Nota 01. Sustituci´ on y conceptos sem´ anticos b´ asicos. *

L´ ogica Computacional, 2017-1

Nota 01. Sustituci´ on y conceptos sem´ anticos b´ asicos. ^*

No´ e Salom´ on Hern´ andez S´ anchez

1. Sustituci´ on

La operaci´on de sustituir las presencias libres de la variable proposicional p por la f´ormula ψ en la f´ormula ϕ, denotada por ϕ[p := ψ], se define recursivamente como:

p[p := ψ] = ψ

q[p := ψ] = q, si p 6= q T[p := ψ] = T

F[p := ψ] = F

¬ϕ[p := ψ] = ¬(ϕ[p := ψ])

(ϕ₁ ./ ϕ₂)[p := ψ] = (ϕ₁[p := ψ] ./ ϕ₂[p := ψ]) donde ./= {∧, ∨, →, ↔}

Similarmente se puede definir la sustituci´on simult´anea ϕ[p₁, . . . , p_n := ψ₁, . . . , ψ_n], denotada como ϕ[~p := ~ψ].

La sustituci´on tiene las siguientes propiedades:

ϕ[p := ψ] = ϕ si p no est´a presente en ϕ.

ϕ[p := ψ][q := χ] = ϕ[q := χ][p := ψ[q := χ]] si p 6= q y p no est´a presente en χ.

ϕ[~q, p := ~ψ, χ] = ϕ[~q := ~ψ ][p := χ] si p /∈ {~q } y p no est´a presente en ~ψ.

2. Conceptos sem´ anticos b´ asicos

Sea ϕ una f´ormula. Entonces,

ϕ es una tautolog´ıa, o f´ormula v´alida, si I(ϕ) = 1 para toda intepretaci´on I. En tal caso escribimos |= ϕ.

La interpretaci´on I es un modelo de ϕ si I(ϕ) = 1. En tal caso escribimos I |= ϕ, y catalo- gamos a ϕ como satisfacible.

La interpretaci´on I no es un modelo de ϕ si I(ϕ) = 0. En tal caso escribimos I



|= ϕ.

*El material aqu´ı presentado se basa en las notas del profesor Favio Miranda Perea.

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ϕ es una contradicci´on, o f´ormula insatisfacible, si I(ϕ) = 0 para toda intepretaci´on I.

ϕ es contingente si existen interpretaciones I e I⁰, tales que I(ϕ) = 1 e I⁰(ϕ) = 0.

Sea Γ un conjunto de f´ormulas.

Γ es satisfacible si existe una interpretaci´on I tal que I(ϕ) = 1 para toda ϕ ∈ Γ.

Γ es insatisfacible si no existe una interpretaci´on I tal que I(ϕ) = 1 para toda ϕ ∈ Γ.

Se extiende de la manera usual la funci´on de interpretaci´on de f´ormulas para que tambi´en reciba conjuntos de f´ormulas. De manera que podamos escribir I(Γ) = 1 si Γ es satisfacible por I.

Proposici´on 1 Sea Γ = {ϕ₁, . . . , ϕ_n} un conjunto de f´ormulas.

Γ es satisfacible si y solo si ϕ₁∧ . . . ∧ ϕ_n es satisfacible.

Γ es insatisfacible si y solo si ϕ₁∧ . . . ∧ ϕ_n es una contradicci´on.

Equivalencia de F´ ormulas

Sean ϕ y ψ dos f´ormulas. Decimos que son equivalentes si I(ϕ) = I(ψ) para toda interpretaci´on I. Lo denotamos como ϕ ≡ ψ.

Proposici´on 2 Sean ϕ y ψ dos f´ormulas. Se cumple que ϕ ≡ ψ si y solo si |= ϕ ↔ ψ.

Proposici´on 3 (Regla de Leibniz) Si ϕ ≡ ψ y p es una variable proposicional, entonces τ [p :=

ϕ] ≡ τ [p := ψ].

Consecuencia l´ ogica

Sean Γ un conjunto de f´ormulas y ϕ una f´ormula. Decimos que ϕ es consecuencia l´ogica de Γ, lo cual se denota como Γ |= ϕ, si para toda interpretaci´on I que satisface a Γ, se tiene I(ϕ) = 1.

La relaci´on de consecuencia l´ogica se entiende a trav´es de una implicaci´on de la forma I(Γ) = 1 → I(ϕ) = 1

lo que nos indica que siempre que I satisfaga a Γ, entonces necesariamente I satisface a ϕ. Por lo que se debe tomar una interpretaci´on I cualquiera que suponemos satisface a Γ, y debe probarse que esa misma I satisface tambi´en a ϕ.

Proposici´on 4 La consecuencia l´ogica cumple las siguientes propiedades:

Si ϕ ∈ Γ, entonces Γ |= ϕ.

ϕ es tautolog´ıa syss ∅ |= ϕ.

Γ |= ϕ → ψ syss Γ ∪ {ϕ} |= ψ.

Si Γ es insatisfacible, entonces Γ |= ϕ para toda f´ormula ϕ.

Principio de refutaci´on: Γ |= ϕ syss es Γ ∪ {¬ϕ} insatisfacible.

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Correctud de argumentos l´ ogicos

Un argumento l´ogico es una sucesi´on de f´ormulas ϕ₁, . . . , ϕ_n que llamamos premisas y una f´ormula ψ que llamamos conclusi´on.

Un argumento con premisas ϕ₁, . . . , ϕ_n y conclusi´on ψ es l´ogicamente correcto si la conclusi´on se sigue l´ogicamente de las premisas, i.e., {ϕ₁, . . . , ϕ_n} |= ψ.

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