2015 -II. preguntas y respuestas. Matemática. Pregunta N. o 1. Pregunta N. o 4. Pregunta N. o 2. Pregunta N. o 5. Pregunta N. o 3. Examen de admisión

(1)

Examen de admisión

Matemática

preguntas y

respuestas

Pregunta N.

o

1

Sea {x, y} ⊂ R de modo que 1 3 2 1 2 3 4 5 x− y+ x+ y= x y+ El valor de x y x y + − 2 2 es Rpta.: 7 9

Pregunta N.

o

2

Una raíz de ecuación x4+mx2 – 2(m+2) es el triple de otra raíz, entonces uno de los valores de m es

Rpta.:

– 20

Pregunta N.

o

3

Sea f una función definida por

f x x x x x ( )= − −( ) + ≤ ≤ − −( ) + ≤ ≤     2 2 0 2 4 6 2 4 2 2 ; ;

Determine la función inversa de f.

Rpta.: f x x x x x * ; ; ( )= − − − ≤ ≤ − − ≤ ≤     2 2 2 2 4 6 2 6

Pregunta N.

o

4

Señale al alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Toda recta en el plano XY representa a una función lineal.

II. Toda función f: A→ B sobreyectiva es una función inyectiva.

III. Si f⊂A×B es una relación tal que para cada par (x, y); (x, z) ∈f implica y=z. Entonces f

es una función inyectiva.

Rpta.:

FFF

Pregunta N.

o

5

Indique la alternativa correcta después de deter-minar si dicha proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado.

I. 1 1 100 0 100 ₊ 4 −    = =

∑

i_i k k II. E l m ó d u l o d e l n ú m e r o c o m p l e j o w=

( )( )

1 2 3 4

_{( )}

2 1 , , , es 5.

III. La suma de los números complejos que satisfacen la ecuación

(x+1)2+2i=4+(3+y)i es (– 2; – 2)

Rpta.:

(2)

Dado el conjunto solución CS=〈0; a〉 ∪〈b; ∞〉 de la inecuación (Lnx – 2)(x – 1)>0 Determine el valor de E Ln b a = _ _. Rpta.: 2

Pregunta N.

o

7

Sea A una matriz de orden 3×3 tal que A3=– I, I

matriz identidad. La adjunta de la matriz A10, Adj (A10), es igual a:

Rpta.:

|A|A– 1

Pregunta N.

o

8

Identifique el gráfico que mejor representa al conjunto solución del sistema.

x+y > 0 – 3x – 3y≥ – 6

Rpta.:

Pregunta N.

o

9

Dadas las siguientes proposiciones:

I. En un problema de programación lineal, el valor óptimo de la función objetivo es alcanzado en un vértice de la región admisible. II. Si a la región admisible de un problema de

programación lineal se le adiciona una nueva restricción de la forma ax+by≤ c, el valor

maximización y z* es el valor óptimo, se tiene entonces que z* ≥ ax+by para todo (x, y) en la región admisible, (ax+by es la función objetivo).

Son correctas

Rpta.:

I y III

Pregunta N.

o

10

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).

I. Sea f una función polinomial y (x_n) una sucesión convergente. Entonces la sucesión (y_n), donde y_n=f(x_n), es convergente. II. Para todo x ∈〈– 1, 1〉 se cumple

x x k k= ∞

∑

= − 0 1 1

III. Toda sucesión alternante es convergente.

Rpta.:

VFF

Pregunta N.

o

11

Considere CS el conjunto solución de la siguiente inecuación

log4x_< logx_{, con}_x_{< 10.}

Determine el valor de

M=card(CS ∩Z),

donde card denota la cardinalidad de un conjunto.

(3)

Pregunta N.

o

12

Dado el sistema de ecuaciones lineales

x+2Ky+z=4

x – y – z= – 8 – x+y+Kz=6

Determine el o los valores de K para que el sistema tenga solución única.

Rpta.: \ ;1 1 2 −

{ }

Pregunta N.

o

13

El precio de un diamante es directamente propor-cional al cuadrado de su peso. Así un diamante cuyo peso es 1,5 gramos cuesta S/.18 000. Si este diamante se parte en dos pedazos, ¿cuál sería el peso (en gramos) de cada parte para tener un precio total óptimo?

Rpta.:

0,75 y 0,75

Pregunta N.

o

14

20 escolares asisten al centro recreacional Huam-paní, los cuales llevan celular, cámara o ambos. Se sabe que 5 escolares llevan ambos accesorios y la proporción de escolares con solo cámara es a los escolares con solo celulares como 1 es a 2. Se forman grupos de 5 estudiantes para competir en diversos juegos. ¿De cuántas maneras se pueden formar los grupos que tengan un accesorio sola-mente del mismo tipo?

Rpta.:

253

Pregunta N.

o

15

En un avión el número abc de personas que via-jan satisface 150 < abc < 300 de los cuales a0c

son hombres y ab son mujeres, siendo pasajeros, además son c aeromozas y a pilotos. Determine la suma de los dígitos luego de calcular cuántos hombres más que mujeres hay en el avión en total.

Rpta.:

17

Pregunta N.

o

16

Determine el valor de (a+b+c) si

a1a+a2a+a3a+...+a9a=bcd4

Rpta.:

20

Pregunta N.

o

17

En la diferencia que se muestra

91001_{– 7}1001_=..._a_{, donde la cifra de las unidades}

es a. Halle a3+a2+2.

Rpta.:

14

Pregunta N.

o

18

Sea ab un número primo mayor que 40. Deter-mine el número de divisores que tiene el número

ababab00.

Rpta.:

(4)

Sea A un número entero positivo de 10 cifras y

B=0,abcdefg donde g≠ 0. Del producto AB se afirma que

I. es un entero.

II. puede ser entero que tiene dos cifras. III. puede ser un entero con parte entera no nula

y parte decimal no nula.

¿Cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?

Rpta.: solo III

Pregunta N.

o

20

Dada la sucesión a₁= 3; a₂= 3 3; a₃= 3 3 3; a_n n = 3 3 3... radicales calcule E a a a a = ⋅ ⋅ 2003 22006 2 2004 2005 Rpta.: 1

Pregunta N.

o

21

Dada la parábola P: y=x2_{y la recta}

_L

_:_{x –}₂_y_=10,

halle la distancia (distancia mínima) entre ellas.

Rpta.: 79 5 40

Pregunta N.

o

22

Si se cumple que a x b sen x ab a b ⋅ + ⋅ = + cos4 4

calcule el valor de tan2x.

Rpta.:

a

Sea la función y=A · arcsen(Bx+C)+D; A, B>0 con gráfica X Y 1 3 π 2 – π 2 3π 2 Calcule K_{= + + }A B C 4D_ π Rpta.: –1

Pregunta N.

o

24

Determine el dominio de la función con regla de correspondencia: f x( )=42sec2x−tan4x− −3 4 Rpta.: 2 1 4 n n + _∈

{

π Z

}

Pregunta N.

o

25

Si para f∈ [0,2p] se tiene

senf+cosf+sen2f=[senf+cosf+A]2+B, entonces (2A+4B) es igual a:

(5)

Pregunta N.

o

26

En el círculo trigonométrico de la figura, determine el área del triángulo sombreado.

θ Y X Rpta.: cosq

Pregunta N.

o

27

En el gráfico mostrado M y N son los puntos de intersección entre las gráficas de y=x2_e_y_=–_x_+6.

Calcule E=2tanb+3tanq.

y=–x+6 y=x2 M N Y X β θ Rpta.: 0

Pregunta N.

o

28

De la figura AOB y COD son sectores circulares. Si las áreas de las regiones COD y CABD son S y 3S u2 respectivamente y L__AB=4 u. Determine la medida del lado OC en función de S.

C A B D O Rpta.: S

Pregunta N.

o

29

La base de un triángulo isósceles mide 2 m. Si las medianas relativas a los lados congruentes se cortan perpendicularmente, entonces determine el área del triángulo (en m2).

Rpta.:

1,5

Pregunta N.

o

30

Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos, con centros A, B y C respectivamente, donde AB = 5 cm, AC = 7 cm y BC = 8 cm,

M∈BC es punto común de tangencia entre dos circunferencias, determine AM en cm.

Rpta.:

(6)

Sean

L

1y

L

2 dos rectas que se cruzan.

L

3 es

una recta contenida en el mismo plano de

L

2 tal

que

L

3⊥

L

2 y R=

L

2∩

L

3. El triángulo RQP

P∈

(

L

1

)

es recto en Q∈

L

2. Si QRT T

(

∈

L

3

)

es

un triángulo isósceles con QT = 6 u y PR = 3RT, determine la distancia (en u) entre

L

1y

L

2.

Rpta.: 12

Pregunta N.

o

32

En la figura, si AF//DE, AF = 11 cm, BD = 3 cm, BE = 4 cm y AC= 22 7 7 cm, entonces AB BC es A E B C F D Rpta.: 2 7

Pregunta N.

o

33

Una recta corta perpendicularmente a dos planos paralelos en los puntos A y B. Otra recta corta a dichos planos en C y B. Determine el área (u2_{) del}

triángulo ABC sabiendo que la distancia entre los planos es 12 u y BC = 13 u.

Rpta.:

ABCDEFGH es un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio R= 2+ 2 . Si

AF=b, AC=a, entonces 2b 2 2 a 2 ab + − _es igual a Rpta.: 1

Pregunta N.

o

35

Se tiene un tronco de pirámide triangular cuyas bases son ABC y A'B'C', siendo ABC un triángulo equilátero de lado 4 cm. M y N son los puntos medios de A'C' y B'C' respectivamente. Si las dis-tancias de los puntos M, C' y N al plano de la base

ABC son 2 cm,  cm y 3

2



cm, respectivamente, halle el volumen (en cm3) del tronco de pirámide.

Rpta.:

8



3 3

Pregunta N.

o

36

Se tiene un cilindro oblicuo con diámetro de la base AB=10 cm y generatriz CB. Se pro-longa AB hasta el punto D de tal forma que

CD=12 cm, M punto medio de BC, mBCD=a, mBDM=90º – mBCD. Si a < mCBD, halle el volumen del cilindro (en cm3).

(7)

Pregunta N.

o

37

Si una esfera de radio r cm se inscribe en un cono recto equilátero, cuyo radio de la base mide

R cm, entonces la razón entre dichos volúmenes respectivamente es:

Rpta.:

4 9

Pregunta N.

o

38

Se tiene un tetraedro regular ABCD. Si la distancia del centro de la cara ABC a la altura del tetraedro trazada desde el vértice B es d, determine el vo-lumen del tetraedro.

Rpta.: 27 4 6 3 d

Pregunta N.

o

39

Determine el volumen generado por el segmento que une los puntos (0; 0) y (3; 4) al ser rotado en torno de la recta diagonal del primer cuadrante del plano. Rpta.: 7 6 2 π

Pregunta N.

o

40

Se tienen dos planos P y Q perpendiculares entre sí, se cortan según una recta

L

. La recta que une un punto A de P con un punto B de Q forma con

P un ángulo de 30º y con Q de 45º. Calcule la media de AB si la distancia mínima entre la recta

L

y AB es 4 3 1

(

−

)

cm.

Rpta.: