1
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE
Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I
Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o
MAT2001 Fecha Actualización
Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum
Carrera/s Todas N°
APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)
Resuelve problemas utilizando la operatoria de funciones elementales. Resuelve problemas utilizando el concepto de composición de funciones.
NOMBRE DE LA ACTIVIDAD
Aplicaciones de las operaciones y composición de funciones.
Modalidad
□ Presencial □ No Presencial
Duración de la actividad (horas):
__________________________
Forma de trabajo:
□ Individual □ Grupal
- Tamaño del grupo:
□ 2 □ 3-5 □ 6-8 □ +8 Lugar: □ Sala de clases □ Laboratorio (especifique)_____________ □ Taller (especifique)_____________ □ Terreno (especifique)_____________ □ Otros (especifique)_____________ Recursos de información: □ Impreso ___________________________________________ □ Tecnológico ___________________________________________ □ Informático ___________________________________________
Material de apoyo para la actividad:
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
2
ÁLGEBRA Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Considere las siguientes funciones
f
(
x
)
yg
(
x
)
Entonces: a.(
f
g
)(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
b.(
f
g
)(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
c.)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
f
;g
(
x
)
0
d.(
f
g
)(
x
)
f
(
g
(
x
))
I Algebra de funciones.1. Dadas las siguientes funciones
x
x
x
h
x
x
g
x
x
x
f
2 22
)
(
;
1
)
(
;
3
)
(
Determine: a)f
g
b)g
f
c)f
h
d)h
g
e)f
g
f)h
g
3
2. En la fabricación y venta de unas bicicletas, los ingresos en pesos al vender
x
unidades son:I
(
x
)
12
.
056
x
.Y el costo de de producción en $, de
x
unidades es:C
(
x
)
5
.
200
x
2
.
800
Con esta información:a) Escriba la función de utilidad.
b) ¿Cuál es la utilidad al vender 1.500 bicicletas?
c) Si en Diciembre del año pasado hubo utilidades de $123.460.048, ¿cuántas unidades se produjeron?
3. Se supone que cuando el precio de cierto artículo es
p
pesos por unidad,entonces los consumidores compraran
x
unidades, donde:000
.
20
05
,
0
)
(
x
x
p
El costo de producir
x
unidades es:000
.
58
3
02
,
0
)
(
x
x
2
x
C
a) Escriba la función ingreso en función de
x
. b) ¿Cuánto es el ingreso al vender 100 unidades?c) Determine la utilidad obtenida de la venta de
x
unidades como una funciónde
x
.4
4. El costo unitario de fabricación de motos para cross country, se describe con la siguiente función:
120
.
1
320
.
14
)
(
n
e
0,031n
C
Donde
C
(
n
)
costo unitario de fabricación de las motos en dólares yn
número de motos fabricadas en cada año, el cual no puede ser menor que 60 para validar la función. Además, el precio unitario de venta de las motos, depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año. Su expresión es:n
n
P
(
)
3
.
100
4
,
2
Donde,
P
(
n
)
precio unitario de venta de las motos en dólares yn
número de motos fabricadas en cada año.a) ¿Cuál es el ingreso al vender 150 motos en un año?
b) Encuentre la función de utilidad total de la empresa de motos.
c) ¿Cuál es la utilidad total de producir y vender las motos de la pregunta (a)?
5. Para el libro “La casa de los espíritus” en su última edición, se determinó que la función de oferta es
O
(
p
)
p
2
9
p
470
y la función demanda está dada porp
p
D
(
)
500
2
, dondep
es el precio en dólares. Tenemos queO
y
D
representan el número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente:
a) ¿Cuál es el precio de equilibrio? (Dato:
O
(
p
)
D
(
p
)
)b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de equilibrio.
5
II Composición de funciones.
6. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la cantidad de kilógramos embalados por día
u
(
n
)
, es una función del número de trabajadores (n
), donde:3
3
5
20
)
(
3
n
n
n
u
El ingreso total
I
(
u
)
en pesos, que se recibe por la exportación deu
kilógramosde fruta embalados está dado por:
u
u
I
(
)
570
a) ¿Cuál es el ingreso total si el embalaje de 120 trabajadores es vendido? b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la pregunta (a) en un
40%. ¿Cuántos kilógramos se embalan por día?
c) ¿Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de
n
trabajadores es vendido?
7. Un fabricante puede vender
q
unidades de un producto al preciop
por unidad,en donde
20
p
3
q
600
. Como una función de la cantidadq
demandada en elmercado, además se sabe, que el ingreso semanal está dado por 2
15
,
0
30
q
q
6
8. El número de viviendas construidas por año,
N
depende de la tasa de interés hipotecariar
de acuerdo con la fórmula:2
100
50
)
(
r
r
N
Donde
N
está en millones de viviendas. La tasa de interés actualmente está en12% y se predice que disminuirá a 8% en los dos siguientes años de acuerdo con la fórmula:
24
8
12
)
(
t
t
t
r
Donde
t
es el tiempo medido en meses a partir de ahora.a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo. b) ¿Cuál es el número de viviendas en este instante?
c) ¿Cuál es el número de viviendas transcurrido un año y 6 meses?
9. La velocidad a la cual un químico se produce en cierta reacción, depende de la temperatura
T
de acuerdo con la fórmulaR
T
5
3
T
. SiT
varía con eltiempo de acuerdo a
T
3
(
t
1
)
, dondet
representa el tiempo en segundos.7
10. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será
C
(
p
)
0
,
4
p
1
partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que en t años la población de la comunidad será 22
,
0
8
)
(
t
p
p
miles.a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy? c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono las 6,2 partes por
millón? SOLUCIONES 1. a)
(
f
g
)(
x
)
x
2
2
x
1
b)(
g
f
)(
x
)
x
2
4
x
1
c)1
6
2
)
)(
(
x
x
x
h
f
d)2
2
)
(
2 3x
x
x
x
h
g
e)(
f
g
)(
x
)
x
2
5
x
4
f)2
3
2
)
)(
(
2
x
x
x
g
h
8
2. a)U
(
x
)
I
(
x
)
C
(
x
)
6
.
856
x
2
.
800
en pesos ($) b)U
(
1
.
500
)
$
10
.
281
.
200
c)x
18
.
008
bicicletas 3. a)I
(
x
)
0
,
05
x
2
20
.
000
x
b)I
(
1
.
500
)
$
1
.
999
.
500
c)U
(
x
)
0
,
07
x
2
19
.
997
x
58
.
000
d)U
(
250
)
$
4
.
936
.
875
4. a) 22
,
4
100
.
3
)
(
n
n
n
I
b) ne
n
n
n
n
U
(
)
1
.
980
4
,
2
2
14
.
320
0,031 c)U
(
150
)
181
.
961
,
6791
dólares 5. a)p
10
dólares b)O
(
10
)
D
(
10
)
480
libros 6. a)u
(
120
)
11
.
520
.
201
;I
(
11
.
520
.
201
)
6
.
566
.
514
.
570
Respuesta: El ingreso total es de $6.566.514.570.
b) Trabajadores
120
0
,
6
72
;u
(
72
)
2
.
488
.
441
kg. embalados por día c)3
3
5
20
570
))
(
(
)
)(
(
3
I
u
n
n
n
n
u
I
570
950
800
.
3
)
)(
(
I
u
n
n
3
n
9
7.q
p
p
3
20
200
3
20
600
2 29
400
3
000
.
8
000
.
40
15
,
0
200
000
.
6
3
20
200
15
,
0
3
20
200
30
))
(
(
)
)(
(
p
p
p
p
p
p
q
R
p
q
R
Respuesta: 23
20
200
)
)(
(
R
q
p
p
p
8.24
288
4
24
8
12
)
(
t
t
t
t
t
r
; 2100
50
)
(
r
r
N
a) 224
288
4
100
50
))
(
(
)
)(
(
t
t
t
r
N
t
r
N
O bien desarrollado y reduciendo términos semejantes, quedaría como:
272
.
70
552
.
3
58
400
.
14
200
.
1
25
544
.
140
104
.
7
116
800
.
28
400
.
2
50
))
(
(
)
)(
(
2 2 2 2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
r
N
t
r
N
b)
204918
,
0
122
25
24
0
288
0
4
100
50
)
0
)(
(
2
r
N
Respuesta: El número de viviendas en este instante es de aprox. 204.918 viviendas. c) Cuando han transcurrido un año y 6 meses, significa que
t
18
meses.
288235
,
0
170
49
24
18
288
18
4
100
50
)
18
)(
(
2
r
N
Respuesta: El número de viviendas en un año y 6 meses es de aprox. 288.235 viviendas.
10
9.
(
R
T
)(
t
)
R
(
T
(
t
))
3
t
3
5
3
3
t
3
10.
C
(
p
)
0
,
4
p
1
;p
(
t
)
8
0
,
2
t
2a)
(
C
p
)(
t
)
C
(
p
(
t
))
0
,
4
8
0
,
2
t
2
1
O bien desarrollado y reduciendo términos semejantes, quedaría como:
2
,
4
08
,
0
))
(
(
)
)(
(
C
p
t
C
p
t
t
2
b)(
C
p
)(
2
)
C
(
p
(
2
))
0
,
08
2
2
4
,
2
4
,
52
Respuesta: El nivel de monóxido de carbono a los 2 años será de 4,52 partes por millón. c)
6
,
2
0
,
08
t
2
4
,
2
.5
25
25
08
,
0
2
2
08
,
0
t
2
t
2
t
2
t
t
Respuesta: A los 5 años se alcanzará un nivel de monóxido de carbono de 6,2 partes por millón.