Preparando la selectividad
PRUEBA nº3
.Ver enunciados
Ver Soluciones Opción A Ver Soluciones Opción B
Se elegirá el ejercicio A o el ejercicio B, del que se harán los TRES problemas propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para la realización del examen. Se prohíbe su utilización indebida (para guardar fórmulas en memoria).
En todos los ejercicios, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: OPCIÓN A
A1. Sean las matrices A=
(
2 33 1)
y B=(
1 0 1 −5)
,a) Calcular las matrices C y D, sabiendo que AC=BD=I, siendo I la matriz identidad de orden 2. (5 puntos)
b) Discutir y resolver el sistema dado por
(
C−1−D−1)
·(
x y)
=(
1
2
)
siendo C y D las matrices indicadas en el apartado anterior.(5 puntos)A2. Un comerciante tiene x garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de de 10 litros de aceite cada una y x botellas de 1 litro de aceite cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros más que el primer comerciante. Se sabe que los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litrosl de aceite. Averiguar razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno. (10 puntos).
A3. Sea la funciónf(x) = x (x−1)2 a) Calcula sus asíntotas.
b) Calcula su extremos y puntos de inflexión.
c) Represéntala gráficamente (basándote en los resultados anteriores y cualquier otro que puedas necesitar).
OPCIÓN B
B1. Sea el triángulo de vértices A(1, a), B(5, b) y C(3, c). Se sabe que las ordenadas de sus tres vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otros dos y que b y c son números naturales consecutivos, siendo c >b.
a) Calcula a, b y c. (5 puntos)
b) Si el triángulo anterior representa para a=1, b=2 y c= 6 la fronterra de la región factible correspondiente a un problema de programación lineal con función objetivo f(x, y) = 2x + y, determinar razonadamente los puntos en los que dicha función alcanza su máximo. (5 puntos)
B2. Dada la matriz A=
(
1 34 2
)
.a) Halla su inversa. (3puntos).
b) Resuelve la ecuación X·A2 + 5A =
(
6 810 −20
)
(4 puntos).c)
Dada una matriz cuadrada B de orden 2, obtén razonadamente el determinante de B-1, de Bt , de B2y de 5B sabiendo que det(B) = 4. (3 puntos).
B3. El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C(q) = 3q2 + 5q + 75 dólares. Se define coste medio por unidad como el cociente Cq(q). SE pide:
a) ¿En qué nivel de producción será menor el coste medio por unidad? Razonar la respuesta.(6 puntos) b) ¿Tiene la función coste medio por unidad puntos de inflexión? Razonar la respuesta. (4 puntos)
SOLUCIONES: OPCIÓN A
A1. Sean las matrices A=
(
2 33 1)
y B=(
11 −05)
,a) Calcular las matrices C y D, sabiendo que AC=BD=I, siendo I la matriz identidad de orden 2. (5 puntos)
b) Discutir y resolver el sistema dado por
(
C−1−D−1)
·(
x y)
=(
1
2
)
siendo C y D las matrices indicadas en el apartado anterior.(5 puntos)a) Si A · C=I → A
⏟
−1· AI
·C=A−1·I →
C
=A−1; Calculamos la matriz inversa de A:(
2 3 3 1∣
1 0 0 1)
F13·F1−2· F2→
(
2 3 0 7∣
1 03 −2)
7· F1−3· F2 F2→
(
14 0 0 7∣
−2 6 3 −2)
→
(
1 0 0 1∣
−1/7 3/7 3/7 −2/7)
C
=(
−1/7 3/7 3/7 −2/7) Análogamente: Si B ·D=I → B⏟
−1·B I· D=B−1·I →
D
=B−1; Calculamos la matriz inversa de B:(
1 0 1 −5∣
1 0 0 1)
F1F2−F1→
(
1 0 0 −5∣
−1 0 −1 1)
F1 F2−F1→
(
1 0 0 1∣
−1 0 1/5 −1/5)
;D
=(
−1 0 1/5 −1/5) b) Dado el sistema(
C−1−D−1)
·(
x y)
=(
1 2)
→(
A−B)
·(
x y)
=(
1 2)
→[
(
2 33 1)
−(
11 −05)
]
·(
xy)
=(
12)
→(
1 3 2 6)
·(
xy)
=(
1 2)
→(
x+3y 2x+6y)
=(
1 2)
→ x+3y=1 2x+6y=2}
→ x=1−3λ y=λ}
λ ∈ℝ. Es Compatible Indeterminado.A2. Un comerciante tiene x garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de de 10 litros de aceite cada una y x botellas de 1 litro de aceite cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros más que el primer comerciante. Se sabe que los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litrosl de aceite. Averiguar razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno. (10 puntos).
a)
Comerciante 1º Comerciante 2º Garrafas de 10 litros x y
Botellas de 1 litro y x
TOTAL (litros) 10 x + y 10y +x
Las incógnitas x e y, dado que son nº de botellas ó de garrafas, han de tomar valores NATURALES. Si El 2º tiene 9 litros más que el 1º: 10x+y + 9 = 10y + x → 9y – 9x = 9 → y – x = 1 → y= x + 1
Por otra parte: 30< 10x+y < 50
30 <x+10y < 50
}
→ 30 < 10x+(x+1) < 50 30<x+10·(x+1) < 50}
→ 29< 11x < 49 20<11 x < 40}
→ 29/11< x < 49/11 20/11 <x < 40/11}
→ 2,6< x < 4,5 1,8 <x < 3,6}
→ 2,6< x < 3,6→ Como x, y ∈N x= 3 e y= 4SOLUCIÓN: Comerciante 1º Comerciante 2º Garrafas de 10 litros 3 4
Botellas de 1 litro 4 3
A3. Sea la funciónf(x) = x (x−1)2 a) Calcula sus asíntotas.
b) Calcula su extremos y puntos de inflexión.
c) Represéntala gráficamente (basándote en los resultados anteriores y cualquier otro que puedas necesitar).
En primer lugar el dominio d ella función: Dom f = { x ∈ ℝ / ( - )x 1 2 ≠ }= ℝ – { }0 1
a) Cálculo de las asíntotas:
A. Verticales: Recta de ecuación
x= 1
ya que límx→1 x (x−1)2= ± ∞ Posición: lím x→1+ x
(x−1)2= +∞ A la derecha, hacia arriba.
lím
x→1
-x
(x−1)2= +∞ A la izquierda, hacia arriba.
A. Horizontales: Recta de ecuación
y= 0
ya que límx→ ∞
x
(x−1)2=0∈ℝ
Posición: calculamos la resta f(x) – 0 = x
(x−1)2
si x →+∞ f(x)−0= x
(x−1)2>0. A la derecha, por encima de la asíntota.
si x →−∞ f(x)−0= x
(x−1)2<0. A la izquierda, por debajo de la asíntota.
No Hay Asíntotas oblicuas.
b) Cálculo de las derivadas de la función f(x) = x (x−1)2 1ª derivada: f '(x) = 1·(x−1) 2 −x ·2·(x−1) (x−1)4 = 1·(x−1)2 1−x·2·(x−1) (x−1)4 3 = (x−1)−x·2 (x−1)3 = −1−x (x−1)3 =f '(x) 2ª derivada: f ''(x) = −1·(x−1) 3 −(−1−x)·3·(x−1)2 (x−1)6 = −1·(x−1)31−(−1−x)·3·(x−1) (x−1)64 = −1·(x−1)−(−1−x)· 3 (x−1)4 = −x+1+3+3x (x−1)4 = 2x+4 (x−1)4 =f ''(x)
Cálculo de los extremos:
Condición NECESARIA f '(x)= 0; −1−x
(x−1)3
=
?
0; - 1 – x = 0 ; x = – 1 puede ser un extremo.
-∞ -1 1 +∞
f '(x)= −1−x
(x−1)3 ¿+ ó –?
–
0+
No–
f(x)= (x−x1)2 ¿ ↑ ó ↓ ?↘
-1/4↗
No↘
DECRECIENTE Mín CRECIENTE DECRECIENTE Presenta un Mínimo Relativo en x=-1; en el punto P(-1, -1/4).
Cálculo de los Puntos de Inflexión:
f ''(x) = 2x+4 (x−1)4
=
?
-∞ -2 1 +∞
f ''(x)= 2x+4
(x−1)4 ¿+ ó –?
–
0+
No+
f(x)= (x−x1)2 ¿∪ ∩ó ?
∩
-2/9∪
No∪
SOLUCIONES OPCIÓN B
B1. Sea el triángulo de vértices A(1, a), B(5, b) y C(3, c). Se sabe que las ordenadas de sus tres vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otros dos y que b y c son números naturales consecutivos, siendo c >b.
a) Calcula a, b y c. (5 puntos)
b) Si el triángulo anterior representa para a=1, b=2 y c= 6 la frontera de la región factible correspondiente a un problema de programación lineal con función objetivo f(x, y) = 2x + y, determinar razonadamente los puntos en los que dicha función alcanza su máximo. (5 puntos)
a)
Las ordenadas suman 9 a+b+c=9
b es la media aritmética de a y c b= a+c
2
b yc son naturales consecutivos c=b+1
}
→
a+b+c=9
a−2b+c=0 −b+c=1
}
→
Resolvemos por el Método reductivo de Gauss.
(
1 1 1 1 −2 1 0 −1 1∣
9 0 1)
F1 F2−F1 F3 →(
1 1 1 0 −3 0 0 −1 1∣
9 −9 1)
F1 F2−F1 F3 → a=9−b−c −3b= −9 c=1+b}
→ a=2 b=3 c=4}
→ A(1, 2) B(5, 3) C(3, 4)b) Sean los puntos A(1, 1), B(5, 2) y C(3, 6). Recta que pasa por A y B x−1
5−1 = y−1 2−1 → x−1 4 = y−1 1 → y= x 4+ 3 4
Recta que pasa por A y C x−1
3−1= y−1 6−1 → x−1 2 = y−1 5 → y= 5x 2 − 3 2
Recta que pasa por B y C x−5
3−5 = y−2 6−2 → x−5 −2 = y−2 4 → y= −2x+12 La Función Objetivo es f(x, y) = 2x + y . Si f(x, y) = 0 → y= – 2x . La pendiente es m = - 2. Al desplazar la recta hacia arriba obtenemos
mayores valores de la F.O. f(x, y)
Coincidirá con la recta que pasa por B y C y la solución será todo el conjunto de untos del segmento BC.
El valor máximo lo podemos calcular en cualquiera de esos puntos:
B2. Dada la matriz A=
(
1 34 2
)
.a) Halla su inversa. (3puntos).
b) Resuelve la ecuación X·A2 + 5A =
(
6 810 −20
)
(4 puntos).c) Dada una matriz cuadrada B de orden 2, obtén razonadamente el determinante de B-1, de Bt , de B2 y 5B sabiendo que det(B) = 4. (3 puntos).
a) 1º método: Cálculo de la inversa por método de Gauss
(
1
3 4 2∣
1 0 0 1)
F1F4−4· F1 →(
1 3 0−
10
∣
1 0 −4 1)
10F2· F1+3· F2 →(
10 0 0 −10∣
−2 3 −4 1)
→(
1 0 0 1∣
−1/5 3/10 2/5 −1/10)
→ A −1 =(
−1/5 3/10 2/5 −1/10)
2º método: Cálculo por adjuntos A−1=∣1A∣·
(
Aa)
t det (A) = ∣A∣ =∣
1 3 4 2∣
= -10≠ 0; A a=(
+2 −4 −3 +1)
;(
A a)
t =(
+2 −3 −4 +1)
; A−1 = 1 ∣A∣·(
A a)
t =−101 ·(
2 −3 −4 1)
=(
−1/5 3/10 2/5 −1/10)
b) X·A2 + 5A =(
6 8 10 −20)
⏟
C ; X·A2 = C – 5A ; X · A2 ·(
A2)
−1⏟
I =(
C−5A)
·(
A2)
−1; X =(
C−5A)
·(
A2)
−1 Cálculo de A2 =(
1 3 4 2)
·(
1 3 4 2)
=(
13 912 16
)
; det A2 = (det A)·(det A) = 100≠ 0;(
A2)
a=(
+16 −12 −9 +13)
;(
(
A 2)
a)
t=(
16 −9 −12 13)
;(
A 2)
−1= 1 100·(
16 −9 −12 13)
X =(
C−5A)
·(
A2)
−1=[
(
106 8 −20)
−5·(
1 3 4 2)
]
· 1 100·(
16 −9 −12 13)
= =(
1 −7 −10 −30)
· 1 100·(
16 −9 −12 13)
= 1 100·(
100 −100 200 −300)
; X =(
1 −1 2 −3)
c) Si ∣B∣=4; ∣B−1 ∣= 1 ∣B∣= 1 4; ∣Bt∣=∣B∣ =4; ∣B2∣=∣B∣·∣B∣=42=16 y ∣5· B∣= 52· ∣B∣⏟
por ser B de orden 2
B3. El coste total de fabricación de q unidades de cierto artículo es: C(q) = 3q2 + 5q + 75 dólares. Se define coste medio por unidad como el cociente Cq(q). SE pide:
a) ¿En qué nivel de producción será menor el coste medio por unidad? Razonar la respuesta. b) ¿Tiene la función coste medio por unidad puntos de inflexión? Razonar la respuesta.
a) El “coste medio por unidad” será menor cuando la función f(q) =Cq(q)= 3q
2+5q+75
q alcance su
mínimo.
En primer lugar su dominio: En general sería Dom f = ℝ – {0}. Pero, dado que la variable q representa nº de unidades, sólo puede tomar valores naturales Dom f = ℕ* = ℕ – { } 0
Condición Necesaria f '(q) = 0; Calculamos la derivada de f(q) = 3q 2 +5q+75 q =3q+5+ 75 q f '(q) =3− 75 q2 = 3 q2 −75 q2 = ? 0; 3 q2 −75 = 0; q2 =25; q=∓5.
Descartamos q= - 5 por ser negativo y el mínimo puede ser q= +5.
Condición Suficiente f''(q) >0
Calculamos la 2ª derivada f ' '(q) =150
q3 ; En q=5 tenemos f ' '(5) = 150
53 >0.
Por lo tanto q=5 es un Mín relativo y “coste medio por unidad” será f(5) =3· 5+5+75
5 =45$/unidad.
b) Para determinar los posibles puntos de inflexión: f ' '(q) =0 f ' '(q) =150
q3 =
?