El conjunto de funciones

El conjunto de funciones

1 Definici´on. Sean X, Y conjuntos. Denotemos por Y^X al conjunto de todas las funciones X → Y . En otras palabras, f ∈ Y^X si y solo si f : X → Y .

2 Proposici´on. Sean A, B, C, D conjuntos tales que A ∼ C, B ∼ D. Entonces A^B ∼ C^D.

Demostraci´on. Sean f : A → C y g : B → D biyecciones.

Dada una funci´on u : B → A, podemos definir v : D → C como v(d) := f (u(g⁻¹(d))),

esto es, v := f ◦ u ◦ g⁻¹.

Definimos Φ : A^B → C^D mediante la regla

Φ(u) := f ◦ u ◦ g⁻¹.

B D

A C

g

u Φ(u)

f

Definimos Ψ : C^D → A^B mediante la regla

Ψ(v) := f⁻¹◦ v ◦ g

B D

A C

g

Ψ(v) v

f

Entonces

Ψ(Φ(u)) = f⁻¹◦ (f ◦ u ◦ g⁻¹) ◦ g = u y de manera similar Φ(Ψ(v)) = v, as´ı que Φ y Ψ son biyecciones.

3 Proposici´on. Sean A, B, C conjuntos tales que A ∩ B = ∅. Entonces C^A∪B ∼ (C^A) × (C^B).

El conjunto de funciones, p´agina 1 de 3

Demostraci´on. Definimos Φ : C^A∪B → (C^A) × (C^B) como Φ(f ) = (f |A, f |B).

Definimos Ψ : (C^A) × (C^B) → C^A∪B como

Ψ(g, h)(x) :=

(g(x), x ∈ A;

h(x), x ∈ B.

Entonces es f´acil ver que Φ(Ψ(g, h)) = (g, h) y Ψ(Φ(f )) = f , as´ı que Φ y Ψ son biyecciones mutualmente inversas.

La siguiente idea se usa mucho en la programaci´on funcional (por ejemplo, en el lenguaje Haskell) y se conoce como currificaci´on (currying en ingl´es), en honor del matem´atico y l´ogico Haskell Curry.

4 Proposici´on. Sean A, B, C conjuntos. Entonces (A^B)^C ∼ A^B×C. Demostraci´on. Definimos Φ : (A^B)^C → A^B×C como

Φ(f )(b, c) := f (c)(b).

Definimos Ψ : A^B×C → (A^B)^C como

Ψ(g)(c)(b) := g(b, c).

Entonces

Φ(Ψ(g))(b, c) = Ψ(g)(c)(b) = g(b, c).

De manera similar, Ψ(Φ(f )) = f .

5 Proposici´on (el conjunto potencia como el conjunto de funciones con valores 0 y 1).

Sea A un conjunto. Entonces

P(A) ∼ {0, 1}^A.

Demostraci´on. Dado un subconjunto B de A, definimos Φ(B) : A → {0, 1} como la fun- ci´on caracter´ıstica de B:

Φ(B)(a) := 1_B(a) =

(1, a ∈ B;

0, a /∈ B.

El conjunto de funciones, p´agina 2 de 3

Al rev´es, dada una funci´on h : A → {0, 1}, definimos el conjunto Ψ(h) como Ψ(h) := {a ∈ A : h(a) = 1}.

Entonces Φ : P(A) → {0, 1}^A, Ψ : {0, 1}^A → P(A), y las funciones Φ y Ψ son mutualmente inversas.

6 Proposici´on. Para cada m en N0 y cada n en N0, J_m^Jn ∼ Jmⁿ.

Demostraci´on. Fijamos m en N0. Procedemos por inducci´on matem´atica sobre n. Si n = 0, entonces el conjunto Jn es vac´ıo, y existe solamente una funci´on con el dominio vac´ıo (su gr´afica es vac´ıa).

Si n = 1, entonces el conjunto Jn consiste de un punto 1, y cada funci´on f : J1 → Jm se determina por su ´unico valor, as´ı que J_m^J1 ∼ J_m.

Supongamos que n ∈ N⁰ y J_m^Jn ∼ Jmⁿ. Entonces, por la Proposici´on 3, J_m^Jn+1 ∼ J_m^Jn× J_m^{n+1}.

Luego

J_m^Jn+1 ∼ J_mⁿ × J_m ∼ J_mⁿ_·m= J_mⁿ⁺¹.

7 Corolario. Si A y B son conjuntos, A ∼ J_m, B ∼ J_n, entonces A^B ∼ J_mⁿ.

El conjunto de funciones, p´agina 3 de 3