Taller 1 matemáticas: Preparación 1 parcial. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. UdeA

Taller 1 matemáticas: Preparación 1° parcial. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. [email protected]. UdeA 2016-1

Elementos de Aritmética

Operaciones aritméticas con números racionales 1. Simplifica las siguientes fracciones:

a) 4.200 440 . 1 b) 264 003 . 3 c) 024 . 1 128

2. Escriba como decimal finito ó infinito periódico:

a) 3 1 b) 10 9 c) 9 10 d) 8 35

3. Escriba como fracción:

a) 0,7777...=0.7 b) 0,1232323...=0.123 c) 0,125634634...=0,125634 d) 1,4142 _{e) 423,0121212...=423,012} f) −14,05

g) 3,175 h) 0,003 _{i) 2,03333...=2.03}

4. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada:

a)             − − + ÷ − + + 3 1 2 1 2 1 1 3 1 4 3 2 1 2 1 3 2 2 b) 3 7 5 4 4 3 2 3 − − + c) 5 1 . 7 6 . 2 5 d) 16 9 2 5 4 . 3 7 2 +       − − e) 5 4 1 3 5 6 4 2 + − + f)       + −       + 2 9 3 3 5 3 g)             − − − 2(8 10) 7 5 4 3 h)       ÷ −       + − − 9 7 3 2 3 5 4 2 3 4

i)       ÷ +       − − − 8 7 3 2 7 1 3 4 2 5 4 j)                   − − − − + 3 1 2 1 * 2 4 1 2 1 2 3 2 1 1 * 4 1 k) 5 4 7 2 l) 26 3 2 1 4 1 * 13 11 _÷       − − m)       + − + 4 3 6 1 . 2 7 4 : 5 2 5 1 n)       + −       ÷ − − 9 2 2 7 5 3 4 2 2 3 o) ) 2 1 3 ( 4 2 3 2 2 3 _{+ +}     − + p) 3 1 + 1 -2 3 3 2 -1 Razones y proporciones 5. Resolver el problema:

a) En la práctica farmacéutica, la utilización de medicamentos en solución requiere algunos cálculos teniendo en cuenta las concentraciones de estos productos para poder preparar o administrar las dosis adecuadas de dicho medicamento. Un tipo de cálculo por ejemplo, se hace teniendo en cuenta la cantidad del fármaco que hay en una cantidad determinada de solución.

La Digoxina es un medicamento que se usa para tratar la insuficiencia y la frecuencia cardíaca anormal (arritmias). Ayuda a que el corazón funcione mejor y a controlar su

frecuencia cardíaca. Viene en varias presentaciones como ampolla con 0,25 mg de Digoxina en 1 ml de solución.

Calcular que cantidad de digoxina se le ha dado a un niño al administrarle 7,5 ml de una solución de digoxina que tiene una concentración de 0,25 mg/5ml.

b) 50 hombres tienen provisiones de víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Si las raciones se disminuyen en 1/3. ¿Cuántos días durarán los víveres si se aumentan 10 hombres?.

c) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m3 de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? d) 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6

días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

e) 5 máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos litros envasarán 3 máquinas en dos horas y media?

f) 12 obreros trabajando 8 horas diarias terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?

g) Se han pagado $144000 a 24 obreros que han trabajado 8 días de 8 horas diarias. ¿cuánto se abonará en las mismas condiciones, a 15 obreros que deben trabajar 12 días a razón de 9 horas por día?

h) Un ciclista marchando a 12 km por hora recorre en varias etapas un camino empleando 9 días a razón de 7 horas por día. ¿a qué velocidad tendrá que ir si desea emplear sólo 6 días a razón de 9 horas diarias?

i) Una pileta se llenó en 3 días dejando abiertas 2 canillas que arrojan 20 litros por hora, durante 6 horas diarias. ¿cuántos días se precisarán para llenar la misma pileta si se dejan abiertas, durante 5 horas diarias, 4 canillas que arrojan 18 litros por hora?

j) Si 24 obreros pueden finalizar un trabajo en 46 días trabajando 7 horas diarias. ¿cuántos días emplearán si se aumenta en un 75% el número de obreros y trabajan 8 horas diarias?

k) Cuatro máquinas que fabrican latas para envase, trabajando 6 horas diarias, han hecho 43200 envases en 5 días. Se detiene una de las máquinas, cuando faltan hacer 21600 envases, que deben ser entregados a los 2 días. ¿cuántas horas diarias deben trabajar las máquinas que quedan para cumplir el pedido?

l) Trabajando 8 horas diarias 6 hombres han hecho 40 metros de un muro en 12 días ¿cuantos días necesitan 4 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

6. Porcentajes

a) En una cierta prueba médica, diseñada para medir la resistencia de los carbohidratos, un adulto bebe 7ml de una solución de glucosa al 30%.Cuando se le administra la misma prueba a un niño debe disminuirse la concentración de glucosa.

¿Qué cantidad de una solución al 30% de glucosa y qué cantidad de agua debe usarse para preparar 7ml de una solución al 20% de glucosa?

b) En un salón de clases el número de hombres equivale al 80%del total, si se retiran el 20% de los hombres, ¿Qué porcentaje del resto son mujeres?

c) Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50% del 40% de dicho precio. Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado, ¿qué tanto por ciento del costo se ganó?

d) El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de compra de cada artículo. ¿Cuál es dicho número de artículos?

e) Una persona gasta el 20% del que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo $33600 ¿Cuánto tenía al principio?

f) Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original?

g) Un comerciante compra un artículo de $8000. ¿Cuál debe ser el precio a que debe fijarlo para que rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo?

h) Un novato comerciante quiere vender un objeto aumentando su precio en un 20%, pero luego de unos días rebaja este precio en un 10% y a la semana nuevamente aumenta el precio recién fijado en un 40%, decidiendo al día siguiente rebajar un 20% de este último precio. ¿este comerciante está ganando o perdiendo? ¿ qué porcentaje?

i) Una fábrica aumenta en un 20% el precio de venta de sus artículos debido al costo de vida ¿en qué porcentaje disminuyen sus ventas si su ingresos se incrementaron en un 8%?

j) Una persona pagó dos facturas; por la 1era. Pagó $845000, luego de que le hicieran el 35% de descuento, por la 2da. pagó $1400000 en la cual le recargaron el 12%. ¿Cuánto ahorró o pagó de recargo en total?

k) Un rectángulo tiene una base de 12 cm y altura de 3cm. Si la base disminuye en un 4% y su altura aumenta en un 5%, ¿en qué porcentaje varía su área?

l) En un encuentro deportivo que reúne a 750 atletas, el 30% de los participantes son americanos, el 18%asiáticos, el 16%africanos, y el resto europeos. ¿Cuántos atletas europeos participan en el encuentro?

m) El promedio de las edades del 40% de los asistentes a una reunión es 40 años, el promedio del 25% del resto es de 28 años, ¿cuál debe ser el promedio del resto de personas, si todos los asistentes en promedio tienen 31 años?

Potenciación, radicación y racionalización

7. Efectúa las operaciones indicadas y escribe las respuestas en la forma más simple posible:

a. _               −1 4 3 3 4 3 2 x y y x

1/n b.

9

()/

. √

3. 3

3 .√

3

c.

3

n+4

- 6. 3

n +1

7 . 3

n+2 . d.

3 . 2

n

- 4. 2

n -2

2

n

- 2

n -1 e.

16

n+1

+ 2

2n +3

+ 8√

2

2

4n+1

+ 4

n

+ √

2

f. 2 . 9n+1/2

+ 3

2n +1

- 9

(3

n

+ 1) (9

n/2

- 1)

g.

2

_÷

₄

_{____}

(2

)

n-1

(2

)

n+1 h.

(

) (

)

(

) (

1

)

1 1 1 − − − − − + + − − + n m n m n m n m _1_ 2m -1 i. xm_ x2m-1 j. n __4 . 6____ 4 + 2 k. 1 2 2 1 − −         _{+ −}         − + + − − + p q p p q p q p q p q p l. ೙

+

ష೙

m.

-

₊

n. ೙

√

÷

೙

√

1/n o. 4

₊

8

2

₊

₄

p.

10

.

10

.

10

10

_.

₁₀

q.

(

−

)

/

.

√

య

₊

₂

₊

య

√

₋

_.

₍

₊

₎

/ r.

(

-

)

÷

-

₊

s. Demuestre que: 2n+3 - 2n + 7 = 7 2n+1 - 2n + 1

8. Racionalice las fracciones siguientes:

a) √2 - √5 - √7 b) __2_ √2 + √5+√7 2 - య√3 c) ___1_ __ d) 2− 3− √ √8 +−√8 2√ − √ e) √య + య + య 2√ − √

Polinomios, Productos notables y factorización Operaciones con expresiones algebraicas

9. Desarrolle las operaciones y escriba su resultado en forma simplificada: a. (5x4 +4x3 −2)(5x−3) b. (3x+4)−6

(

3x−1

)(

4x+8

)

c. (2x4 −3x2 −6x+7)

(

4x3−1

) (

+ 5x6 −3x5+3x3+13

)

d. (3x−1)(9x2 +3x+1) e. (5x+ 2)(5x− 2) f.

(

)

(

2 2

)

4 2 2y x xy y x− + + g.

(

4x−3

)

(

16x2 +9

)

(

4x+3

)

h.

(

z−x+ y

)(

z+x−y

)(

x+y+z

)(

x+y−z

)

i.

(

a−3

)

(

a2+3a+9

)

j. (3t2 −1)2(3t2+1) k.

(

_a+_2b

) (

3 _a−_2b

)

3 l. (2x+1)(9x2 +3y)2 m. 2 4 6 ( 4 2 3 3 2 2 3 y x x y x y x y x − + − − n. ₍₃ 3 ₂ 4₎

(

3 ₂ 2 ₅ 3

)

1_(x3_z2 _5x2_z2 _11z5₎ z z z x x x z xz − − − + + − + o. _{(3 6 1) (3} 2 ₃ 2_{) (2} 2 _{4 )} 2 y y x y xy x x y x y + − − + + + − Factorización

10. Factorice (Factor común) i. _m5−_3m4 =

ii. 16x2y2 −8x2y−24x4y3 iii. _35m2_n3−_70m3

iv. 93a3x2y−62a2x3y2 v. 27a2xy2 +45ax2y-63axy2 vi. 2 3 2 4 3 5 4 36 24

24

12t z+ t z − t z − t z

vii. _42xy2 −_21x2_y+_56xy viii. _205z4_t3_r2 −_123z3_t2_r3 +_164z2_t4_r4 ix. _12m5_n2 −_3m4_n3 11. Factorice (Factor común por agrupación)

i. a2 + ab + ax + bx = ii. ab + 3a + 2b + 6 =

iii. ab - 2a - 5b + 10 = iv. 2ab + 2a - b - 1 =

v. am - bm + an - bn = vi. 3x3 - 9ax2 - x + 3a = vii. 3x2

- 3bx + xy - by = viii. 6ab + 4a - 15b - 10 =

ix. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = x. a3 + a2 + a + 1 =

i. 9 100 4 2 b a ₋ ii. 36x2 −16 iii. 81 25 4 1 4 − x iv. 64_x2 −1 v. 25x2y4 −49z2 vi. _9x2 −_4z2

13. Factorice (Trinomio cuadrado perfecto) i. x2+25+10x ii. 4x2−12x+9= iii. 9 3 4 2 2 y xy x + +

14. Factorice (Completación de cuadrados) i. a4y4 +7a2y2 +16 ii. _a4 −_16a2_b2 +_36b4 iii. 49x8 +76x4y4 +100y8 iv. 2 4 45 100− t +t v. 1+2x4y8 +81x8y16 vi. 4 4 64z +t

vii. 625x8 +16 viii. 121+21x2y2 +x4y4 ix. 9x12 +23x4 +144

15. Factorice (Trinomio de la forma x2 + ax + b)

i. x2−7x+12 ii. x2+15x−100 iii. x2+2x−3

iv. v. vi.

16. Factorice (Trinomio )

i. ii. 24x2 +2x−2 iii. 6x2 +7x+2 iv. 8x2 +6x−9 v. 15x2 +26x+8 vi. 10x2 +13x+4

17. Factorice (Diferencia de cubos) i. 64 27 3− x ii. 6 3 ₆₄ 27n − r _iii.

(

+

)

3− 6 = 8 2x y x

18. Factorice (Suma de cubos) i. 8 125 64 3 3 3 a y x ₊ ii. x9 +y15 iii. ₃ + 6 = 6 8 125 z y x

19. Factorice decidiendo cual caso aplicar. Tenga en cuenta que es posible que más de un caso se presente en un solo ejercicio:

i. k3 − 27 _ii. 12 7 x 3 2 − iii. 125x3y3z−8z4 iv. 27a3+15b3 v. 2 2 2 49z y x − vi. 100 64 1 c8 −

vii. 10x5y10z11−11x6y11z12 viii. 8b2m2 +26mn+6b2n _{ix. x}3 _{+ 64} x. 2mb − an + 2mn −ab _xi.

(

_{2x + y}

)

2 _{− 2x − y xii. 2x}2+_11x−₆ 20. Factorice c bx ax2 + + 3 5 2x2 + x−

i. 3x5−48x ii. x3+x2 −81x−81 iii. 3x3+3x2+3x+3 iv. 4x2y2 −

(

x2+ y2 −z2

)

2 _{v. ax a bx b} 2 1 3 1 2 3 + + + vi. 6bx6 +48by9

vii. 25x2 +10 3x+3 viii.

(

x−3

)

2 +3

(

x−3

)

−28 ix. _x3−_x2 −16_x+16 21. Factorice i. x2 +

(

3a−2b

)

x−6ab ii. x2−

(

a−5b

)

x−5ab= _{iii. 16x}4+_4x2+_1c. iv. 4x4 +y4 v. x8 −y8 vi. 6bx6 +48by9 vii. ax ax 3 1 3 1 ₃ − viii. ax a bx b 2 1 3 1 2 3 + + + ix. 3 3 27 8 y x +

22. Factorice completamente sobre ℂ _{los siguientes polinomios:} a) x2 - 6x - 7 - y2 - 8y b) x2–6x+ y2 - 6y + 2xy + 9 c) x2 + 7x + y2 - 7y - 2xy - 8 d) 16 – 16x3 - n4 + n4x3 Fracciones algebraicas 23. Simplifique la expresión i. 12 4 6 7 2 2 − − + − x x x x ii. 25 10 7 2 2 − + + x x x iii. 2 2 2 4 4 2 2 y x y x y xy − − + − iv. x x x x x − − + 2 2 3 3 2 v. 10 17 3 5 9 2 2 2 + + − + x x x x vi. y y y y + + + 2 2 3 3 11 6

24. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada: i. 4 7 2 3 4 2 2 27 8 9 6 4 * 6 7 2 9 4 x x x x x x x x − + + + + − _{ii. 3} 7 ₉ 6 22 _{5 6}1 2 2 + + − − ÷ + + − x x x x x x x iii. 9 18 3 4 3+ − − 2 − + x x x x x iv. 4 7 3 1 12 2_{− −} − + − − x x x x x

v. 16 8 5 4 10 5 1 2 2 + + − + ÷ − − t t t t t t vi. x y y y x x y x x − − − + + + − 3 1 2 5 2 2 vii.

(

)

2 2 1 5 x −4− _x+2 25. Simplifique la expresión i. 2 2 1 1 y x x y y x − − _{ii. }      + + − +       + y x y x y x y x 2 2 1 1

26. Escribir en forma simplificada:

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 − − −       _{− −} ÷       + − − x x x x x Ecuaciones lineales 27. Resuelva la ecuación: a) 6x−2x−1=3x+9 b) 3(x−3)=2(x−4) c) 5 1 4 3 1 3 11 2x x + x = − − − d) x x 1 2x 3 1 2 1 + = + + − e) 2 12 4 32 5 3 2 1+ x− = x− − −x f) 10 54 9 2 7 2 27 − + = −x x

28. La suma de las edades de Hernán y Pedro es de 84 años, y Pedro es 8 años menor que Hernán. Hallar ambas edades.

29. Pague $87 000= por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 000= más que el libro y $20 000= menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?

30. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

31. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar ambos números.

32. Entre Andrés y Bernardo tienen $1 154 000=. Bernardo tiene $506 000= menos que Andrés ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

33. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.

34. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

35. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

36. El consumo de tabaco o cigarrillo constituye un problema de salud pública a nivel mundial. El en año de 2008 la OMS trato de hacer una aproximación matemática para determinar la edad de muerte de los consumidores después de iniciar el consumo en función de los cigarrillos consumidos por día, la edad a la que se inició el consumo y los hábitos de actividad física en el consumidor.

ܧ=൬ 70

1,65 ∗ܥ+ܧ ൰ ܭ+ܧ

E= edad promedio de muerte del consumidor. Eic=edad de inicio del consumo.

C= cantidad de cigarrillos consumidos por día.

K= hábitos de actividad física, K=0,5 si no se realiza deporte. K=1 si se realiza deporte.

a. A qué edad fallece una persona que en promedio consume cuatro cajetillas de cigarrillo por día (1 cajetilla=20 cigarrillos), no realiza actividades deportivas e inicio el consumo a los 22 años de edad

b. Cuantos cigarrillos por día consumió en promedio una persona que realizaba actividad física y falleció a los 42 años. Y que inicio a fumar a los 15 años.

37. Resuelva la ecuación (Encuentre si es posible las soluciones complejas)

38. Resuelva la ecuación (Si existen soluciones complejas determínelas)

39. Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta en

40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original.

40. Un automóvil ha recorrido 200km en cierto tiempo, para haber recorrido esa distancia en 1,0 h menos, la velocidad debía haber sido 10 km/h más. Hallar la velocidad del automóvil.

41. Determine las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 36 cm y la suma de los catetos es 21 cm

42. Determine los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 56 m y su área es 180m2.

43. Un rectángulo tiene 24 m de perímetro y 35 2

m de área. Hallar las dimensiones. a) x2 −25=0 b) x2 =39 c) x2 =14x d) x2 −12x=0 e) 8x2 −5x=0 f) x2 +15x+56=0 g) 12x2 +17x−5=0 h) 6x2 +23x+20=0 i) 7x2 +5x−16=0 j) 4x2 +11x−5=0 k) 8x2 +15x+17=0 l) 9x2 +30x+25=0 m) 7x−5= 2x2 −2x n)

(

)

2 3 5 2 ) 1 3 ( x− x− = x o) 2 2 8 5 8 5 4x + = − x− x p) 42+15x=6x2 +22x+22 q) 9x2 +10x−12=0 r) 6x2 +21x=33−4x a) x−13= x+7 b) 7 18 0 2 4 _{− − =} x x c) 0 4 3 8 1 2+ + = x x d)

(

x+3

)(

x−1

)

=−21 e) (4x−2)(x+1)=(2x+1)(x−3) f) 3 2 3 4 2 7 + − = + x x x g) x x x x x + − + = − − − 1 4 4 1 1 3 2 h) x x x 3 1 3 1 1 = + − _i) 6x−29− x = x−5 j) x x x x ₌ − + + 4 4 20 4 _k) 1 2 21 2 1 2 + = + + x x x l) 2x+ 4x−3 =3 m) 3 2 6 2 = + − + x x n) 11 20 4 3 3 − = x x o) 2 3 0 2 4 − − = x x p) x2+6x 8+ =0 q) x2−5x=14 r) 4x2+24x 11 0− = s) x2+ =4 12x t) 3x

(

x+2

)

=72 u) 7x2+10x=2x2+155

44. La base de un rectángulo es 2 m mayor que la altura. Si a la base se le aumenta 1 m y a la altura en 2 m, resulta otro rectángulo cuya área es 24 2

m mayor que el primero. Calcular las dimensiones de este.

45. Un deportista caminó 36 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 1 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

46. Una persona compró cierto número de calculadoras por $150 000=. Podría haber comprado 5 más, si cada una hubiese costado $5 000= menos. ¿Cuántas calculadoras compró? ¿Cuánto costó cada calculadora?

47. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

48. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halle la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m²

49. Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

50. Una llave tarda dos horas más que otra en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado? 51. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840

cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja

52. Calcula el lado de un cuadrado, sabiendo que el producto del área de dicho cuadrado por el área del rectángulo que se obtiene al aumentar la base en 2 cm y disminuir la altura en 2 cm es igual a 6237 cm2.

53. (Usar dos variables) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

54. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años. Determine la edad actual.

55. Determine el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga: a. Dos soluciones reales y distintas.

b. Dos soluciones reales e iguales.

c. Dos soluciones que no sean números reales

56. Calcule el valor de b en la ecuación 5x2 +bx+6=05x2 + bx + 6 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es 1.

57. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de un pedazo cuadrado de cartón, cortando un cuadrado de 5 cm en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 80 cm3, ¿qué dimensiones debe tener el pedazo de cartón?

58. Dada la ecuación: 8x2 – ( k– 1 ) x + k – 7 = 0,

qué valores se deben dar a k para que las raíces sean reales e iguales.

59. Encuentre los valores de k en las ecuaciones para que se satisfaga la condición que se indica: a) 2x2 – kx+ 8 = 0, tiene raíces complejas

b) kx2 + (3k – 4)x- 5 = 0, tiene una raíz = ½ c) (2k + 1) x2 – 4kx = 1 – 3k, las raíces sean iguales.

60. Un rectángulo áureo es un rectángulo que puede dividirse en un cuadrado y en otro rectángulo, que también es áureo, semejante al original. En la figura, ABCD es un rectángulo áureo porque puede dividirse en un cuadrado AFED y en un rectángulo áureo FBCE. Estableciendo una proporción de las longitudes de los lados de los rectángulos se obtiene

a b

a+b= a_{. Si b = 1, resuelve la ecuación para a.}

61. Una lancha tarda 1 hora más en viajar 24 km contra la corriente de un río que en el viaje de regreso. Si la lancha tiene una velocidad de 10km/h en aguas tranquilas, ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

62. Cierto grupo de caminantes recorrió 12 Km en cierto teimpo, si su velocidad hubiera sido 0,8 m/s más rápida; el recorrido habría tardado 15 minutos menos. ¿En cuanto tiempo se hizo el recorrido?

63. Un prado rectangular de 50m de largo y 34m de ancho, tiene a su alrededor un camino (exterior) de ancho uniforme; si el área del camino es 864m2, encuentra el ancho del camino.

64. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2,4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?

b a a B C D A F E