Aná
Transfo
F
lisis
ormadas
F
de
S
s: Laplac
Siste
ce, Z y F
L
emas
Fourier.
L
A G F
s
y
S
Alumnos: Anzur García Queza Rojas Romá Grupo: 04 Fecha de entr
eñal
Z
res Robles Jor
a Luciano Lau
ada Borja Arn
Arteaga I. Ka n Guadarram ega: 12‐Marz
les
Z
rge ura nulfo rina ma José Roque zo.2008Z
e
ÍNDICE
Transformadas de Laplace………. 3 Pulso ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3 Impulso ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 4 Escalón ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 4 Exponencial [Decreciente y creciente] ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 5‐6 Senoidal ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 6 Rampa ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 8 Transformada de Fourier………. 9 Pulso ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 9 Impulso ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 10 Escalón ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 10 Exponencial [Decreciente y creciente] ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 10‐11 Senoidal ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 11 Rampa ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 12 Transformada Z……… 14 Pulso ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 14 Impulso ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 14 Escalón ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 15 Exponencial [Decreciente y creciente] ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 15 Senoidal ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 16 Rampa ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 17
3
Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier.
Transformada
de
Laplace
La Transformada de Laplace de una función f(t) para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Una aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre‐Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Calculando las transformadas de Laplace de las funciones elementales: Pulso Sea la función impulso siguiente: Donde A y T0 son constantes y cuya gráfica es: La transformada de esta función se calcula de la siguiente manera:
Us La func Teniend manera Grafica Calcula Evaluan Impulso ando la prop Escalón ión escalón un do la función f a: ndo esta funci ndo la transfor F ndo en los inte iedad:
(
t
∞ −∞∂
∫
nitario o funció (t‐0) que simp ón tenemos: rmada de Lapla F [u(t)]= rvalos de integ LL
= 0) ( )
t f t
f
−
=
ón de Heaviside plificado tenemf
(t)= ace de esta fun gración tenem 1 L[u(t)]= 0 0( )
f t
e H:[0, +∞] mos sólo f(t) no = 0 Si 0 ≤ t 1 Si t ≥ 0 nción: os: y se define com os quedaría la e t 1 mo: ecuación de la ; , x siguiente La func *CRECI
L=
dado deL=
siguientL=
qué valL=
valor yL=
Análisis Exponencial ión exponenci ENTE: Calculane 0 a infinito y te manera hac or tiende. valuamos la fu
Est de Sistemas y S [Decreciente y al tiene como ndo la transfor
S procedemos a
V ciendo una sum
C unción teniend a es la transfo eñales: Transfor y creciente] función a la sig rmada de Lapla Sustituimos la a integrar esta Vemos que p ma de la potenc Como tenemos Resolviendo o ese resultad ormada de Lap rmadas de Lapla guiente ecuaci ace para la fun función en la e función
por leyes de
cia a la que est s una integral i o esto vemos q o. lace de la func ace, Z y Fourier. ón: ción creciente ecuación de la los exponente tán. impropia realiz que su valor e ción exponenc que tiene valo
;
transformadaes se puede
zamos el límite s a cero y aho cial creciente
ores a>0
0
con el interval factorizar de e para saber a ra sustituimos 5 lo la s su*DECRE Calcula identifi transfo siguient
L=
dado deL=
siguientL=
qué valL=
valor yL=
X(t) = A L =x(s) L =x(s) L =x(s) ECIENTE:ndo la transfo ca ahora con rmada anterio te manera:
e 0 a infinito y te manera hac or tiende. valuamos la fu
Est Senoidal Acos (ωot+Φ) )= ω ) = ) = cos Φ ormada de La un signo (‐) qu or pero tomand
S procedemos a
V ciendo una sum
C unción teniend a es la transfo ) Sustituye ωot Φ ωot cos Φ ωo PARTE 1 place para la ue significa qu do ahora en cu Sustituimos la a integrar esta Vemos que p ma de la potenc Como tenemos Resolviendo o ese resultad ormada de Lap endo en la ec Por ident ωot t función decre ue la función d uenta el signo t
función en la e función
por leyes de
cia a la que est s una integral i o esto vemos q o. lace de la func cuación de la t idad trigonom Φ Φ PA eciente que t decaerá. Realiz tenemos que s ecuación de la los exponente tán. impropia realiz que su valor e ción exponenc transformada métrica hacem Resolvien ωot ARTE 2
;
iene valores a zando los mismu transformad
transformada
es se puede
zamos el límite s a cero y aho cial decreciente a de Laplace mos lo siguien do la integral
0
a<0 pero que mos pasos que da se calcula de con el interval factorizar de e para saber a ra sustituimos e nte: l: se e la e la lo la s su
7
Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier.
Se ve que la integral completa mejor la dividiéremos en partes y se resolverá cada una.
Resolviendo la parte 1 L =x(s) = o ωot o ωot L =x(s) = o ωot o ωot ² o² ωot L =x(s) = ωot ²
o² ωot = o² ωot o² ωot
L =x(s) = 1 o2 cos ωot = o2 ωot o2 cos ωot) L =x(s) = cos ωot = o 2 o2 s² o2 ωot o2 cos ωot L =x(s) = o 2 o2 s² 0 o2 = o2 S² …. (Parte 1) Resolviendo la parte 2 L =x(s) = o2 ωot o2 cos ωot L =x(s) = o2 ωot o2cos ωot o2 sen ωot L =x(s) = 1 o2 sen ωot o2 ωot o2 cos ωot) L =x(s) = o 2 o2 s² o2 ωot o2 cos ωot = o2 o2 s² 0 o = o o2 S² …. (Parte 2) Uniendo la parte 1 con la parte 2 L =x(s) = Acos Φ ωo2 S2 sen Φ ωo ωo2 S²
Finalmente tenemos que la transformada de Laplace de esta función es:
L
=x(s)
ωot Φ=
cos Φ sen Φ ωo s² ωo2
La func bajo la que 0 (c tambié G Calcula
F[s]
=
Realiza u= t du=dtF[s]
=
F[s]
=
Rampa ión rampa es l función escaló cero), entonce n tiene el valo Gráficamente te ndo la Transfo=
L
[r(t)]
= ndo la integral dv=e‐stdt v= ‐ e‐st=
L
[r(t)]=
l
=
L
[r(t)]=
a integral de la ón a hasta un ti es el valor será r t, es decir: enemos: ormada de Lapl por el método
lim
Esta es la Tra a función escal iempo t. Si t < igual a la integ lace de esta fu o de por partes ansformada de ón. Si consider 0 (cero), el val gral de 1 desde nción tenemos s (uv‐ ) te e la Laplace de ramos que est or de la integr e el tiempo 0 h s
lim
enemos: la Función Ra amos sumando al será 0 (cero hasta el tiempompa o toda el área ). Si es mayor o t, la cual
; 0, ∞
∞
la trans comple Donde f que aco transfo comúnm La trans puede e La trans física, la estadíst de Fou diferen Dando Sea f un La trans
F
CoF
Análisis sformada de F ejos y definida f es L1, o sea f ompaña la int rmada de Fo mente adoptad sformada de F extenderse a e sformada de F a teoría de los tica, la óptica, urier suele contes, es decir, g una definición na función Leb sformada de F Pulso
( ( ))
F
π
t
∞ −∞=
∫
mo es causal 1 2 0( ( ))
F
π
t
=
∫
π
de Sistemas y SFourier es una en la recta, otr
ftiene que ser tegral en defin ourier. Aunque da, no es unive ourier así defin espacios de fun ourier, tiene u números, la c la propagació nsiderarse com g corresponde formal de la t esgue integrab ourier de f es l
( )
t e
j tωd
π
∞ − ∞∫
:( )
t e
j tωdt
π
− eñales: TransforTransform
aplicación qu ra función g de una función in nición facilita e esta forma ersal. nida goza de u nciones mayore una multitud de ombinatoria, e ón de ondas ymo la descom al espectro de ransformada d ble: a función es: 1 2 1 2
( )
dt
π
t
−=
∫
1 2 0(1)
e
−j tω=
∫
( ( ))
F
π
t
rmadas de Laplamada
de
F
e hace corres efinida de la m ntegrable en el el enunciado de normaliz na serie de pro es e incluso a e e aplicaciones el procesamien otras áreas. E mposición de frecuencias de de Fourier tene o
)
e
−j tωdt
−=
∫
1 2 0 j te
dt
j
ωω
−=
−
1
1
j
ω
⎛
=
⎜
⎝
ace, Z y Fourier.ourier
ponder a una anera siguient
sentido de la de algunos de ar la transfor
opiedades de c espacios de fun
en muchas áre nto de señales, n procesamien una señal en e la señal f. emos: 0 1 2
( )
t e
j tωπ
− −∫
1 2 2 0 je
j
ωω
−= −
+
21
je
ω −⎞
−
⎟
⎠
función f con te: integral de Leb e los teoremarmada de Fo
continuidad qu nciones genera eas de la cienc
, la teoría de la nto de señales
componentes 1 2 0
( )
tdt
+
∫
π
t
1
j
ω
+
valores reale besgue. El fact s referentes a urier es la m
ue garantizan q alizadas. cia e ingeniería a probabilidad s la transforma s de frecuenc
)
e
−j tωdt
9 s o tor, a la más que : la , la ada cias Impulso Usando la propiedad:
(
t
t f t
0) ( )
f t
( )
0 ∞ −∞∂ −
=
∫
Escalón , 0 , 0Para determinar la Trasformada de Fourier, de cualquier función se sustituye dicha función en la expresión de la Transformada de Fourier (este va a hacer el proceder en todas las funciones que ejemplificaremos), como se observa; y se desarrolla la integral impropia recordando de cálculo integral como se resuelven este tipo de integrales, entonces: F [u(t)]= ; , Evaluando en los intervalos de integración tenemos: F [u(t)]= Esta es la Transformada de Fourier para la Función escalón (unitario)
Exponencial [Decreciente y creciente] CRECIENTE Está definida como: x(t) = eat ; a>0; Sustituimos en la expresión de Fourier y desarrollamos la integral. F [x(t)]= ; , Evaluando en los intervalos de integración tenemos: F [x(t)] =
11
Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier.
Esta es la Transformada de Fourier para la Función exponencial creciente
DECRECIENTE Está definida como: x(t) = e‐at ; a<0; Sustituimos en la expresión de Fourier y desarrollamos la integral. F [x(t)]= ; , Evaluando en los intervalos de integración tenemos: F [x(t)] = Esta es la Transformada de Fourier para la Función exponencial decreciente
Senoidal
Transformada de Fourier Senoidal
X(t) = Acos (ωot+Φ) Sustituyendo en la ecuación de la transformada de Laplace
F =x(f)= ωot Φ Por identidad trigonométrica hacemos lo siguiente: F =x(f) = ωot cos Φ ωot Φ Resolviendo la integral:
F =x(f) = cos Φ ωot Φ ωot
PARTE 1 PARTE 2
Se ve que la integral completa mejor la dividiéremos en partes y se resolverá cada una.
Resolviendo la parte 1 F=x(f) = o ωot o ωot F =x(f) = o ωot o ωot ² o² ωot
F =x(f) = ωot ²
o² ωot = o² ωot o² ωot
F =x(f) = 1 o2 cos ωot = o2 ωot o2 cos ωot) F =x(f) = cos ωot = o 2 o2 s² o2 ωot o2 cos ωot F =x(f) = o 2 o2 jw² 0 o2 = o2 jw² …. (Parte 1) Resolviendo la parte 2 F =x(f) = o2 ωot o2 cos ωot F =x(f) = o2 ωot o2cos ωot o2 sen ωot F =x(f) = 1 o2 sen ωot o2 ωot o2 cos ωot) F =x(f = o2 o2 s² o2 ωot o2 cos ωot = o2 o2 jw² 0 o = o o2 jw² …. (Parte 2) Uniendo la parte 1 con la parte 2 F =x(f) = A cos Φ ω o2 jw2 sen Φ ωo ωo2 jw²
Finalmente tenemos que la transformada de Fourier de esta función es:
F
=x(f)
ωot Φ=
cos Φ sen Φ ωo jw ² ωo2
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Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier.
Rampa F
[r(t)]
=lim
Realizando la integral por el método de por partes (uv‐ ) tenemos: u= t dv=e‐jwt dt du=dt v= ‐ e‐jwt F
[r(t)]=
lim
; 0, ∞
F[r(t)]=
Esta es la Transformada de la Fourier de la Función Rampa
0
Transformada
Z
Definición
Sea x(t) una función discreta, definida para t>0. Si se admite un muestreo uniforme con período T de la función x(t), entonces la señal muestreada en t=kT (k=0,1,...), la representaremos por x(kT). La transformada z de x(t), o de la secuencia de valores x(kt), se define como: Análogamente, la transformada z de una secuencia de números x(k), se define como: Calculando la transformada Z de las funciones elementales Pulso
La función definida por este pulso unitario esta descrita por la siguiente ecuación: x(t) = 1; t = 0
0; t ≠ 0
Aplicando la ecuación (2) para esta ecuación vemos que tenemos el siguiente resultado:
Vemos que esta serie converge a solo el valor 1 ya que sus demás valores se convierten en 0 dando así como resultado
de la transformada Z de esta ecuación Z =
Impulso
Ahora bien, recordemos que en cursos de Cálculo se ve la serie geométrica, y los valores para los cuales converge esta serie. Se tiene de hecho que:
solo si
Para los demás valores de r, la serie geométrica es divergente. Usando este resultado, podemos concluir que:
si
Teniendo como resultado:
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Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier.
Escalón
La función escalón unitario se define con la siguiente ecuación:
Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:
Estas series son resueltas con las series geométricas teniendo la formula
Utilizando la siguiente expresión Ubicamos a = 1 y r = y simplemente sustituimos.
La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z
Exponencial [Decreciente y creciente]
La función exponencial decreciente se define con la siguiente ecuación:
Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:
Utilizando la siguiente expresión Ubicamos a = 1 y r = y simplemente
sustituimos.
La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z
La función exponencial creciente se define con la siguiente ecuación pero ahora con los valores para a positivos:
Utilizando la siguiente expresión Ubicamos a = 1 y r = y simplemente
sustituimos.
Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:
La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z
Senoidal
cos(
)
A
ω φ
t
+
=A
[
cos(
ω
t
) cos( ) sin(
φ
−
ω
t
) sin( )
φ
]
para la transformada z:
y(t)=
A
cos(
ω φ
t
+
)
y(kt)=
A
cos(
ω
kt
+
φ
)
=[
cos(
) cos( ) sin(
) sin( )
]
A
ω
kt
φ
−
ω
kt
φ
y(z)=[
]
{
}
{
}
0 0 0 0 1 2 3 1 2 3( )
cos(
) cos( ) sin(
) sin( )
cos( )
cos(
)
sin( )
sin(
)
cos( ) 1 cos(
)
cos(2
)
cos(3
)
sin( ) sin(
)
sin(2
)
sin(3
)
k k k k k k k k
y kt z
A
kt
kt
z
A
kt z
A
kt z
t z
t z
t z
A
t z
t z
t z
ω
φ
ω
φ
φ
ω
φ
ω
φ
ω
ω
ω
φ
ω
ω
ω
∞ ∞ − − = = ∞ ∞ − − = = − − − − − −=
−
=
−
⎡
+
+
+
⎤
⎢
⎥
=
⎢
−
+
+
⎥
⎣
⎦
∑
∑
∑
∑
se sabe que:
cos(
wt
)
= −
( 1)
wy(z)=
{
}
{
}
1 2 2 3 3
1 2 3
cos( ) 1 ( 1)
( 1)
( 1)
sin( ) sin(
)
sin(2
)
sin(3
)
w w w
z
z
z
A
t z
t z
t z
φ
φ
ω
ω
ω
− − − − − −⎡
+ −
+ −
+ −
⎤
⎢
⎥
=
⎢
−
+
+
⎥
⎣
⎦
y(z)=
=
A
⎣
⎡
cos( ) ( 1)
φ
{
−
kwz
−k}
−
sin( ) sin(
φ
{
k t z
ω
)
−k}
⎤
⎦
k
=
1, 2, 3, 4,...
en donde: A es amplitud,
ω
es frecuencia ,φ
es ángulo de fase.
17
Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier.
Rampa
La función rampa unitaria se define con la siguiente ecuación:
Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:
Utilizando la siguiente expresión Ubicamos a = T y r= y simplemente
sustituimos.
La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada Z
BIBLIOGRAFÍA
¾ Kemen, Edward, Introducción a Señales y sistemas ¾ Oppenheim Alan, Señales y Sistemas
