Calcular, de ser posible

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

TERCER EXAMEN EXTRAORDINARIO Sinodales: Ing. Luis Hernández Moreno

M.E.M. Margarita Ramírez Galindo

8 de junio de 2016 Semestre 2016-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es 2 horas.

1. Para la función

f (x)   2 x

² definida en el intervalo



^{0, 2}



, determinar el valor de

c

tal que el valor promedio de la función sea igual a

f c ( )

15 Puntos

2. Calcular, de ser posible

0

lim

^x

cos

x



x

15 Puntos

3. Efectuar las integrales:

3 3

1

16 4

x

cos dx

a ) d x b )

x x x

   

 

  

20 Puntos

3EE16-2

4. Calcular el área de la región limitada por las curvas

3 2

: :

1 4 2 8

C y  x C y  x

15 Puntos

5. Verificar que la función

^{u x y}   ^{,  e}

^x

^{cos y  e}

^{ y}

^{cos x}

satisface la ecuación en derivadas parciales

0

xx yy

u  u 

15 Puntos

6. Determinar la máxima razón de cambio de

 ^,  ^{y 3}

f x y  x e ^  y

en el punto

^P  ^{1, 0} 

^.

20 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN DEL TERCER EXAMEN EXTRAORDINARIO

8 de junio de 2016 Semestre 2016-2

1.

 

 

 

2 3 2

2

0 0

2 2

Valor promedio

8 4

2 2 4

3 3 3

4

4 2

3

2 6 3

2 2 4

2 ; 2

3 3 3

2 1.15 0 , 2

3

b

a

prom

prom

f x dx

b a x dx x x

V

V fc c c

c c

 

      



  

      

  





15 Puntos 2.

   

 

 

1 0 1

0

0

0

Valuando:

cos 0

Aplicando logaritmos ln lim ln cos

ln cos ln1 0

lim 0 0

1

x

x

x

L

L x

x x







 

 

    

 

    

 

S3EE16-2

0 0

0

0

Aplicando L'Hopital:

0 0

ln lim cos 0

1 cos0 1

Finalmente 1

x

sen x

sen L x

L L

e



 

 

 

 

 

 

    





15 Puntos

3. a) Por partes

2

2

2

1

1 1

cos

1 1 1

1 1 1

cos

u du dx

x x

dv dx v sen

x x x

I sen sen dx

x x x x

I sen c

x x x

  

   

      

 

 

 

   

        

    

   

        

   



b) Por fracciones parciales

   

 

2 2

2 2

16

4 4

16 4

0 1

4 16 20

4 0

A Bx C

x x x x

A x Bx Cx

si x si x

A B C

B C

  

 

    

 

   

    

S3EE16-2

   

2

2

4 4

4 4 ln 2 ln 4

I x dx

x x

I x x c

 

      

   



20 Puntos

4.

 

 

3 2

2

2 3

0

2

3 4

0

Para las intersecciones:

4 8

0 2

Entonces

8 4

8 8

8 16

3 3

64 48 3 16

3

x x

x x

A x x dx

A x x

A

A unidades de área



 

 

 

     

 

 





15 Puntos 5.

x y

x y

x y

x y

x xx y yy

cos y x

cos y x

y x

cos y x

u sen

u cos

u sen cos

u cos

e e

e e

e e

e e

 

 

 

 









 



 

 

S3EE16-2

0 Sustituyendo en EDP:

0 0

x y x y

cos y cos x cos y cos x

se verifica

e

^

^ e

^

^ e

^

^ e

^

^

 

15 Puntos

6.

 

 

La máxima razón de cambio es

3

2 1 0 5

y y

p

x y

p

f f f i f j

f i x j

f i j f ,

e

^

e

^



  

    

     

20 Puntos