Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. ÍNDICE. Transformadas de Laplace. 3. Transformada de Fourier.

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(1)

 

Aná

Transfo

F

lisis

 

ormadas

F

de

 

S

s: Laplac

Siste

ce, Z y F

L

emas

Fourier.

L

 

 

A G F

s

 

y

 

S

 

 

Alumnos:   ƒ Anzur ƒ García ƒ Queza ƒ Rojas  ƒ Romá     Grupo: 04  Fecha de entr

eñal

Z

res Robles Jor

a Luciano Lau

ada Borja Arn

Arteaga I. Ka n Guadarram ega: 12‐Marz

les

Z

rge  ura  nulfo  rina  ma José Roque zo.2008 

Z

(2)

 

ÍNDICE

 

  Transformadas de Laplace……….  3  ƒ Pulso  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  3  ƒ Impulso  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  4  ƒ Escalón  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  4  ƒ Exponencial [Decreciente y creciente]  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  5‐6  ƒ Senoidal  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  6  ƒ Rampa  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  8    Transformada de Fourier……….  9  ƒ Pulso  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  9  ƒ Impulso  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  10  ƒ Escalón  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  10    ƒ Exponencial [Decreciente y creciente]  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  10‐11  ƒ Senoidal  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  11  ƒ Rampa  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  12    Transformada Z………  14  ƒ Pulso  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  14  ƒ Impulso  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  14  ƒ Escalón  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  15  ƒ Exponencial [Decreciente y creciente]  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  15  ƒ Senoidal  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  16  ƒ Rampa  ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  17   

(3)

 

  3 

       Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. 

 

Transformada

 

de

 

Laplace

 

La Transformada de Laplace de una función f(t) para todos los números reales t  ≥ 0 es la función F(s),  definida por:  

 

Siempre y cuando la integral esté definida.   

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas  lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en  multiplicación y división.     Una aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular  mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este  cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.  La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre‐Simon Laplace.  

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También  existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue: 

 

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una  constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t). 

 

Calculando las transformadas de Laplace de las funciones elementales:    ƒ Pulso    Sea la función impulso siguiente:      Donde A y T0 son constantes y cuya gráfica es:      La transformada de esta función se calcula de la siguiente manera:               

(4)

  ƒ Us     ƒ La func   Teniend manera Grafica         Calcula Evaluan     Impulso   ando la prop Escalón      ión escalón un do la función f  a:  ndo esta funci ndo la transfor F ndo en los inte iedad: 

(

t

∞ −∞

nitario o funció (t‐0) que simp ón tenemos:   rmada de Lapla F [u(t)]= rvalos de integ L 

L

= 0

) ( )

t f t

f

=

ón de Heaviside plificado tenem

f

(t)= ace de esta fun gración tenem   1 L[u(t)]= 0 0

( )

f t

  e H:[0, +∞]        mos sólo f(t) no =    0 Si 0 ≤ t 1 Si t ≥ 0   nción:  os:  y   se define com os quedaría la e t    1  mo:  ecuación de la  ; ,   x  siguiente 

(5)

          ƒ La func     *CRECI

L=

dado de

L=

siguient

L=

qué val

L=

valor y 

L=

        Análisis  Exponencial  ión exponenci ENTE: Calculan

e 0 a infinito y  te manera hac or tiende.  valuamos la fu

Est de Sistemas y S [Decreciente y al tiene como  ndo la transfor

S procedemos a

V ciendo una sum

C unción teniend a es la transfo eñales: Transfor y creciente] función a la sig rmada de Lapla Sustituimos la  a integrar esta  Vemos que p ma de la potenc Como tenemos Resolviendo o ese resultad ormada de Lap   rmadas de Lapla   guiente ecuaci ace para la fun función en la e función

por  leyes de 

cia a la que est s una integral i o esto vemos q o.  lace de la func ace, Z y Fourier. ón:  ción creciente  ecuación de la  los  exponente tán. impropia realiz que su valor e ción exponenc que tiene valo

;

transformada 

es se puede 

zamos el límite s a cero y aho cial creciente 

 

ores a>0 

0

con el interval factorizar  de  e para saber a  ra sustituimos 5  lo       la  s su 

(6)

  *DECRE Calcula identifi transfo siguient

L=

dado de

L=

siguient

L=

qué val

L=

valor y 

L=

    ƒ   X(t) = A L =x(s) L =x(s) L =x(s)       ECIENTE:  

ndo la transfo ca ahora con  rmada anterio te manera: 

e 0 a infinito y  te manera hac or tiende.  valuamos la fu

Est Senoidal  Acos (ωot+Φ) )=  ω ) =  ) =  cos Φ            ormada de La un signo (‐) qu or pero tomand

S procedemos a

V ciendo una sum

C unción teniend a es la transfo )  Sustituye ωot Φ ωot cos Φ ωo          PARTE 1                            place para la  ue significa qu do ahora en cu Sustituimos la  a integrar esta  Vemos que p ma de la potenc Como tenemos Resolviendo o ese resultad ormada de Lap endo en la ec  Por ident ωot t función decre ue la función d uenta el signo t

función en la e función

por  leyes de 

cia a la que est s una integral i o esto vemos q o.  lace de la func cuación de la t idad trigonom Φ Φ     PA eciente que t decaerá. Realiz tenemos que s ecuación de la  los  exponente tán. impropia realiz que su valor e ción exponenc transformada métrica hacem  Resolvien ωot ARTE 2 

;

iene valores a zando los mism

u transformad

transformada 

es se puede 

zamos el límite s a cero y aho cial decreciente a de Laplace  mos lo siguien do la integral  

0

 

a<0 pero que  mos pasos que da se calcula de con el interval factorizar  de  e para saber a  ra sustituimos nte:  l:  se  e la  e la  lo       la  s su 

(7)

 

  7 

       Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. 

 

Se ve que la integral completa mejor la dividiéremos en partes y se resolverá  cada una. 

Resolviendo la parte 1  L =x(s) = o ωot o ωot   L =x(s) = o ωot o ωot ² o² ωot   L =x(s) =  ωot ²

o² ωot  =  o² ωot o² ωot  

L =x(s) = 1 o2 cos ωot  =  o2 ωot o2 cos ωot)  L =x(s) =  cos ωot  =  o 2 o2 o2 ωot o2 cos ωot   L =x(s) =  o 2 o2 0 o2  =  o2  …. (Parte 1)  Resolviendo la parte 2  L =x(s) =  o2 ωot o2 cos ωot   L =x(s) = o2 ωot o2cos ωot o2 sen ωot   L =x(s) =  1 o2 sen ωot o2 ωot o2 cos ωot)    L =x(s) =  o 2 o2 s² o2 ωot o2 cos ωot =  o2 o2 s² 0 o  =  o o2 S² …. (Parte 2)    Uniendo la parte 1 con la parte 2  L =x(s) = Acos Φ ωo2 S2 sen Φ ωo ωo2    

Finalmente tenemos que la transformada de Laplace de esta función es:                             

L

=x(s)

ωot Φ

 

=

 

cos Φ sen Φ ωo s² ωo2

 

(8)

  ƒ La func bajo la  que 0 (c tambié G             Calcula

F[s]

 

=

Realiza u= t    du=dt  

F[s]

 

=

F[s]

 

=

      Rampa    ión rampa es l función escaló cero), entonce n tiene el valo   Gráficamente te ndo la Transfo

=

 

L

 

[r(t)]

 =  ndo la integral dv=e‐stdt    v= ‐   e‐st 

=

 

L

 

[r(t)]=

 l

=

 

L

 

[r(t)]=

 

a integral de la ón a hasta un ti es el valor será  r t, es decir:  enemos:   ormada de Lapl  por el método

lim

 

  Esta es  la Tra a función escal iempo t. Si t <  igual a la integ lace de esta fu o de por partes ansformada de ón. Si consider 0 (cero), el val gral de 1 desde   nción tenemos s (uv‐ ) te e la Laplace de  ramos que est or de la integr e el tiempo 0 h s  

lim

enemos:  la Función Ra amos sumando al será 0 (cero hasta el tiempo

   

mpa  o toda el área  ). Si es mayor  o t, la cual 

 

; 0, ∞

 

(9)

      la trans comple     Donde f que aco transfo comúnm   La trans puede e   La trans física, la estadíst de Fou diferen   Dando  Sea f un La trans  

 

ƒ

F

Co

F

      Análisis  sformada de F ejos y definida  f es L1, o sea f  ompaña la int rmada  de  Fo mente adoptad sformada de F extenderse a e sformada de F a teoría de los  tica, la óptica, urier suele con

tes, es decir, g una definición na función Leb sformada de F   Pulso 

( ( ))

F

π

t

∞ −∞

=

mo es causal 1 2 0

( ( ))

F

π

t

=

π

de Sistemas y S

Fourier es una  en la recta, otr

ftiene que ser  tegral en defin ourier. Aunque da, no es unive ourier así defin espacios de fun ourier, tiene u números, la c  la propagació nsiderarse com g corresponde   formal de la t esgue integrab ourier de f es l

( )

t e

j tω

d

π

∞ − ∞

( )

t e

j tω

dt

π

− eñales: Transfor

Transform

aplicación qu ra función g de una función in nición facilita  e  esta  forma  ersal.  nida goza de u nciones mayore una multitud de ombinatoria, e ón de ondas y 

mo la descom al espectro de ransformada d ble:  a función es:  1 2 1 2

( )

dt

π

t

=

1 2 0

(1)

e

j tω

=

( ( ))

F

π

t

rmadas de Lapla

mada

 

de

 

F

e hace corres efinida de la m ntegrable en el el enunciado  de  normaliz na serie de pro es e incluso a e e aplicaciones  el procesamien otras áreas. E mposición de   frecuencias de de Fourier tene   o 

)

e

j tω

dt

=

1 2 0 j t

e

dt

j

ω

ω

=

1

1

j

ω

=

ace, Z y Fourier.

ourier

 

ponder a una  anera siguient

 sentido de la  de algunos de ar  la  transfor

opiedades de c espacios de fun

en muchas áre nto de señales, n procesamien una señal en  e la señal f.  emos:     0 1 2

( )

t e

j tω

π

− −

1 2 2 0 j

e

j

ω

ω

= −

+

2

1

j

e

ω −

función f con te:  integral de Leb e los teorema

rmada  de  Fo

continuidad qu nciones genera eas de la cienc

, la teoría de la nto de señales

componentes 1 2 0

( )

t

dt

+

π

t

1

j

ω

+

   

 

 valores reale   besgue. El fact s referentes a urier  es  la m

ue garantizan q alizadas.  cia e ingeniería a probabilidad s la transforma s de frecuenc

)

e

j tω

dt

  9  s o  tor,  a la  más  que  : la  , la  ada  cias 

(10)

  ƒ Impulso    Usando la propiedad: 

(

t

t f t

0

) ( )

f t

( )

0 ∞ −∞

∂ −

=

  ƒ Escalón  , 0 , 0 

Para determinar la Trasformada de Fourier, de cualquier función se sustituye dicha función en la expresión  de la Transformada de Fourier (este va a hacer el proceder en todas las funciones que ejemplificaremos),  como se observa; y se desarrolla la integral impropia recordando de cálculo integral como se resuelven  este  tipo de integrales, entonces:    F [u(t)]= ; ,   Evaluando en los intervalos de integración tenemos:  F  [u(t)]=     Esta es la Transformada de Fourier para la Función escalón (unitario)

 

   

ƒ Exponencial [Decreciente y creciente]     CRECIENTE   Está definida como:  x(t) = eat ; a>0;   Sustituimos en la expresión de Fourier y desarrollamos la integral.   F [x(t)]= ; ,   Evaluando en los intervalos de integración tenemos:  F   [x(t)] =     

(11)

 

  11 

       Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. 

 

Esta es la Transformada de Fourier para la Función exponencial creciente 

 

  DECRECIENTE   Está definida como:  x(t) = e‐at ; a<0;   Sustituimos en la expresión de Fourier y desarrollamos la integral.   F [x(t)]= ; ,   Evaluando en los intervalos de integración tenemos:  F   [x(t)] =      Esta es la Transformada de Fourier para la Función exponencial decreciente  

 

  ƒ Senoidal  

Transformada de Fourier Senoidal 

X(t) = Acos (ωot+Φ)  Sustituyendo en la ecuación de la transformada de Laplace 

F =x(f)=  ωot Φ  Por identidad trigonométrica hacemos lo siguiente:  F =x(f) =  ωot cos Φ ωot Φ  Resolviendo la integral: 

F =x(f) =  cos Φ ωot Φ ωot  

             PARTE 1          PARTE 2 

 

Se ve que la integral completa mejor la dividiéremos en partes y se resolverá  cada una. 

Resolviendo la parte 1  F=x(f) = o ωot o ωot   F =x(f) = o ωot o ωot ² o² ωot  

(12)

F =x(f) =  ωot ²

o² ωot  =  o² ωot o² ωot  

F =x(f) = 1 o2 cos ωot  =  o2 ωot o2 cos ωot)  F =x(f) =  cos ωot  =  o 2 o2 o2 ωot o2 cos ωot   F =x(f) =  o 2 o2 jw² 0 o2  =  o2 jw² …. (Parte 1)  Resolviendo la parte 2  F =x(f) =  o2 ωot o2 cos ωot   F =x(f) = o2 ωot o2cos ωot o2 sen ωot   F =x(f) = 1 o2 sen ωot o2 ωot o2 cos ωot)    F =x(f =  o2 o2 o2 ωot o2 cos ωot =  o2 o2 jw² 0 o  =  o o2 jw² …. (Parte 2)        Uniendo la parte 1 con la parte 2  F =x(f) = A cos Φ ω o2 jw2 sen Φ ωo ωo2 jw²    

Finalmente tenemos que la transformada de Fourier de esta función es:                                             

F

=x(f)

ωot Φ

 

=

 

cos Φ sen Φ ωo jw ² ωo2

 

(13)

 

  13 

       Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. 

 

ƒ Rampa      F   

[r(t)]

 = 

lim

 

Realizando la integral por el método de por partes (uv‐ ) tenemos:  u= t    dv=e‐jwt dt  du=dt    v= ‐   e‐jwt  F   

[r(t)]=

 lim

; 0, ∞

  F   

[r(t)]=

 

   

   

Esta es  la Transformada de la Fourier  de la Función Rampa 

   

(14)

0

Transformada

 

Z

 

Definición 

Sea x(t) una función discreta, definida para t>0. Si se admite un muestreo uniforme con período T de la  función x(t), entonces la señal muestreada en t=kT (k=0,1,...), la representaremos por x(kT). La transformada  z de x(t), o de la secuencia de valores x(kt), se define como:        Análogamente, la transformada z de una secuencia de números x(k), se define como:        Calculando la transformada Z de las funciones elementales    ƒ Pulso   

La función definida por este pulso unitario esta descrita por la siguiente ecuación: x(t) =     1; t = 0 

            0; t ≠ 0   

 

Aplicando la ecuación (2) para esta ecuación vemos que tenemos el siguiente resultado:   

     

Vemos que esta serie converge a solo el valor 1 ya que sus demás valores se convierten en 0 dando así como resultado    

de la transformada Z de esta ecuación  Z =  

 

ƒ Impulso     

Ahora bien, recordemos que en cursos de Cálculo se ve la serie geométrica, y los valores para los cuales  converge esta serie. Se tiene de hecho que: 

   solo si    

Para los demás valores de  r, la serie geométrica es divergente. Usando este resultado, podemos concluir  que: 

si

Teniendo como resultado:

 

 

(15)

 

  15 

       Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. 

 

ƒ Escalón   

 La función escalón unitario se define con la siguiente ecuación:    

Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:   

     

Estas series son resueltas con las series geométricas teniendo la formula    

 Utilizando la siguiente expresión         Ubicamos a = 1 y r =   y simplemente sustituimos.   

 

La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada  Z   

   

ƒ Exponencial [Decreciente y creciente]    

La función exponencial decreciente se define con la siguiente ecuación:    

     

Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:   

       

Utilizando la siguiente expresión         Ubicamos a = 1 y r =    y simplemente 

sustituimos.   

 

La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada   Z              

La función exponencial creciente se define con la siguiente ecuación pero ahora con los valores para a positivos:    

Utilizando la siguiente expresión         Ubicamos a = 1 y r =    y simplemente 

sustituimos.   

 

Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:             

La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada   Z    

 

   

(16)

ƒ Senoidal  

cos(

)

A

ω φ

t

+

A

[

cos(

ω

t

) cos( ) sin(

φ

ω

t

) sin( )

φ

]

 

para la transformada z: 

y(t)=

A

cos(

ω φ

t

+

)

 

y(kt)= 

A

cos(

ω

kt

+

φ

)

=

[

cos(

) cos( ) sin(

) sin( )

]

A

ω

kt

φ

ω

kt

φ

  y(z)=  

[

]

{

}

{

}

0 0 0 0 1 2 3 1 2 3

( )

cos(

) cos( ) sin(

) sin( )

cos( )

cos(

)

sin( )

sin(

)

cos( ) 1 cos(

)

cos(2

)

cos(3

)

sin( ) sin(

)

sin(2

)

sin(3

)

k k k k k k k k

y kt z

A

kt

kt

z

A

kt z

A

kt z

t z

t z

t z

A

t z

t z

t z

ω

φ

ω

φ

φ

ω

φ

ω

φ

ω

ω

ω

φ

ω

ω

ω

∞ ∞ − − = = ∞ ∞ − − = = − − − − − −

=

=

+

+

+

=

+

+

   

se sabe que: 

cos(

wt

)

= −

( 1)

w 

y(z)=

{

}

{

}

1 2 2 3 3

1 2 3

cos( ) 1 ( 1)

( 1)

( 1)

sin( ) sin(

)

sin(2

)

sin(3

)

w w w

z

z

z

A

t z

t z

t z

φ

φ

ω

ω

ω

− − − − − −

+ −

+ −

+ −

=

+

+

 

y(z)= 

=

A

cos( ) ( 1)

φ

{

kw

z

k

}

sin( ) sin(

φ

{

k t z

ω

)

k

}

 

k

=

1, 2, 3, 4,...

 

en donde: A es amplitud, 

ω

 es frecuencia , 

φ

 es ángulo de fase. 

                   

(17)

 

  17 

       Análisis de Sistemas y Señales: Transformadas de Laplace, Z y Fourier. 

 

 

ƒ Rampa     

La función rampa unitaria se define con la siguiente ecuación:    

Aplicando la ecuación (2) su transformada Z es la siguiente:   

       

Utilizando la siguiente expresión         Ubicamos a = T  y r=    y simplemente 

sustituimos.           

La serie converge a la siguiente expresión que es el resultado de esta transformada  Z   

 

(18)

BIBLIOGRAFÍA

 

¾ Kemen, Edward, Introducción a Señales y sistemas  ¾ Oppenheim Alan, Señales y Sistemas  

Figure

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Referencias

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