del haz prin ipal, por lo tanto, puede obtenerse a partir de la temperatura de antena,

ono idalae ien iadel haz,

TMB= 1 ηM

TA.

Laintensidaddepi oylatemperaturadehazprin ipalsondes rip ionesequivalentesdelaintensidad

observadadelafuente. Larela iónentrelaintensidaddepi o(utilizadaeninterferómetros)ylatemperatura

dehazprin ipal (utilizadaenteles opios deree torúni o)puede expresarseparauna fuente gaussianay

unteles opio onunhazgaussiano,enunidadesprá ti as, omo

 I_ν^pico mJy haz⁻¹



= 2.95 TMB

K

  θA

arcmin

²h ν GHz

i2

.

1.1.10 A oplamiento radia ión-teles opio

Dos asoslímites dela oplamientoradia ión-teles opiosonespe ialmente interesantes:

Fuenteno resuelta. Cuando el tamaño angular de la fuente, dado por su ángulo sólido ΩS^{, es mu ho}

menorqueelhazprin ipaldelteles opio,ΩS≪ ΩM^{,elujodelafuenteeselprodu todelaintensidad}

depi oporelángulosólidodelhaz,

Fν = I_ν^picoΩA.

Deestaforma,por ejemplo,unafuentenoresuelta onunaintensidaddepi ode3mJyhaz

−1

tiene

undensidad deujo de3mJy. En ambio, latemperatura deradia ión observada esmu ho menor

queladeradia ióndelafuente,

TMB= ΩS

ΩM

TR≪ T^R,