Integrales de Superficie
12.1.
Definiciones B´
asicas
Nuestro porp´ostito en esta secci´on es el definir el concepto de integral de una funci´on f :M →R sobre una superficie M en el espacio.
Para este prop´osito debemos definir el concepto de superficie orientable. En R3 una superficie orientable es esencialmente una superficie que tiene
dos caras. M´as precisamente, una superficie es orientable si es posible definir continuamente un vector perpendicular en cada punto de la superficie. Al-gunos ejemplos de superficies orientables son:
(i) La esfera Sr ={(x, y, z)∈R3 |x2+y2+z2 =r2} (ii) El cilindro C={(x, y, z)∈R3 |x2+y2 = 1} (iii) El elipsoide E = (x, y, z)∈R3 | x 2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1
Un ejemplo t´ıpico de una superficie no orientable lo constituye la banda de M¨obius (Figura 1). Observe que en este ejemplo es posible definir un vector normal en cada punto de la superficie de modo que vuelva al punto inicial con direcci´on contraria.
Figura 1 1
Definici´on 12.1. Supongamos que S ⊆ R3 es una superficie acotada
ori-entable representada por un vector posici´on
φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), en donde (u, v)∈[a, b]×[c, d]. Entonces,
(i) Si f :S →R una funci´on, definimos
Z Z S f dS = Z Z [a,b]×[c,d] f(x, y, z) ∂φ ∂u × ∂φ ∂v dudv
(ii) Si f :S →R3 es una funci´on vectorial, definimos
Z Z S f dS = Z Z [a,b]×[c,d] f(x, y, z),∂φ ∂u × ∂φ ∂v dudv
Observaci´on 12.1. Aqu´ı se tiene ∂φ ∂u = ∂x ∂u(u, v), ∂y ∂u(u, v), ∂z ∂u(u, v) ∂φ ∂v = ∂x ∂v(u, v), ∂y ∂v(u, v), ∂z ∂v(u, v) En notaci´on reducida, φu = (xu, yu, zu) y φv = (xv, yv, zv).
El primer tipo de integral definido arriba puede ser usado en una variedad de situaciones, por ejemplo para hallar el ´area de una superficie, para hallar la masa de una l´amina con distribuci´on de densidad superficial f(x, y, z) = σ(x, y, z) variable, para hallar el centro de masa de la misma lamina o su momento de inercia respecto a alg´un eje, etc. El segundo tipo de integral tiene amplio uso en campos vectoriales. As´ı su uso es imprescindible cuando se trata de campos el´ectricos, campos magn´eticos, etc.
Teorema 12.1. Se tiene que ∂φ ∂u × ∂φ ∂v =√EG−F2
donde E = ∂φ ∂u 2 =x2u+yu2+zu2 F = ∂φ ∂u, ∂φ ∂v =xuxv+yuyv +zuzv G = ∂φ ∂u 2 =x2v+y2v+zv2
Ejemplo 12.1. Usando la f´ormula anterior, calcule el ´area de una esfera de radio R.
Soluci´on. Una parametrizaci´on de la esfera de radio R. esta dada por φ(u, v) = (Rsenvcosu, Rsenvsenu, Rcosv)
en donde (u, v)∈[0,2π]×[0, π] y tenemos que
E = kφuk2 =x2u+y2u+zu2 =R2sen2v
F = hφu, φvi= 0
G = kφvk2 =x2v +yv2+zv2 =R2
por lo que√EG−F2 =√R4sen2v =R2senv. Entonces, el ´area de la esfera
es AreaSR = Z SR dS = Z 2π 0 Z π 0 √ EG−F2dudv = Z 2π 0 Z π 0 R2|senv|dvdu = 2πR2 Z π 0 senvdv = 4πR2.
Ejemplo 12.2. Calcule el ´area de la superficie helicoidal dada por φ(u, v) = (ucosv, usenv, v)
Soluci´on. Una representaci´on de la superficie puede verse en la figura 2. Se tiene que
E = kφuk2 = 1
F = hφu, φvi= 0
G = kφvk2 =u2+ 1
Por lo que el ´area de la helicoide es
A = Z Z [0,1]×[π,5π] √ EG−F2dudv = Z 2π 0 Z 1 0 √ u2+ 1dudv
= πu√u2+ 1 +πarc senu
1 0
= π√2−πuln(√2−1)
12.2.
Teorema de la Divergencia de Gauss
Teorema 12.2. SeaF~ = (f1, f2, f3)un campo vectorial continuamente
difer-enciable definido en una regi´on Ω⊆R3 acotada por una superficie S
contin-uamente diferenciable. Entonces, Z Z S hF , ~n~ idS = Z Z Z Ω ∇ ·F dV~
en donde ~n es el vector unitario perpendicular a la superficie y que apunta en sentido opuesto al volumen. La expresi´on
∇ ·F~ =DivF~ = ∂f1 ∂x + ∂f2 ∂y + ∂f3 ∂z , se conoce como la divergencia de F~.
Ejemplo 12.3. Calcule, usando el teorema de la divergencia de Gauss la integral,
Z Z
S
en donde S es la superficie de la bola unitariax2+y2+z2 ≤1.
Soluci´on. Para poder aplicar el teorema de la divergencia de Gauss necesi-tamos escribit el argumento de la integral de la forma F~ ·~n dS para alguna funci´on vectorial F~. Como~n= (x, y, z) entonces,
~
F = (xy, y, xy)
cumple la exigencia. Por lo tanto, de acuerdo al TDG se tiene Z Z S (x2y+y2+xyz)dS = Z Z S hF , ~n~ idS = Z Z Z S ∇ ·F dV~ = Z Z Z S (y+ 1)dV = Z Z Z S ydV + Z Z Z S dV
La primer integral se puede probar que es cero, mientras que la segunda es simplemente el volumen de la esfera, que como sabemos es 4π/3.
12.3.
Teorema del rotacional de Stokes
Suponga que S es una superficie continuamente diferenciable orientada en R3 por medio de un vector normal ~n(x, y, z) y acotada por una curva γ.
Diremos que la superficieS y la curvaγ est´an orientadas positivamente, si la direcci´on de recorrido de la curva y la direcci´on del vector~nest´an orientados seg´un la regla de la mano derecha.
Observaci´on 12.2. Recordemos que si un campoF~ = (f1, f2, f3) es
conser-vativo entonces satisface ∇ ×F~ =~0, en donde
∇ ×F~ = i j k ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z f1 f2 f3 = ∂f3 ∂y − ∂f2 ∂z , ∂f1 ∂z − ∂f3 ∂x, ∂f2 ∂x − ∂f1 ∂y
Ahora podemos enunciar el teorema que generaliza a tres dimensiones el teorema de Green.
Teorema 12.3 (Stokes). Sea S una superficie orientable acotada por una curva de Jordan γ. Suponga que F~ = (f1, f2, f3) es un campo vectorial
con-tinuamente diferenciable. Entonces, si la superficieS y la curva γ est´an ori-entadas positivamente, se cumple
I γ ~ F ·d~r = Z Z S D ∇ ×F , ~n~ EdS .
Ejemplo 12.4. Verifique el teorema de Stokes para el campo vectorial ~
F = (z−y, x+z,−x−y)
y la superficie acotada por el paraboloide z = 4−x2−y2 y el plano z= 0.
Soluci´on. Calculemos en primer lugar H
γ
~
F ·d~r. Para esto, consideremos la parametrizaci´on
~r(t) = (2 cost,2 sent)
de la curva γ correspondiente a la intersecci´on del paraboloide con el plano z = 0. Por lo tanto, I γ ~ F ·d~r= Z 2π 0 (4 sen2t+ 4 cos2t)dt= 8π .
Calculamos ahora la integral RR
S h∇ ×
~
F , ~nidS.
Observe que el gradiente de la funci´on z +x2 +y2 nos entrega un vector
normal a la superficie. Por lo tanto,
~n= p(2x,2y,1) 4x2+ 4y2+ 1
es un vector unitario normal a la superficie. Por otro lado, como la superficie est´a parametrizada por
entonceskφu×φvk=
√
EG−F2 =p
4x2+ 4y2+ 1. Por lo tanto, obtenemos
que Z Z S h∇ ×F , ~n~ idS = Z Z x2+y2≤1 (−4x+ 4y+ 2)dxdy = Z 2π 0 Z 2 0 (4rcosθ+ 4rsenθ+ 2)rdr = 8π
