Análisis y Diseño del Control de Posición de un Robot
Móvil con Tracción Diferencial
AUTORS: Alberto Bañó Azcón. DIRECTOR: Albert Oller Pujol. DATA: 06 / 2003
MEMORIA
AUTORS: Alberto Bañó Azcón. DIRECTOR: Albert Oller Pujol. DATA: 06 / 2003
0,- Indice
0,- Indice... 2 1,- Objeto y Alcance... 4 2,- Definiciones... 4 3,- Memoria ... 6 3.1,- Robots Móviles ... 63.1.1,- Vehículos con Ruedas... 6
3.1.1.1,- Ackerman o Tipo Coche ... 7
3.1.1.2,- Triciclo Clásico... 8 3.1.1.3,- Tracción Diferencial. ... 9 3.1.1.4,- Skid Steer. ... 10 3.1.1.5,- Pistas de Deslizamiento. ... 11 3.1.1.6,- Síncronas. ... 11 3.1.1.7,- Tracción Omnidireccional. ... 12
3.1.2,- Representación de la Posición y Orientación de un Robot Móvil en el Plano. 13 3.1.3,- Descripción del Robot. ... 18
3.2,- Modelado del Sistema Motriz ... 19
3.2.1,- Modelo Dinámico del Motor... 19
3.2.1.1,- Función de Transferencia del Motor DC ... 21
3.2.1.2,- Reducción a un Sistema de Primer Orden... 26
3.2.1.3,- Características del Motor DC ... 28
3.2.1.4,- No Linealidades Observadas ... 30
3.2.2,- Función de Transferencia del Encoder Magnético Digital ... 30
3.2.3,- Función de Transferencia del Reductor de Velocidad... 36
3.2.4,- Función de Transferencia del Generador de Pulsos. ... 38
3.3, Modelo Discreto de los Motores ... 39
3.3.1,- Elección del Tiempo de Muestreo ... 40
3.3.1.1,- Teorema del Límite del Tiempo de Muestreo ... 40
3.3.1.2,- Formas para la Evaluación del Tiempo de Muestreo ... 41
3.3.1.3,- Cálculo del Tiempo de Muestreo... 42
3.3.2,- Discretización del Motor ... 43
3.4,- Sistema de Control Digital de velocidad ... 45
3.4.1,- Compensador Cero-Polo ... 46
3.4.2,- Método Analítico de Diseño a Partir de Sistemas de Tiempo Discreto ... 55
3.4.2.1,- Método Analítico. Procedimiento de Diseño Para Varias Especificaciones ... 57
3.4.2.2,- Obtención del Controlador ... 58
3.4.3,- Método de Zigler-Nichols... 65
3.4.3.1,- PI Digital Como Controlador del Sistema en Lazo Cerrado... 65
3.4.3.2,- Cálculo de KP y KI del controlador PI. ... 67
3.4.4,- SISOTOOL de MATLAB... 73
3.4.5,- Controlador Elegido ... 77
3.5,- Modelo Cinemático del Robot Móvil... 79
3.5.1,- Hipótesis Básicas... 79
3.5.5,- Modelo de la Configuración Deseada. Modelo Jacobiano. ... 84
3.5.5.1,- Respecto al Centro de Masas... 84
3.5.5.2,- Respecto al Punto F. ... 88
3.6,- Control de Posición del Robot ... 91
3.6.1,- Control del Movimiento de un Robot móvil Autónomo ... 91
3.6.2,- Control Basado en Métodos Geométricos ... 92
3.6.3,- Generación de Trayectorias Rectilíneas. ... 99
3.6.3.1,- Proceso Analítico... 99
3.6.3.2,- Resultados Simulación... 101
3.6.4,- Análisis de Resultados... 105
3.6.5,- Seguimiento de un Objetivo en Movimiento ... 109
3.6.5.1,- Resultado Simulaciones ... 113
3.6.6,- Método Estadístico Para la Predicción de la Posición del Objetivo... 116
3.6.6.1,- Resultados Simulación... 117
3.6.7,- Conclusiones a Cerca del Controlador de Posición... 119
4,- Planificación de Tareas del Sistema de Control ... 120
5,- Conclusiones Finales... 124
1,- Objeto y Alcance
El objeto de este proyecto es el modelar un robot móvil, construido por el laboratorio del departamento de DEEEA, y que está formado por dos motores de corriente continua (a partir de ahora DC) que de forma independiente provocan el movimiento del móvil. A éste sistema de desplazamiento se le llama tracción diferencial. Con éste modelo, y en etapas sucesivas, crearemos varios controladores, que satisfagan las necesidades de movimiento del objeto en cuestión.
Para realizar el modelo dinámico, disponemos de las características de los motores y del móvil. Utilizaremos el programa MATLAB v.6.0 y su aplicación SIMULINK v.4.0. En esta ocasión nuestro objetivo parcial es el realizar un modelo y comprobar su correspondencia con el objeto real.
Además calcularemos un controlador digital de posición para estos motores, con estabilidad demostrada, y que hagan que el movimiento del móvil tenga la precisión necesaria, y que siga la trayectoria deseada. Utilizaremos diferentes técnicas de control para satisfaces éstas necesidades, siempre teniendo presente las capacidades de los elementos instalados en el móvil, buscando la solución más efectiva.
El objetivo final del proyecto es el hallar los algoritmos de control que satisfagan todas las necesidades anteriores, y conseguir con ello un equipo capaz de responder a nuestras pretensiones de movimiento con la mejor relación posible entre capacidades y recursos utilizados.
2,- Definiciones
En el mundo de la robótica se utilizan un gran número de términos en inglés. En este apartado haremos la correspondencia de términos y su definición, para no generar dudas en la interpretación del texto del proyecto, y de esta forma proporcionar una ayuda para obtener las correspondencias entre las referencias a textos en inglés y el texto aquí utilizado.
Carga axial máxima (max.
axial load)
Carga máxima sobre un eje que se soporta en dirección normal al mismo sin que se produzca rotura
Cinemática (kinematics) Rama de la física, y subdivisión de la mecánica clásica, que trata de la geometría de los posibles movimientos de un cuerpo o un sistema de cuerpos, sin consideración de las fuerzas aplicadas.
Cinemática inversa (forward
kinematics)
Técnica de predicción del comportamiento de un sistema mecánico basado en las entradas de dicho sistema.
Constante de tiempo mecánico (Mechanical time
constant)
Parámetro característico de los sistemas dinámicos que indica la rápidez con que el sistema evoluciona.
Coronas de engranajes
(syncro drive)
Sistema de transmisión utilizado en para la actuación simultanea de todas las ruedas en una configuración de tipo síncrona.
Corriente máxima admisible en régimen continuo (Max.
Cont.current)
Corriente máxima que el motor es capaz de admitir sin ocasionar fallo de forma permanente.
Encoder digital (digital magnetic encoder)
Contador de vueltas en formato digital.
Función de inclusion o pertenencia (membership function)
Consiste en un conjunto de pares ordenados que cumplen la condición de pertenencia.
Grupo reductor (Planetary
gearhead)
Elemento transformador de pares y velocidades angulares. Su relación de transformación se expresa como 1:n.
Interficie gráfica de usuario
(graphic user interface GUI)
Sistema gráfico con el que el usuario puede interactuar con un programa informático, que hace su uso más cómodo.
LGR (Lugar geométrico de
las raíces) (Root Locus)
Representación gráfica de los polos y los ceros de una función de transferencia en función de K.
Lógica difusa o borrosa
(fuzzy logic)
Técnica de análisis de variables mediante conjuntos borrosos de posibles soluciones. Difiere de la lógica Aristotélica clásica.
Manipulador móvil (mobile
manipulator)
Caso particular en robótica en el que a un robot móvil se le inserta un brazo manipulador.
Mantenedor de orden cero
(Zero Order Hold)
Función dedicada a mantener la función pulso digital en escalones unitarios para convertir señales discretas en el dominio de Z en señales continuas en el dominio de S.
Modelo dinámico (dynamic
model)
Formulación matemática de la evolución de un sistema dinámico.
Motor de corriente continua
(direct current motor)
Convertidor de energía eléctrica (corriente I y tensión U) a mecánica (velocidad n y par M).
Odometría (odometry) Método de medida de posición relativa que usa encoders para medir la velocidad de las ruedas y/o la orientación.
Peso del motor (Weight of
motor)
Cantidad de masa que tiene el motor en kg.
PI Controlador proporcional (Kd), integral (Ki).
PID Controlador proporcional (Kd), integral (Ki) y derivativo (Kd).
Potencia nominal (Assigned
power rating)
Potencia absorbida por el motor para la cual se cumplen las especificaciones sin riesgo de rotura.
Rendimiento máximo (max.
Efficiency)
Relación entrada salida energético en su punto más favorable.
Respuesta con oscilaciones muertas (dead-beat response):
Es aquella respuesta a una entrada, que alcanza el valor deseado a en un tiempo mínimo sin error.
Rodamiento (bearing) Elemento de enlace entre una parte fija y una móvil con movimiento circular. También llamado cojinete.
Rozamiento viscoso
(Viscosus friction):
Rozamiento que genera un acoplamiento viscoso, siempre que el fluido (líquido o gas) se encuentre en régimen laminar.
Sistema no holónomo
(nonholonomic system):
Es aquel sistema mecánico con menos variables controlables que grados de libertad de movimiento.
Separación de fase (Phase
shift)
Cantidad en grados eléctricos de separación entre dos fases eléctricas.
Tiempo de subida (rise time) Parámetro característico de un sistema dinámico que mide el tiempo en que el sistema evoluciona.
Tolerancia (tolerance) Margen de valores alrededor del nominal donde esperamos encontrar el valor real de la medida.
Tracción diferencial
(differential steering system):
Configuración de los actuadores de las ruedas comúnmente usado en pequeños robots para crear el movimiento.
Universo de estudio (universe
of study)
Es el conjunto posible de objetos que pueden presentarse de entre todos los del universo.
3,- Memoria
Este proyecto se ha desglosado en seis apartados, los cuales corresponden a la memoria. El el primero de ellos se hace una explicación del estado del arte de los robots móviles en la actualidad. A partir de este momento los puntos pasarán a ser el cálculo de un modelo dinámico del sistema motriz, el cálculo de un sistema de control discreto para el sistema motriz a utilizar. Los dos puntos más importantes del proyecto, por el contenido práctico es el cálculo del sistema de control digita de velocidad y el sistema de control de posición. Estas tareas se complementan con los sistemas de planificación de trayectorias y la predicción de la posición del objetivo a alcanzar.
3.1,- Robots Móviles
En este apartado describimos el estado del arte de los robots móviles más comunes. De esta forma nos ponemos en antecedentes y podremos entender el porque del uso de un sistema de tracción u otro.
3.1.1,- Vehículos con Ruedas.
Los vehículos con ruedas son la solución más simple para conseguir la movilidad en terrenos suficientemente duros y libres de obstáculos, permitiendo conseguir velocidades relativamente altas.
Como limitación más significativa cabe mencionar el deslizamiento en la impulsión. Dependiendo de las características del terreno pueden presentarse también deslizamientos y vibraciones. La locomoción mediante ruedas es poco eficiente en terrenos blandos. Por otra parte, excepto en configuraciones muy especiales, no es posible alterar internamente el margen de estabilidad para adaptarse a la configuración del terreno, lo que limita de forma importante los caminos aceptables del soporte.
Los robots móviles emplean diferentes tipos de locomoción mediante ruedas que les confieren características y propiedades diferentes respecto a la eficiencia energética, dimensiones, cargas útiles y maniobrabilidad. La mayor maniobrabilidad se consigue en vehículos omnidireccionales. Un vehículo omnidireccional en el plano es capaz de trasladarse simultánea e independientemente en cada eje del sistema de coordenadas, y rotar según el eje perpendicular.
A continuación se comentan brevemente las características más significativas de los sistemas de locomoción más comunes en robots móviles.
3.1.1.1,- Ackerman o Tipo Coche
Es el utilizado en vehículos de cuatro ruedas convencionales. De hecho, los vehículos robóticos para exteriores resultan normalmente de la modificación de vehículos convencionales tales como automóviles o incluso vehículos más pesados.
El sistema se basa en dos ruedas traseras tractoras que se montan de forma paralela en el chasis principal del vehículo, mientras que las ruedas delanteras son del tipo direccionamiento, y se utilizan para seguir la trayectoria del robot (ver Ilustración 1). Debido a la similitud con los vehículos convencionales, este sistema también recibe el nombre de tipo coche o modelo Ackerman. La rueda delantera interior gira un ángulo ligeramente superior a la rueda exterior, de forma tal que los ejes de prolongación de las ruedas delanteras (directrices) y se cortan en el CIR o centro instantáneo de rotación, que se sitúa en un mismo punto que en el eje de prolongación del eje de las ruedas traseras (motrices). Esto elimina el deslizamiento que provoca los sobre virajes de la plataforma. El lugar de los puntos trazados sobre el suelo por los centros de los neumáticos, son circunferencias concéntricas con centro el eje de rotación CIR. Si no se tienen en cuenta las fuerzas centrífugas, los vectores de velocidad instantánea son tangentes a estas curvas. Por lo que las velocidades de movimiento del móvil, deberán evitar que las ruedas no resbalen.
Ilustración 1. Robot móvil con tracción Ackerman.
En los robots móviles con configuración Ackerman, se presentan dos ángulos de giro, uno en cada rueda. Esto genera mayores problemas a la hora de realizar el control, por lo que en muchas ocasiones lo que se hace es unificar los ángulos de direccionamiento en uno sólo, por lo que los radios de giro para los cuales el robot no muestra deslizamiento lateral son mayores que en otras configuraciones. En la Ilustración 2 se puede observar éste efecto sobre el centro instantáneo de rotación (CIR).
Ilustración 2. Sistema Ackerman.
El mayor problema de la locomoción Ackerman es la limitación en la maniobrabilidad.
3.1.1.2,- Triciclo Clásico.
Este sistema de locomoción se basa en una rueda delantera que sirve tanto para la tracción como para el direccionamiento. El eje trasero, con dos ruedas laterales, es pasivo y sus ruedas se mueven libremente. La maniobrabilidad es mayor que en la configuración Ackerman motivado por la existencia de una sola rueda de direccionamiento (ver Ilustración 3), pero a su vez esto causa que se puedan presentar problemas de estabilidad en terrenos difíciles. El centro de gravedad tiende a desplazarse cuando el vehículo se desplaza por una pendiente, provocando una pérdida de tracción, o incluso el volcado, por lo que es preferible situar el Centro de gravedad cerca del suelo.
3.1.1.3,- Tracción Diferencial.
Este tipo de direccionamiento viene dado por la diferencia de velocidades de las ruedas laterales. La tracción se consigue también con estas mismas ruedas. Dos ruedas montadas en un único eje son independientemente propulsadas y controladas, proporcionando ambas tracción y direccionamiento. La combinación del movimiento de las dos ruedas provoca el movimiento alrededor del CIR. Este sistema es muy útil si consideramos la habilidad del movimiento del móvil, presentando la posibilidad de cambiar su orientación sin movimientos de traslación, lo que podríamos llamar cambio de spin. Las variables de control de este sistema son las velocidades angulares de las ruedas izquierda y derecha. Los diferentes modelos cinemáticos existentes proporcionan trayectorias perfectamente definidas, y con ello obtenemos el posicionamiento deseado.
En la Ilustración 4 podemos ver el robot de tracción diferencial realizado por la Escola Técnica Superior d’Enginyeria (URV). Este robot móvil es nuestro objeto de estudio. En la Ilustración 5 se presenta el diagrama de velocidades que estudiaremos más a fondo en los apartados sucesivos.
Ilustración 4. Robot de tracción diferencial.
Adicionalmente, existen una o más ruedas para soporte. Esta configuración es la más frecuente en robots para interiores de pequeño tamaño.
Ilustración 5. Diagrama de velocidades configuración diferencial.
3.1.1.4,- Skid Steer.
Se disponen varias ruedas en cada lado del vehículo que actúan de forma simultánea. El movimiento es el resultado de combinar las velocidades de las ruedas de la izquierda con las de la derecha (Ilustración 6). Estos robots se han usado para la inspección y obtención de mapas de tuberías enterradas empleando para ello sistemas de radar (“Groud Penetraining Radar”). Se han utilizado en aplicaciones mineras y en misiones de exploración espaciales no tripuladas.
3.1.1.5,- Pistas de Deslizamiento.
Son vehículos tipo oruga en los que tanto la impulsión como el direccionamiento se consiguen mediante pistas de deslizamiento. Pueden considerarse funcionalmente análogas al skid steer. De forma más precisa, las pistas actúan de forma análoga a ruedas de gran diámetro. La locomoción mediante pistas de deslizamiento es útil en navegación “campo a través” o en terrenos irregulares, en los cuales presenta un buen rendimiento. En este caso, la impulsión está menos limitada por el deslizamiento y la resistencia al desgaste es mayor.
Ilustración 7. Robot AURIGA (Universidad de Málaga).
3.1.1.6,- Síncronas.
Consiste en la actuación simultánea de todas las ruedas, que giran de forma síncrona. La transmisión se consigue mediante coronas de engranajes (“syncro drive”) o con correas concéntricas.
En una conducción sincrónica del robot, cada rueda es capaz de ser conducida y dirigida. Las configuraciones típicas son:
• Tres ruedas directrices se montan acopladas en los vértices de un triángulo equilátero muchas veces debajo en una plataforma cilíndrica (Ilustración 9).
Ilustración 8. Tracción de tipo síncrona.
En este tipo de tracción de puede controlar la orientación del eje de rotación.
Ilustración 9. Configuración de tres ruedas directrices.
3.1.1.7,- Tracción Omnidireccional.
Este sistema de tracción de basa en la utilización de tres ruedas directrices y motrices (Ilustración 11). Esta configuración tiene tres grados de libertad, por lo que puede realizar cualquier movimiento, y posicionarse en cualquier posición en cualquier orientación. No presenta limitaciones cinemáticas.
Ilustración 10. Robot de tracción omnidireccional.
Ilustración 11. Diagrama de la configuración omnidireccional.
3.1.2,- Representación de la Posición y Orientación de un Robot Móvil en el Plano.
Para poder describir de forma conveniente las posiciones y orientaciones de los robots móviles en el espacio, utilizaremos los movimientos de rotación y traslación de forma tal que podremos conocer la posición y la orientación del robot en el plano realizando operaciones elementales. Para conocer el movimiento del móvil es necesario conocer la posición y la orientación inicial y final, este camino nos introduce en el estudio de la cinemática del móvil. En nuestro caso vamos a utilizar la notación de Craig (1989), que es la vamos a utilizar a lo largo del proyecto.
El conocimiento de la localización de un robot en el plano, es esencial pasa el estudio de los robots móviles, ya que éstos se mueven en la mayoría de aplicaciones en un plano conocido y sin irregularidades. En este caso es necesario conocer las dos coordenadas (x, y) y el ángulo de orientación (que llamaremos ?) para tener totalmente definido el móvil.
Py {A} P A Y X Px Ilustración 12. Coordenadas cartesianas.
Partiremos de un sistema de coordenadas fijo que llamamos {A}. Éste representa las coordenadas universales de nuestro sistema. La expresión de las coordenadas de un punto situado en P respecto al eje de coordenadas {A} (ver Ilustración 12) se puede expresar mediante un vector de posición de la siguiente manera:
=
P
P
y x AP
Ecuación 1Los vectores unitarios de este sistema son los llamados XAY YA .
0 r {A}
Y
X
Ilustración 13. Coordenadas polares.
Esta forma de expresar las coordenadas se denomina coordenadas cartesianas. También podemos utilizar coordenadas polares, de forma que el punto P se puede expresar como la distancia al origen de coordenadas r y el ángulo ? que forma el vector r con el eje XA (ver Ilustración 13).
Ahora colocamos un eje de coordenadas {B} en el centro de masas del móvil de forma que los vectores unitarios de este segundo sistema serán XB y YB, tal y como se muestra en la
sistema será solidario al robot con YB en la orientación del robot. Y {A} Py A {B} 0 P X Px
Ilustración 14. Ejes robot en coordenadas universales.
Si se expresan los vectores unitarios del sistema {B} en el {A}, se escribirá
∧
B A
X
(Ecuación 2) , AYB(Ecuación 3). Estos dos vectores se disponen según las columnas de una matriz (ecuación 4), que es conocida como matriz de rotación. Estas matrices juegan un papel importante en los modelos empleados en robótica.
=
∧θ
θ
Sin
Cos
X
B A Ecuación 2
−
=
∧θ
θ
Cos
Sin
Y
B A Ecuación 3
=
=
∧ ∧r
r
r
r
B A B A A BR
X
Y
22 21 12 11 Ecuación 4Teniendo en cuanta las ecuaciones 2 y 3, y sabiendo la expresión de la matriz de rotación, podemos escribir la ecuación 5. Ésta representa la rotación de los ejes {B} sobre el vector unitario de {A}.
−
=
θ
θ
θ
θ
Cos
Sin
Sin
Cos
R
A B Ecuación 5Teniendo en cuenta que los vectores columna son ortonormales, puede escribirse también:
T A B A B A B
R
=
R
=
R
−1 Ecuación 6Para conocer la posición del origen de el sistema de coordenadas de {B} en coordenadas de los ejes universales que llamamos {A}, será necesario además, realizar una traslación de los ejes. Py B A P {A} Y {B} Px X
Ilustración 15. Traslación de ejes coordenados.
Supongamos que el sistema {B} tiene sus vectores de dirección coincidentes con los del {A}, como se ilustra en la Ilustración 15. Esto sucede cuando el robot se desplaza sin variar su orientación. El origen del sistema {B} se localizará con respecto al {A} mediante el vector (ecuación 7):
[
]
T yORGB A xORGB A ORGB AP
P
P
=
Ecuación 7Por consiguiente, las coordenadas de un punto cualquiera del plano en los dos sistemas están relacionadas mediante (ecuación 8):
yORGB A y B y A xORGB A x B x A
P
P
P
P
P
P
+
=
+
=
Ecuación 8Expresiones en las cuales las componentes de los vectores pueden sumarse por estar estos vectores en la misma dirección. Estas dos ecuaciones definen la traslación del sistema de coordenadas {B} sobre el sistema de coordenadas {A}.
De esta forma podemos definir la posición del móvil como el producto de una rotación y una traslación. La composición de los términos rotación y traslación para hacer coincidir los ejes sobre los de referencia con los ejes universales expresa las coordenadas de la cinemática directa del móvil.
Esto significa que, para expresar un punto objetivo, al que llamamos F, será necesario realizar varias operaciones para situarlo en coordenadas universales. En la Ilustración 16 podemos ver cómo expresamos las coordenadas en el plano, de un robot móvil como el que estamos estudiando.
P A {A} Y 0 If F CM B X {B}
Ilustración 16. Ejes robot móvil.
Conocemos la distancia del punto F al centro del eje coordinado {B}, a la que llamamos If. De esta forma obtenemos las coordenadas del punto F respecto a {B}, tal y como se muestra en la ecuación 9.
=
If
P
F B0
Ecuación 9El siguiente paso será realizar la rotación del sistema de referencia {B} un ángulo ?, que ya hemos calculado en la ecuación 2 y 3. Esta operación la expresaremos en coordenadas x e y para poder realizar los cálculos de forma escalar. De esta forma la expresión tendrá la forma de la ecuación 10.
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Cos
If
If
Sin
Cos
P
Y
P
Sen
If
If
Sin
Cos
P
X
P
F B B A yORGB A F B B A xORGB A⋅
=
⋅
−
=
⋅
=
⋅
−
=
⋅
−
=
⋅
=
∧ ∧0
0
Ecuación 10Por último solo falta expresar las coordenadas del sistema {B} en coordenadas del sistema {A}, que hacemos según la ecuación 8.
θ
θ
Cos
If
y
P
P
P
Sen
If
x
P
P
P
cm yORGB A y B y A cm xORGB A x B x A⋅
+
=
+
=
⋅
−
=
+
=
Ecuación 11En éste caso la composición de una rotación y una traslación es suficiente para conocer la posición del punto F en los ejes universales. Esto significa que cualquier obstáculo expresado en coordenadas relativas al sensor que lo detecta, puede ser expresado en coordenadas universales mediante la aplicación de la ecuación 11.
3.1.3,- Descripción del Robot.
Los manipuladores móviles se pueden construir basándose en diferentes diseños de plataformas, que se diferencian por el mecanismo de arrastre empleado. Las plataformas móviles más comunes utilizan una tracción diferencial (differential steering) o una tracción de coche (car-like drive). El primer sistema utiliza impulsores independientes en cada una de las ruedas situadas en el mismo eje, además se utilizan ruedas locas o puntos de sustentación para agregan estabilidad a la plataforma móvil. El segundo caso, se utiliza un diseño del tipo triciclo en el cual la rueda o ruedas delanteras se utilizan como guía, i las traseras como impulsoras. Existen Además otros sistemas de tracción, que se basan en conceptos parecidos, ya descritos en el apartado 3.1.1 El sistema elegido dependerá de las condiciones y del lugar en que el móvil tendrá que trabajar.
El robot que estamos estudiando, y que se muestra en la Ilustración 17 es del tipo móvil, con dos elementos motrices dispuestos de forma transversal y contrapuesta. La configuración utilizada es del tipo diferencial, por lo que el movimiento lo producen las diferentes velocidades que se aplican a cada motor.
Ilustración 17. Planta del robot móvil de l laboratorio de la ETSE (URV)
Para el control del móvil, el sistema dispone de un microcontrolador SAB 80C537 de la marca SIEMENS, que será el encargado de ejecutar la rutina de control y de realizar las tareas de cálculo de trayectorias. Para dar soporte al microcontrolador, el sistema dispone de 32 kbytes de memoria RAM para almacenar programas y tablas de datos, y 32 kbytes de memoria EEPROM para almacenar el sistema operativo que permite operar con el robot.
12300 rpm con un diámetro de 13 mm. A éste motor se le ha acoplado un grupo reductor de velocidad y un encoger magnético digital, formando un bloque compacto de dimensiones muy reducidas.
Esto robot móvil fue diseñado por Joaquín López Maroñas en su proyecto final de carrera que realizó para la Escola Técnica Superior d’Enginyeria de la URV de Tarragona, siendo el antecedente de éste proyecto.
Otros estudios teóricos basados en éste mismo robot pueden encontrarse en el “Estudi sobre la implementació d’algoritmes de control del moviment d’un Robot Mòbil” de Carlos González Barberán, también realizado como proyecto final de carrera del mismo departamento.
3.2,- Modelado del Sistema Motriz
3.2.1,- Modelo Dinámico del Motor
El primer paso para poder hacer un control de posición es la realización de un modelo del sistema, que sea representativo de la realidad. Partir de éste punto podemos trabajar en la búsqueda de controladores adecuados para éstos servo mecanismos.
ara realizar el modelado del robot, partiremos del modelo de un motor DC, que presenta la siguiente configuración:
Ilustración 18. Modelado motor DC con imanes permanentes
En la Ilustración 18 podemos observar dos elementos energéticos distintos: los elementos eléctricos, y los elementos mecánicos. El motor DC es el elemento encargado de transformar un tipo de energía en otro. Nuestro objetivo es obtener la función de transferencia del modelo del motor, que equivale al sistema real físico.
Las ecuaciones características motores DC de imanes permanentes (flujo cte), que transforman energía eléctrica en mecánica, se rigen por unos coeficientes llamados kv y kt.
Éstos actúan de elementos transformadores. Este fenómeno físico se puede escribir matemáticamente mediante dos expresiones:
W
k
e
=
V⋅
m Ecuación 12I
k
T
1=
t⋅
Ecuación 13La ecuación 12 representa la transformación de energía eléctrica expresada en volts a velocidad angular (que es unidad de energía mecánica). Por otra parte la ecuación 13 expresa los requerimientos de corriente eléctrica causados por el par desarrollado. De éstas dos últimas ecuaciones, podemos deducir que el par mecánico es una exigencia del sistema, mientras que la velocidad angular es un resultado del sistema. Análogamente podemos decir que si la velocidad angular es la variable exigida por el sistema, el resultado del sistema será el par mecánico.
Otro punto importante es la obtención de la relación de transformación mecánica a mecánica. Ésta función la desarrolla el grupo reductor de velocidad, que realiza la función de transformador de energía mecánica-mecánica. La relación de engranajes se expresa como:
T
T
W
W
N
N
m 2 1 2 2 1=
=
Ecuación 14La ecuación 14 es importante, pero también es necesario conocer el rendimiento del grupo reductor, ya que la relación no es nunca la anteriormente expresada. La relación N1 y N2 representa al número de dientes del primario y del secundario. Esto motiva las demás relaciones.
Los acoplamientos entre elementos mecánicos producen pérdidas en forma de par resistente. Nosotros supondremos que los acoplamientos se encuentran en condiciones funcionales, por lo que rozamiento será de tipo viscoso, en nuestro caso b. Este par resistente se expresa de la siguiente manera (ecuación 15):
W
b
T
r=
eq⋅
m Ecuación 15Por otra parte, el circuito eléctrico que alimenta al motor se puede escribir de la siguiente manera (ecuación 16):
dt
dI
L
R
I
e
V
−
=
⋅
+
⋅
Ecuación 16Siendo L la inductancia del bobinado del motor y R su resistencia.
El análisis del circuito mecánico se puede escribir de la siguiente manera (ecuación 17):
F
T
dt
dW
J
T
r r m eq⋅
+
+
=
1 Ecuación 17forma que se indica en la ecuación 18.
F
T
dt
dW
J
T
r r m eqr
=
⋅
+
+
⋅
2 1 Ecuación 18En éste caso J es la inercia del conjunto, y lo que hemos expresado como r2 el rendimiento del reductor de velocidad.
Mediante las ecuaciones 13, 15 y 18 obtenemos la ecuación de estado 19, y mediante las ecuaciones 12 y 16 obtenemos la ecuación de estado 20.
F
J
W
J
b
I
J
k
dt
dW
r eq m eq eq eq t m=
⋅
r
2−
−
1
Ecuación 19W
L
k
I
L
R
V
L
dt
dI
m v−
−
=
1
Ecuación 20Su expresión en espacio de estado tiene la forma de la ecuación 21:
(
)
⋅
+
(
)
⋅
=
⋅
−
+
⋅
−
−
⋅
−
=
r m m r eq m v eq t eq eq mF
V
I
W
W
F
V
J
L
I
W
L
R
L
k
J
r
k
J
b
dt
dI
dt
dW
0
0
0
1
0
1
1
0
2 Ecuación 21Estas ecuaciones nos llevan a la conclusión de que el modelo de los motores, en un estudio lineal, es un sistema de segundo orden. A partir de este punto es necesario estudiar cual es el comportamiento del sistema, teniendo en cuenta las no linealidades que presentan los sistemas físicos.
3.2.1.1,- Función de Transferencia del Motor DC
A partir del modelo que hemos obtenido en el capítulo 3.4, podemos obtener la función de transferencia del conjunto motor. Tenemos que tener en cuanta que existen dos motores (uno para cada rueda).
Para que sea más sencillo el modelado del motor, hemos reducido las inercias y los rozamientos viscosos al primario del reductor. De esta forma podemos calcular los valores
reducidos de una forma sencilla y práctica. Matemáticamente se expresa el paso del secundario al primario del grupo reductor dividiendo por la relación de transformación al cuadrado, tal y como se muestra en la ecuación 22.
2 2 2 1 2 2 2 1
rt
b
b
rt
J
J
=
=
Ecuación 22Como se puede observar existe una equivalencia con los transformadores eléctricos. Ésta equivalencia, que ya se había visto en los circuitos eléctrico y mecánico del motor, es muy importante a la hora de hacer simulaciones, ya que nos permite hacer similitudes en el comportamiento de ambos sistemas.
Entonces, para el caso que estamos estudiando, la correspondencia al primario de inercias es el calculado en la ecuación 23, mientras que el de resistencias viscosas es el mostrado en la ecuación 24. 2 2 1 rt J J Jeq = + Ecuación 23 1 b beq = Ecuación 24
Las características principales para el cálculo de la función de transferencia son:
Parámero Descripción
velang=1.2881e+003 velocidad nominal 12300 rpm (12300*2*pi)/60 Kt=0.00495 constante de par Kt=4.95 mNm/A
Kv=0.00495 constante de velocidad Kv=1930 rpm/V Kv=((1/1930)/(2*pi))*60 V/rad/seg
R=11.4 resistencia bobinado R=11.4 ohm
L=0.00024 Inductancia motor L=0.24 mH
N1=3249 rpm primario N1=3249 rpm
N2=196 rpm secundario N2=196 rpm
rt=N1/N2 =16.5765 relación de transformación
r=0.0350 radio rueda
b1=3.7700e-012 rozamiento primario tau=13 ms=b/J: b=13*0.000000029=3.7700e-007 r2=0.8300 Rozamiento secundario Max. efficiency=83%
J1=0.000000029 inercia rotor J1=0.290 gcm2
J2=8.5000e-009 Inercia reductor=0.015 gcm2 inercia encoder=0.07 gcm2 Jeq=J1+(J2/rt^2) Inercia equivalente en primario motor
beq=b1 Resistencia equivalente en primario motor
Tabla 1. Características motor
Siendo los valores más característicos los de la siguiente lista: Kt=0.00495
Kv=0.00495 La=0.00024 Ra=11.4
Como podemos observar, Kt y Kv son iguales en unidades del sistema internacional, aunque se expresen en diferentes tipos de unidades. Estas constantes son las llamadas constante de velocidad (porque relaciona velocidad angular i flujo con fuerza contraelectromotriz) y constante de par (porque relaciona corriente y flujo con pares). Para la obtención de la función de transferencia global del motor, partiremos del diagrama de bloques y lo reduciremos hasta hallara la relación entrada/salida. Partiremos del modelo de la ilustración 19, que representa el modelo inicial compuesto por las ecuaciones 19 y 20. A partir de este modelo podemos hacer modificaciones en los sumandos, ya que sabemos la relación que existe en los sistemas realimentados, que según la ecuación 25 podemos reducir a una función de transferencia única.
)
(
1
)
(
)
(
s
H
k
s
H
s
A
⋅
+
=
Ecuación 25Ilustración 19. Modelo motor inicial.
Teniendo en cuenta las reducciones anteriores, de la Ilustración 21 deducimos, que la función de transferencia del sistema que estamos estudiando es de segundo orden y queda de la siguiente manera:
( )
(
)
(
)
r
k
k
b
J
R
L
r
k
v T eq eq a a Ts
s
s
H
2 2⋅
+
+
+
⋅
=
⋅
Ecuación 26Si ahora substituimos los valores de las constantes en la ecuación 26, obtenemos la función de transferencia de uno de los motores del robot móvil (ecuación 27).
( ) (
0.00024 11.4)(
0.000000029 3.77 12)
20.337e-6 004109 . 0 + − + + = e s s s H Ecuación 27Operando la ecuación 27 obtenemos la función de transferencia de segundo orden en potencias de S, resultando la ecuación 28.
( )
12 2 7 510
034
.
2
10
306
.
3
10
967
.
6
004109
.
0
− − −+
⋅
+
⋅
⋅
=
s
s
s
H
Ecuación 28También podemos expresar la función de transferencia identificando los parámetros de un sistema se segundo orden de la manera que se indica en la ecuación 29:
( )
2 6 6 2 2 210
9195
.
2
47452
10
9195
.
2
99
.
201
2
+
+
⋅
⋅
⋅
=
+
+
⋅
=
s
s
W
s
W
s
W
k
s
H
n n nξ
Ecuación 29Si igualamos términos obtenemos los valores característicos del sistema que nos determinan su comportamiento dinámico, y que se detallan en la tabla 2
Motor H(s) Ganancia k 201,9775 Polos -4,74*104; -0,0062*104 Coef. Amorti. ? 13,886 Frecuencia Wn (rad/sec) 1709 Tabla 2
Podemos entonces dibujar el lugar geométrico de las raíces del motor en lazo abierto para conocer la posición de los polos, y el resultado se muestra en la ilustración 22.
Ilustración 22. LGR motor en lazo abierto
Si observamos la ilustración 22, nos damos cuenta de que el sistema está fuertemente marcado por el comportamiento del polo de baja frecuencia, por lo que es posible reducir el sistema a uno de primer orden sin perder información relevante del comportamiento del sistema. Esto nos será útil a la hora de calcular el controlador, ya que de esta manera se simplifican los cálculos. Es importante entonces conocer las características de casa uno de los polos, que detallamos en la tabla 3.
Valor Frecuencia (rad/s) Amortiguamiento
Polo 1 0,0074*104 6.15*10 1
Polo 2 4,7426*104 4.74*104 1
Tabla 3
El diagrama de bode del motor en lazo abierto nos será muy útil a la hora de analizar las características y el comportamiento dinámico del mismo. En la Ilustración 23 podemos ver los puntos importantes, como son la frecuencia de cross over, o frecuencia en la que la ganancia es nula, que es de 10500 rad/s. Éste punto nos determina el margen de fase del sistema.
Ilustración 23. Diagrama de bode del motor en lazo abierto
3.2.1.2,- Reducción a un Sistema de Primer Orden
A partir de los datos obtenidos en el apartado anterior podemos hacer una reducción del orden del sistema para simplificar cálculos posteriores. De ésta forma es importante hacer una simplificación coherente con la realidad del sistema.
Por ello partiremos de la eliminación del polo de más alta frecuencia, que como podemos ver, se sitúa en 47,4 rad/s, mientras que el polo dominante se sitúa en 61,5 rad/s. Esto representa un factor de casi 800 veces superior el polo de alta frecuencia con relación al de baja, por lo que el comportamiento es marcadamente de primer orden.
La ganancia en continua del sistema motor es de 201,9775, por lo que si tenemos en cuenta la estructura típica de un sistema de primer orden que mostramos en la ecuación 30, nos damos cuenta de que tenemos todos los parámetros necesarios para calcular la nueva función de transferencia.
( )
n nW
s
W
k
s
H
+
⋅
=
Ecuación 30Tabla 4. Parámetros función de transferencia de primer orden
Con los resultados obtenidos podemos determinar la función de transferencia, que tiene la expresión de la ecuación 31.
( )
5
,
61
12420
5
,
61
5
,
61
9775
,
201
+
=
+
⋅
=
s
s
s
H
Ecuación 31Ahora, al comparar los resultados del sistema original de segundo orden con el sistema propuesto de primer orden, obsérvese la ilustración 25, cómo la respuesta a escalón unitario del sistema de segundo orden (arriba a la derecha), es apreciablemente muy parecida a la del sistema de primer orden (abajo a la derecha), pero los diagramas de bode en lazo abierto son distintos a las frecuencias próximas a 104 rad/s. En el bode del sistema de segundo orden (arriba izquierda), aparecen los efectos del polo de alta frecuencia, mientras que en baja frecuencia el comportamiento es prácticamente el mismo.
Por otra parte hay que comparar los resultados obtenidos con los datos entregados por el fabricante, para así poder validar el modelo obtenido. Si observamos los gráficos de respuesta escalón de ambos sistemas, podemos observar que la velocidad angular que se obtiene para una tensión de alimentación igual a la nominal de 7,2 V, se sitúa en 1450 rad/s, algo superior a los 1288 rad/s entregados en la documentación del fabricante. Esto es motivado por algunas simplificaciones que hemos realizado a la hora de coger los decimales de los parámetros internos. A pesar de ello, el resultado es suficientemente bueno como para considerarlo aceptable.
Otra característica importante es el tiempo de establecimiento y el tiempo de subida, que se sitúan en 72 y 18 ms respectivamente, mientras que en las características del fabricante se sitúa en 13 ms. Esta diferencia es debida a que el fabricante no ha tenido en cuenta los rozamientos del eje reductor y del encoger magnético digital.
3.2.1.3,- Características del Motor DC
En los data sheets de Maxon, podemos encontrar todas las características de los motores DC que hay instalados en el robot. Los motores utilizados son de imanes permanentes de grafito sin escobillas. La particularidad de estos motores es el hecho de que emplean conmutación eléctrica (en lugar de mecánica) de la corriente de armadura. Estos Motores tienen un momento de inercia bajo en comparación con los modelos con escobillas.
Las principales características las pasamos a enumerar en la siguiente tabla (tabla 5):
Nº Datos Motor Unidades Valor
1 Potencia asignada W 1.5
2 Tensión nominal Volt 7.2
3 Velocidad sin carga rpm 12300
4 Par de arranque mNm 3.13
5 Gradiente velocidad/par rpm/mNm 4430
6 Corriente sin carga mA 74
7 Corriente de arranque mA 633
8 Resistencia en los terminales Ohm 11.4
9 Velocidad máxima admisible rpm 16000
10 Corriente máxima continua mA 267
11 Par máximo continuo mNm 1.32
12 Potencia maxima a la salida a tension nominal mW 936
13 Rendimiento máximo % 46
14 Par constante mNm/A 4.95
15 Velocidad constante rpm/V 1930
16 Constante de tiempo mecánica ms 13
17 Inercia del rotor gcm2 0.290
18 Inductancia en los terminales mH 0.24
19 Resistencia térmica cubierta-exterior K/W 46
20 Resistencia térmica rotor-cubierta K/W 14
21 Constante de tiempo térmica del bobinado s 5
• Juego axial 0.05 – 0.15 mm
• Carga máxima en los cojinetes
Axial (dinámico) 0.8 N
Radial (5 mm desde la junta) 1.4 N
Fuerza de presión-ajuste (estático) 15 N
• Juego axial en los cojinetes 0.014 mm
• Rango de temperaturas del ambiente de trabajo -20/+65ºC
• Temperatura máxima del rotor +85ºC
• Número de segmentos de conmutación 7
• Peso del motor 15 – 18 g
En la ilustración 25 se muestran las principales cotas de los motores. Hay que tener en cuenta que vamos a adaptar un reductor de velocidad y un encoger en el mismo eje.
Ilustración 25. Características físicas de los motores
Los puntos de trabajo se muestran en la ilustración 26. Como se puede observar, los rangos de trabajo marcados en rojo no ofrecen peligro alguno en las condiciones de trabajo. No es recomendable ejercer sobre los motores pares superiores a 1.32 m Nm, ya que eso podría causar la desmagnetización de los imanes permanentes, un sobrecalentamiento en los motores o cualquier otro tipo de avería asociada a la sobrecarga magnética, mecánica o térmica.
3.2.1.4,- No Linealidades Observadas
En el modelado de motores podemos observas diferentes no linealidades. Éstas pueden tener varios caracteres. Aquí describimos algunas posibles no linealidades que presentan estos motores:
• No linealidades debidas a la saturación del motor: En las características de un motor DC, se puede observar que su potencia no es infinita, a pesar de que las ecuaciones lineales de un motor si lo son. A medida que vamos aumentando la tensión en el motor, la teoría nos indica que la velocidad desarrollada puede llegar a ser infinita. En las características entregadas por el fabricante, se observa que la tensión nominal es de 7,2 V, por lo que no podremos superar este valor. Existe, entonces, una saturación debida al límite de corriente del motor. Además existe un campo magnético (ley de Lenz de los campos magnéticos) que se opone al creado por los imanes del estator, que se genera en las espiras del rotor, por el hecho de que pasa una corriente. Este efecto es mayor a medida que la carga se eleva. Esto se puede observar en la Ilustración 26. En este caso, los rangos operativos se restringen y quedan limitados.
• No linealidades debidas a la rotación del motor: Un motor presenta diferentes coeficientes en función del sentido de la rotación, aunque el fabricante solo nos da un valor, válido para los dos sentidos de rotación. Estas no linealidades, no se pueden simular, ya que sobre el papel no disponemos de datos suficientes, aunque una vez realizados los ensayos podremos variar los valores de los mismos. Esta no linealidad se debe a las diferencias que se originan en un motor por la descompensación axial del eje rotor, las diferencias (pequeñas) del tamaño de los imanes, la variación de la resistencia rotórica en función del sentido de la corriente (efectos de física cuántica), o la simple diferencia de la reluctancia magnética de los imanes motivada por la desmagnetización temporal o por exceso de carga, etc… El fabricante nos da un valor de juego en el eje de acotado entre 0.05 y 0.15 mm.
• No linealidades motivadas por las transiciones de rozamiento estático y cinético: La simulación del comportamiento del rozamiento en un sistema dinámico, es complicada. Existen dos tipos más generales de rozamiento (hay muchas mas derivados de ellos), que son el rozamiento estático y el cinético. Su comportamiento presenta no linealidades muy acusadas y difíciles de simular. La variación del tipo de terreno, o las deformaciones del mismo también afectan a estas no linealidades.
3.2.2,- Función de Transferencia del Encoder Magnético Digital
El principio del encoder magnético se basa en la rotación de un pequeño imán permanente multipolo situado en la parte móvil. El cambio del flujo magnético lo detecta un sensor magnético y transmite la señal electrónica como pulsos magnéticos, que a su vez son
Ilustración 27. Encoder magnético digital. Ilustración 28. Señales del encoder magnético digital
El encoder tiene dos canales, A y B, que entregan una señal cuadrada cada uno, que será procesada por el sistema de control. Estos impulsos pueden ser contados para determinar la posición exacta o para conocer la velocidad a la que se mueve. Los canales A y B, entregan dos señales desfasadas, que se comparan entre ellas para conocer el sentido de giro.
Un pulso de usuario (llamado “home” pulse en el canal I) se utiliza para determinar la posición cero de referencia, y nos permite determinar los cambios angulares en el giro. Las señales que entrega el encoder a la salida las podemos observar en la ilustración 28.
Para determinar la velocidad de giro del encoder habrá que determinar la velocidad máxima de giro, para así conocer el muestreo mínimo para que no se produzca pérdida de información de velocidad.
Para la medida de la posición del móvil, vamos a utilizar técnicas de odometría. La principal ventaja de este tipo de medida de posición, es que el equipo de medida se encuentra en el mismo robot a controlar, y siempre es capaz de obtener una posición relativa al vehículo. Por el contrario, tiene la desventaja de que el error relativo crece sin control si no usamos una variable independiente periódicamente para corregir éste error. Nosotros conocemos la frecuencia máxima de operación, que se sitúa en 20 kHz. Superada esta frecuencia en la salida del encoder significa que el tiempo de subida de los canales A y B es superior y que no será posible contar los pulsos (obsérvese ilustración 29). Si además tenemos en cuenta que cada vuelta de rotor cuenta 16 pulsos por canal, podemos determinar la velocidad máxima de giro del motor de la siguiente manera (ecuación 32):
seg rad cuentas rad seg cuentas
7854
16
2
10
20
⋅ 3 ⋅π
= Ecuación 32Si tenemos en cuenta que nuestro motor gira a un máximo de 1281.1 rad/seg, y sabiendo que el teorema de Nyquist determina que fs>=2f, el encoder cubre sobradamente este aspecto constructivo.
Para obtener una buena precisión, podemos contar las transiciones y no los pulsos. De esta manera reducimos la resolución en grados a la mitad. Por lo tanto, teniendo en cuenta que N es el número de cuentas y S el número de canales, la resolución se calcula como sigue (ecuación 33):
º
8125
.
2
2
16
2
º
360
2
º
360
=
⋅
⋅
=
=
NS
R
Ecuación 33Si ahora tenemos en cuenta el error para las condiciones anteriores, podemos determinar que el ángulo medido será (ecuación 34):
(
2
.
8125
2
.
8125
)
º
16
4
º
360
16
4
º
360
2 2±
⋅
=
±
⋅
⋅
=
t
grados
t
α
Ecuación 34Dónde t2 es el nº de transiciones que hemos contado.
La velocidad la obtendremos dividiendo por el tiempo de muestreo que utilizamos en el microcontrolador para hacer esta operación de suma, y dependerá de las necesidades de cálculo y de la velocidad máxima que necesitemos contar.
Si tenemos en cuenta que el diseño del circuito para atender las interrupciones tiene una t de 12 µs, esto nos da 83.33 kHz de frecuencia máxima de generación de interrupciones, superior al valor mínimo necesario de 60 kHz, que corresponden a 20 kHz de frecuencia
La determinación del sentido de rotación se hace teniendo en cuenta que el canal A adelanta al canal B en 90º, y cuando el giro es en el sentido contrario, el canal B adelanta al canal A en 90º. Para conocer el punto de referencia, se utiliza el cana de usuario.
El codificador magnético se puede representar como una relación entrada salida, cuya función de transferencia es (ecuación 35):
K
fracuencímetroW
n
=
⋅
⋅
=
π
2
2
16
2
Ecuación 35Conociendo la frecuencia máxima de trabajo del encoder que son 20kHz, y considerando que generamos un pulso por cada transición, podemos deducir que, en el peor de los casos, tendremos una interrupción cada 2.5·10-5 segundos, o lo que es lo mismo, cada 25µs. Esta cifra no es un valor es significativo, porque quien nos va a marcar el ritmo de las interrupciones va a ser la velocidad máxima de giro del motor. Ésta se sitúa en 12300 rpm, que expresado en unidades del sistema internacional son 1281.1 rad/seg. Teniendo en cuenta que se producen 32 transiciones por cada vuelta del encoder, obtenemos el resultado de la ecuación 36.
seg
pulsos
n
1281
.
1
6524
.
6
/
2
32
=
⋅
=
π
Ecuación 36Que pasado a unidades temporales son 153.27 µs por pulso. Como podemos observar el sistema está perfectamente capacitado para atender las interrupciones del encoder.
La medida de velocidad la realizará el µP utilizando la salida de posición del codificador como dato.
Cuando utilizamos la velocidad como variable a ser realimentada, tenemos que expresarla por su transformada en Z, si queremos analizar el sistema. La derivada en tiempo discreto, se obtiene tomando la diferencia entre posiciones en intervalos de muestreo sucesivos y dividiendo por el tiempo de muestreo. Obsérvese en la ilustración 30.
Entonces expresamos la velocidad como la ecuación 37:
Ecuación 37
se expresa en forma de un recuento en un registro digital, de forma que N debe tener unidades de recuentos por rad/seg, en nuestro caso, si operamos la ecuación 35, obtenemos una N=10,186 pulsos por rad/seg.
Entonces la transformada en Z de la medida de velocidad queda como sigue (ecuación 38):
Ecuación 38
Para determinar el muestreo del frecuencímetro, o lo que es lo mismo, el tiempo necesario para realizar las operaciones de suma y conocer la velocidad, será necesario conocer la constante de tiempo del sistema motor. Si las aceleraciones son lentas, se podrá realizar el cómputo más lentamente, y así rebajaremos la carga de trabajo del microcontrolador, pero si nuestro sistema evoluciona muy rápidamente, será necesario hacer un mayor número de operaciones de cálculo. Partiendo de estas premisas, y con las simulaciones realizadas en los apartados anteriores, sabemos que la evolución de la velocidad responde a una t =13ms y su tiempo de establecimiento se sitúa en 39ms. Con estos datos estableceremos como tiempo de muestreo T=50ms, igual al tiempo de muestreo del lazo de velocidad.
De esta forma el número de cuentas que realizaremos a la velocidad máxima será de (ecuación 39):
652
049
,
13
50
⋅
=
=
n
Ecuación 39De ésta forma obtenemos que la función a realizar por el microcontrolador para obtener la velocidad a la salida del encoger, teniendo en cuenta que se cuentan P pulsos en 50ms, es la operación aritmética Vel=1,9635·P, y obtendremos la velocidad en rad/seg.
En la ilustración 31 tenemos las dimensiones del encoder, que como podemos comprobar coinciden con las del motor.
•
Ilustración 31. Dimensiones físicas encoder
Las características técnicas del encoder magnético digital utilizado son las que se describen a continuación:
• Voltage Vcc 3.8 – 24 V
• Señal de salida bei Vcc=5 VDC TTL compatible
• Numero de canales 2
• Cuentas por vuelta 16
• Salto de fase 90º e
• Potencia de entrada a Vcc=5 VDC max. 8 mA
• Inercia del disco magnético 0.07 gcm2
• Rango de temperatures de trabajo -20 to/80 ºC
• Frecuencia maxima de trabajo min. 20 kHz
• Longitud total (motor+reductor+encoder) 30.3 mm
Para el conexionado con el microcontrolador que hará el recuento de flancos, se utilizan los pines que se localizan en la ilustración 32. Las conexiones de los canales A y B son compatibles TTL y éstos deberán generar interrupciones en cada flanco, tanto de subida como de bajada, por lo que será necesario generar un tren de pulsos. La generación de éste tren de pulsos para generar las interrupciones, se soluciona mediante un circuito electrónico, que no vamos a tratar.
3.2.3,- Función de Transferencia del Reductor de Velocidad.
Una propiedad del grupo reductor que estamos utilizando, es que cambia la velocidad de rotación de los ejes que sostienen los engranajes. El engranaje que utilizamos tiene una reducción absoluta de 3249/196. Es decir, por cada 17 vueltas del eje de entrada, se completa una del eje de salida. Luego la velocidad de salida baja en un factor 17. Si los engranajes se invierten, la razón será de 1 a 17, con lo cual el eje de salida girará 17 veces más rápido que el de entrada.
La respuesta es debida a los distintos diámetros de los engranajes y a la relación entre velocidad angular y la velocidad lineal. Ambos engranajes se mueven a la misma velocidad lineal en el punto en el cual los dientes están interconectados, pero se mueven en direcciones opuestas.
La relación entre velocidad lineal y velocidad angular es v = w x r, donde v es la velocidad lineal, w es la velocidad angular y r es el radio del engranaje; el radio es la mitad del diámetro. Esta es una relación vectorial: x es el producto vectorial o producto cruz.
Así, dado que V17 = -V1, podemos sustituir la ecuación anterior para V y obtenemos W17xr12 = -(W1 x r1). Re escribiendo esta ecuación tenemos W17 = -W1 x (r1 / r17). La razón de r1 a r17 es 1 a 17 ó, W17 = -W1 x (1/17). La velocidad de angular del engranaje de secundario dependiendo del nº de dientes es 1/17, y la del eje primario 17 veces más lenta. El signo negativo significa que la velocidad angular está en la dirección opuesta. Podemos expresar por tanto la relación de transformación de la siguiente manera (ecuación 40):
V
V
N
N
V
1 1 2 1 2 17 1 ⋅ = = Ecuación 40Siendo los valores los de la tabla 6: Reductor de velocidad N1=3249 rpm primario N1=3249 rpm N2=196 m secundario N2=196 rpm rt=N1/N2 relacion de transformación Tabla 6
Si hablamos con referencia a los pares aplicados en cada eje, los resultados so los inversos que en velocidades. El par aplicado en cada una de los ejes se expresa como (ecuación 41):
d
F
43). Por lo tanto:
d
M
d
M
1 1 2 2= Ecuación 42M
M
N
N
M
d
d
M
1 1 1 2 1 1 2 2= = =17⋅ Ecuación 43En la ilustración 33 vemos un detalle de las magnitudes del grupo reductor, que se acopla perfectamente al motor y al encoder utilizados.
Ilustración 33. Características físicas reductor.
Las características técnicas del reductor dependen de los elementos que lo constituyen. Es importante conocer los pares máximos que puede transmitir y las pérdidas de carga que se producen.
En la siguiente tabla (ilustración 34) se muestran los mas significativos:
Por último, las características del grupo reductor de la marca Maxon que estamos estudiando se describen en la tabla 7:
Nº Características grupo reductor Unidades valor
1 Reducción 17 : 1
2 Reducción absoluta 3249/196
3 Número de etapas 2
4 Par máximo a la salida del reductor Nm 0.20
5 Par máximo intermitente a la salida del reductor Nm 0.30
6 Sentido de la rotación, impulsión a la salida =
7 Rendimiento máximo % 83
8 Peso g 14
9 Contragolpe medio sin ninguna carga º 1.2
10 Inercia de la masa Gcm2 0.015
11 Longitud del reductor L1 mm 20.0
Tabla 7. Características grupo reductor
3.2.4,- Función de Transferencia del Generador de Pulsos.
Para la reconstrucción de la señal para atacar al motor DC, vamos a utilizar un “zero order hold” o ZOH. Esto nos permitiré trabajar en el dominio discreto a pesar de que los motores son de tiempo continuo.
Si consideramos un sistema como el de la ilustración 35, podemos observar como se hace la reconstrucción de una señal continua utilizando el ZOH.
Ilustración 35. Descripción del ZOH
La señal h(t) tiene la forma expresada en la ilustración 35. Entonces, si tenemos en cuenta la transformada de Laplace descrita en la ecuación 44.
Ecuación 44 Obtenemos una señal de salida en el dominio de S como la siguiente (ecuación 45):
Ecuación 45
Donde (ecuación 46):
Ecuación 46
Siendo X*(S) la señal muestreada a la entrada del ZOH y Gh0(S) la función de transferencia del mantenedor de orden cero, que expresamos de la siguiente manera (ilustración 36):
Ilustración 36. Mantenedor de orden cero.
Por lo tanto definiremos al ZOH como la ecuación 47:
3.3, Modelo Discreto de los Motores
En esta sección vamos a obtener un modelo discretizado del sistema motriz calculado en el apartado 3.2. Sobre éste modelo vamos a calcular un control de velocidad, el cual se encargará de cumplir con las necesidades impuestas por nosotros.
3.3.1,- Elección del Tiempo de Muestreo
La selección del mejor tiempo de muestreo para un sistema de control digital es una solución de compromiso. Generalmente las prestaciones del controlador digital mejoran con el incremento de la frecuencia de muestreo, pero el coste del equipo controlador aumenta a medida que aumentamos el tiempo de muestreo. Una reducción en el valor de muestreo, significa que tenemos más tiempo para los cálculos del controlador, entonces, entonces se pueden usar microcontroladores más lentos para realizar la función de control, o disponemos de más capacidad de control para un determinado microcontrolador. A la vez resulta más económico el coste para la función de control. Para sistemas con convertidores A/D, un muestreo más bajo significa que son necesarias menores conversiones de velocidad, lo cual reduce el precio del equipo. Además, muchas veces las operaciones de cálculo de control requieren un mayor número de argumentos y decimales, que debe ser asumido por el microcontrolador.
3.3.1.1,- Teorema del Límite del Tiempo de Muestreo
El valor mínimo de tiempo de muestreo para un sistema en lazo cerrado viene determinado por la capacidad de reconstruir una señal desconocida. Es necesario pues utilizar un muestreo que sea como mínimo el doble de la frecuencia más alta contenida en la señal desconocida.
Ecuación 48
Este teorema puede ser insuficiente para los sistemas con tiempos de rizado del orden de 1s. Es necesario en este caso utilizar valores que típicamente se sitúan entorno los 3 y los 20 Hz, por lo que para cumplir con el teorema del valor límite obtendríamos un muestreo de (ecuación 49):
Ecuación 49
Por otro lado, en los sistemas en que las entradas son manipuladas por el usuario (o sea que pueden suceder en cualquier momento), comúnmente usados en la aviación, y que provocan rizados en las señales de entrada y retardos en el muestreo de la señal, entonces podemos hablar de tiempos de muestreo del orden de (ecuación 50):
Ecuación 50
3.3.1.2,- Formas para la Evaluación del Tiempo de Muestreo
La elección del tiempo de muestreo es clave a la hora de la realización de un controlador. En función del tiempo de establecimiento que deseamos, deberemos escoger un valor u otro. Además de lo expuesto en el capítulo 3.3.1.1, que hace referencia al tiempo de respuesta del sistema a una entrada determinada, hay que tener en cuenta varios factores clave del comportamiento dinámico del sistema en tiempo continuo.
Si suponemos que tenemos un sistema continuo, deberemos escoger un valor de tiempo de muestreos comprendido en el rango de la ecuación 51. Éstos valores han sido obtenidos experimentalmente.
f
T
f
c<
s<
⋅
⋅
5
1
30
1
Ecuación 51Si la ecuación 51 la expresamos en términos de tiempo de subida (rise time) obtenemos una acotación de valores comprendidos entre (ecuación 52):
r s r
T
T
T
<
<
⋅
⋅
0
.
57
95
,
0
Ecuación 52Si el sistema es de primer orden, podemos expresar Tr como (ecuación 53):
τ
⋅
=
2
,
2
rT
Ecuación 53Y para un sistema de segundo orden lo expresaremos como se indica en la ecuación 54:
d r
W
T
2 11
sin
ξ
π
−
−
=
− Ecuación 54Por último podemos definir como rango de estabilidad para un sistema continuo en términos de respuesta en frecuencia como en la ecuación 55:
5
,
0
15
,
0
<
T
s⋅
W
0<
Ecuación 55Donde W0 es la frecuencia de corte del sistema en tiempo continuo.
Para calcular el tiempo de muestreo podemos expresar la ecuación 55 en función de Ts y obtenemos la ecuación 56.
