Magia matemática
Para muchas personas las matemáticas son mágicas, pero en un sentido peyorativo, de dificultad e incomprensión. Para nosotros son mágicas en un sentido bien distinto: por su capacidad para explicar fenómenos de la naturaleza y situaciones aparentemente inexplicables, por su rigor y por su belleza.
Pero lo que queremos mostrar es una faceta muchas veces desconocida: su presencia en muchos trucos de magia de los que habitualmente nos hacen y que nos dejan sorprendidos porque escapa a nuestro entendimiento su explicación; pues bien, bastantes veces su explicación es matemática.
LA CASA EMBRUJADA
El mago proyecta un cuadro hecho con nueve cartas (figura 1) y explica que simulan cuartos de una casa embrujada, en la que los cuartos pueden aparecer y desaparecer. Cada movimiento que puede hacerse dentro de la casa, consiste en pasar a otro cuarto contiguo en horizontal o vertical, nunca en diagonal. Muestra varios movimientos posibles, donde se ve que puede volverse al cuarto anterior, pero siempre por los lados de las cartas, nunca por los vértices.
Figura 1
A continuación, el mago retira cuatro cartas (figura 2) y le pide a cada espectador que mentalmente se coloque en una de las habitaciones que quedan.
Figura 2
Cuando lo han hecho, el mago vuelve a colocar las cartas iniciales completando el cuadro de la figura 1, cuyas cartas consideraremos numeradas (figura 3).
Pide a los espectadores que realicen los siguientes pasos a la vez que retira cartas. Figura 3 a) Se mueven tres veces y
retira las cartas 1 y 3 (queda figura 4).
b) Se muevan cinco veces y retira las cartas 2 y 6 (queda figura 5).
c) Se mueven tres veces y retira la carta 5 y 9 (queda
figura 6). Figura 4 Figura 5 Figura 6
d) Por último, se deben mover otras tres veces y retira las cartas 4 y 8. Sólo queda la carta 7, que serán donde estén todos los espectadores.
Explicación del truco.
Este truco se basa en la dualidad par – impar. La posición de las cartas hace que unas sean pares y otras impares (ver numeración en figura 3). Tras realizar un número impar de movimientos, si al principio estamos en una carta par acabamos en una impar, o viceversa.
Si seguimos los pasos del juego, todos los espectadores comienzan en casillas impares (figura 2), tras el paso a) han terminado en casillas pares, por lo que podemos quitar sin problemas las cartas 1 y 3. Después del paso b) terminarán todos en casillas impares, por lo que podemos quitar casillas pares, y así sucesivamente hasta el final.
Referencia: Álvarez, Fernández y Márquez (1992)
NÚMEROS Y SÍMBOLOS
Uno de los juegos de magia interactiva más populares en la red es el que presentamos en este número. Lo que, a simple vista, parece un programa informático muy elaborado, resulta que está basado en una propiedad de divisibilidad muy sencilla. Presentamos en primer lugar el juego y mostraremos después el principio matemático que lo soporta.
1. Escribe en una hoja de papel un número de dos cifras (por ejemplo, 15).
2. Escribe debajo la suma de las cifras del número anterior (en nuestro ejemplo, 6). 3. Realiza la resta entre los números escritos (15 - 6 = 9).
4. Busca en la tabla el símbolo correspondiente al resultado de la operación. 1 n 2 b 3 N 4 l 5 6 6 v 7 { 8 T 9 R 10 v 11 f 12 l 13 O 14 n 15 R 16 a 17 n 18 R 19 R 20 x 21 a 22 d 23 z 24 l 25 S 26 R 27 R 28 R 29 { 30 l 31 x 32 m 33 f 34 i 35 f 36 R 37 d 38 6 39 6 40 h 41 i 42 f 43 b 44 U 45 R 46 N 47 J 48 R 49 T 50 ^ 51 n 52 M 53 M 54 R 55 x 56 o 57 a 58 T 59 d 60 i 61 M 62 f 63 R 64 v 65 l 66 M 67 I 68 o 69 o 70 I 71 v 72 R 73 ^ 74 O 75 a 76 ^ 77 J 78 O 79 b 80 T 81 R 82 i 83 o 84 m 85 b 86 b 87 O 88 i 89 f 90 6 91 6 92 d 93 M 94 6 95 f 96 d 97 z 98 S 99 b
Clave: El resultado es siempre un múltiplo de 9, por lo que basta con asignarles a todos
ellos un mismo símbolo. Explicación del truco:
Veamos cómo funciona el juego haciendo las operaciones con un número cualquiera.
Todo número de dos cifras se puede escribir de la forma 10 a + b (si a es la cifra de las decenas y b la cifra de las unidades). Si restamos a dicho número el resultado de la suma a + b, tenemos: 10 a + b - (a + b) = 9 a, que es múltiplo de nueve. Por tanto, basta colocar el mismo símbolo en las casillas ocupadas por los múltiplos de nueve: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 y 81.
Ampliaciones: ¿Por qué 90 y 99, que son múltiplos de 9, no tienen el mismo símbolo?
OPERACIONES CURIOSAS
Hay muchas curiosidades numéricas que son muy llamativas para los que no las conocen, y que se pueden presentar como trucos mágicos o como poderes mentales del mago.
MULTIPLICAR POR 11
Una de las habilidades mágicas que suelen presentarse, es la de hacer operaciones muy rápidamente. Uno de esos ejemplos es multiplicar por 11.
Explicación del truco:
Si queremos multiplicar un número de dos cifras por 11, por ejemplo el 35, basta sumar las dos cifras (3+5 = 8) y colocar esa cifra entre las dos del número, así 35 x 11 = 358. Si la suma diese un número de dos cifras, la de las decenas se le suma a la de las decenas del número original, por ejemplo en 76, sumamos 7+ 6 = 13 y entonces el producto sería 76 x 11 = 836.
ELEVAR AL CUADRADO UN NÚMERO DE DOS CIFRAS TERMINADO EN 5
Clave: Es muy fácil, para ello basta tomar las cifras de las decenas y multiplicarla por el
siguiente número entero, al resultado del producto se le añade detrás el número 25. Por ejemplo 75² = 5625, es decir, 7x8 = 56 y detrás se colocan las cifras 25.
Esto sirve también si el número es de más de dos cifras, aunque este caso es más complicado porque habría que multiplicar de cabeza dos números de dos cifras. Por ejemplo 115² = 13225 ya que 11x12 = 132 y detrás colocamos el 25.
Explicación del truco: A2 = (A + 5) · (A - 5) + 52.
Pero A + 5 y A - 5 terminan en 0. Eso quiere decir que siempre A2 va a terminar en 25. Además las dos primeras cifras van a ser el producto de las cifras de la decena anterior y de la posterior a A.
PRODUCTO DE NÚMEROS DE DOS CIFRAS
Vamos a generalizar el método de los cuadrados de los números que terminaban en 5 a determinadas multiplicaciones.
Vamos a pedir un número cualquiera de dos cifras, nosotros podremos decir otro de la misma decena tal que sea facilísimo multiplicarlo por él.
Clave: Se multiplica la cifra de la decena por cifra de la siguiente decena y con un 25
detrás.
Explicación del truco:
Si el número es múltiplo de 5, decimos el mismo número y lo multiplicamos por el truco que ya hemos explicado: cifra de la decena por cifra de la siguiente decena y con un 25 detrás.
Si el número no es múltiplo de 5, se coge el número de la misma decena cuyas unidades sumen 10 con las del que te nos han dado: 23 si nos dan 27, 48 para 42...
El truco es el mismo que en el caso de elevar al cuadrado números terminados en 5: cifra de la decena por cifra de la siguiente decena y detrás el producto de las cifras de las unidades.
Por ejemplo: Si me dicen 44 yo cojo 46, y al multiplicar queda:
44 · 46 = (40+4) · (50-4) = 40 · 50 – 4 · 40 + 4 · 50 - 4 · 4 = 40 · 50 + 4 · (50 – 40 – 4) = 40 · 50 + 4 · 6 = 2000 + 24 = 2024
Si lo escribimos con letras, tenemos A = 10x + y, B = 10x + t, con y + t = 10; vemos que: A · B = (10x + y) · (10x + t) = (10x + y) · (10x + 10 - y) = (10x + y) · (10 (x + 1) - y) = 10x · 10 (x+1) – 10xy + 10 (x + 1) · y – y · y = 10x · 10 (x + 1) + y · (10x+10-10x-y) = 10x · 10 (x + 1) + y · t, cifra de la decena por cifra de la siguiente decena y detrás el producto de las cifras de las unidades.
CUADRADO DE UN NÚMERO CON LAS CIFRAS IGUALES A 1
Se pide a alguien del público que diga un número de varias cifras todas iguales a 1, y el mago indica rápidamente cuál es su cuadrado.
Explicación del truco:
Si hallamos las primeras potencias de estos números podemos observar cuál es la ley de formación.
Número Cuadrado Número Cuadrado Número Cuadrado
11 121 1111 1234321 111111 12345654321
111 12321 11111 123454321 1111111 1234567654321
Ampliaciones:
¿Qué ocurre cuando el número tiene diez o más cifras? Número Cuadrado
1111111111
1234567900987654321
11111111111
123456790120987654321
111111111111
12345679012320987654321
1111111111111 1234567901234320987654321
TRUCOS NUMÉRICOSADIVINAR EL NÚMERO DE HERMANOS
MATERIAL: Una calculadora (por simplificar los cálculos). REALIZACIÓN:
El mago solicita tres voluntarios del público a los que se van a adivinar el número de hermanos que son en su familia.
Se le entrega la calculadora al primer voluntario y se le pida que haga las siguientes operaciones:
- Que escriba el número de hermanos que son en casa. - Que sume 4 al resultado.
- Que multiplique el valor encontrado por 10 - Que le sume 3 al total.
La persona que tiene la calculadora la entrega entonces al segundo voluntario que realiza las siguientes operaciones:
- Suma el número de hermanos que le corresponde. - Multiplica el total por 5.
- Suma 2 al resultado.
Entrega la calculadora al último voluntario que realiza lo siguiente: - Multiplica el resultado por 2.
- Suma el número de hermanos de su familia.
Por último se entrega la calculadora al mago que rápidamente descubre el número de hermanos de cada familia.
Clave: Al número resultante basta restarle el valor 434 para que quede un número de tres
cifras, cada cifra es el número de hermanos de cada familia.
Nota: Conviene preguntar si en alguna familia hay más de diez hermanos porque
entonces los resultados salen erróneos. Explicación del truco:
Primer voluntario
- Que escriba el número de hermanos que son en casa. (x) x
- Que sume 4 al resultado. x+4
- Que multiplique el valor encontrado por 10 10x+40
- Que le sume 3 al total. 10x+43
Segundo - Suma el número de hermanos que le corresponde. (y) 10x+43+y
- Multiplica el total por 5. 50x+215+5y
- Suma 2 al resultado. 50x+217+5y
Tercero - Multiplica el resultado por 2. 100x+434+10y
- Suma el número de hermanos de su familia. (z) 100x+10y+z+434
Ampliaciones:
¿Después de realizar las operaciones puede obtenerse un número menos de 500? ¿Y mayor de 1500?
En realidad, el menor número sería 434 + 111 = 545, que se da cuando los tres voluntarios son hijos únicos.
PIRÁMIDE INVERTIDA DE NÚMEROS
El mago escribe un número de seis cifras cualquiera (pueden sacarse aleatoriamente de una baraja de cartas o pedírselo a un espectador del 1 al 9). A continuación estima cuál será el resultado que dará cuando sume cada dos números, y escriba la cifra de las unidades de esa suma bajo los dos números.
Por ejemplo, partimos del número 356127 y el mago estima que el resultado final será 5, o partiendo del número 678953 se estima el 9 como final de las sumas:
3 5 6 1 2 7 6 7 8 9 5 3 8 1 7 3 9 3 5 7 4 8 9 8 0 2 8 2 1 2 7 8 2 0 3 3 5 0 3 6 5 9
Clave: Sumar la primera y última cifra del número original. La cifra de las unidades de ese
resultado será el número final si la segunda y quinta cifras tienen la misma paridad (ambas son pares o impares). Si las cifras b y e tienen distinta paridad, se debe sumar 5 a la suma de la primera y última cifra.
Explicación del truco:
Si partimos de seis números cualesquiera y realizamos las operaciones pertinentes nos encontramos como
a b c d e f a+b b+c c+d d+e e+f
a+2b+c b+2c+d c+2d+e d+2e+f
a+3b+3c+d b+3c+3d+e c+3d+3e+f
a+4b+6c+4d+e b+4c+6d+4e+f
a+5b+10c+10d+5e+f
Por lo tanto el resultado final es 10·(c+d)+5·(b+e)+(a+f). Como sólo nos interesa la cifra de las unidades, c y d no entran en el resultado final, y b y e sólo entran en el caso de que su suma sea impar. Por lo tanto el truco consiste en sumar la primera y última cifra del número original. La cifra de las unidades de ese resultado será el número final si la segunda y quinta cifras tienen la misma paridad (ambas son pares o impares). Si las cifras b y e tienen distinta paridad, se debe sumar 5 a la suma de la primera y última cifra.
Ampliaciones:
¿Puede alguna de las cifras iniciales ser un cero? Y por qué no.
TARJETAS MÁGICAS
Se le pide a alguien del público que piense un número menor que 64 y se le entregan las siguientes tarjetas: Tarjeta 1 Tarjeta 2 1 3 5 7 9 11 13 15 2 3 6 7 10 11 14 15 17 19 21 23 25 27 29 31 18 19 22 23 26 27 30 31 33 35 37 39 41 43 45 47 34 35 38 39 42 43 46 47 49 51 53 55 57 59 61 63 50 51 54 55 58 59 62 63 Tarjeta 3 Tarjeta 4 4 5 6 7 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 24 25 26 27 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 40 41 42 43 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 56 57 58 59 60 61 62 63 Tarjeta 5 Tarjeta 6 16 17 18 19 20 21 22 23 32 33 34 35 36 37 38 39 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 56 57 58 59 60 61 62 63
Debe buscar en qué tarjetas se encuentra el número pensado y entregárselas al mago. Una vez que ha localizado las tarjetas, el mago indica enseguida el número elegido.
Clave: El mago sólo debe sumar el número más pequeño que se encuentra en cada una
de las tarjetas donde está el número pensado. La suma es ese número.
Por ejemplo, si se ha pensado en el 37, puede observarse que aparece en las tarjetas 1ª, 3ª y 6ª. Sumando los números correspondientes 1+4+32 = 37.
Explicación del truco.
37 2
1 18 2 0 9 2
1 4 2
0 2 2
Las tarjetas se construyen atendiendo a la expresión del número en base binaria. Es decir, se pasa el número a sistema de numeración de base 2. Por ejemplo, el número 37 es 100101 en base 2. Basta fijarse en las cifras y tener en cuenta que el 1
equivale a aparecer, y el 0 no. 0 1
Comenzando por su forma binaria, la cifra de las unidades corresponde a la tarjeta 1ª, como hay un 1 debe aparecer, la segunda cifra por la derecha es un cero, luego el número no debe aparecer en la tarjeta 2. La tercera cifra por la derecha es un 1, el número debe incluirse en la tarjeta 3, y así sucesivamente.
En clase es posible que los alumnos construyan una versión simplificada solo con cuatro tarjetas y con los números del 1 al 15.
MEMORIA PRODIGIOSA
Se presenta el siguiente cuadro: Una persona del público tapa, estando el mago de espaldas, cualquier número del tablero. El mago se vuelve, observa la tabla e inmediatamente indica el número tapado.
Clave: Los números, que inicialmente dan la impresión de estar desordenados, siguen
una determinada pauta, que lógicamente conoce el mago.
Para descubrir el número tapado, basta moverse en diagonal cuatro casillas y fijarse en el número que ocupa esa nueva casilla. Si hemos tenido que descender para hallar el número, basta sumar 8 unidades al número. Si hemos tenido que ascender, entonces se resta 8 unidades al número que nos encontramos.
68 60 52
Por ejemplo, si nos han tapado el número 60 (6ª fila, 1ª columna) contamos 4 lugares en diagonal hacia abajo y obtenemos el 52, basta sumarle 8. Si nos movemos hacia arriba obtenemos el 68 al que hay que restarle 8.
Explicación del truco.
La tabla se ha construido cumpliendo la condición indicada.
Se puede proponer a los alumnos que construyan ellos sus propios tableros modificando el conjunto de órdenes para obtener el número. Por ejemplo subir tres casillas, girar a la derecha dos y allí colocar el doble del que partíamos menos tres.
TRUCOS CON DADOS
EL LANZAMIENTO DE TRES DADOS
Se utilizan tres dados que se entregan al voluntario que se haya prestado a ayudarnos. El mago, de espaldas al ayudante, le va dando las siguientes instrucciones:
a) Lanza los tres dados.
b) Suma los números que aparecen en las caras superiores de los tres dados.
c) Toma ahora uno cualquiera de los dados y añade a la suma anterior, el valor de la cara sobre la que estaba apoyado ese dado.
d) A continuación, vuelve a lanzar el dado que has cogido y añade a todo lo anterior, el valor del número que sale en la cara superior.
e) De nuevo elige otro dado, puede ser el mismo de antes u otro distinto, y suma la cara sobre la que se apoyaba.
f) Vuelve a lanzar el último dado que has cogido, y aumenta la suma anterior con el valor que salga en la cara superior.
A continuación, el mago se acerca al voluntario. Tras dejar claro al público que éste ha tenido que sumar siete números, y que para el mago es imposible saber cuáles han sido los dados que ha elegido para volverlos a lanzar, inmediatamente indica cuál es la suma.
Clave:
La forma de adivinar esa suma es muy fácil; el mago sólo tiene que fijarse en cuánto suman las tres caras de los dados que están en ese momento a la vista, y a esa cantidad sumarle 14.
Este truco puede hacerse también realizando sólo los cuatro primeros pasos. Es decir, sin tomar el segundo dado para ver la cara base, y volverlo a tirar. En ese caso lo que hay que añadir a la suma de las caras superiores expuestas es sólo siete.
Explicación del truco:
La base matemática en la que se apoya el truco anterior es que en los dados normales que se encuentran comercializados, hay una propiedad que siempre se cumple: La suma de las caras opuestas de un dado es siete.
Por esta razón, en el primer truco sólo hay que sumar siete por cada uno de los dados en que se haya sumado la cara superior, y la cara sobre la que se apoyaba. Así, si lo hacemos con un dado, aunque nosotros no hayamos visto ni la cara superior ni la inferior, sabemos que su suma es siete, que es lo que añadiremos a la suma de caras que está a la vista. Si hay dos dados a los que sumamos la parte inferior y volvemos a tirar, habrá que sumar 14, y así sucesivamente.
TRUCOS CON UN CALENDARIO EL CUADRO DE 3X3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Se le pide a un espectador que elija un mes
cualquiera del calendario, y dentro de él rodee un cuadro de 3x3 que englobe 9 números. Como por ejemplo el de la figura.
27 28 29 30 31
El espectador le dice al mago cuál es el primer número de su cuadro (en nuestro ejemplo el 8) y éste le indica al espectador cuanto vale la suma de su cuadro.
Clave: La suma es siempre nueve veces la suma del primer número más 8 (ó nueve
veces la cifra central), S = 9⋅(a+8). Explicación del truco.
La distribución de números en un calendario tiene propiedades numéricas que van bien para muchos trucos.
a a+1 a+2
a+7 a+8 a+9 Si consideramos un cuadro cualquiera en el que
el primer número es a, los restantes números
serán los que aparecen en el cuadro siguiente. a+14 a+15 a+16
Si sumamos esos nueve números se obtiene 9⋅a+72 = 9⋅(a+8). Es decir, que la suma es siempre nueve veces la suma del primer número más 8 (ó la cifra central).
En el ejemplo primero 8+9+10+15+16+17+22+23+24 = 144 = 9⋅16 = 9⋅(8+8)
TRUCOS CON CARTAS
LOS CUATRO ASES
El mago saca cuatro voluntarios y les pide que piensen un número entre el 10 y el 20 (menor que este último). Le pide el número pensado al primer espectador y va colocando tantas cartas como ese número indique, una a una sobre un montón en la mesa. Al acabar se da cuenta que no va a tener cartas para todas, entonces le pide al espectador que sume las cifras de su número y retira del montón de la mesa tantas cartas como la suma, colocándolas una a una sobre el mazo que tiene en la mano. La última carta que quedaba en el montón de la mesa se la entrega, sin que se vea, al espectador y el montón que quedaba sobre la mesa lo vuelve a colocar sobre el mazo.
Repite la misma operación con los otros tres espectadores y al acabar el número, los voluntarios del público muestran sus cartas y resulta que tienen los cuatro ases de la baraja.
Explicación del truco:
9. Como hemos elegido número menores que 20, el resultado de la resta es siempre 9. Es decir, nosotros vamos a entregar siempre la novena carta desde el principio del mazo, independientemente del número que haya elegido el espectador. Por lo tanto, sólo tenemos que preparar las cartas, antes de comenzar, de forma que los cuatro ases ocupen los lugares 9, 10, 11 y 12 desde el comienzo del mazo.
TRUCOS CON MONEDAS CARA O CRUZ
El mago tiene en la mano unas cuantas monedas y una tarjeta o carta que servirá para tapar una de las monedas.
Sobre una mesa se colocan las monedas y entonces el mago se vuelve de espaldas, dando las siguientes instrucciones a un espectador que habrá salido voluntario.
Debe ir dando vueltas a las monedas una a una. Puede utilizar las que quiera, incluso alguna que ya haya vuelto anteriormente, y no es necesario que vuelva todas las monedas que están sobre la mesa. La única condición es que cada vez que vuelva una moneda diga en voz alta: “vuelta”.
Una vez terminado, tapa una de las monedas con la tarjeta entregada.
Entonces, el mago se da media vuelta y dice sin equivocarse si en la moneda que está tapada puede verse una cara o una cruz.
Clave:
Contar el número de caras y añadir a esa cuenta una unidad cada vez que escuchemos la palabra “vuelta”. Si al final el número que nos queda es par, así debe ser la cantidad de caras que habrá sobre la mesa, si vemos un número par, la moneda tapada es cruz. Si es impar hay tapada una cara. Y de forma análoga si nos ha quedado al final un número impar.
Explicación del truco:
El truco consiste en contar, antes de darse la vuelta, cuántas monedas hay en la mesa. La cantidad de caras debe ser par o impar, y como cada vez que se dé la vuelta a una moneda cambia el número de caras en una más o menos, lo cierto es que cambia la paridad. Es decir, si había un número par de caras al cambiar una, quedará un número impar o viceversa. El mago lo único que debe hacer es comprobar la paridad inicial, y cada vez que oiga la palabra “vuelta” cambiar de par a impar o al revés. Al acabar, se fija en la cantidad de caras que hay descubiertas; si coincide en paridad con la cuenta que lleva mentalmente, la moneda tapada presenta una cruz, si no coincide, la moneda tapada tiene una cara.
Si estamos preocupados por si nos confundimos al ir cambiando de par a impar mentalmente, otro método sería contar el número de caras y añadir a esa cuenta una unidad cada vez que escuchemos la palabra “vuelta”. Si al final el número que nos queda es par, así debe ser la cantidad de caras que habrá sobre la mesa, si vemos un número par, la moneda tapada es cruz. Si es impar hay tapada una cara. Y de forma análoga si nos ha quedado al final un número impar.
TRUCOS GEOMÉTRICOS 13 CHINOS
Basada en esta idea, el propio Sam Loyd creó un puzzle titulado ¡Fuera de este mundo! (Get off the earth) que tuvo un éxito apoteósico, llegándose a vender millones de ejemplares. En ese puzzle (que podemos ver en la imagen) si se corta por la línea correspondiente al borde del mundo y se gira el círculo interior, según hacia donde señale la flecha central, aparecen 13 (si señala a N.E.) ó 12 figuras (si señala hacia N.W.).
Referencias para profundizar en el tema
ALEGRÍA, PEDRO y RUÍZ DE ARCAUTE, J.C. (2002): “La matemagia desvelada”. Sigma 21, 145-174.
Puede consultarse una copia en PDF en la dirección:
http://www.berrikuntza.net/edukia/matematika/sigmaaldizkaria/sigma_21/10-LAMAT.PDF El profesor Pedro Alegría presenta varios trucos en la sección de “El Rincón Matemágico” de la página de Divulgamat en la dirección siguiente:
http://www.divulgamat.net/weborriak/Cultura/MateMagia/matemagia.asp
ÁLVAREZ, VENANCIO, FERNÁNDEZ, PABLO y MÁRQUEZ, M.A. (1992): “Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos”. Gaceta Matemática
Puede consultarse una copia en PDF en la dirección: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/gallardo/magia.pdf
FERRERO, L. (1991): El juego y la Matemática, Ed. La Muralla, Madrid. GARDNER, MARTIN (1992): Magia inteligente. Zugarto ediciones, Madrid.
GONZÁLEZ, FRANCISCO (2003): “Matemagia: la magia de las matemáticas”. En Actas de las IV Jornadas de Educación Matemáticas de la Comunidad Valenciana. 471-476 Puede consultarse una copia en PDF en la dirección:
www.ua.es/personal/SEMCV/Actas/pdf/Part81.PDF
LANDER, ISIDORO (1989): Magia Matemática. Labor, Barcelona. 2ª Edición
MUÑOZ SANTONJA, JOSÉ (2003) Ernesto el aprendiz de matemago. Nivola, Madrid. PERELMAN, Ya I. (1983): Problemas y experimentos educativos. Mir, Moscu, 2ª edición.
