b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1. (Solución: b) 2 e

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(1)

CÁLCULO INTEGRAL - SELECTIVIDAD CyL

JUNIO 2004

1. Sea la función y=2e −2|x| .

a) Estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. (1,5 puntos )

b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas x= 1 y x= -1. (Solución: b) 2 e

2

−2

e

2

) ( 1,5 puntos)

2. De todas las primitivas de la función f x ( ) 2 tg(x) sec ( ) 

2

x , hállese la que pasa por el punto P( , 1).

4

(Solución: F ( x )=tg

2

x

) (1 punto)

3. Sea f (x )=x 3 + ax 2 + bx+c . Determínense a, b y c de modo que f (x ) tenga un extremo relativo en x=0 , la recta tangente a la gráfica de f (x ) en x=1 sea paralela a la recta

y−4 x=0 , y el área comprendida por la gráfica de f (x ) , el eje OX y las rectas x=0 , x=1 , sea igual a 1. (Solución: f ( x )=x

3

+ 1

2 x

2

+ 7

12 ) ( 3 puntos )

4. Calcúlese

( x 1)

2

x dx

 

(Solución:

x

2

x

5 − 4 xx

3 +2 √ x +k )

SEPTIEMBRE 2004

5. Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas

y=6 x−x 2 e y=x 2 −2 x . (Solución: 64/3 u

2

) (1 punto)

6. a) Dada la función f : 1,   e R definida por f x

x x

( )   1 ln

, determínese de entre todas las rectas

tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta. ( 2 puntos )

b) Calcúlese una función primitiva de f x ( ) que pase por el punto P(e, 2) . (Solución: b) F ( x )=(1+x )lnx−x +1 ) (1 punto)

7. Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y= 3 x-x

2

, y= 2 x- 2 . ( 1 punto)

(Solución: 9/2 u

2

)

JUNIO 2005

8. a) Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f (x )=e 1− x

2

, sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. (2 puntos)

b) Esbócese la gráfica de f y calcúlese ∫

13

xf ( x )dx . (Solución: e

8

−1

2 e

8

) (1 punto)

(2)

9. Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y=x 2 , y=

x 2

2 , y=2 x .

(Solución: 4 u

2

)

SEPTIEMBRE 2005

10. a) Estúdiese la derivabilidad de

f (x )= { ln(1+x 2 ), x>0

x 2 , x≤0 , sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos)

b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f (x ) y las rectas x=−1 , x=1 , y=0 . (1,25 puntos)

(Solución: b) ln 2− 5 3 + π

2 u

2

)

11. Sea P(a, sen a ) un punto de la gráfica de la función f (x )=sen( x) en el intervalo [ 0,π ] . Sea r P

la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A P el área de la región determinada por las rectas r P , x=0 , x=π , y=0 .

Calcúlese el punto P para el cual el área A P es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta r P

se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y π ) (Solución: P( π

2 ,1) ) (3 puntos)

12. Calcúlese ∫ 1

x 2 +4 x +13 dx

(Solución: 1

3 arctg ( x +2 3 ) + k )

JUNIO 2006

13. Hállese el área del recinto limitado por la parábola y=−x 2 y la recta y=2 x−3 . (1 punto)

(Solución: 32/3 u

2

)

14. Dada la función f (x )= x −1

x+1 , se pide:

a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f . Esbócese su gráfica. (2 puntos)

b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x=0, y=0 . (1 punto)

(Solución: 32/3 u

2

)

SEPTIEMBRE 2006

15. Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y=x

3

−3 x

2

+2 x y por la recta tangente a dicha curva en el punto x = 0. (Solución: 27/4 u

2

) (1 punto)

16. Sea f ( x )= 4−2 x

2

x

a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos.

Esbócese su gráfica. (1,75 puntos)

(3)

b) Calcúlese ∫

1

2

f (x ) ln ⁡(x)dx (Solución: 2 ln

2

2−ln 2+ 1 2 ) (1,25 puntos)

JUNIO 2007

17. Sea la función f ( x )= x x

2

−1

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad,los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

b) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x =-4, x =-2. (1 punto)

(Solución: b) 1

2 ln 5u

2

)

18. Hallar el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones: y=x

2

4 , y=3 x−6 (1 punto) (Solución: 1/6 u

2

)

SEPTIEMBRE 2007

19. Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y=ln x , el eje OX y las rectas x=1 y x=2 . (Solución: ( 2 ln 2 – 1) u

2

) (1 punto)

20. Sea la función

f (x )= x

x 2 + 4 . Se pide hallar:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas.

Esbozar su gráfica. (2 puntos)

b) El área de la región limitada por la gráfica de f , el eje OX y las rectas x=−2, x=2 . (1 punto)

(Solución: b) ln 2 u

2

)

JUNIO 2008

21.

Sea f ( x )= ln x

x

2

con x ( 0 ,+∞ ) Se pide:

a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas.

Esbozar su gráfica. (2 puntos)

b) Calcular ∫ f (x ) dx (1 punto) (Solución: −1

x lnx− 1

x + k = −1

x (lnx +1)+k )

22. Dada f ( x )= { x sen x

2

−2 x si x <0 x

2

si x ≥ 0

se pide:

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f (x) . (2 puntos)

b) Calcular ∫

π

2 π

x

2

f ( x ) dx (Solución: -1 )

(4)

SEPTIEMBRE 2008

23. Calcular ∫ x (x+1) dx (Solución: ln ( x−1)−lnx+k=ln x−1 x +k ) 24. Calcular ∫ dx

9−(x−1)

2

(Solución arcsen ( x−1 3 ) +C )

JUNIO 2009

25. Sea la función f (x) = | x

2

−x−2 |

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica. (1,5 puntos)

b) Demostrar que no es derivable en x =2 .(0,5 puntos)

c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectasx = -2, x =0. (Solución:

c ¿ 3 u

2

)

26. Calcular ∫ 1

1−x

2

dx (Solución: 1

2 ln (1−x )+ 1

2 ln (1+ x )+k=ln1−x

2

+k )

27. Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de lafunción y=−x

2

+a

4

y el eje OX es de 256

3 unidades de superficie. (1 punto) (Solución: a=±2 )

SEPTIEMBRE 2009

28. Sea la función f ( x )= x

3

x

2

+1

a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos,intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar sugráfica. (2 puntos)

b) Calcular el valor de ∫

0 1

f (x ) dx (Solución: b ¿ 1

2 (1−ln 2) ) (1 punto)

29. Sea la función f (x) =sen( x) + cos(x) , definida en el intervalo [ 0,2 π ] 0,2  . a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos.

Esbozar su gráfica. (2 puntos)

b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuacionesx =0 , x= π 4 , e y =2 . (1 punto) (Solución: b ¿ π

2 −1 u

2

) 30. Calcular ∫ (1+x ) dx

x (Solución: 2 arctgx+k )

JUNIO 2010

(5)

31. Dada la función f ( x )= x +1

x−1 se pide:

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, y las asíntotas. (1,5

puntos)

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función g ( x)= f (x )

x el eje OX y las rectas x=2 , x=4. (Solución: b) ln(9/2) u

2

) (1 punto)

32. Calcular la siguiente integral ∫

−1 2

| x

2

−3 x+2 | dx (Solución: 29/6 )

33. a) Dadas las funciones f(x) = ln(x) y g(x) = 1 – 2x, hallar el área del recinto plano limitado por las rectas x = 1, x = 2 y las gráficas de f(x) y g(x). (Solución: 2ln2 +1 u

2

) (2 puntos)

b) Dar un ejemplo de función continua en un punto y que no sea derivable en él. (0,5 puntos)

34. a) Si el término independiente de un polinomio p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0,3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. (1,5 puntos)

b) Calcular ∫ cosx

1+sen

2

x dx (1 punto) (Solución: arctg ( senx ) +k )

SEPTIEMBRE 2010

35. Calcular ∫

1

e

1+ln ( x

3

) +(lnx)

2

x (1+lnx) dx (Solución: 5

2 − ln 2 ) 36. Calcular ∫ ( x+3)e

x+2

dx . (1,5 puntos) (Solución: ( x+2)e

x+2

+ k ) 37. Determinar la función f tal que f ´ ( x )= x

4

+ x+1

x

2

+ x y con f(1)=2 (Solución: 1

3 x

3

− 1

2 x

2

+ x +ln x x+1 + 7

6 −ln 2 )

38. Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y

2

= x y la recta de ecuación y = x-2. ( 2,5 puntos)

(Solución: 9/2 u

2

)

JUNIO 2011

39. Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f ( x )=x

3

−x +1 y la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1(Solución: 27/4 u

2

)

40. Calcular ∫ lnx

x

2

dx (Solución: −1

x ( ln | x | + 1 ) + k )

SEPTIEMBRE 2011

41. Calcular el área del recinto delimitado en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y=lnx y las

rectas y =0, y = 1, x=0(Solución: e - 1 u

2

)

(6)

42. Hallar el valor de m para que el área delimitada, en el primer cuadrante, por la función y = 4x

3

y la recta y = mx sea de 9 unidades cuadradas. (Solución: m =12 )

JUNIO 2012

43. Sea f (t )= 1 1+e

t

a) Calcular ∫ f (t ) dt . (1,5 puntos)

b) Sea g ( x)=

0 x

f (t )dt Calcular lim

x→ 0

g(x )

x (1 punto)

(Solución: a ¿ ln e

t

1+e

t

+ k b ¿ 1 2 )

44. Calcular ∫ x

2

1

+ 2 x+3 dx (Solución: √ 2

2 arctg x +1

2 + k )

SEPTIEMBRE 2012

45. Calcular ∫ sen 2 x

3+sen

2

x dx (Solución: ln ( 3+sen

2

x ) +k )

46. Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x=1 ,x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la función f ( x )= | x

2

−4 | y el eje OX. (Solución: 37/3 u

2

)

JUNIO 2013

47. Sea la función f ( x )= { a x+bx si0 ≤ x ≤ 1

c lnx si1<x . Hallar a, b y c sabiendo que f (x) es continua en (0,  ) , la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x= 1

16 es paralela a la recta y = -4x +3, y se cumple que ∫

1 e

f (x ) dx=2 (2,5 puntos) (Solución: a = 4, b=-4, c=2)

48. Sea la función f ( x )= x−2 x +2

a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento. (1 punto)

b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y=1 , la gráfica de la función f (x) , el eje OY y la recta x=2 ; calcular el área de dicho recinto. (1,5 puntos)

(Solución: a ¿ A . H . y=1 ; A .V . x=−2 b ¿ A=4 ln2 u

2

) SEPTIEMBRE 2013

49. Calcular ∫ x +1+1 x +1 dx (Solución: 2( √ x+1+lnx +1)+k )

(7)

50. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f ( x )= 1

x

2

−x−2 . (1 punto)

b) Calcular ∫ 1

x

2

x−2 dx

(Solución: a ¿ A . H . y=0 ; A . V . x=2, x=−1 b ¿ I =ln

3

x−2 x+1 + k )

JUNIO 2014

51. Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)

(Solución: f ( x )=−24 x

3

+ 21 x

2

+2 x +1 ) 52. Sea la función f ( x ) = e

x

(1+ e

x

)

2

a. Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto)

b. Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y la rectas x = 0 y x = ln5. (1,5 puntos)

(Solución: a ¿ P ( o , 1 4 ) , R . T . y= 1

4 b ¿ A= 1 3 u

2

)

SEPTIEMBRE 2014

53. a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función f ( x )=x

2

x +4 es paralela a la recta de ecuación y=5 x−7 (1 punto)

b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y=2 x

2

y la recta y=2 x+4 (1,5 puntos)

(Solución: a) Punto (3,10) b) A = 9 u

2

)

54. a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Hallar la primitiva de f ( x )=x

2

lnx cuya gráfica pasa por el punto (1 , 2) (1,5 puntos)

(Solución: b) F ( x )= x

3

lnx 3 − x

3

9 + 19 9 ) JUNIO 2015

55. a) Sea g(x) una función continua y derivable en toda la recta real tal que g(0)=0 y g(2)=2 . Probar que existe algún punto c del intervalo (0,2) tal que g'(c)=1. (1 punto)

b) Hallar la función f (x) que cumple f

'

( x )=xln(x

2

+1) y f (0) =1. (1,5 puntos)

(Solución: a) Aplicar teorema de Lagrange, b)

x

(¿¿ 2+1)ln ( x

2

+1 ) − x

2

2 + 1

f ( x ) =¿

)

56. a) Calcular lim

x→ 0

( 1 x ln ⁡(1+x) 1 ) (1punto)

(8)

b) Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f ( x )= 1

x , g (x )= 1 x

2

y la recta x = e . (1,5 puntos)

(Solución: a) -1/2 , b) A= 1/e u

2

)

SEPTIEMBRE 2015

57. a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Hallar la primitiva de la función f ( x )=x

2

lnx cuya gráfica pasa por el punto (1,0) (1,5 puntos)

(Solución: b) F ( x )= 3 x

3

lnx−x

3

+ 1

9 )

58. a) Calcular lim

x→ 0

( cosx )

1

x2

. (1 punto)

b) Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones cos x y senx y las rectas x= 0 y x = π/2 (1,5 puntos)

(Solución: a) -1/2 , b) A=22−2 u

2

) JUNIO 2016

59. a) Calcular x → 0

+¿

( 1 x e

x

1 −1 )

lim

¿

¿

(1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x )=1−x

2

y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa x=1 y x=−1 (1,5 puntos)

(Solución: a) ½ ; b) A=2/3 u

2

) 60. a) Calcular x → 0

+¿

( 1+x

2

)

1/ x

lim

¿

¿ . (1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x ) =lnx , el eje OX y la recta x=3 . (1,5 puntos)

(Solución: a) 1 , b) A= 3 ln3 - 2 u

2

) SEPTIEMBRE 2016

61. a) Calcular e

1 x

x (¿−1) x → 0

+¿

¿

lim

¿

¿

. (1 punto) (Solución: +∞ )

b) Consideremos la función f ( x )=x

3

+m x

2

+1 con m≥ 0 . Calcular el valor de m para que el área

del recinto limitado por la gráfica de la función f ( x ) , el eje OX y las rectas x=0 y x=2

sea 10. (1,5 puntos) (Solución: m=3 /2 )

(9)

62. E4.- Se considera la parábola y=−x

2

+ 2 x .

a)Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OX. (0,75 puntos)

(Solución: 2 x − y=0 , 2 x + y −4=0 )

b)Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a). (1,75 puntos) (Solución: 2

3 u

2

)

JUNIO 2017

63. a)Calcular la recta tangente a la curva f ( x )=4 e

x−1

en el punto (1 , f (1)) . (1 punto) (Solución: � = 4x) b)Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función f ( x )=x

3

y

la recta y=4 x . (1,25 puntos) (Solución: � = 4 u

2

)

64. E4.- Sea f ( x )= { ( a+lnx si x >1 x −1)

2

si x ≤ 1

a)Encontrar a para que la función sea continua. (1 punto) (Solución: � = 0)

b)Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f(x) y las rectas x=1 , y=1. (1,25 puntos)

(Solución: � = 2 /3 u

2

) SEPTIEMBRE 2017 65. a) Calcular lim

x→ 0

e

x

e

(x2)

x . (1 punto) (Solución: 1)

b) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f ( x )=−x

2

, g ( x )=x

2

−2 . (1,25 puntos) (Solución: � = 8 /3 u

2

)

66. a)Calcular lim

x→ 0

xe

x

senx

x

2

(1,25 puntos) (Solución: 1)

b)Calcular ∫ lnx dx . (1 punto) (Solución: F(x)= x (lnx -1) +k )

JUNIO 2018

67. E4.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(�) = � cos � y el eje de las �, cuando � pertenece al intervalo [0, 𝜋/2 ]. (Solución: π −2

2 u

2

)

(10)

68. E4.- b) Calcular x ln ¿

¿

¿ 2

¿ ¿

¿

(Solución: ln

3

x 3 +C )

JULIO 2018

69. E4.- Sea la función �(�) = sen �

a) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función (�) en los puntos � = 0 y � = 𝜋. Encontrar el punto en que se cortan ambas rectas tangentes. (1 punto)

b) Hallar el área comprendida entre la gráfica de f(�) y las rectas de ecuaciones: y = � e � = −� + 𝜋. (1 punto)

(Solución: a) � = � e � = −� + 𝜋 b) π

2

4 −2 u

2

)

70. E4.- b) Encontrar el área del recinto limitado por las funciones f ( x ) = | x | −1 y g ( x)=1−x

2

(Solución: b) 7

3 u

2

) JUNIO 2019

71. Calcular el área encerrada por las gráficas de la funciones f ( x ) = 4 x y de g ( x)=x

3

en el intervalo [ 0,2 ] , probando anteriormente que en dicho intervalo f ≥ g . (Solución: 4 u

2

)

72. Sea f (x) = 2 x +3

x

2

+3 x+1 . Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de (�), el eje 𝑂X y las rectas �=0 � �=2. (Solución: ln 11u

2

)

JULIO 2019

73. Calcular �, siendo �>1, para que el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f(�)=x , g(�)=�x y �=1 sea 1. (Solución: a=3 )

74. Determínense los valores de � y de � para los cuales la función definida por:

f (�)= { a+cosx si x ≤ 0

x

2

2bx +1 si x>0 , es continua y verifica que ∫

0 1

f (x ) dx= 1

3 (2 puntos)

(Solución: a=0 , b = 1)

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