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Teorema de Tales

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Academic year: 2021

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UNIDAD 6 La semejanza y sus aplicaciones

Pág. 1 de 3

4. Ampliación teórica: teorema de Tales

Rectas paralelas que cortan a otras dos

El siguiente teorema generaliza estos resultados:

Teorema de Tales

Las rectas a, b y c son paralelas y cortan a las rectas r y s.

Si los segmentos AB y BC son iguales, entonces los seg- mentos A'B' y B'C' son iguales.

AB = — —

BC ò

A'B' =B'C'

También aquí las rectas a, b y c son paralelas y cortan a las rectas r y s. El segmento AB es doble que el BC. Por tan- to, A'B' es doble que B'C'.

AB = 2 · — —

BC ò

A'B' = 2 ·B'C'

C

C A

A

B

B C' A'

s

s r

r

a

a

b

b c

c B'

C'

A' B'

Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales:

=

También ocurre lo recíproco: si los segmentos AB y BC son proporcionales a A' B' y B'C', y las rectas a y b son parale- las, entonces la recta c es paralela a ellas.

A'B'B'C'ABBC

C

A

B

C' A'

s r

a

b

c

B'

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UNIDAD 6 La semejanza y sus aplicaciones

Pág. 2 de 3

4. Ampliación teórica: teorema de Tales

Aplicaciones de este teorema

1. Tomando medidas sobre este dibujo, vemos que:

= 2,3 cm

= 1,5 cm

= 2,4 cm

Sin tomar medidas, podemos averiguar la longitud de A'B'.

Puesto que las rectas a, b y c son paralelas, los segmentos que determinan en r y s son proporcionales.

Por tanto:

= 8 = 8 = = 3,68 cm

El segmento A'B' mide 3,68 cm.

2. Para calcular = x en esta figura, se puede aplicar el teorema de Tales.

Para aplicar el teorema de Tales necesitamos, al menos, tres rectas paralelas. Las rectas b y c lo son. La ter- cera es la que corta a las dos rectas r y s en el mismo punto A.

Por tanto:

= 8 = 8 x = 4 · 1,5 = 2,4 cm

2,5 4

x 2,5 1,5 A'B'

B'C' AB

BC

C

A

b c

B

C' s

1,5 cm

4 cm

x 2,5 cm

r

B'

B'C'

2,3 · 2,4 A'B' 1,5

A'B' 2,4 2,3 1,5 A'B'

B'C' AB

BC

C

A

a b

c B

C' A'

s r

B'

B'C' BC

AB

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UNIDAD 6 La semejanza y sus aplicaciones

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4. Ampliación teórica: teorema de Tales

Demostración

Para demostrar que esta propiedad es cierta, se ha de probar que si dos triángulos están en posición de Tales, en- tonces sus ángulos son respectivamente iguales y sus lados proporcionales.

• Sus ángulos son iguales:

El ángulo A

ì

es común a los dos triángulos.

B

ì

' = B

ì

y C

ì

'= C

ì

por ser ángulos correspondientes entre paralelas.

• Sus lados son proporcionales:

Por lo tanto, se llega a demostrar lo que se quería, = = . c c' b b' a a'

A^

B^ B^'

C^' r

C^ s

Propiedad

Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.

a'

a B'

A C'

B

C

Aplicando el teorema de Tales: = Trazando por C' una paralela a AB y aplicando nue- vamente el teorema de Tales, se obtiene = b .

b' a a'

A b' C'

C B

B'

b

a' a

b b' c c'

A b' C' C

B B'

b c'

c

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