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Cilindro Circular Recto Superficie de Revolución. Und. 12 Cuerpos Redondos

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(1)

Se dice que Galileo Galilei dejó caer dos bolas de cañón de diferente masa desde lo alto de la Torre de Pisa para demostrar que la velocidad de descenso era independiente de la masa. La historia, aunque descrita por un estudiante del propio Galileo, se considera un mito.

Pocos años después de finalizada la torre el daño en su estructura se hizo manifiesto y mu-chos de los elementos de piedra originales rea-lizados en mármol de San Giuliano fueron sus-tituidos, cambiándose por mármol blanco de Carrara pero sin perder la forma de cilindro.

12.1.1. Superficie de Revolución

12.1.1A. Definición

Se llama superficie de revolución a aquella superficie engen-drada por la rotación de alguna línea. La línea que al girar engendra una superficie de revolución se llama generatriz de dicha superficie. La recta respecto de la cual se realiza el giro se llama eje de rotación o eje de giro.

Cada punto de la generatriz describe una circunferencia si-tuada en un plano perpendicular al eje de rotación. Estas cir-cunferencias se llaman paralelos de la superficie y pueden considerarse como secciones producidas en la superficie por planos perpendiculares al eje de giro. Los meridianos son to-das las secciones producito-das por planos que pasan por el eje. 12.1.1B. Superficie cilíndrica de revolución

Se llama superficie cilíndrica de revolución, a la superficie engendrada por la rotación de una recta paralela al eje.

En general, si una recta se traslada continuamente en forma paralela a su posición inicial, a lo largo de una curva plana, se genera una superficie llamada superficie cilíndrica.

En la figura (b) a la recta se le denomina generatriz y a la curva plana BDE se le llama directriz.

Si la directriz es una circunferencia la superficie engendrada se llama superficie cilíndrica circular.

La superficie cilíndrica es, en rigor, ilimitada porque también lo es la recta generatriz que lo genera. Si queremos limitar con ella un cuerpo, es preciso trazar otras superficies.

12.1.2. Cilindro Circular Recto

12.1.2A. Cilindro

El cilindro es el cuerpo geométrico que se determina al intersectar la superficie cilíndrica, con dos planos paralelos entre sí.

Las secciones determinadas por los planos paralelos en la superficie cilíndrica se llaman bases del cilin-dro y los segmentos determinados, que son parte de las generatrices de la superficie cilíndrica, son las ge-neratrices del cilindro.

Un cilindro se llama cilindro recto si sus generatrices son perpendiculares a sus bases como se observa en la figura (a) y si las generatrices son oblicuas con relación a las bases, el cilindro se llama cilindro oblicuo, tal como la figura (b).

12.1.2B. Definición

Se llama Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución al cuerpo geométrico limitado por una superficie de revolución circular y dos planos perpendiculares a su eje.

En un cilindro circular recto las bases son círculos y las generatrices son perpendiculares a sus correspondientes bases. Fig. (a)

En un cilindro circular recto la sección producida por un plano secante y no paralelo a sus bases se llama Elipse que en la figura está representado por S. Fig. (b)

Un plano P es tangente al cilindro si éste contiene a la generatriz . El eje del cilindro recto u oblicuo es el segmento OO' que une los centros de sus bases.

(2)

La sección axial del cilindro recto es el rectángulo ABCD y si éste es un cuadrado entonces el cilindro se llama equilátero.

12.1.3. Área y Volumen de un Cilindro Circular Recto

Conociendo la longitud «R» del radio básico y la longitud «g» de la generatriz, o altura del cilindro recto, se verifican las siguientes relaciones:

12.1.3A. Área lateral del cilindro recto (SL)

Es igual al perímetro de la base (2R) multiplicado por su generatriz (g).

SL 2Rg

12.1.3B. Área total del cilindro recto (ST)

Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de las bases.

ST 2R(g R) 12.1.3C. Volumen del cilindro recto (V)

Es igual al área de la base multiplicada por la longitud de la generatriz:

V R2g

Ejemplo.- El volumen de un cilindro circular recto es numéricamente igual al doble del área

lateral. Si su altura mide 5, calculemos el área total y su volumen. Elaboramos un esquema en el cual indicamos el dato:

De la condición planteamos que: V = 2SL  · R2 · 5 = 2 · 2 · R · 5 R = 4 Luego el área total (ST) estará dado por:

ST 2 · 4(5  4)  ST 72 Finalmente el volumen (V) será: V  · 42 · 5

 V  80

12.1.4. Desarrollo del Cilindro Recto

El desarrollo del cilindro recto está compuesto de un rectángulo y dos círculos.

La base de este rectángulo es la circunferencia de la base del cilindro y su altura es igual a la generatriz o altura del cilindro.

12.1.5. Tronco de Cilindro Recto

Si conocemos el radio «R» de la base circular, la generatriz media o longitud del eje «g», la generatriz mayor g1 y la generatriz menor g2, como se muestra en la figura, se cumplirá que:

g = g1g2 2 A1. Área Lateral (AL)

AL  2Rg

A2. Volumen (V)

V R2g

Ejemplo.- En un tronco de cilindro circular recto se cumple que la generatriz mayor mide el

triple de la generatriz menor y el radio de la base circular mide 4. Si el volumen mide 96, calculemos el área lateral.

Sean «x» y «3x» las longitudes de la generatriz menor y la mayor respectivamente. De la condición tenemos que: V  96

 42

3

96 2

x x 2x 6 x 3

Luego el área lateral (AL) se rá: AL  2 4

x23x

(3)

01.- Completar las siguientes proposiciones: a. Un cilindro puede ser ... u ... b. Las bases de un cilindro circular recto son ... c. Las generatrices de un cono circular recto son ... d. La sección producida en una esfera, por un plano secante es un ... 02.- Para un cilindro circular recto, complete el siguiente cuadro:

03.- En el gráfico se muestra una esfera inscrita en un cilindro circular.

Según esto, correlacione las columnas coheren-temente.

a. Volumen de la esfera . ( ) 2

b. Área de la superficie de la esfera. ( ) 4

3

c. Volumen del cilindro. ( ) 8

d. Área total del cilindro. ( ) 404.- El gráfico muestra un cilindro circular recto y el desarrollo de su superficie lateral.

De acuerdo a esto, complete el siguente cuadro:

05.- Se sabe que dos cilindros de revolución son semejantes, cuando sus radios y alturas están en la misma proporción.

En el gráfico se muestran dos cilindros semejantes:

Completar la siguiente tabla:

12.1.6. Cilindro Oblicuo

Se llama cilindro oblicuo a aquel cuyas bases son Elipses y sus generatrices no son perpendiculares a sus bases como el mostrado en la figura. En un cilindro oblicuo es fácil notar que la altura «h» es menor que la gene-ratriz y que la sección axial es un paralelogramo tal como ABCD.

En el cilindro oblicuo la sección producida por un plano perpendicular a sus generatrices es un círculo llamado Sección Recta.

Asimismo debemos notar que la inclinación del cilindro viene dado por el ángulo que forman su generatriz CD con el plano de la base.

Cumpliéndose que: h g sen

Además en una elipse como se muestra en la figura adjunta se verifica que: a  Longitud del semieje mayor

b  Longitud del semieje menor Área de la Región Elíptica ab

12.1.7. Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo

Siendo «g» y «h» las longitudes de la generatriz y la altura del cilindro oblicuo mostrado a continuación y «S» el área de su base elíptica se verifican las siguientes relaciones.

12.1.7A. Área de la Superficie Lateral (SL)

Es igual al perímetro de la sección recta multiplicado por la longitud de la generatriz.

SL 2Rg

12.1.7B. Área de la Superficie Total (ST)

Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de sus bases.

ST 2Rg 2S 12.1.7C. Volumen (V)

Es igual al área «S» de la base multiplicada por la longitud de su altura «h» o el área de la sección recta multiplicada por la longitud de la generatriz.

(4)

06.- En el gráfico se muestra un cilindro de revo-lución, en el cual su base está contenido en el plano «P» y «C» pertenece al plano.

«L» es una recta secante al cilindro en los puntos de «A» y «B».

Escribe vedadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones:

a. 

AB está incluido en el cilindro. ... ( ) b. AB está incluido en el cilindro. ... ( ) c. «A» pertenece a la superficie lateral del cilin-dro. ... ( ) d. AB está incluido en la superficie lateral del cilindro. ... ( ) 07.- En el gráfico, se muestra un cilindro de revo-lución y un cono de revorevo-lución donde «d» es la distancia del vértice del cono a la base superior del cilindro.

a. Si el volumen del cilindro equivale a 24 veces el volumen del cono, ¿cuál es la relación H

d ? ... b. Si: H = 3d y el volumen del cilindro es 72,

¿cuál es el volumen del cono?

... c. Si: 2H = 3d y el volumen del cono es 4, ¿cuál

es el volumen del cilindro?

... 08.- El gráfico muestra un rectángulo de lados «a» y «b». Cuando gira en torno a L el volumen generado es 300 y cuando gira en torno a L1 el volumen generado es 720.

a. ¿Cuánto mide «a» y «b»?

... b. ¿Qué sólido se obtiene en cada caso?

... c. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

...

Prob. 01

Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro recto si el radio de su base mide 4 y su generatriz mide 8.

Graficando y considerando los datos del problema:

Se sabe que el área de la superficie lateral SL es: SL = 2Rg donde: R = 4 y g = 8 Luego: SL = 2(4)(8) SL = 64 Prob. 02

Calcular el volumen de un cilindro equilátero cuyo radio básico es 2.

Esquematizando el problema construimos este gráfico:

En el cilindro equilátero se cumple que: g = 2R = 2(2) g = 4 Luego su volumen V = R2g será:

V = · 22· 4 V = 16 Prob. 03

Un cilindro de revolución está circunscrito a una esfera cuyo radio mide «R». Calcular el volumen del cilindro.

Al circunscribir el cilindro reconocemos que este es equilátero.

Sea «V» el volumen del cilindro, luego: V = R2g

(5)

Prob. 04

El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro circular recto es una región rectangular cu-yas dimensiones son 4 y 8. Calcule el área de la superficie del cilindro.

Graficando y considerando datos:

Se sabe que el área de la superficie lateral (SL) del cilindro es igual al área de la re-gión rectangular (S) es decir:

SL = S SL = 4· 8 SL = 32 Prob. 05

En un tronco de cilindro recto, sus generatrices miden 10 y 6. Calcular su volumen si sus ba-ses forman un diedro de 45º.

Elaboramos un gráfico adecuado en don-de trazamos DEAB.

Luego: BE = CD = 6 y ED = 2R En el AED de 45º: 2R = 4 R = 2 Luego el volumen del tronco será:

2 T 10 62 V  R   VT = (2)2· 8 VT = 32 Prob. 06

Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro de revolución, si el área de la región rectangular que lo genera es 20.

Graficando el cilindro y su rectángulo ge-nerador, tenemos: Se sabe que: SL = 2Rg . . . (1) Por dato: gR = 20 . . . (2) Sustituyendo (2) en (1): SL = 2(20) SL = 40 Prob. 07

El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro circular recto, es una región rectangular cuya diagonal mide 10. Si la altura del cilindro es 6, calcular su volumen.

Elaborando el gráfico correspondiente a las condiciones del problema, tenemos:

Del ABC: 2R = 8  R4  Luego el volumen del cilindro será:

 

4 6 V  

V=96 Prob. 08

Calcular el área de la superficie lateral del cilin-dro, si «O» es centro y OB = 8.

En primer lugar, trazamos el radio OC (OC = R)

En el triángulo rectángulo OCB de 15º y 75º la altura CH es la cuarta parte de OB es decir:

OB

CH 2

4

 

Además por relaciones métricas: gR = (8)(2)  gR = 16

Nos piden: SL = 2Rg = 2(16)  SL = 32

Prob. 09

El área total de un cilindro recto es 60 y la suma de las inversas del radio básico y de su gene-ratriz es 1/4. Calcular el volumen del cilindro.

Graficando y considerando los datos del problema:

El área total (ST) está dado por:

ST = 60 = 2R(g + R) . . . (1) Por condición del problema:

1 1 1 4 Rg

(6)

Sustituyendo (2) en (1): 60 2 4 Rg R         R 2 g = 120 Como el volumen: V = R2g V = 120 Prob. 10

Calcular el volumen de un cilindro circular rec-to, cuyo desarrollo de su superficie lateral es

un cuadrado de lado «a».

Graficando y considerando que: g = a y 2R = a, se tiene: De la igualdad: 2R = a  2 a R 

Como el volumen «V» del cilindro es: V = R2g

Luego, reemplazando valores, tenemos:

 

2a 2 V  a  Desarrollando: 2 2 4 a V a 3 4 a V Prob. 11

Un recipiente cilíndrico de radio básico 2, se encuentra con cierta cantidad de agua. Se in-troduce, en dicho recipiente, un bloque de vo-lumen «Vx» y el nivel de agua se incrementa en 2. Calcular «Vx».

Graficando y considerando datos:

Ya que el bloque de volumen «Vx» despla-za agua hacia la parte superior tomando ésta la forma de un cilindro de radio 2 y generatriz 2 se tiene:

Vx = (2)2· 2 Vx = 8  Prob. 12

Se tienen dos cilindros circulares rectos seme-jantes, los cuales tienen por áreas totales 18  y 50 respectivamente.

a) Calcular la razón en que se encuentran sus radios.

b) Calcular la razón en que se encuentran sus volúmenes.

Esquematizando las condiciones del pro-blema se tiene:

a) Como los cilindros son semejantes, en-tonces: h r HR . . . (1) Del dato: 2r(h + r) = 18 . . . (2) También: 2R(H + R) = 50 . . . (3) Dividimos (2) y (3):    ( ) 9 25 ( ) r h r R H R . . . (*) De (1) hacemos: h = rK H = RK Luego reemplazamos en (*):    2 2 (K 1) 9 25 (K 1) r R De donde: 3 5 r R . . . (4) b) Sean V1 y V2 los volúmenes de los cilin-dros, se tiene:   2    2 1 2 V r h V R H Dividimos: 1 

   

2 2 V r h V R H

Reemplazamos (1) y (4) en esta última ex-presión:

 

 3 1 2 3 5 V V 12 V 27 = V 125 Prob. 13

En un cilindro circular recto, se cumple que el área de la sección axial es «K» veces el área de la base. Si el radio de la base es «r».

a) Calcular la altura del cilindro en términos de «K» y «r».

b) Calcular el volumen del cilindro en términos de «K» y «r».

Graficando y ubicando los datos corres-pondientes, tenemos:

a) La sección axial de un cilindro se deter-mina al trazar un plano perpendicular a la base y que contenga a uno de sus diáme-tros: como ABCD.

Por dato: A(ABCD) = KA(Base) H· (2r) = K· r2 K 2 r H    . . . (1) b) El volumen del cilindro (V) está dado por: V = r2· g  V = r2· H Reemplazando (1):   2·  2 K r V r 2 3 2 r K V

(7)

Prob. 14

En un cilindro de revolución, la longitud de la generatriz es el triple de la longitud del radio de la base. En una de las bases se traza la cuer-da AB de 2 3 cm de longitud y dista del centro de dicha base 3 cm.

a) Calcular el radio de la base del cilindro. b) Calcular el área de la superficie total del

ci-lindro.

c) Calcular el volumen del cilindro.

Construimos el gráfico y ubicamos los da-tos del problema:

a) En la base inferior trazamos la cuerda AB. Por el dato: AB 2 3

También del dato: OM = 3

Como «M» es punto medio, entonces:

 

AM MB 3

En el AMO: (AO)2

3

232  AO2 3 Es decir: R2 3

b) Por otro lado por condición del proble-ma, tenemos:

AC = 3R  AC 6 3

El área total (ST) está dado por: ST = 2R(g + R)ST 2 (2 3)(8 3)  ST = 96 cm2 c) El volumen (V) está dado por:

V = R2 · g  V (2 3) · 6 32 3 72 3 cm V Prob. 15

Un cilindro recto se encuentra inscrito en un prisma recto de base cuadrada, cuyas bases están contenidas en las bases del prisma. Si la altura del prisma mide 10 y la diagonal de la base mide 12 2.

a) Calcular el radio de la base del cilindro. b) Calcular el volumen del cilindro.

Construimos el gráfico según condiciones del problema:

a) Como la base del prisma recto es un cua-drado y su diagonal mide 12 2 , entonces deducimos que: L = 12.

Sea «R» el radio de la base del cilindro, entonces:  2 L R  126 2 R

b) Como sabemos que el volumen del cilin-dro (V) está dado por:

  2

V R g V (6) 102 V= 360Prob. 16

Un cilindro de 30 cm de radio y 50 cm de altura está completamente lleno de agua si dentro de él se introduce un trozo de madera labrado en forma de prisma de base cuadrada de 10 cm de lado y cuya altura es de 20 cm, el agua se de-rrama. Calcular la cantidad de agua que se que-da en el recipiente.

Sea:

2

H O

V el volumen de agua, luego:

2 H O CILINDRO PRISMA VVV 2 2 2 3 H O (30) 50 10 20 139,372 cm V        1 Lt = 1000 cm3  2 H O 139,372 V L Prob. 17

Se tiene un tronco de cilindro de revolución cuyas generatrices mínima y máxima miden 2 y 8, que está circunscrita a una esfera.

a) Calcular el radio de la base del tronco. b) Calcular el volumen del cilindro.

Graficamos el tronco del cilindro e inscri-bimos en él la esfera:

a) Sea «R» el radio de la base del tronco de cilindro.

En el ABCD, por el teorema de Pitot: AB + CD = BC + AD 2 + 8 = BC + 2R  BC = 10 – 2R Trazamos BECD  BE = 2R y CE = 6 En el BCE: (10 – 2R)2 = (2R)2 + 62 Efectuando: 8 5 R

b) El volumen del tronco (VT) está dado por:

  T V R2 AB CD 2 VT  

  

2 8 · 2 8 5 2 T 64 5 V Prob. 18

En la figura mostrada se tiene un prisma recto ABC-A’B’C’ cuyas bases son triángulos rec-tángulos rectos en B y B’. El semicilindro está inscrito en el prisma, siendo O y O’ los centros de las bases. Si: AB = 3, BG = 4 y OO’= 7. a) Calcular el radio de la base del semicilindro. b) Calcular el volumen del semicilindro.

(8)

Consideremos que sea «O» el centro de la base semicircular:

a) En la base superior ABC trazamos:  ON BC y OMAB Como: BC = 4 y AB = 3 (Dato)  mCAB = 53º Sea: ON = OM = R, entonces: AM = 3 – R En el AMO: 4 12 3 3 7 R R R   

b) Sea «V» el volumen del semicilindro, en-tonces: 2 1 (AA') 2 V  R    

 

2 1 · 12 · 7 2 7 V 72 7 V Prob. 19

La curva de longitud mínima trazada entre «A» y «B» (sobre una misma generatriz) que da una vuelta completa en torno a un cilindro recto de radio 1 y de altura 2, tiene por medida «L». Calcular su longitud.

Graficamos el cilindro recto y su desarro-llo lateral:

Al desarrollar la superficie lateral del ci-lindro se obtiene el rectángulo ADBC, don-de la diagonal AB = L, es la mínima longi-tud de la curva AB.

En el ACB: L = 4 2 4 L2 1 2

Prob. 20

Se tiene un cilindro de resolución cuyo radio de la base mide 40 cm y la altura es de 30 cm. Se traza un plano paralelo al eje y que pasa a 24 cm del eje.

a) ¿Qué figura es la sección obtenida por di-cho plano?

b) Calcular el área de la sección obtenida.

Elaboremos el gráfico que represente las condiciones del problema:

a) La sección determina la cuerda AD en el círculo de la base y como es perpendicu-lar a dicha base, entonces:

 CD AD

Análogamente ABAD, y como AB = CD, entonces la figura ABCD será un rectángulo. b) Por dato OM = 24 (Distancia del eje a la sección).

En el AMO: (AM)2 + 242 = 402  AM = 32 Pero sabemos que: AM = MD

 AD = 64 Finalmente: A(

ABCD)64 30 2 ( ABCD) 1920 cm A

Prob. 21

Una población tiene 5000 habitantes que con-sumen en promedio por persona 12 litros de H2O diariamente, determinar el radio de la base de un pozo cilíndrico que abastezca a la pobla-ción y que tenga además capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro.

Si una persona consume 12 litros diarios, entonces 5000 personas consumirán:

5000· 12 = 60000 litros El 25% de 60000 es: 25 60 000 15000

100 L

 

Luego el pozo deberá tener un volumen de: V = 60000 + 15000 Donde: V = 75000 L Como: V = R2 . 8R = 8R3  8R3 = 75000 L = 75 m3  1 753 m 2 R Nota.- 1000 L = 1 m3 Prob. 22

En un cilindro de revolución se encuentra ins-crito un hexaedro regular, calcular el volumen del cilindro; si la distancia del punto medio de una de la generatrices que pertenece al hexae-dro hacia la diagonal de dicho hexaehexae-dro que no se intersecta con dicha generatriz es 2.

(9)

Sean R y h; el radio de la base y la altura del cilindro, veamos en el gráfico:

Entonces el volumen del cilindro: VC = R2h . . . (1) Del gráfico se observa que:

MN = AO = R Por dato: MN = 2 R = 2 En el cuadrado ABCD: AD = R 2 Es decir: AD = 2 Además: h = AD = 2 Reemplazando en (1): VC = ( 2 )2· 2 VC = 4Prob. 23

Un octaedro regular está inscrito en un cilindro de revolución; de tal manera que dos de sus caras opuestas están inscritas en las circunfe-rencias que limitan las bases del cilindro, calcu-lar la razón de volumen de ambos sólidos.

Sea «a» la arista del octaedro y «R» el ra-dio de la base del cilindro.

Sabemos que: OB = a63 = PQ También: AQ = a33  AP = AQ – PQ De donde: AP = a63 En el APB:

2 2 2 2 3 AB AP 3 2 6 a a h        6 3 a h  

Luego el volumen del octaedro es:

3

o a 32

V

Y el volumen del cilindro es:

2 3 2 c 33 36 9 6 a a a V   RH       o = c 3 V V Prob. 24

En un octaedro circular recto regular E-ABCD-F; se inscribe un cilindro circular recto de modo que sus bases estén contenidas en dos caras opuestas del octaedro. Si la arista del octaedro es «L», calcular el volumen del tronco de cilin-dro que determina el plano BED.

La arista del octaedro es «L», entonces por propiedad; OQ = L36 , ya que «O» y «Q» son centros de dos caras opuestas.

Luego por la simetría de la figura a partir del plano diagonal BEDF, deducimos que:

OP = PQ = L66 Ahora en el ABF equilátero:

AF = 2R 3 L = 2R 3R = 2 3L

Luego el volumen del tronco de cilindro: VTC = R2· OP Reemplazando: 3 TC 12 6 L V Prob. 25

En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de revolución, la altura es el doble del diámetro de la base; si el vaso contiene un líquido que ocupa las 3/4 partes de su capaci-dad. Determinar el ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido esté por derramarse.

Asumiendo que el diámetro es 2R, enton-ces la altura será: 4R.

La parte no ocupada por H2O es: V/4 Y al ser inclinado el cilindro «» la parte no ocupada por H2O toma la forma de un tronco de cilindro recto.

Luego: 2 4 2 V  R a Pero: V =R2· 4R = 4R3 Luego: 44R3 = R a22 Simplificando: a = 2R Finalmente en el ABC, como:

AB = BC   = 45º

(10)
(11)

01.- Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro recto cuyo radio básico mide 4 y su altura 6.

A) 48 B) 84 C) 72 D) 81 E) 100

02.- Calcular el área total y volumen de un cilin-dro recto de 15 de radio y 45 de altura. A) 900; 10125 B) 1800; 9125 C) 1800; 10125 D) 900; 528 E) 1800; 8125

03.- De la figura: AB es diámetro de la base del cilindro de revolución que mide 10 y su gene-ratriz mide 8. Calcular el área lateral del cilindro. A) 40

B) 160 C) 20 D) 80 E) 100

04.- Calcular el volumen de un cilindro recto, si su generatriz es el doble del radio de la base siendo éste de longitud 3.

A) 52 B) 54 C) 60 D) 64 E) 72

05.- El radio de la base de un cilindro circular recto mide 2 y es la tercera parte de la medida de su altura. Calcular el volumen del cilindro. A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36

06.- Calcular el volumen del cilindro mostrado, si: AB2 2. A)  B) 2/ C) 2 D) 2/3 E) 3

07.- De la figura, calcular el volumen del cilin-dro de revolución, si: OO110 3, AB es diámetro de la base. A) 150 B) 1000 3 C) 400 D) 250 3 E) 200 3

08.- Calcular el volumen de un cilindro

equilá-tero de altura «a». A) 3 2 aB) 3 3 aC) 3 4 aD) 3 5 aE) 3 6 a

09.- De la figura, calcular el volumen del cilin-dro de revolución, si AB y CD son diámetros de las bases del cilindro, OC5 2.

A) 125 B) 250 C) 100 D) 100 2 E) 50 2

(12)

23.- Un vaso cilíndrico de diámetro «d» y altu-ra «h» está lleno de agua. Si se vierte esta agua en otro vaso de diámetro «2d», ¿hasta qué al-tura «H» subirá el agua?

A) 2 h B) 6 h C) 4 h D) 12 h E) 16 h

24.- Calcule el área de la superficie lateral del cilindro mostrado. A) a2 B) 2 2 aC) 2 3 aD) 2 4 aE) 2 16 a

25.- Calcular (en u3) el volumen de un cilindro recto de revolución de 64 u2 de área total si:

1 1 1 4

rh , siendo r: radio de la base y h: altura

A) 100 B) 112 C) 128 D) 136 E) 140

26.- En la figura se muestra un cilindro donde AB es su generatriz. «O» es el centro de la base. AC = 17 y AO 241. Calcular el área total del cilindro. A) 148 B) 144 C) 146 D) 150 E) 152

27.- Se tienen dos cilindros circulares rectos semejantes, los cuales tienen por volúmenes: 54 y 128. Calcular la relación en que se en-cuentran sus áreas laterales.

A) 9 4 B) 3 4 C) 9 16 D) 9 7 E) 3 16

28.- En el cilindro de revolución mostrado

1

BO  101 cm, O M2  26 cm, PM = MQ. Calcular el volumen del cilindro.

A) 4cm3 B) 10cm3 C) 6cm3 D) 18cm3 E) 20cm3

29.- En un cilindro de revolución las genera-trices AB y CD son diametralmente opues-tas (B y C en una misma base), en el arco BC se ubica el punto «P». Si: 2(AB)2 + (BC)2 = 20, calcule: (AP)2 + (PD)2

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

30.- En el gráfico se muestra un cilindro de re-volución. Si se cumple: AH = 2(HB) = 6u, ade-más. EB = BC, calcular el volumen del cilindro. A) 81 3 u 3

B) 60 3 u 3 C) 50 3 u 3 D) 30 3 u 3 E) 20 3 u 3

31.- En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular. Calcular la razón de volúmenes de dichos sólidos.

A) 2  B) 3  C) 4  D) 5  E) 7 

32.- Un cilindro circular recto está inscrito en un prisma triangular regular. ¿Qué relación exis-te entre las áreas de las superficies laexis-terales de dichos sólidos? A) 9 3  B) 2 2  C) 3 3  D) 6 3  E) 3 3 2

10.- El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto es un rectángulo de di-mensiones 4 y 6. Calcular el área lateral del cilindro.

A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

11.- El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de diagonal 4 2. Calcular el área lateral del cilindro

A) 8 B) 16 C) 32 D) 24 E) 64

12.- Calcular el área lateral de un cilindro recto, si el área de su rectángulo generador es «A». A) 2A B) A C) 1

2A D) 3A E) 13A

13.- Calcular el volumen de un cilindro circular recto; de altura «h» y la longitud de la circunfe-rencia de la base «L». A) 2  L h B) 2 2 L h C) 2 3 L h D) 2 4 L h E) 2 5 L h

14.- Calcular el volumen de un cilindro recto en el cual la longitud de su circunferencia es «L» y el área del rectángulo generador es «S». A) S · L B) 3  S L C) 2  S L D) 4  S L E) 5  S L

15.- De la figura, evaluar el área de la superficie lateral del cilindro de revolución, si su gene-ratriz mide 8 y AC = 3. (AB es diámetro de su base). A) 8 3 B) 16 3 C) 24 3 D) 32 3 E) 12 3

16.- Calcular el área total del cilindro de revolu-ción, si: AC = 4, OO1 = 6 («O» y «O1» son centros de su base). A) 8( 32) B) 8( 23) C) 8(2 3 3)  D) 8(3 22) E) 8( 5 1) 

17.- ¿Qué volumen de tierra tendrá que extraerse para hacer un túnel de 100 m de largo, siendo su sección recta un semicírculo de diámetro 10 m? A) 1250m3 B) 250m3 C) 2500m3 D) 5000m3 E) 500m3

18.- Calcular el volumen de un cilindro de revolu-ción si su altura mide 20 y el desarrollo de la su-perficie lateral del cilindro tiene un área de 200. A) 250 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600

19.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos ca-tetos miden 7 y 24. La circunferencia inscrita es la base de un cilindro de altura igual a la hipote-nusa del triángulo rectángulo. Calcular el volu-men del cilindro.

A) 215 B) 225 C) 220 D) 230 E) 600

20.- Un vaso cilíndrico cuyo diámetro mide 20 y su altura 40, está lleno de agua. Si se vierte esta agua en otro vaso, cuyo diámetro mide 40, ¿a qué altura llegará el agua?

A) 5 B) 8 C) 10 D) 20 E) 40

21.- En un recipiente cilíndrico se introduce un cuerpo y el nivel de agua que contiene se eleva en 4. Si el radio de la base del recipiente es 2, calcular el volumen del cuerpo.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

22.- Se tiene un recipiente cilíndrico, cuya base tiene un radio igual a 4 u. El recipiente tiene una cierta cantidad de agua. Al introducir un blo-que metálico se observa blo-que el nivel del agua sube 2 u. Calcular el volumen del bloque. A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

(13)

01 A 09 A 17 A 25 C 33 B 02 C 10 E 18 C 26 E 34 D 03 D 11 B 19 B 27 C 35 E 04 B 12 A 20 C 28 B 36 D 05 C 13 D 21 E 29 D 37 A 06 C 14 C 22 E 30 A 38 C 07 B 15 B 23 C 31 A 08 C 16 D 24 B 32 E

CLAVES

39 D 40 C

33.- Calcular la relación entre los volúmenes de un cilindro de revolución y un prisma triangu-lar regutriangu-lar, si los desarrollos de sus superficies laterales son congruentes.

A) 3 2 B) 3 3 C) 3 3 D) 3

 E)

2 3

34.- Una población tiene 5000 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de agua diariamente. Determinar el radio de la base de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga capacidad para una re-serva de 25% del consumo diario y tal que la altura del pozo sea cuatro veces el diámetro de la base. A) 3 25  B) 3 75 5  C) 3 75  D) 1375 2  E) 3 1 25 2 

35.- Un tanque cilíndrico cuyo diámetro mide 4 3 y su altura 12, tiene sus cinco sextas par-tes con vino. Desde su posición inicial se incli-na el tanque hasta que el vino esté a punto de caer por el borde. Calcular la medida del ángulo de inclinación.

A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º

36.- Calcular el volumen de un cilindro circular recto circunscrito a un octoedro regular cuya arista mide 2 . Además dos vértices opues-tos de dicho octoedro están ubicados en los centros de las bases del cilindro.

A)  B) 2  C) 3  D) 2 E) 2

37.- Un cilindro recto de radio «R» y altura «H» que contiene un líquido, se pone en posición horizontal sobre el suelo. Si el líquido alcanza una altura «h» (desde el suelo), determinar el área de la capa superior del líquido.

A) 2H 2Rh h 2 B) 2h 2RHh2

C) 2h 2RHH2 D) 2R 2Hh h 2 E) 2R 2hHH2

38.- Calcular el área de la sección recta de un cilindro oblicuo, si el área de la base es 100 y la generatriz forma con la base un ángulo de 60º. A) 100 B) 50 C) 50 3 D) 50 2 E) 60

39.- Un tronco de cilindro circular recto está cir-cunscrito a una esfera; si las generatrices máxi-ma y mínimáxi-ma miden 6 y 3 respectivamente, calcu-lar el área de la superficie lateral del tronco. A) 24 B) 26 C) 27 D) 18 E) 36

40.- Calcular el volumen de un cilindro oblicuo cuya generatriz forma un ángulo que mide 60º con la base y la altura mide el doble de lo que mide el radio de la sección recta, siendo este igual a 4 3.

A) 383 B) 400 C) 768 D) 540 E) 349

(14)

Referencias

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