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PÉNDULO FÍSICO AMORTIGUADO. Estudio del movimiento ondulatorio libre y amortiguado.

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Academic year: 2021

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PÉNDULO FÍSICO AMORTIGUADO 1. OBJETIVO

Estudio del movimiento ondulatorio libre y amortiguado.

2. FUNDAMENTO TEÓRICO

Se denomina péndulo físico a cualquier sólido rígido capaz de oscilar alrededor de un eje horizontal.

El péndulo físico con el que se va a realizar el experimento consiste en un disco de aluminio, una polea y un eje. El eje está conectado a un sensor de rotación para medir la posición angular del péndulo en todo momento. El movimiento se amortigua mediante un dispositivo magnético situado en el sensor de rotación.

La ecuación del movimiento se deduce a partir de la expresión:

ΣMo=Ioα (1)

Las fuerzas de los muelles, F1 y F2, son fuerzas

conservativas, pero existen también fuerzas disipativas como son la fuerza de rozamiento en el eje y la fuerza que ejerce el dispositivo magnético, que hacen que la energía del oscilador disminuya con el tiempo.

Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, la ecuación del movimiento vendrá definida como: 0 I ´ C I kr 2 I C I ´ C C kr 2 2 2 = θ ⇒ θ+ θ+ θ+ = θ θ − θ − θ −        (2) siendo:

k la constante de fuerza de los muelles, ambos son iguales, r el radio de la polea,

I el momento de inercia del disco respecto a su eje de rotación,

θ la posición angular del péndulo, Los términos θ θ θ     yC´

C son los de disipación; el primero proporcional y opuesto a la velocidad de rotación es debido al dispositivo magnético, el segundo término, que es constante, es debido al rozamiento en el eje y tiene signo opuesto a la velocidad de rotación.

Finalmente la expresión (2) vendrá definida: 0

2βθ+ω2θ+ =

+

θ  o B

(2)

donde β es un factor o parámetro de amortiguamiento y ωo la frecuencia natural del péndulo. La solución a la ecuación diferencial (3) nos dará la ecuación del movimiento resultante:

) t ( cos e ) t ( =θo t ω +ϕ θ −β (4)

donde ω, frecuencia de oscilación del sistema amortiguado, viene definida como 2 2 o 2=ω −β ω

Si 2 2 o>β

ω ⇒ Movimiento Amortiguado, el sistema oscila con amplitud decreciente.

Si 2 2 o=β

ω ⇒ Amortiguamiento Crítico, el sistema vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar

cuando se le desplaza.

Si ω2o<β2 ⇒ Movimiento Sobreamortiguado, no hay oscilación, pero el sistema vuelve al

equilibrio mas lentamente que en el caso del amortiguamiento crítico.

3. MATERIAL UTILIZADO

El material del que se dispone para la realización de la práctica es el siguiente: • Péndulo • Sensor de movimiento • Motor • Dispositivo magnético • Fuente de alimentación • Cables de conexión • Ordenador 4. EXPERIMENTACIÓN 4.1.- Oscilaciones libres

4.1.1. Determinen el periodo de oscilación y la frecuencia natural de oscilación del péndulo, a partir de las curvas registradas en el ordenador. En este caso el dispositivo magnético no debe ejercer ninguna fuerza sobre el disco, es decir, debe encontrarse en una posición lo más alejada posible del mismo.

El sensor de movimiento va conectado a un puerto USB del ordenador y para la adquisición de datos se utiliza el software

DataStudio.

(3)

Para iniciar el programa, pulse en el icono que aparece en el escritorio. A la pregunta ¿cómo desea usar DataStudio? Seleccione “Abrir actividad” y busque en el directorio péndulo el fichero plantilla;

al abrirlo aparecerá la siguiente pantalla, que se divide en tres zonas A, B y C (figura 2).

En la zona A (“Resumen de datos”), aparecen los sensores que van a ser utilizados (en

nuestro caso únicamente el sensor de movimiento). Debe verificarse que el sensor está activo, en caso de no ser así aparecerá una exclamación en color amarillo al lado del mismo, . Si esto ocurre deberán comunicárselo a un responsable de prácticas.

En la zona B se indican las diferentes pantallas de datos que pueden mostrarse, siendo en

la zona C donde se visualizan. Las pantallas que serán de utilidad en el transcurso de la práctica

son:

• : Las pantallas de gráficos representan los datos del sensor con respecto al tiempo.

• : muestra las coordenadas numéricas en columnas.

Figura 2. Pantalla Inicial

• : muestra el valor de la fuerza en cada momento durante la ejecución del experimento.

Previamente a la realización de la toma de datos, se procederá a configurar el experimento y a establecer las condiciones de ensayo.

En la ventana “Configuración del experimento” (figura 3), se puede elegir la frecuencia de muestreo.

A

C

B

(4)

Figura 3. Configuración del Experimento

Una vez establecidos los parámetros de ensayo, se procederá a iniciar el experimento.

Enciendan la fuente de alimentación y alimenten al motor con un voltaje ≈ 3.6 ó 3.7

voltios. El péndulo comenzará a oscilar. Cuando la manivela del motor esté en su posición más baja pulsen . Seguidamente apaguen la fuente de alimentación. La toma de datos finalizará cuando se pare el péndulo. En ese momento pulsen sobre la opción

Las diferentes tomas de datos irán apareciendo en la sección “A” de la pantalla con la

notación “Ensayo≠1, Ensayo≠2…….”. Estas leyendas pueden cambiarse por otras que se deseen colocando el puntero del ratón sobre ellas y pulsando el botón izquierdo del mismo dos veces de forma discontinua. Cuando se realice una toma de datos no válida, ésta podrá eliminarse seleccionando en el menú principal “Experimento” → “Suprimir último ensayo de datos”.

La medida del periodo, To, se realizará directamente sobre dicha curva utilizando la

herramienta .

Repitan el experimento tres veces y calculen el valor medio del periodo. Posteriormente obtengan el valor de la frecuencia natural de oscilación, ωo= 2π/To.

To (s) o T (s) ω =2π/T (s-1)

(5)

4.2.- Oscilaciones Amortiguadas

Determinen los periodos y las frecuencias de oscilación para diferentes amortiguamientos, así

como el parámetro de amortiguamiento β para cada caso estudiado.

Los diferentes amortiguamientos se consiguen variando la posición del imán, ver figura 1.

Realicen la experiencia al menos para 4 posiciones diferentes del imán. Registren en cada caso las curvas de oscilación del disco tal y como se ha indicado en el apartado anterior.

A partir del gráfico registrado midan el periodo y calculen la frecuencia de oscilación ωa.

Para el cálculo del parámetro de amortiguamiento, β, se tendrá en cuenta la dependencia exponencial de la amplitud en función del tiempo según la expresión (4), es decir:

t oe ) t ( =θ −β θ (5)

siendo θ (t) el valor de la amplitud en cada periodo de oscilación, tal y como se refleja en la

figura 2, y θo el valor del ángulo inicial.

Directamente en el gráfico registrado, ver figura 2, y con la herramienta, ,se pueden leer los valores de θ (puntos de amplitud máxima en el eje de coordenadas positivo o puntos de amplitud máxima en el eje de coordenadas negativo) y sus correspondientes valores de t.

Tomando logaritmos neperianos en la expresión (5) se obtiene: t

θ ln

lnθ= o−β (6)

Figura 4: Amplitudes Máximas

Al representar ln θ = f(t) se debe obtener una línea recta. Realizando un ajuste por mínimos cuadrados (regresión lineal), del valor de la pendiente se podrá obtener el parámetro de amortiguamiento, β y del valor de la ordenada en el origen el ángulo inicial θo.

(6)

La determinación de β así realizada nos obliga a conocer con una cierta exactitud el valor inicial de la amplitud, θo.

Una vez determinado β para cada amortiguamiento, y con el valor de ωa calculado, se podrá

verificar a partir de la expresión 2 2 o 2

a =ω −β

ω si el valor de ωo coincide con el valor calculado en el apartado anterior.

I (A) Ta(s) ω(rad·sa=2π/T-1) a β (s-1) ωo (rad·s-1)

Al terminar la práctica, entreguen una copia de los datos experimentales obtenidos indicando el título de la práctica, sus nombres y apellidos, grupo de teoría al que pertenecen y fecha de realización.

En el Informe a entregar, se deben incluir todas las tablas de datos, las gráficas y ajustes realizados, los valores calculados y su comparación con los valores reales, comentando los posibles errores cometidos, y las conclusiones obtenidas.

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