LICEO BICENTENARIO – MOLINA Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez
LENGUAJE ALGEBRAICO
( Metalenguaje )
Es esencial, para tener un buen manejo algebraico, el saber la equivalencia entre el lenguaje verbal cotidiano y el lenguaje algebraico.
A continuación tenemos un listado de
palabras y frases con su respectivo significado algebraico, cuyo aprendizaje es fundamental para su posterior aplicación, en especial, en el planteamiento de problemas verbales.
Más Suma Adición
Agregar
+
Añadir Aumentar Menos Diferencia
Disminuido
–
ExcesoRestar
Multiplicación De
Del
Veces
·
Producto Por factor
División
Cociente
:
Razón Es a
Igual Es
Da Resulta
Se obtiene Equivale
Un número cualquiera ---> x
Antecesor de un número cualquiera ---> x - 1 Sucesor de un número cualquiera ---> x + 1 El cuadrado de un número cualquiera ---> x2 El cubo de un número cualquiera ---> x3 El doble de un número, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2 ---> 2x
El triple de un número, triplo, 3 veces, múltiplo de 3 ---> 3x
El cuádruplo, cuadruple de un número ---> 4x El quíntuplo ---> 5x
La mitad de un número --->
2
x o x 2 1
La tercera parte de un número ---->
3
x o x 3 1
Un número impar cualquiera ---> 2x+1 ó 2x - 1 La semi-suma de dos números --->
2 y x La semi-diferencia de dos números --->
2 y x Números consecutivos cualesquiera ---> x, x+1, x+2, x+3, x+4, ...
Números pares consecutivos ---> 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8 ...
Números impares consecutivos ---> 2x – 1, 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9 ...
Inverso multiplicativo (recíproco) de un número cualquiera --->
x 1
Un número de dos dígitos ---> 10x+y
Ejemplos:
Escribir en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas:
1) x - 4
"La diferencia entre un número cualquiera y 4"
2) 2x + 3y
" Al doble de un número agregarle el triple de otro número"
3) 5x – y
"El exceso ( o la diferencia ) del quíntuplo de un número sobre otro número cualquiera"
4) x y 43
"A la cuarta parte de un número agregarle el triple de otro número"
5) (x – 3)2
"El cuadrado de la diferencia entre un número cualquiera y 3"
6) x2 – 3
"La diferencia entre el cuadrado de un número y 3"
7) 4
3 2x y
"La cuarta parte de la diferencia entre el doble de un número y el triple de otro número"
8) 3
) (xy 2
"La tercera parte del cuadrado de la suma entre dos números"
9)
4 x x
"A un número cualquiera añadirle su cuarta parte"
10) (5x)2
"El cuadrado del quíntuplo de un número"
=
LICEO BICENTENARIO – MOLINA Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez 11) 5x2
"El quíntuplo del cuadrado de un número"
12) (2x)3 – 4y2
"El exceso del cubo del doble de un número sobre el cuádruplo del cuadrado de otro número"
13) 5
) 2 ( 3x2 y 3
“La quinta parte de la diferencia entre el triple del cuadrado de un número y el cubo del doble de otro número”
Ahora el proceso inverso y que es el que más nos ayudará a resolver problemas verbales
.1. El doble de un número disminuido en el triple de otro número:
2x – 3y
2. Un número aumentado en su mitad:
2 xx
3. El exceso de un número sobre 3:
x – 3
4. El cuádruple del exceso de un número sobre 8: 4(x – 8)
5. El exceso del cuádruple de un número sobre 8:
4x - 8
6. El doble del cubo de un número: 2x3 7. El cubo del cuádruple de un número: (4x)3 8. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de un número y la tercera parte del cuadrado de otro número:
3 4
2
3 y
x
9. La mitad del exceso del cuadrado del triple de un número sobre el doble del cubo de otro número:
2
2 ) 3
( x 2 y3
10. Un múltiplo de siete cualquiera: 7x 11. La suma de dos múltiplos de cinco consecutivos : 5x + (5x+ 5)
LENGUAJE ALGEBRAICO
Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:
1.
2 b
a ………
2.
2 b
a ………
3.
2
ab
………4.
b
a
………
5.
2 n 1
………6.
2 7
a
………7.
n5
n5
………8.
n10
2………
9.
n 1
3………10.
4 n 8
………11.
5 n
2 n 6
………..12.
3n2
25………13. 1 1
3 2
x
x ………
14. , 3
3 1
2
n n
n ………
15.
5 x 1 9
………
16.
x 5 12
………
17. 2 6
5
x ………
18.
ab
ab
………RESOLUCIÓN DE ROBLEMAS UTILIZANDO ECUACIONES
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la resolución de problemas.
Para resolver un problema utilizando ecuaciones, es recomendable considerar los siguientes pasos:
1. Leer comprensivamente el enunciado.
2. Traducir el enunciado a lengusje algebraico.
3. Construir y resolver la ecuación correspondiente.
4. Verificar que la solución satisfaga la(s) condiciones propuestas en el enunciado del problema.
5. Redactar la solución.
Ejemplos
:1. ¿Qué edad tiene Rosa si su doble disminuida en 12, equivale a su edad aumentada en 3?
LICEO BICENTENARIO – MOLINA Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez Solución:
Traducción:
Edad de Rosa ……….. x El doble de su edad …………..2x Disminuida ………. – Equivale ………. = Aumentada ………. +
Ecuación:
2x – 12 = x + 3 2x – x = 3 + 12
x = 15 Verificación:
2 ∙15 – 12 = 15 + 3 30 – 12 = 18 18 = 18 Redacción de la respuesta.
∴ Rosa tiene 15 años
2. Un tronco de 18 metros se corta en dos partes, tales que una es 10 metros más larga que la otra. ¿Cuánto mide la parte mayor?
Solución:
A una de las partes la representamos por x.
Como la otra es 10 metros más larga, su representación será x + 10. Entonces:
x + x + 10 = 18 2x = 8
x = 4
∴ La parte mayor mide 14 metros 3. Luis tiene $300 más que Rodrigo. Si entre ambos juntan $1.200, ¿cuál es el capital de Luis?
Solución:
Capital de Rodrigo …….. x Capital de Luis ………… x + 300.
Ecuación:
x + x + 300 = 1200 2x = 900
x = 450 ( Capital de Rodrigo) ∴ El capital de Luis es $750.
4. El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ?
Al sumar todos los lados del rectángulo e igualar al perímetro dado se obtiene:
4x + 22 = 58 4x = 36 x = 9
∴ Los lados del jardín miden 9 m.y 20 m.
Problemas
Resolver los siguientes problemas utilizando ecuaciones:
i) Un número se aumenta en 7 y se obtiene 15.
¿Cuál es el doble del número?
ii) Un número se disminuye en 5 y se obtiene 9. Hallar el número
iii) Si al doble de la edad de Andrés se le suma 5, se obtiene 23. ¿Qué edad tiene?
iv) ¿Qué edad tiene Catalina si su cuádruplo aumentado en 10 es igual a 18?
v) Calcular el dinero que tiene Fernando si el triple de lo que posee disminuido en $80 equivale a $700.
vi) ¿Qué número es aquél cuyo quíntuple disminuido en 10 es igual a su cuádruple aumentado en 2?
vii) Si al número de personas que hay en un grupo se agregan 7 quedan 21. ¿Cuántas son?
viii) La suma de dos números enteros consecutivos es igual a 31. ¿Cuál es el mayor?
ix) La suma de tres números pares consecutivos es igual a 42. ¿Cuál es el mayor?
x) La suma de tres números impares consecutivos da 39. ¿Cuál es el mediano?
xi) Una persona camina 16 kilómetros en 3 días. Si el segundo día camina el doble que en el primero y el tercer día, lo mismo que en el primero. ¿Cuánto caminó cada día?
xii) Repartir $420 de modo que una reciba
$60 más que la otra.
xiii) Entre Julio y Rafael juntan $1.550.
¿Cuánto tiene cada uno si Julio tiene $70 menos que Rafael?
xiv) Javier tiene 6 años más que Hernán y 25 menos que María. Siempre los tres suman 64.
¿Qué edad tiene cada uno?
xv) Pedro tiene 21 años más que su hijo y 23 menos que su padre. ¿Qué edad tiene cada uno si entre los tres suman 95?
xvi) Un padre y un hijo tienen en total 49 años. La edad del padre es de 5 años más que el triple de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del padre?
xvii) Un reloj y una calculadora cuestan en conjunto $6.000. Si el reloj cuesta el triple de lo que cuesta la calculadora, hallar el precio de cada artículo.
Solucionario
i) 8 ii) 14 iii) 9
iv) 2 v) $260 vi) 12
vii) 14 viii) 16 ix) 16
x) 13 xi) 4 ; 8 ; 4 xii) 240 ; 180 xiii) 810 ;740 xiv) 15 ; 9 ; 40 xv) 31;10; 54 xvi) 38 xvii)1500 ; 4500
x x+11
x
x+11
