CM2 ENRICH CREUS CARNICERO Nivel 2

CONOCIMIENTOS PREVIOS PARA SUPERFICIES EN 3D

Antes de comenzar con el Trabajo Práctico 2 quizás necesites repasar, además de los conocimientos ya repasados para la Unidad 1 (como las operaciones con expresiones algebraicas y la resolución de sistemas de ecuaciones e interpretación de sus soluciones), cuestiones como las siguientes:

1) graficar en 3D: puntos, rectas paralelas a los ejes, planos 2) acotar curvas y superficies

Para ayudarte en este proceso, hemos preparado el presente material en el que te proponemos actividades para resolver.

1. Conocimientos previos sobre puntos, rectas y planos en el espacio

1.1. Ejes y planos coordenados en el espacio

a) Sistema de ejes coordenados xyz

En esta Unidad trabajaremos con un sistema de tres coordenadas: x, y, z. Es decir, trabajaremos en tres dimensiones (3D).

El sistema mencionado está formado, entonces, por tres ejes graduados (rectas), perpendiculares entre sí:

El punto de intersección entre los tres ejes determina el origen del sistema, es decir, el punto donde x = 0 , y = 0 , z = 0.

CM2

ENRICH – CREUS – CARNICERO Nivel 2

Unidad 2 │ Conocimientos previos Superficies en 3D │ 2015

Eje y

b) Planos coordenados

Cada par de ejes, determina un plano coordenado. A continuación se grafican los tres planos coordenados. Recordaremos sus ecuaciones más adelante en este apunte.

Plano xy:

Plano xz: Plano yz:

1.2. Puntos del espacio

Los puntos se representan en el espacio mediante ternas ordenadas (x;y;z). Es fundamental tener presente el orden: la primera coordenada es el valor de x, la segunda coordenada corresponde al valor de y y la última coordenada es z.

Como ejemplo, se grafican a continuación algunos puntos:

Actividad 1: Graficá los siguientes puntos del espacio: (1;2;-3) ; (0;-2;0) ; (-5;5;7/2) ; (4;-7;6) ; (-1;0;3)

1.3. Rectas del espacio

a) Ecuaciones de los ejes coordenados

Comencemos mencionando las ecuaciones de los tres ejes del sistema: Ecuaciones del eje x:







=

=

0

0

z

y

Ecuaciones del eje y:







=

=

0

0

z

x

Ecuaciones del eje z:







=

=

0

0

y

x

Es decir que, para el primer eje por ejemplo, la variable x puede tomar cualquier valor real mientras que las otras dos variables, y y z, son nulas. Análogamente para los otros dos ejes.

b) Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes coordenados

Para poder hallar la ecuación de una recta de este tipo, debemos contar con la siguiente información:

- La dirección de la recta (es decir, indicar a cuál de los ejes coordenados es paralela la recta)

- Un punto por donde pasa la misma

   = = 6 0 y x _; z∈_R    = = 10 5 z y _; x∈_R ↓ ↓

La recta es paralela al eje z

y pasa por el punto (0;6;0) y pasa por el punto (-5;5;10) La recta es paralela al eje x

   − = − = 6 8 z x _; y∈R    − = = 9 3 y x _; z∈R ↓ ↓

La recta es paralela al eje y

y pasa por el punto (-8;0;-6) La recta es paralela al eje y pasa por el punto (3;-9;0) z

Nota: Para cada recta, se ha graficado como ejemplo uno de los infinitos puntos por donde pasa la recta.

Actividad 2: Hallá la ecuación de cada una de las siguientes rectas y graficalas: a) recta paralela al eje que pasa por el punto (2;0;4).

b) recta paralela al eje x y pasa por el punto (0;3;-5). c) recta paralela al eje y y pasa por el punto (0;-2;0).

1.4. Planos

Únicamente trabajaremos con los siguientes tipos de planos:

a) Ecuación de los planos coordenados

Las ecuaciones de los tres planos coordenados, graficados anteriormente son las siguientes: Plano xy: z = 0 (x∈_{R ; y}∈_R)

Plano xz: y = 0 (x∈_{R ; z}∈_R) Plano yz: x = 0 (y∈R ; z∈R)

Esto significa que, por ejemplo en el primer caso, las variables x e y pueden tomar valores reales cualesquiera mientras que z es nula para todos los puntos de este plano. Análogamente para los otros dos planos coordenados.

b) Ecuación de planos paralelos a los planos coordenados

Para poder hallar la ecuación de un plano de este tipo, debemos contar con los siguientes datos:

- Una dirección (es decir, indicar a qué plano coordenado es paralelo el plano del que se quiere obtener la ecuación)

- Un punto por donde pasa el plano Algunos ejemplos se grafican a continuación:

x = 6 y = -3

que pasa por el punto (6;0;0) que pasa por el punto (0;-3;5)

z = 8 ↓

Plano paralelo al plano yz que pasa por el punto (0;0;8)

Actividad 3: Hallá la ecuación de los planos y graficalos: a) plano paralelo al plano xy que pasa por el punto (1;0;-3). b) plano paralelo al plano yz que pasa por el punto (2;2;2). c) plano paralelo al plano xz que pasa por el punto (0;-4;0).

2. Cotas

2.1. ¿Qué es una cota?

Como ya sabemos, ciertas curvas del plano están delimitadas en una región determinada del plano, como la elipse, mientras que otras son infinitas, como la recta y la parábola. Cuando graficamos este último tipo de curvas en papel o en la PC, en realidad graficamos sólo una parte de las mismas. Grafiquemos la parábola y = x2 como ejemplo. Seguramente ya la has dibujado en muchas oportunidades:

Estamos acostumbrados a graficar en la región del plano que contiene al origen de coordenadas.

Hemos tomado los siguientes rangos de valores para x e y:

- 2 ≤_x≤ ₂ 0 ≤_y≤ ₄

Dado que el vértice de la parábola coincide con el origen O(0;0) y que la misma es simétrica respecto del eje y, en este caso la región considerada es apropiada.

Podemos observar que el sector de curva dibujado, no es representativo de la forma de la curva.

Es decir, la región del plano elegida no permite la visualización del vértice V(3;0) de la parábola que es el punto más notable de la misma.

Lo conveniente es, entonces, tomar otros rangos de valores para las variables.

Gráfica de y = (x – 3 )2 en la región: 1 ≤_x≤ ₅

0 ≤_y≤ ₄

En los tres gráficos realizados, los valores mínimos y máximos que toman las variables x e y son las cotas de la curva.

Con esto queremos mostrar que no sólo es importante graficar correctamente una curva del plano o una superficie del espacio, sino que además debemos elegir cotas adecuadas para las variables que permitan la visualización de los puntos notables y de la forma característica de dicha curva o superficie.

En algunas ocasiones, las cotas nos ayudan a mostrar sólo una sección de una curva o de una superficie del espacio. Analicemos el siguiente ejemplo.

Supongamos que tenemos una esfera y que queremos cortarla de modo de obtener sólo aquella región de la misma que pertenece al primer octante (esto es, cuando las tres variables x, y, z son positivas).

A continuación, hemos graficado como ejemplo una esfera de radio 5 (la ecuación de esta superficie es x2 + y2 + z2 = 25, pero la estudiaremos más adelante en esta segunda unidad).

A diferencia de otras superficies del espacio que son infinitas (un plano por ejemplo), la esfera es una superficie acotada del espacio. Esto significa que podemos dar un intervalo -continuo- que represente los valores que toma cada una de las variables. Para nuestro ejemplo:

x∈ [-5;5] o bien - 5 ≤x≤ 5 y∈ _{[-5;5] o bien - 5} ≤_y≤ ₅ z∈ [-5;5] o bien - 5 ≤z≤ 5

Para obtener sólo aquella parte de la esfera que corresponde al primer octante debemos restringir el rango de valores para las tres variables, del siguiente modo:

0 ≤_x≤ ₅ 0 ≤_y≤ ₅ 0 ≤_z≤ ₅

Actividad 4: Graficá las siguientes curvas, para el rango de valores dado en cada caso a) x2 + y2 = 25 ; siendo y≥ ₀ b) x2 + y2 = 25 ; siendo x ≤ 0 c) x2 + y2 = 25 ; siendo x≥ _{0 e y}≥ ₀ d) x2 - y2 = 1 ; siendo x≥ ₀ e) x2 - y2 = 1 ; siendo y≥ ₀ f) 1 9 2 4 2 2 = + +(y ) x _{; siendo x ≤ 0 e y ≤ 0}