Algebra Lineal: Combinaci´on Lineal Departamento de Matem´aticas Intro Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6
En esta secci´on introduciremos el concepto de combinaci´on lineal. Este concepto permite reinterpretar lo que significa la soluci´on de un sistema de ecuaciones lineales. Desde nuestro punto de vista, el concepto de combinaci´on lineal marca el inicio del ´algebra lineal.
Combinaci´on Lineal Departamento de Matem´aticas Intro Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo
Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:
2x + 3y + z = 8
−x + 3y = 3
2x + y − z = 12
Este sistema lo podemos resolver formando la aumentada y reduciendo: x y z 2 3 1 8 −1 3 0 3 2 1 −1 12 → x y z 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 −4
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Como estamos interesados en ver qu´e representa la soluci´on a un SEL, sustituyamos en la sistema original:
2 (3) + 3 (2) + 1 (−4) = 8
−1 (3) + 3 (2) + 0 (−4) = 3 2 (3) + 1 (2) − 1 (−4) = 12
Estas tres igualdades pueden verse como una igualdad entre vectores: 2 (3) + 3 (2) + 1 (−4) −1 (3) + 3 (2) + 0 (−4) 2 (3) + 1 (2) − 1 (−4) = 8 3 12
de donde, si separamos y sacamos constantes en el lado izquierdo tenemos 3· 2 −1 2 + 2· 3 3 1 −4· 1 0 −1 = 8 3 12
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Resumiendo, si la soluci´on al SEL con aumentada 2 3 1 8 −1 3 0 3 2 1 −1 12 esx= 3, y= 2 y z =−4. Entonces 3· 2 −1 2 + 2· 3 3 1 −4· 1 0 −1 = 8 3 12
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Resumiendo, si la soluci´on al SEL con aumentada 2 3 1 8 −1 3 0 3 2 1 −1 12 esx= 3,y= 2 yz =−4. Entonces 3· 2 −1 2 +2· 3 3 1 −4· 1 0 −1 = 8 3 12
Observe que el proceso es perfectamente reversible: si se tienen los coeficientes, entonces se tienen los valores de las inc´ognitas del sistema; es decir se tiene una soluci´on. Resumiendo,
La soluci´on a un SEL representa los coeficientes por los cuales hay que multiplicar las columnas de la matriz de coeficientes para que al sumar resultados se obtenga el vector de constantes.
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Six = 3 yy = 2 es soluci´on al SEL con aumentada
1 −3 −3 2 −1 4
yx= 1 y y =−5 es soluci´on al SEL con aumentada
1 −3 16 2 −1 7
¿qu´e se puede decir de la soluci´on a
1 −3 13 2 −1 11
?
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Tenemos quex= 3, y = 2 soluci´on a 1 −3 −3 2 −1 4 implica 3 1 2 + 2 −3 −1 = −3 4
mientras quex= 1, y =−5 soluci´on a 1 −3 16 2 −1 7 implica 1 1 2 −5 −3 −1 = 16 7
Al sumar miembro a miembro las igualdades tenemos 4 1 2 −3 −3 −1 = 13 11
por tantox = 4,y =−3 ser´a soluci´on a
1 −3 13 2 −1 11
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Suponga quex= 3, y = 2 es una soluci´on al SEL: x − 3y = −3
2x − y = 4
¿puede dar una soluci´on al SEL:
−3x + y = −3
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Como la matriz aumentada de
x − 3y = −3 2x − y = 4 es 1 −3 −3 2 −1 4
, quex = 3,y = 2 sea soluci´on implica
3 1 2 + 2 −3 −1 = −3 4 es decir 2 −3 −1 + 3 1 2 = −3 4 y como −3 1 −3 −1 2 4 ,es la matriz aumentada de −3x + y = −3 −x + 2y = 4
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Suponga quex= 3, y = 2 es una soluci´on al SEL: x − 3y = −3
2x − y = 4
¿puede dar una soluci´on al SEL:
x − 3y = −12
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Como la matriz aumentada de
x − 3y = −3 2x − y = 4 es 1 −3 −3 2 −1 4
, quex = 3,y = 2 sea soluci´on implica
3 1 2 + 2 −3 −1 = −3 4
si multiplicamos por 4 obtenemos 12 1 2 + 8 −3 −1 = −12 16 y como 1 −3 −12 2 −1 16 ,es la matriz aumentada de x − 3y = −12 2x − y = 16
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Suponga quex= 3, y = 2 es una soluci´on al SEL: x − 3y = −3
2x − y = 4
¿puede dar una soluci´on al SEL:
x − 6y = −3 2x − 2y = 4 ?
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Como la matriz aumentada de
x − 3y = −3 2x − y = 4 es 1 −3 −3 2 −1 4
, quex = 3,y = 2 sea soluci´on implica
3 1 2 + 2 −3 −1 = −3 4 de donde 3 1 2 + 1 −6 −2 = −3 4 y como 1 −6 −3 2 −2 4 ,es la matriz aumentada de x − 6y = −3 2x − 2y = 4
Combinaci´on Lineal Departamento de Matem´aticas Intro Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo
Suponga quex= 3, y = 2 es una soluci´on al SEL: x − 3y = −3
2x − y = 4
¿puede dar una soluci´on al SEL:
x − 6y + 8z = −3 2x − 2y + 7z = 4 ?
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Como la matriz aumentada de
x − 3y = −3 2x − y = 4 es 1 −3 −3 2 −1 4
, quex = 3,y = 2 sea soluci´on implica
3 1 2 + 2 −3 −1 = −3 4 de donde 3 1 2 + 2 −3 −1 + 0 8 7 = −3 4 y como 1 −6 8 −3 2 −2 7 4 ,es la matriz aumentada de x − 6y + 8z = −3 2x − 2y + 7z = 4
