Acerca de las Formas Bilineales Simétricas. Las Formas Alternadas

FORMAS BILINEALES II

Acerca de las Formas Bilineales

Simétricas. Las Formas Alternadas

Este artículo es una continuación de “Introducción a las formas bilineales”, que se encuentra publicado en esta misma web, en la dirección

http://casanchi.com/mat/formasbilineales01.htm

en donde definimos las formas bilineales como aplicaciones del producto cartesiano de dos k-espacios vectoriales, V y W, en su cuerpo k de definición. En dicho artículo obtenemos la expresión analítica, los homomorfismos asociados a derecha e izquierda, establecemos los conceptos de Forma Degenerada, Forma Ordinaria y Forma No Singular, para, finalmente, definir el concepto de ortogonalidad respecto a una forma bilineal y establecer sus propiedades básicas, lo que nos permitiría definir también el rango de una forma bilineal. Todo ello expuesto en seis apartados, de 01 a 06, por lo que empezaremos ahora este artículo con el apartado 07.

La novedad que introducimos en este trabajo es que ahora los espacios V y W utilizados antes son el mismo espacio vectorial, por lo que aquí trataremos de formas bilineales sobre un espacio vectorial dado (V;k).

07. Formas bilineales sobre un espacio vectorial

Consideremos el conjunto de las formas bilineales definidas del producto cartesiano de los k-espacios V y W en su cuerpo de definición.

L(V,W;k)

Si hacemos

V

= W

, representaremos tal conjunto por

L

2

_(V)

_{. Es decir, si}

f

∈ L

2

_(V)

_,

_{∀x, y ∈ V}

2

_{, f (x, y)}

_{∈ k}

_{, siendo obviamente válidos los teoremas vistos}

en las secciones anteriores para el caso de que los espacios V y W pudieran ser distintos.

Teorema 07.1:

Se verifican los siguientes isomorfismos a)

L

2

_(V)

_{≈ Mat}

n

(k)

b)

L

2

_(V)

_{≈ Hom(V,V*)}

Demostración:

a) se verifica por el Teorema 02.2, y b) es asimismo un caso particular del Teorema 03.1.

Definición 07.1: Se definen las formas simétricas y antisimétricas (o alternadas) del siguiente modo:

f

∈ L

2

_{(V) simetrica}

_{↔ ∀(x, y) ∈ V}

2

_{, f (x, y)}

_{= f (y, x)}

f

∈ L

2

_{(V) antisimetrica}

_{↔ ∀(x, y) ∈ V}

2

_{, f (x, y)}

_{= − f (y, x)}

Representaremos por

L

_s2

(V)

y

L

2_a

(V)

los respectivos conjuntos de las formas

bilineales simétricas y alternadas:

L

2_s

_(V)

_{= f ∈ L}

{

2

_{(V) / f (x, y)}

_{= f (y, x),∀x, y ∈ V}

2

}

L

2_a

_(V)

_{= f ∈ L}

{

2

_{(V) / f (x, y)}

_{= − f (y, x),∀x, y ∈ V}

2

}

Teorema 07.2:

Si el cuerpo k es de característica distinta de 2, entonces

∀f ∈ L

2_a

_{(V), f (x, x)}

_{= 0}

Demostración:

De ser

∀(x, y) ∈ V

2

, f (x, y)

= − f (y, x)

, será

f (x, x)

= − f (x, x) → 2 f (x, x) = 0

y siendo

car(k)

≠ 2

, será necesariamente

f (x, x)

= 0

. Teorema 07.3:

Los conjuntos

L

2_s

(V)

y

L

2_a

(V)

son subespacios vectoriales del k-espacio

L

2

_(V)

_.

Demostración:

a)

∀f, g ∈ L

_s2

(V),

∀

α

,

β

∈ k, (

α

f

+

β

g)(x, y)

= (

α

f )(x, y)

+ (

β

g)(x, y)

=

=

α

f (x, y)

+

β

g(x, y)

=

α

f (y, x)

+

β

g(y, x)

= (

α

f

+

β

g)(y, x)

→

→

α

f

+

β

g

∈ L

2_s

(V)

b)

∀f, g ∈ L

2_a

(V),

∀

α

,

β

∈ k, (

α

f

+

β

g)(x, y)

= (

α

f )(x, y)

+ (

β

g)(x, y)

=

=

α

f (x, y)

+

β

g(x, y)

= −

α

f (y, x)

−

β

g(y, x)

= −(

α

f

+

β

g)(y, x)

→

→

α

f

+

β

g

∈ L

2_a

_(V)

Teorema 07.4:

Si el cuerpo k es de característica distinta de 2, entonces

L

2_s

_{(V)∩ L}

a 2

_(V)

_{= 0}

{ }

Demostración:

∀f ∈ L

2_s

_{(V)∩ L}

a 2

_(V),

_{∀x, y ∈ V}

2

_→

f (x, y)

= f (y, x)

f (x, y)

= − f (y, x)









→ f (x, y) = − f (x, y) →

→ 2. f (x, y) = 0 → f (x, y) = 0 → f = 0

Es decir,

∀f ∈ L

2_s

(V)∩ L

2_a

(V), f

= 0 → L

s 2

_{(V)∩ L}

a 2

_(V)

_{= 0}

{ }

Teorema 07.5:

Sea k un cuerpo de característica distinta de 2.

Se verifica que el espacio vectorial de las formas bilineales sobre un k-espacio vectorial V dado es la suma directa de los subespacios de las formas bilineales simétricas y alternadas:

L

2_s

_(V)

_{⊕ L}

a 2

_(V)

_{= L}

2

_(V)

Demostración: a) Veamos que

L

_s2

_(V)

_{+ L}

a

2

_(V)

_{= L}

2

_(V)

_{, es decir, que cualquier elemento de}

V

2

_{(k) es la suma de un elemento de}

_L

s 2

(V)

más un elemento de

L

2_a

(V)

:

∀f ∈ V

2

_(k),

_{∀(x, y) ∈ V}

2

_{, sean}

ϕ

₁

(x, y)

= 1

2

[

f (x, y)

+ f (y, x)

]

y

ϕ

2

(x, y)

= 1

2

[

f (x, y)

− f (y, x)

]

es obvio que

ϕ

₁

(x, y)

=

ϕ

1

(y, x)

y

ϕ

2

(x, y)

= −

ϕ

2

(y, x)

, cumpliéndose que

ϕ

₁

(x, y)

+

ϕ

₂

(y, x)

= 1

2

[

f (x, y)

+ f (y, x)

]

+ 1

2

[

f (x, y)

− f (y, x)

]

= f (x, y)

En definitiva, es

∀f ∈ L

2

(V), f

=

ϕ

1

+

ϕ

2

,

ϕ

1

∈ L

s 2

(V),

ϕ

2

∈ L

a 2

(V)

, por lo que

L

2_s

(V)

+ L

2_a

(V)

= L

2

(V)

b) Del teorema anterior

L

2_s

_{(V)∩ L}

a 2

_(V)

_{= 0}

{ }

En definitiva:

L

2_s

_(V)

_{+ L}

a 2

_(V)

_{= L}

2

_(V)

L

2_s

_{(V)∩ L}

a 2

_(V)

_{= 0}

{ }









→ L

2_s

_(V)

_{⊕ L}

a 2

_(V)

_{= L}

2

_(V)

Teorema 07.6:

Toda matriz cuadrada se descompone en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

Demostración:

Por el teorema 07.1 a),

L

2

_(V)

_{≈ Mat}

n

(k)

siendo

n

= dimV

. Sea

Φ

dicho

isomorfismo y consideremos una base

B

= e

{

₁

,..., e

_n

}

cualquiera del espacio

V

. Se tiene:

Φ : L

2

(V)

→ Mat

_n

(k)

es decir,

∀f ∈ L

2

(V),

Φ( f ) = A ∈ Mat

_n

(k)

,

A

= a

( )

ij _ncon

a

ij

= f (e

i

e

j

), i, j

=1,..., n

por el teorema 07.5,

∃

ϕ

₁

∈ L

2_s

(V),

ϕ

2

∈ L

a 2

_(V)

_{tales que}

_f

₌

_ϕ

1

+

ϕ

2

,

∀f ∈ L

2

_(V)

_. Luego

Φ( f ) = Φ(ϕ

₁

+

ϕ

₂

)

= Φ(ϕ

₁

)

+Φ(ϕ

₂

)

= A

₁

+ A

₂

∈ Mat

_n

(k),

A

₁

= (a

ij 1

₎

n

, A

2

= (a

hk 2

₎

n con

a

_ij1

₌

_ϕ

1

(e

i

e

j

), i, j

=1,..., n

,

a

hk 2

₌

_ϕ

2

(e

h

e

k

), h, k

=1,...,n

- Como

ϕ

₁

∈ L

2_s

(V)

,

a

_ij1

₌

_ϕ

1

(e

i

e

j

)

=

ϕ

1

(e

j

e

i

)

= a

ji 1

_{→ A = (a}

ij 1

₎

n

simetrica

- Como

ϕ

₂

∈ L

2_a

(V)

,

a

_hk2

₌

_ϕ

2

(e

h

e

k

)

= −

ϕ

2

(e

k

e

h

)

= −a

kh 2

_{→ A = (a}

hk 2

)

_n

antisimetrica

Definición 07.2: Sea

f

∈ L

2

_(V)

_{y sean}

_W

1

,W

2 subespacios de V tales que

V

= W

1

+W

2. Si

W

1 y

W

2

son ortogonales respecto de f, se dice que V es la suma ortogonal de

W

₁ y

W

₂

(

V

= W

₁

⊥ W

₂). Definición 07.3:

El elemento

x

∈ V − 0

_{{ }}

es isótropo respecto a

f

∈ L

2

_(V)

_sii

_{f (x, x)}

_{= 0}

_.

Una variedad lineal

_M

⊆ V

se dice que es isótropa sii y se dice que

es totalmente isótropa si además es

M

⊆

ω

(M )

.

Una variedad lineal

_M

⊆ V

se dice que es totalmente isótropa maximal sii se

verifica que y

∀N ⊆ V / N ⊆

ω

(N), M

⊆ N → M = N

.

Sea

f

∈ L

2

_(V)

_{ordinaria y M variedad lineal de V. Se verifica que}

M

∩

ω

(M )

=

φ

↔V = M ⊥

ω

(M )

Demostración:

- Si

V

= M ⊥

ω

(M )

y

f

∈ L

2

_(V)

_{es obvio que, por definición,}

_M

_∩

_ω

_{(M )}

₌

_φ

_.

- Veamos la implicación en sentido contrario:

Sabemos que si

L

₁ y

L

₂ son variedades lineales de un determinado espacio

vectorial V, se verifica que

dim(L

₁

+ L

₂

)

= dim L

₁

+ dim L

₂

− dim(L

₁

∩ L

₂

)

en nuestro caso consideramos las variedades

L

₁

= M

y

L

₂

=

ω

(M )

, ambas

ortogonales:

dim(M

+

ω

(M ))

= dim M + dim

ω

(M )

− dim(M ∩

ω

(M ))

Como, por el teorema 05.1, 10) sabemos que

dim M

= codim

ω

(M )

= n− dim

ω

(M )

se tendrá que

dimV

= n = dim M + dim

ω

(M )

= dim(M +

ω

(M ))

+ dim(M ∩

ω

(M ))

O sea,

dimV

= dim(M +

ω

(M ))

+ dim(M ∩

ω

(M ))

De lo cual,

si

M

∩

ω

(M )

=

φ

→ dim(M ∩

ω

(M ))

= 0

quedando

dimV

= dim(M +

ω

(M ))

→ V = M +

ω

(M )

con lo que, al ser

M

y

ω

(M )

ortogonales, será

V

= M ⊥

ω

(M )

Teorema 07.8:

Sea

f

∈ L

2

_(V)

_{ordinaria y M variedad lineal de V. Se verifica que}

M no isótropa

↔

ω

(M ) no isótropa

Demostración:

Por el teorema 05.1,11) sabemos que si f es ordinaria se verifica que

M

=

ω

2

_{(M )}

_,

por lo que

M no isótropa

↔ M ∩

ω

(M )

= 0

{ }

↔

ω

2

_{(M )}

_∩

_ω

_{(M )}

_{= 0}

{ }

_↔

_ω

_{(M ) no isótropa}

Definición 07.4:

Dados dos k-espacios vectoriales,

V

₁ y

V

₂, y formas bilineales cualesquiera

f

₁

∈ L

2

_(V

1

)

y

f

2

∈ L

2

_(V

2

)

, se dice que un homomorfismo

σ

:V

1

→ V

2 es métrico

respecto a

f

₁ y

f

₂ sii

f

₂

(

σ

x,

σ

y)

= f

₁

(x, y),

∀x, y ∈ V

₁.

Si

σ

es isomorfismo se denomina isometría.

(Tal denominación se debe a que la distancia en los espacios métricos se define mediante una forma bilineal)

08.1 Acerca de las Formas Simétricas 08.1. Existencia de bases ortogonales: Definición 08.1:

Sea V un k-espacio vectorial donde el cuerpo k de definición es de característica

distinta de 2, y sea

f

∈ L

2

_(V)

_{una forma bilineal. Una base}

_B

_{= u}

1

,..., u

n

{

}

del

espacio V se dice ortogonal respecto de f sii

f (u

_i

, u

_j

)

= 0, si i ≠ j

. Teorema 08.1:

∀f ∈ L

_s2

_{(V)∧dimV ≥1}

_{existe una base de V ortogonal respecto de f.}

Demostración

- Supongamos que f es una forma bilineal simétrica ordinaria: Si dimV=1, la proposición es obvia.

Si dimV=n>1, supongámosla cierta para algún

n

₀

< n

.

Siempre existirá algún elemento no nulo,

u

1

∈ V − 0

{ }

, tal que

f (u

1

, u

1

)

≠ 0

, ya que

si no fuera así se tendría que:

∀x, y ∈ V, f (x+ y, x+ y) = f (x, x)+ f (x, y)+ f (y, x)+ f (y, y) =

= 0 + f (x, y)+ f (y, x)+ 0 = 0

. Es decir,

∀x, y ∈ V, f (x, y)+ f (y, x) = 0

como f es, por hipótesis, simétrica, será

∀x, y ∈ V, 2 f (x, y) = 0

, y, finalmente,

como el cuerpo k es de característica distinta de 2:

∀x, y ∈ V, f (x, y) = 0

, con lo

que la forma bilineal

f

∈ L

2_s

(V)

no sería ordinaria, contra la hipótesis. En definitiva, existe algún

u

₁

∈ V − 0

_{{ }}

, tal que

f (u

₁

, u

₁

)

≠ 0

.

Llamemos

H

= H(u

₁

)

el espacio engendrado por

u

₁y sea

ω

(H )

la variedad

ortogonal a H, esto es, que cumpla que

∀x ∈ H,∀z∈

ω

(H ), f (x, z)

= 0

. Como se

tiene que

∀x ∈ H,∃a ∈ k / x = au

₁, será

∀z∈

ω

(H ), f (x, z)

= a. f (u

₁

, z)

= 0

, siendo

z

≠ u

₁, pues por construcción hemos elegido a

u

₁ de modo que

f (u

₁

, u

₁

)

≠ 0

. Es

decir, se tiene que

H

∩

ω

(H )

=

φ

, lo cual implica, por el teorema 07.7, que se

verifica la suma ortogonal

H

⊥

ω

(H )

= V

.

Repitiendo el proceso ahora para otro elemento

u

₂

∈

ω

(H )

, se tiene que

f (u

₂

, u

₂

)

≠ 0

,

f (u

₁

, u

₂

)

= 0

,

f (u

₁

, u

₁

)

≠ 0

, siendo ahora

H(u

₁

, u

₂

)

⊥

ω

(H )

= V

.

Así, mediante inducción encontramos que existe un conjunto

{

u

₁

,..., u

_n

}

de n

elementos de V tal que

H(u

₁

,...,u

_n

)

⊥

ω(H) = V

. Como la dimensión de V es n, el

espacio engendrado por

{

u

₁

,..., u

_n

}

es precisamente V, cumpliéndose que

f (u

_i

,u

_i

)

≠ 0, i =1,...,n

f (u

_i

, u

_j

)

= 0, si i ≠ j

En definitiva, encontramos una base ortogonal,

{

u

₁

,..., u

_n

}

, en el espacio V. - Sea ahora el caso en el que f es no ordinaria (degenerada):

Sea

V

₀

⊆ V

el núcleo de f, es decir

∀x ∈ V −V

₀

,

∀y ∈ V

₀

, f (x, y)

= 0

, y llamemos W

al complementario de

V

₀ en V:

W

= V −V

₀. Obviamente es

W

∩V

₀

=

φ

, luego es

W

⊥ V

₀

= V

.

Sea

{

u

1

,..., u

r

}

una base de

V

0.

La restricción de f a W ,

f :WxW

→ k

, es ordinaria, pues de no ser así, se tendría

que

∃x ∈ W − 0

{ }

/ f (x, y)

= 0,∀y ∈ W → W∩V

₀

≠

φ

. Al ser ordinaria, encontramos en W una base ortogonal, mediante el proceso descrito antes. Sea

{

u

_r+1

,..., u

_n

}

dicha base ortogonal en W.

Como es

W

⊥ V

₀

= V

, el conjunto

{

u

1

,...,u

r+1

,...,u

n

}

es una base ortogonal de V. Resumen analítico:

Si

f

∈ L

2_s

_(V)

_{es ordinaria, existe una base ortogonal}

_u

1

,..., u

n

{

}

que genera el

espacio V, es decir, tal que

f (u

i

, u

j

)

= 0, si i ≠ j

,

f (u

i

, u

i

)

= u

i

2

_{≠ 0, i =1,..., n}

. Si llamamos

u

_i2

= a

_i

, i

=1,..., n

, se tiene que

∀x ∈ V, x = x

₁

u

₁

+...+ x

_n

u

_n, cumpliéndose que

f (x, x)

= x

2

_{= x}

1 2

_u

1 2

_{+... + x}

n 2

_u

n 2

_{= a}

1

x

1 2

_{+... + a}

n

x

n

2_{, lo cual nos indica que para dos}

vectores,

x

= x

₁

u

₁

+... + x

_n

u

_n y

y

= y

₁

u

₁

+... + y

_n

u

_n, será:

f (x, y)

≡ x.y = x

₁

y

₁

u

₁2

_{+... + x}

n

y

n

u

n

2

_{= a}

1

x

1

y

1

+... + a

n

x

n

y

n

que en forma matricial sería:

f (x, y)

= (x

₁

, x

₂

,.., x

_n

)

a

₁

0 ...

0

0 a

₂

...

0

... ...

...

... ...

...

0

0

a

_n

































y

₁

y

₂

...

...

y

_n

































- Si

f

∈ L

2_s

_(V)

_{es no ordinaria, existe también una base ortogonal}

u

₁

,...,u

_r+1

,...,u

_n

{

}

que genera el espacio V, de la que una parte genera al

núcleo

V

₀

y el resto al espacio complementario

W

= V −V

₀. Sean

{

u

_r+1

,..., u

_n

}

los vectores que generan al núcleo

V

₀

y sean

{

u

₁

,..., u

_r

}

los vectores que

generan a

W

= V −V

₀. Se tendrá que

f (u

_i

, u

_j

)

= 0, si i ≠ j ,

f (u

_i

,u

_i

)

= u

_i2

_{= a}

i

≠ 0, i ≤ r

,

f (u

i

,u

i

)

= u

i

2

_{= a}

i

= 0, i > r

Se tiene que

∀x ∈ V, x = x

₁

u

₁

+...+ x

_r

u

_r

+ x

_r+1

u

_r+1

+...+ x

_n

u

_n

, y se cumple que

f (x, x)

= x

2

_{= x}

1 2

_u

1 2

_{+ x}

r 2

_u

r 2

_{+ x}

r2+1

u

r2+1

...

+ x

n 2

_u

n 2

_{= a}

1

x

1 2

_{+... + a}

r

x

r 2

_{+ 0 +... + 0 = a}

1

x

1 2

_{+... + a}

r

x

r 2

Para dos vectores cualesquiera,

x

= x

1

u

1

+... + x

n

u

n y

y

= y

1

u

1

+... + y

n

u

n, será: En forma matricial:

f (x, y)

= (x

₁

, x

₂

,.., x

_n

)

a

₁

... 0 ... 0

... ... ... ... ...

0 ... a

_r

... 0

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

0 ... 0 ... 0





































y

₁

y

₂

...

...

y

_n

































(la caja diagonal no nula de la matriz es de orden r) 08.2. Planos hiperbólicos. Existencia de planos hiperbólicos:

Definición 08.2:

Sea el par

(V, f )

constituido por un k-espacio vectorial V de dimensión 2, y una

Se dice que

(V, f )

es un plano hiperbólico sii

∃z∈ V / z≠ 0 ∧ z

2

_{= 0}

_.

Una base

{

u

1

,u

2

}

de un plano hiperbólico se dice que es un par hiperbólico sii

u

₁2

_{= 0, u}

2 2

_{= 0, u}

1

.u

2

=1

.

Teorema 08.2:

Para todo plano hiperbólico

(V, f )

existe siempre un par hiperbólico

{

u

₁

,u

2

}

que

genera al k-espacio:

V

= (u

₁

, u

₂

)

Demostración:

Sea

z

∈ V / z≠ 0 ∧ z

2

_{= 0}

_{, que existe por definición de plano hiperbólico, y sea}

u

∈ V

cualquiera tal que ambos generan el espacio:

V

= (z,u)

.

Se cumple necesariamente que

z.u

≠ 0

, pues caso contrario, si

z.u

= 0

, entonces

z

∈ V

₀, y como f es ordinaria,

V

₀

= 0

_{{ }}

, con lo que

z

= 0

, contra la hipótesis de que

z

≠ 0

.

Elijamos

b

∈ k

tal que

z.bu

= bzu =1

, y elijamos también

a

∈ k

por la condición de que

(

az

+ bu

)

2

= 0

.

Veamos que, entonces, ambos vectores,

u

₁

= z

y

u

₂

= az+ bu

, son un par

hiperbólico del plano hiperbólico dado:

u

₁2

_{= z}

2

_{= 0}

_{, por definición.}

u

₂2

_{= (az+ bu)}

2

_{= 0}

_{, por construcción.}

u

₁

.u

₂

= z(az+ bu) = az

2

_{+ zbu = 0 +1=1}

En definitiva,

{

u

1

,u

2

}

= z, az+ bu

{

}

es un par hiperbólico.

Ejemplo:

Dado el plano hiperbólico

(V, f )

en el que es

z

∈ V / z≠ 0 ∧ z

2

_{= 0}

_{, y es}

_u

_{∈ V}

_tal

que el par genera al espacio,

V

= (z,u)

. Encontrar un par hiperbólico sabiendo que

es

z.u

=1 3

.

- Encontramos

_b

∈ k

tal que

z.bu

= bzu =1→ b. 1

3

=1→ b = 3

.

- Encontramos

a

∈ k

tal que

(

az

+ bu

)

2

= 0 → a

2

_z

2

_{+ b}

2

_u

2

_{+ 2az.bu =}

= 0 + 9u

2

_{+ 2a = 0 → a = − 9}

2

u

2 Par hiperbólico:

{

u

₁

,u

₂

}

= z,− 9

2

u

2

_z

_{+ 3u}













. Comprobamos:

u

₁2

_{= z}

2

_{= 0}

_,

_u

2 2

_{= (az+ bu)}

2

_{= − 9}

2

u

2

_z

_{+ 3u}









_



2

= 0

,

u

₁

.u

₂

= z(− 9

2

u

2

_z

_{+ 3u) = − 9}

2

u

2

_z

2

_{+ 3uz= 0 + 3. 1}

3

=1

08.3. El primer teorema de Witt: Teorema 08.3:

Si

f

∈ L

2_s

(V)

y son

M

₁

, M

₂ dos variedades lineales de V totalmente isótropas

maximales, se tiene que

dim M

₁

= dim M

₂. Demostración:

Sea

M

= M

₁

∩ M

₂ y llamemos

M

₁' _y

_M

2

' _{a las respectivas variedades}

complementarias de

M

en

M

₁' _y

_M

2

' _{respectivamente.}

Por ser

M

₁ y

M

₂ totalmente isótropas,

M

₁

⊆

ω

(M

₁

)

y

M

₂

⊆

ω

(M

₂

)

, con lo que se tiene la suma ortogonal

M

₁

= M ⊥ M

₁' _y

_M

2

= M ⊥ M

2 '_.

Puesto que

M

₂'

_{⊆ M}

2

, por Teorema 05.1, 1), será

ω

(M

2

)

⊆

ω

(M

2

'

_{), con lo que será}

M

₁'

_∩

_ω

_(M

2

)

⊆ M

1

'

_∩

_ω

_(M

2 '

_).

Por otra parte:

x

∈ M

₁'

_∩

_ω

_(M

2

'

₎

_{→ x ∈ M}

1

→ x ∈ M

1

∧ M

1

⊆

ω

(M

1

)

→ x ∈

ω

(M

1

)

→

→ x ∈

ω

(M

₁

)∧ M ⊆ M

₁

→

ω

(M

₁

)

⊆

ω

(M )

→ x ∈

ω

(M )

y como M

₂

= M ∪ M

₂'

_{, por teorema 05.1, 6) :}

_ω

_(M

2

)

=

ω

(M

∪ M

2 '

₎

₌

_ω

_{(M )∩}

_ω

_(M

2 '

_),

luego

x

∈ M

₁'

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{→ x ∈}

_ω

_{(M )}

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{→ x ∈}

_ω

_(M

2

)

En definitiva,

x

∈ M

₁'

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{→ x ∈ M}

1 '

_∩

_ω

_(M

2

)

→ M

1 '

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{⊆ M}

1 '

_∩

_ω

_(M

2

)

y de ambas inclusiones de deduce la igualdad:

M

₁'

_∩

_ω

_(M

2

)

⊆ M

1 '

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

M

₁'

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{⊆ M}

1 '

_∩

_ω

_(M

2

)









→ M

₁'

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{= M}

1 '

_∩

_ω

_(M

2

)

Ahora bien, si

x

∈ M

₁'

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{∧ x ≠ 0}

_entonces

_x

_{∉ M}

2, y la variedad lineal

engendrada

L(M

₂

∪ x)

por la unión

M

₂

∪ x

verifica que es totalmente isótropa con

M

₂

⊆ L(M

₂

∪ x)

propiamente, lo cual es imposible. Por tanto

x

= 0

y se tiene que

M

₁'

_∩

_ω

_(M

2 '

₎

_{= M}

1 '

_∩

_ω

_(M

2

)

= 0

{ }

Del mismo modo encontramos que

M

₂'

_∩

_ω

_(M

1 '

₎

_{= M}

2

'

_∩

_ω

_(M

1

)

= 0

{ }

.

Si es

n

= dimV

, se tiene que

n

≥ dim M

₁'

_+ω(M

2 '

₎

(

)

= dim M

₁'

_{+ dimω(M}

2 '

₎

_{− dim M}

1 '

_∩ω(M

2 '

₎

(

)

y como hemos comprobado que

M

₁'

₊

_ω

_(M

2 '

₎

_{= 0}

{ }

_{, será:}

n

≥ dim M

₁'

_{+ dim}

_ω

_(M

2 '

₎

_{→ dim M}

1 '

_{≤ n− dim}

_ω

_(M

2 '

₎

Por el Teorema 05.1,10) es

dim M

₂'

_{= n− dim}

_ω

_(M

2

'

₎

_{, por lo que se tiene que}

dim M

₁'

_{≤ dim M}

2 '

Razonando del mismo modo tendremos que

dim M

₂'

_{≤ dim M}

1

'

por lo cual, de ambas desigualdades:

dim M

₂'

_{= dim M}

1

'

_{→ dim M}

2

= dim M

1

Teorema 08.4:

Sea

V

un k-espacio vectorial,

f

∈ L

2_s

(V)

ordinaria, M variedad lineal de V y

M

₀ es el núcleo de M respecto de f.

Si se tiene la descomposición ortogonal

M

= M

₀

⊥U

se cumple que si es

{

u

₁

,..., u

_r

}

par

{

u

_i

, v

_i

}

es un par hiperbólico que engendra un plano hiperbólico

P

_i de modo que se da la suma ortogonal

P

₁

⊥... ⊥ P

_r

⊥U

Demostración:

Como es

M

₀

= u

(

₁

,...,u

r

)

⊥U

, si consideramos

M

1

= u

(

2

,...,u

r

)

⊥U

será, obviamente,

M

₁

⊆ M

₀, por lo que

ω(M

₀

)

⊆

ω(M

₁

)

.

Es decir,

∃v

₁

∈

ω

(M

₁

) / v

₁

∉

ω

(M

₀

)

, con lo que

v

₁

.u

₁

≠ 0, v

₁2

_{= 0, u}

1

2

_{= 0}

_{, luego}

_u

1

, v

1

{

}

es un par hiperbólico, cuyo plano hiperbólico engendrado,

P

₁

= u

(

₁

, v

₁

)

, cumple que

P

₁

⊥ u

(

₂

,..., u

r

)

⊥U

.

Si repetimos el proceso, considerando ahora

M

₂

= u

(

₃

,..., u

_r

)

⊥U

, será

M

₂

⊆ M

₁ y

ω

(M

₁

)

⊆

ω

(M

₂

)

, y

∃v

₂

∈

ω(M

₂

) / v

₂

∉

ω(M

₁

)

, con lo que el par

{

u

₂

, v

2

}

verifica que

v

₂

.u

2

≠ 0, v

2 2

_{= 0, u}

2

2

_{= 0}

_{. Si es}

_P

2

= u

(

2

, v

2

)

se tiene la suma ortogonal

P

₁

⊥ P

₂

⊥ u

(

₃

,...,u

_r

)

⊥U

. Siguiendo inductivamente el proceso llegamos a

P

₁

⊥ P

₂

⊥... ⊥ P

_r

⊥U

lo que prueba el teorema.

Definición 08.3:

Una forma bilineal

f

∈ L

2_s

_(V)

_{se dice que es definida sii}

_x

_{≠ 0, f (x, x) = x}

2

_{≠ 0}

_.

Teorema 08.5 (Primer Teorema de Witt para formas simétricas):

Si es

V

un k-espacio vectorial y

f

∈ L

2_s

_(V)

_{ordinaria, existe una descomposición de}

V como suma directa

V

= L

₁

⊕ L

₂

⊕ M

tal que

L

₁

, L

₂ son variedades totalmente isótropas maximales y la restricción de f a H es una forma simétrica definida.

Demostración:

El espacio

V

puede tener vectores isótropos o no tenerlos.

Si no hay vectores isótropos, entonces

L

₁

=

φ

, L

₂

=

φ

,, con lo cual, en este caso, es

V

= L

₁

⊕ L

₂

⊕ M

, y se verifica el teorema.

Veamos, por tanto, la prueba del teorema para el caso de que sí existen vectores isótropos en

V

.

En este caso existen variedades totalmente isótropas maximales, por el Lema de Zorn. Sea

L

₁ una variedad lineal totalmente isótropa maximal tal que

L

₁

≠ 0

{ }

. Por ser

L

₁ totalmente isótropa verifica que

L

1

⊆

ω

( )

L

1 .

Llamemos H al complementario de

L

₁ en

ω

( )

L

1 :

H

=

ω

( )

L

₁

− L

₁ [*]

cumpliéndose que

∀x ∈ H / x ≠ 0

, es

f (x, x)

≡ x

2

_{≠ 0}

_{, pues si fuera}

_x

2

_{= 0}

_entonces

la variedad

N

= (L

₁

, x)

sería totalmente isótropa y

L

₁

⊆ N

, lo cual es imposible por ser

L

₁ totalmente isótropa maximal.

Es decir,

L

₁ es variedad lineal totalmente isótropa maximal y la restricción de f a H es definida.

Por el Teorema 08.4 se tiene que si

{

u

1

,..., u

r

}

es una base de

L

1, existen vectores

del espacio V,

v

₁

,..., v

_r, ortogonales a H tales que los pares

{

u

_i

, v

_i

}

, i

=1,...,r

son hiperbólicos y los planos

P

_i

= u

(

_i

, v

_i

)

, i

=1,...,r

, engendrados verifican la suma ortogonal

P

₁

⊥ P

₂

⊥... ⊥ P

_r

⊥ H

.

Llamemos

L

₂ a la variedad lineal engendrada por los vectores

v

₁

,..., v

_r:

L

₂

= (v

₁

,..., v

_r

)

. Entonces

L

₂ es variedad lineal totalmente isótropa maximal que cumple que

P

1

⊥ P

2

⊥... ⊥ P

r

⊥ H = L

(

2

⊕ L

1

)

⊥ H = L

2

⊕ L

1

⊕ H

como por el teorema 05.1,6) es

dim L

₁

= n− dim

ω

(L

₁

)

, será

dim L

₁

+ dim

ω

(L

₁

)

= n

y como de [*] es

L

₁

+ H =

ω

( )

L

₁ tenemos que

dim L

₁

+ dim(L

₁

⊕ H ) = n

finalmente, al ser

L

₂

= (v

₁

,..., v

_r

)

será

dim L

₁

= dim L

₂, con lo cual

dim L

₂

+ dim(L

₁

+ H ) = n

y, en definitiva

L

₂

⊕ L

₁

⊕ H = V

08.4. La Ley de Sylvester:

Teorema 08.6 (La ley de Inercia de Sylvester)

Dado un k-espacio vectorial V donde k es un cuerpo ordenado, y

f

∈ L

2_s

_(V)

_{es una}

forma ordinaria, se verifica que existe un único entero r tal que para cualquier base ortogonal de V ,

{

v

1

,..., v

n

}

, con respecto a la forma f, indica el número exacto de elementos de la base tales que

f (v

_i

, v

_i

)

= v

_i2

_{> 0}

_{, cumpliéndose para los}

restantes vectores de la base que

f (v

_i

, v

_i

)

= v

_i2

_{< 0}

_.

Demostración:

La familia de las bases ortogonales de un espacio vectorial no es vacía, por el teorema 08.1.

Sea

{

v

1

,..., v

n

}

una base ortogonal. Como la forma

f

∈ L

s

2

_(V)

_{es ordinaria, se}

tendrá que

∀v

_i

∈ v

{

₁

,..., v

n

}

, f (v

i

, v

i

)

≡ v

i

2

_{= x}

i

≠ 0

. Supongamos que son positivos r de estos cuadrados:

v

_i2

_{= x}

i

> 0, si i ≤ r

v

_i2

_{= x}

i

< 0, si i > r









Supongamos otra base ortogonal distinta

{

u

₁

,..., u

n

}

del mismo espacio vectorial en

la que son positivos s de los cuadrados de sus elementos:

u

i2

= y

i

> 0, si i ≤ s

u

_i2

_{= y}

i

< 0, si i > s









Se trata de probar que r=s. Esto es, que el numero de elementos de cuadrado positivo es el mismo en cualquier base ortogonal del espacio.

Bastará probar que tomando los elementos de cuadrado positivo en una de las dos bases y los elementos de cuadrado negativo en la otra, el conjunto de todos ellos es linealmente independiente. Es decir, que los vectores

son linealmente independientes.

Pues de ser así, se tendría que

r

+ n− s≤ n

o bien que

r

≤ s

.

Análogamente, si se tomaron los elementos de cuadrado positivo de la segunda base y los de cuadrado negativo de la primera

u

1

,...,u

s

, v

r+1

,..., v

n

se tendría que

s

+ n− r ≤ n,

es decir,

s

≤ r

De ambas desigualdades se obtiene la igualdad buscada, r=s. Veamos, pues, la independencia lineal:

m

1

v

1

+... + m

r

v

r

+ p

s+1

u

s+1

+... + p

n

u

n

= 0 → m

1

v

1

+... + m

r

v

r

= −p

s+1

u

s+1

−... − p

n

u

n elevando al cuadrado:

m

2 1

v

2 1

+... + m

2 r

v

r 2

_{= p}

2 s+1

u

s2s+1+1

+... + p

n 2

_u

n 2 o bien

m

2 1

x

1

+... + m

2 r

x

r

= p

2 s+1

y

s+1

+... + p

n 2

_y

n

igualdad en la que el miembro de la izquierda es mayor o igual a cero, mientras que el miembro de la derecha es menor o igual a cero

m

2 1

x

1

+... + m

2 r

x

r

≥ 0

p

2 s+1

y

s+1

+... + p

n 2

_y

n

≤ 0









de lo que se deduce que ambos miembros son nulos y que, por tanto, los coeficientes son todos igual a cero

m

1

=... = m

r

= p

s+1

=... = p

n

= 0

y los vectores

v

₁

,..., v

_r

,u

_s+1

,..., u

_n son linealmente independientes.

Por analogía, también son linealmente independientes

u

1

,...,u

s

, v

r+1

,..., v

n. Corolario 1:

Si los elementos del cuerpo son cuadrados, existe una base ortogonal

{

v

1

,..., v

n

}

de V tal que

v

_i2

_{=1, i ≤ r}

_y

_v

i

2

_{= −1, i > r}

_{, estando r unívocamente determinado.}

Demostración:

Basta tomar un a base ortogonal cualquiera y dividir cada vector de la misma por el elemento de k que corresponde a su cuadrado.

Así, si es

w

_i2

_{= x}

i

> 0, i ≤ r

y

w

i 2

_{= x}

i

< 0, i > r

, se tiene:

v

_i2

_{= w}

i 2

_x

i

=1, i ≤ r

v

i2

= w

i2

x

i

= −1, i > r

La base

{

v

₁

,..., v

_n

}

se denomina base ortonormal con respecto a la forma

f

∈ L

2_s

(V)

Definición 08.4: Se dice que

f

∈ L

2_s

(V)

_{es definida positiva sii r=n, o sea:}

∀x ∈ V, f (x, x) ≡ x

2

_{> 0}

Se dice que

f

∈ L

2_s

_(V)

_{es definida negativa sii r=0, o sea:}

_{∀x ∈ V, f (x, x) ≡ x}

2

_{< 0}

Corolario 2:

El k-espacio vectorial V donde el cuerpo k es ordenado y

f

∈ L

2_s

(V)

_{es ordinaria}

admite siempre una descomposición en suma ortogonal

V

= V

+

_{⊥ V}

− _{tal que f es}

definida positiva en

V

+ y es definida negativa en

V

−. Demostración:

Es obvio, por la Ley de la Inercia de Sylvester. Ejemplo:

El producto escalar ordinario en el R-espacio

V

3 de los vectores de la física clásica,

la forma bilineal

f :V

₃2

_{→ R}

_,

_{definida por}

∀(x, y) ∈ V

₃2

_{, f (x, y)}

_{≡ x.y = x}

1

, y

1

+ x

2

.y

2

+ x

3

.y

3

∈ R

,

siendo los vectores

x

= (x

1

, x

2

, x

3

), y

= (y

1

, y

2

, y

3

)

en una base ortonormal dada, es

una forma bilineal, simétrica, ordinaria y definida positiva.

09. Sobre las Formas Alternadas

Las formas antisimétricas o alternadas,

f

∈ L

2_a

_(V)

_{, verifican, como ya hemos}

establecido antes, que

∀(x, y) ∈ V

2

_{, f (x, y)}

_{= − f (y, x)}

_{. Si el cuerpo k de definición}

del espacio V no es de característica 2, se tiene

∀(x, x) ∈ V

2

_{, f (x, x)}

_{= − f (x, x) → 2. f (x, x) = 0 → f (x, x) = 0}

por lo que de forma natural se cumple que para un plano hiperbólico P cualquiera, no degenerado:

∀u

₁

∈ P, u

₁

≠ 0, f (u

₁

, u

₁

)

= u

₁2

_{= 0}

_,

_∃u

2

∈ P / u

2

≠ 0, f (u

2

, u

2

)

= u

2

2

_{= 0, f (u}

1

,u

2

)

≠ 0

pues de lo contrario P sería un plano hiperbólico degenerado y

u

₁

∈ P

_{0(núcleo de P)}

Sea, pues,

{

u

₁

, u

₂

}

un par hiperbólico de P. Dividiendo ambos vectores por una

constante podemos considerarlo normalizado:

u

₁2

_{= 0, u}

2

2

_{= 0, f (u}

1

, u

2

)

=1, f (u

2

, u

1

)

= −1

La matriz de la forma alternada en el plano hiperbólico P se obtiene de inmediato: Dados dos vectores x,y, expresados en el par hiperbólico:

x

= x

₁

u

₁

+ x

₂

u

₂

y

= y

₁

u

₁

+ y

₂

u

₂ se tiene:

∀(x, y) ∈ P

2

_{, f (x, y)}

_{= f (x}

1

u

1

+ x

2

u

2

, y

1

u

1

+ y

2

u

2

)

=

= x

₁

y

₁

f (u

₁

, u

₁

)

+ x

₁

y

₂

f (u

₁

,u

₂

)

+ x

₂

y

₁

f (u

₂

,u

₁

)

+ x

₂

y

₂

f (u

₂

, u

₂

)

≡

≡ x

₁

y

₁

u

₁2 1

+ x

1

y

2

.u

1

.u

2

+ x

2

y

1

.u

2

.u

1

+ x

2

y

2

u

2 2 1

= 0 + x

1

y

2

.1+ x

2

y

1

.(−1)+ 0 =

= x

₁

y

₂

− x

₂

y

₁ Matricialmente:

∀(x, y) ∈ P

2

_{, f (x, y)}

_{= x}

1

x

2

(

)

0

1

−1 0













y

1

y

₂

















Definición 09.1:

Teorema 09.1:

Dado un k-espacio vectorial V y

f

∈ L

2_a

_(V)

_{, se verifica la suma ortogonal}

V

= V

0

⊥ H

Siendo V0 el núcleo de V , y H un subespacio hiperbólico de V. Demostración:

Si es V0 el núcleo de V, su complementario es no degenerado

∀w ∈ V / w ≠ 0, w

2

_{= 0, ∃y ∈ V / w.y ≠ 0}

_{, con}

_y

_{≠ 0, y}

2

_{= 0}

_,

_{→ (w, y)}

_{no degenerado y}

P

= (w, y)

es un plano hiperbólico que verifica que

P

∩

ω

(P)

= 0

_{{ }}

, por lo que,

aplicando el teorema 07.7,

V

= P ⊕

ω

(P)

, siendo

ω

(P)

no degenerado. Aplicando

inducción completamos el razonamiento. Corolario:

Todas las formas alternadas no degeneradas, de dimensión dada sobre un cuerpo k, son isométricas.

Demostración:

Si las formas alternadas son no degeneradas los núcleos se reducen a

{ }

0

, y los

espacios vectoriales sobre los que están definidas son suma directa de planos hiperbólicos, y la aplicación que a un par hiperbólico de un espacio vectorial adjudica un par hiperbólico de otro espacio vectorial es claramente una isometría.

Bibliografía

Noble, B.; Daniel, J.W., Applied Linear Algebra, Prentice Hall, Londres, 1988 Sainz, M.A.; Serarols, J.L.; Pérez A. M., Algebra, Escuela Politécnica Superior, Gerona, 1994