Componentes de una función
por Oliverio Ramírez y Felipe de la Rosa
Dominio y Rango
De acuerdo con Fuenlabrada (2001), para que exista una función se necesitan tres componentes:
Figura 1. Función.
El dominioes un conjunto de números reales, pero el rangotambién. Entonces:
¿Cuál es la diferencia?
El dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente (valor de entrada). En la mayoría de los casos, la letra que se emplea para representar la variable independiente será la x. El rango es el conjunto de valores que toma la variable dependiente (valor de salida). En la mayoría de los casos, la letra que se emplea para representar la variable independiente será la y. Ahora, la forma en que representaremos los conjuntos del rango y dominio es mediante intervalos numéricos.
Un intervalo es, por ejemplo, entre 50 y 300, de 160 a 169 o más de 180. En Matemáticas es
necesario usar una notación más adecuada con el fin de evitar posibles confusiones o errores. Los
paréntesis y corchetes nos ayudan a definir esto de la siguiente manera:
• Los paréntesis curvos ( ) nos dicen que el número al que acompañan NO pertenece al
Analiza los ejemplos de la siguiente tabla y complétala escribiendo Sí o No en lugar de ¿?, a un lado del elemento que se propone.
Lee con detenimiento la columna Significado, ahí se indica en palabras qué números se encuentran en el intervalo. [Puedes ver las respuestas a la tabla al final de este documento]
Intervalo Significado Elemento Pertenece
(5, 10]
Todos los números mayores que 5, pero menores o iguales a 10. 5 10 5.3 10.25 No Sí ¿? No (5, 10]
Todos los números entre 8 y 13, sin incluir al 8 ni al 13. 8 9.5 12.99 13 ¿? Sí ¿? No [15, 22)
Todos los números mayores o iguales a 15 pero menores de 22. 15 15.46 22 21.95 Sí Si ¿? ¿?
Tabla 1. Intervalo y su significado
Pero, ¿cómo escribimos el intervalo más de 180? Para definir este tipo de intervalo, también nos basaremos en ( ), así como en [ ] pero con la ayuda del símbolo
∞
, ¿conoces este símbolo?, ¿sabes qué representa?El símbolo
∞,
se conoce con el nombre de infinito y representa cantidades infinitamente grandes(
+
∞
) o infinitamente pequeñas (-
∞
).De esta forma, el intervalo más de 180 puede escribirse:
Su significado es todos los números mayores que 180, por ejemplo 180.1, 190, 250, pero no 180. Si
quisiéramos representar un intervalo de todos los estudiantes que midan menos de 150
centímetros, dicho intervalo se escribiría (-∞, 150).
Algunos ejemplos de números que se encuentran dentro de este intervalo son: 149, 120, 56. ¿Se
te ocurren otros?
Es importante señalar que siempre que se utilice el símbolo
∞
en un intervalo, se acompañará de paréntesis ( ), como en los casos mostrados. Esto es cierto, porque∞
es un símbolo que representa una cantidad desconocida y por lo tanto inalcanzable. Sin embargo, cuando el número de elementos del dominio o del rango pueden enumerarse, se utilizan las llaves { } para denotarlos.Por ejemplo, si el dominio son solamente los números 1, 2 y 3 entonces podemos escribir:
D={1, 2, 3}
Para que puedas comprender mejor cada uno de estos conceptos considera el siguiente ejemplo:
Imagina que como proyecto de vacaciones de verano se te ha encomendado la tarea de pintar la fachada de tu casa. Al revisar el patio te encuentras con una cubeta grande de pintura roja, y tres cubetas más pequeñas de color amarillo, azul, y blanco.
Como el rojo, no es de tu agrado, decides agregar alguno de los tres colores a la cubeta roja para crear otro.
Valores de entrada (x) Valores de salida (y)
Blanco Rosa Morado Naranja Azul Amarillo
De acuerdo con la definición, dominio es el conjunto de valores posibles que toma la variable independiente o variable de entrada.
En este caso:¿Qué valores puede tomar la variable independiente?
Los únicos que se tienen a la mano para combinar: Blanco, Azul y Amarillo. De forma matemática D {Blanco, Azul, Amarillo}
De acuerdo con la definición, rango es el conjunto de valores posibles que toma la variable dependiente o variable de salida.
En este caso: ¿Qué valores puede tomar la variable dependiente?
Los únicos que pueden obtenerse al combinar alguno de los colores disponibles con el color rojo: Rosa, morado, naranja
De forma matemática R {Rosa, Morado, Naranja}
Al evaluar el dominio y rango de cualquier función siempre debemos preguntarnos ¿Qué valores son los
que puede tomar la variable?
Dominio y rango en gráficas
La representación gráfica es una herramienta muy útil para poder identificar el dominio y rango de funciones matemáticas, ya que nos permite observar en una imagen los valores posibles para una variable. En los siguientes ejemplos se presentan tres gráficas de funciones, y con base en ellas se determina tanto el dominio, como el rango.
Al observar la gráfica de la función y=x2 podemos ver que x, la variable independiente,
puede tomar valores positivos y negativos. Mientras que la variable dependiente y, sólo toma valores positivos (de cero hacia arriba), por lo que su dominio y su rango se expresan como sigue:
D (- ∞, ∞) (la variable independiente puede tomar cualquier valor).
R [0, ∞) (la variable dependiente puede tomar valores desde 0 hasta el infinito).
Ejemplo 2: y=x
Figura 3. Función y=x
Al observar la gráfica de la función y=x podemos ver que tanto la variable independiente (x), como la variable dependiente (y), puede tomar valores positivos y negativos, por lo que su dominio y su rango se expresan como sigue:
D (- ∞, ∞) (la variable independiente puede tomar cualquier valor).
Ejemplo 3:
y
=
x
−
4
Figura 4. Variable independiente.
Al observar la gráfica de la función 2
4
−
=
x
y
podemos ver que la variable independiente(x) sólo puede tomar valores mayores a 2 y menores a -2, mientras que la variable independiente (y) sólo puede tomar valores positivos.
El dominio y rango de esta función se expresan como sigue:
D (-∞,-2] y [2, ∞) (la variable independiente puede tomar valores menores a 2 y mayores a 2).
R [0, ∞) (la variable dependiente puede tomar valores desde 0 hasta el infinito).
Ya que conoces los componentes de una función, ahora se te presentan algunas de las funciones matemáticas que existen:
Función Descripción Ejemplo
Trigonométrica Seno, coseno, tangente…
Logarítmica Todas aquellas que contengan un logaritmo acompañando a la variable independiente.
Exponencial Todas aquellas que incluyan a la variable independiente en el exponente. Algebraica Todas aquellas que sólo contemplan operaciones algebraicas.
Respuestas a la tabla
Intervalo Significado Elemento Pertenece
(5, 10] Todos los números
mayores que 5, pero menores o iguales a 10. 5 10 5.3 10.25 No Sí Sí No
(5, 10] Todos los números
entre 8 y 13, sin incluir al 8 ni al 13. 8 9.5 12.99 13 No Sí Sí No
[15, 22) Todos los números
mayores o iguales a 15 pero menores de 22. 15 15.46 22 21.95 Sí Si No Sí Referencias
Arya, J. y Lardner, R. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. México: Pearson Educación.
Fuenlabrada , S. (2001). Cálculo Diferencial, México: McGraw-Hill Interamericana. [Versión en línea]. | Recuperado de 13 junio del 2012, de la base de datos de Bibliotechnia de la Biblioteca Digital de la UVEG.
Purcell, E.; Varberg, D.; Rigdon, S. (2001). Cálculo. México: Pearson Educación. Disponible en: http://www.bibliotechnia.com/bibliotechnia20/index.php. Recurso disponible en la Biblioteca Digital UVEG.
Figuras
1-4 De “Componentes de una función”, por O. Ramírez, 2010, Profesor Experto en
