1 El campo de una onda electromagnética en el vacío viene dado en unidades del Sistema Internacional por la expresión:

1 El campo de una onda electromagn´ etica en el vac´ıo viene dado en unidades del Sistema Internacional por la expresi´ on:

E x = 0,

E y = 3cos(8 × 10 ¹⁵ t − 8 3 10 ⁷ x), E _z = 4cos(8 × 10 ¹⁵ t − 8

3 10 ⁷ x + π 2 ).

Determine:

a- El vector de ondas.

~k _p = 8

3 × 10 ⁷ (1, 0, 0) (m ⁻¹ ).

b- La frecuencia.

ν = 4

π × 10 ¹⁵ Hz.

c- La longitud de onda e indicar la regi´ on del espectro a la que pertenece.

λ = 3π

4 × 10 ⁻⁷ m.

La radiaci´ on pertenece a la regi´ on del ultravioleta.

d- La irradiancia.

I = c² 0

2 E ₀ ² = c² 0

2

³

E _0x ² + E ² _0y ^´ = c² 0

2 (3 ² + 4 ² ) = 0.03318 W/m ⁻² . e- La expresi´ on del campo magn´ etico. ~ B = ¹ _c u ˆ _k × ~ E.

B x = 0, B y = − 4

3 × 10 ⁻⁸ cos(8 × 10 ¹⁵ t − 8

3 10 ⁷ x + π 2 ), T B z = 10 ⁻⁸ cos(8 × 10 ¹⁵ t − 8

3 10 ⁷ x) T . f- El estado de polarizaci´ on de la onda.

La onda considerada est´ a el´ıpticamente polarizada, a´ un cuando el desfase entre ambas componentes sea

π/2, ya que las amplitudes de ambas componentes son diferentes entre s´ı. El sentido de giro del campo

el´ ectrico resultante es dextr´ ogiro.

2 Un polarizador gira con velocidad angular Ω. Sobre el polarizador incide un haz de luz despolarizado de irradiancia I _o . La luz que pasa a trav´ es del primer polarizador se hace incidir sobre otro fijo. La irradiancia en funci´ on del tiempo transmitida por ´ este ultimo polarizador se muestra en la figura. Calcular la frecuencia angular con la que gira el polarizador.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t (s) I(u.a.)

0.01 s

La radiaci´ on incidente est´ a despolarizada, de mo- do que la radiaci´ on emergente del polarizador que est´ a girando est´ a linealmente polarizada y su azi- mut est´ a cambiando con el tiempo. La irradian- cia tras este polarizador ser´ a en todo caso I 0 /2.

Tras el segundo polarizador la radiaci´ on emer- gente estar´ a linealmente polarizada en la direc- ci´ on del eje de este ´ ultimo polarizador. Ahora bien en cada instante de tiempo, la orientaci´ on relativa entre ambos polarizadores est´ a cambian- do, de modo que la irradiancia que emerge de este sistema cambiar´ a (basta tener en cuenta la ley de Malus).

De manera que esto explica el hecho de que en la gr´ afica aparezcan m´ aximos y m´ınimos de irradiancia en funci´ on del tiempo. En otras palabras la irradiancia emergente vendr´ a dada por I e = ^I ₂ ⁰ cos ² (Ωt). Es preciso notar que en una vuelta completa (un giro completo del polarizador m´ ovil equivale a 2π) hay dos posiciones en las que los ejes de transmisi´ on de ambos polarizadores est´ an perpendiculares entre s´ı. Teniendo en cuenta este hecho as´ı como el dato indicado en la gr´ afica, resulta que el periodo de revoluci´ on del polarizador viene dado por T = 2 × 0.01 segundos. De esta manera la frecuencia angular de giro es Ω = ^2π _T = 314.159 rad s ⁻¹ .

3 El celo es un material birrefringente con dos l´ıneas neutras perpendiculares entre s´ı. Los ´ındices de refracci´ on a lo largo de las mismas son: n o = 1.544 y n e = 1.553. La l´ amina de celo tiene un espesor de 1 mm.

Se sit´ ua esta l´ amina entre dos polarizadores que tiene sus ejes perpendiculares entre s´ı y que forman 45 ◦ con los ejes de la l´ amina. En una pantalla situada a continuaci´ on aparecen unas l´ıneas oscuras en el espectro de transmisi´ on. Calcular las longitudes de onda desaparecidas entre 500 y 700 nm.

E

E 45

45

Y

X Z

n

1 mm

E

n

P

P

En la figura adjunta se han representado por sim- plicidad los dos polarizadores y la l´ amina de celo;

la red est´ a colocada tras P ₂ y las observaciones se

realizan en un pantalla alejada una cierta distan-

cia de la red de difracci´ on. Para resolver el pro-

blema hemos de tener en cuenta que el haz de

radiaci´ on incidente es policrom´ atico y que con-

tiene todas las longitudes de onda del intervalo

visible. Tras el primer polarizador emerger´ a un

haz de luz policrom´ atico que vibra a 45 ^o , esto es,

paralelamente al eje de transmisi´ on de P 1 . La

l´ amina retardadora introduce un desfase entre la

componente del campo incidente que vibra para-

lela al eje en el cual el ´ındice es n e y la componente que vibra paralela al eje en el cual el ´ındice es n o que

viene dada por δ = 2π/λ |n ^o − n ^e |e, siendo e = 1 × 10 ⁻³ metros. Supondremos en lo que sigue, lo cual es

evidentemente una aproximaci´ on, que la diferencia |n ^o − n ^e | no depende de la longitud de onda. Teniendo en cuenta lo anterior podemos afirmar que cada longitud de onda experimenta un desfase diferente, o sea, tras la l´ amina las diferentes radiaciones habr´ an cambiando en general su estado de polarizaci´ on. Ahora bien, pudiera ocurrir que para algunas radiaciones el desfase fuese un m´ ultiplo entero de 2π, por lo que entonces podr´ıamos considerar que esas radiaciones emergen de la l´ amina con igual estado de polarizaci´ on: estas radiaciones ser´ an aquellas para las que la l´ amina se comporta como una l´ amina de onda completa. Naturalmente estas radiaciones ser´ıan absorbidas por P 2 y por lo tanto estas ser´ıan justamente las longitudes de onda a las que se alude en el enunciado como l´ıneas oscuras. En ese caso 2π/λ |n o − n e |e = 2πm, de modo que bastar´ıa encontrar aquellos valores del n´ umero entero m que nos dan longitudes de onda dentro del intervalo especificado. Si realizamos los c´ alculos pertinentes llegamos a que m ∈ [13, 18], lo cual nos proporciona las siguientes longitudes de onda:

λ = 692.3, 642.8, 600, 562.5, 529.4, 500 nm.

4 En la figura se muestra la curva de transmisi´ on espectral de la c´ ornea.

a Determine cual de las siguientes fuentes de radiaci´ on l´ aser ser´ıa la m´ as adecuada para modificar la geometr´ıa de la c´ ornea mediante vaporizaci´ on o ablaci´ on de su superficie: Longitudes de onda de las fuentes l´ aser disponibles: λ = 2.1 µm, λ = 1.80 µm, λ = 1.61 µm, λ = 1.49 µm, λ = 1.04 µm, λ = 0.62 µm y λ = 0.19 µm. Razone la respuesta elegida.

Transmit ancia (%)

l(nm) 500

90 80 70 60 50 40 30 20 10

1000 1500 2000 2500

Para tallar la c´ ornea con una fuente l´ aser se preci- sa que la radiaci´ on incidente sea absorbida con lo cual se podr´ an volatilizar aquellas regiones sobre las que impacta el haz l´ aser. De todas las radia- ciones que se mencionan la m´ as adecuada ser´ıa la que est´ a centrada en 0.19 µm, que correspon- de a una radiaci´ on en la regi´ on del ultravioleta.

Recordemos que las resonancias electr´ onicas de los materiales suelen estar en esta regi´ on del es- pectro por lo que en este caso la incidir el haz l´ aser se podr´ a modelar la forma de la c´ ornea pa- ra conseguir el efecto deseado, que suele ser una reducci´ on de ametrop´ıa.

b Indicar el intervalo espectral en el que la c´ ornea es transparente.

En general la regi´ on de transparencia de la c´ ornea se extiende a partir de 300 nm hasta aproximadamente 1800nm, si bien presenta un pico de baja transmitancia en torno a 1500 nm que corresponde a una banda de absorci´ on. Hay otro pico de absorci´ on m´ as apreciable que el anterior en torno a 1900 nm. De lo anterior concluimos que la c´ ornea muestra en el rango del visible una aceptable transmitancia que es pr´ acticamente uniforme entre 500 y 800 nm.

c ¿Transmite la c´ ornea el infrarrojo? Razone la respuesta.

Para λ > 830 nm podemos considerar que comienza la regi´ on del infrarrojo. Tal y como puede verse en la

figura estas radiaciones se transmiten adecuadamente a excepci´ on de las bandas de absorci´ on que hemos

mencionado. Podr´ıamos decir por la forma que tiene el espectro de transmitancia que la c´ ornea tiene dos

ventanas de transmisi´ on para el infrarrojo cercano.

5 Considere el experimento de Young:

a- Determinar gr´ aficamente la posici´ on en la pantalla del m´ aximo interferencial de orden 1 y el valor de la interfranja para los tres casos propuestos, teniendo en cuenta el tama˜ no de la longitud de onda que se indica en la figura. A partir del resultado gr´ afico (no emplee f´ ormulas) obtenido comente c´ omo var´ıa la interfranja con la longitud de onda y con la separaci´ on entre las fuentes.

l

Fuente A:

Z

d D l =

X

X

D

m=0 m=1

Pantalla I

l

Fuente B:

Z

D

m=0 m=1

Pantalla d

D l =

X

X

I

l

Fuente B:

Z

D

m=0 m=1

Pantalla d

D l =

X

X

I

Para realizar el problema tal y como nos indi- can, esto es, de un modo gr´ afico hemos de te- ner en cuenta el hecho de que encontraremos un m´ aximo de interferencia en los puntos de la pan- talla en los que la diferencia de camino ´ optico sea un m´ ultiplo entero de la longitud de onda empleada (∆ = mλ 1 , con m ∈ Z). En el primer gr´ afico si trazamos desde ambos puntos emisores rayos que intercepten en la pantalla veremos que en z = 0 se tiene el m´ aximo interferencial de or- den m = 0 toda vez que en este caso se tiene que

∆ = 0. Para encontrar el m´ aximo interferencial de orden uno hemos de trazar rayos proceden- tes de ambos puntos emisores de forma que la diferencia de caminos sea λ ₁ , para lo cual ser´ a preciso medir con la regla en el dibujo.

En el segundo caso procederemos como anterior- mente pero teniendo en cuenta que λ ₂ es mayor que λ 1 . Naturalmente obtenemos el resultado es- perado de que la interfranja es mayor que en el caso de la fuente A.

Finalmente al proceder de manera similar en el

´

ultimo caso, vemos que la interfranja disminuye al aumentar la distancia que separa las fuentes emisoras.

N´ otese que no se precisa para realizar el proble-

ma m´ as que conocer la condici´ on de interferencia

constructiva y realizar los trazados de rayos co-

rrespondientes.

b- Sabiendo que la irradiancia procedente de S 1 es 10 veces mayor que la que emana de S 2 determinar el contraste del diagrama interferencial.

Si llamamos I ₁ a la irradiancia procedente de una de las fuentes, entonces la irradiancia de la otra ser´ a I ₂ = 10I ₁ . Por lo dem´ as la redistribuci´ on espacial de la energ´ıa vendr´ a dada por I = I ₁ + I ₂ + 2 √

I ₁ I ₂ cos δ.

Teniendo en cuenta que el contraste se determina como C = ^I _I ^{max −I min}

max +I min se llega f´ acilmente al resultado C = 0.5749.

6 En el siguiente pictograma se han representado parcialmente los desfases de las ondas reflejadas en una multicapa diel´ ectrica. Compl´ etelo a˜ nadiendo los desfases que falten y determine si se trata de una estructura reflejante o anti rreflejante.

l

/4n

n

n

l

/4n

l

/4n

n

l

/4n

n

n >

n

n >

n

n

l

/4n

substrato n

p 2 p p 3p 3p 5p 5p

p p

p

p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2

p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2

En la figura adjunta se han indicado en negro las fases que adquieren las ondas en los diferentes tramos de la multicapa y en rojo hemos com- pletado las fases que faltaban. N´ otese adicional- mente que en azul se han a˜ nadido desfases adi- cionales de π que tienen lugar en las reflexiones en las que se pasa de un medio de ´ındice menor a otro de ´ındice mayor (teniendo en cuenta para ello las f´ ormulas de Fresnel). De este modo es f´ acil llegar a la conclusi´ on de que las fases tota- les de las ondas son las indicadas en rojo al lado de cada rayo. As´ı se tendr´ a que todas las ondas reflejadas est´ an en fase entre ellas por lo que la multicapa es altamente reflejante: es preciso no- tar que las capas son de materiales diel´ ectricos (que de modo masivo tienen baja reflectancia) pero que dispuestos en modos de capas con los espesores adecuados podemos dise˜ nar un espejo de alta reflectancia para una cierta longitud de onda.

7 Se coloca una fuente puntual de ondas esf´ ericas (λ o = 500 nm) a 10 mm de un biprisma de Fresnel de ´ angulo α = 2 ^◦ e ´ındice n(λ _o ) = 1.45. Un observador con una pupila de di´ ametro φ _p = 3 mm se coloca tras el biprisma a 5 m de la fuente.

5 m S’

S S’

a

f =

3 mm

a- La separaci´ on entre las im´ agenes que forma el biprisma.

Teniendo en cuenta el trazado de rayos de la figura adjunta vemos que el bipris- ma proporciona dos im´ agenes virtuales de la fuente S. La separaci´ on entre ambas fuentes virtuales vendr´ a dada por d = 2L tan(δ), donde L = 10 mm y δ = α(n(λ ₀ ) − 1), resultando finalmente que d = 0.3142 mm.

b- Determinar si el observador ver´ a resueltas es- pacialmente las im´ agenes que forma el bi- prisma

Teniendo en cuenta la separaci´ on entre ambas fuentes virtuales previamente calculadas, aquellas subtienden

un ´ angulo θ _S = ^d(mm) ₅₀₀₀ = 6.28 × 10 ⁻⁵ rad. Asimismo el m´ınimo ´ angulo resoluble por el observador con la pupila suministrada viene determinado por θ R = 1.22 ^λ _φ ⁰

p = 2.03 × 10 ⁻⁴ rad, a la vista de lo cual concluimos que el observador no ver´ a resueltas ambas fuentes virtuales.

8 Una descarga el´ ectrica emite dos l´ıneas espectrales en el infrarrojo centradas en λ = 2 µm y separadas entre s´ı ∆λ = 1 nm. Se dispone de dos redes de difracci´ on de longitud L = 12 mm con una densidad de l´ıneas n ₁ = 200 l´ıneas/mm y n ₂ = 50 l´ıneas/mm, respectivamente. Determine para cada red el orden m´ as bajo que permite resolver las dos l´ıneas espectrales suponiendo que la radiaci´ on ilumina toda la extensi´ on de las redes.

El poder resolutivo espectral de la red vendr´ a dado por R = _∆λ ^λ = ^2×10 _{1 ×10} ⁻⁶ ₋₉ = 2000.

En el caso de la red n 1 si se iluminan todas las rendijas, N 1 = n 1 L = 2400 rendijas, mientras que en el caso

de la otra red se tendr´ a N ₂ = n ₂ L = 600 rendijas. Si recordamos que R = mN, siendo m el orden de difracci´on

en el que se opera, se obtiene que el m´ınimo orden de difracci´ on para la red n 1 ser´ a m 1 = 0.83 ≈ 1, mientras

que para la otra red ser´ a m 2 = 3.3 ≈ 4.