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PROPORCIÓN, RELATIVIDAD, SIMETRÍA

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I S B N 978-958-695-980-3

PROPORCIÓN,

RELATIVIDAD, SIMETRÍA

EN HOMBROS DE FIBONACCI,

EINSTEIN Y GALOIS

Colección Séneca

Lugar de dudas. sobre La práctica deL anáLisis histórico

Renán Silva

bagateLas & Literaturaysociedad Hernando Téllez

Logro, fracaso, aspiración: tres intentosdeentendereLarte contemporáneo

John Rapko

La función sociaL de La propiedad enLasconstitucionescoLombianas Helena Alviar García y Catalina Villegas del Castillo

rusia y china. de La disimiLitud comunistaaLadivergencia poscomunista: contrastede experiencias

Hugo Fazio Vengoa

Lapazencuestión. Laguerray LapazenLa asambLea constituyente de 1991

Julieta Lemaitre Ripoll

Colección Séneca Universidad de los Andes

Proporción, relatividad, simetría aborda tres conceptos fun-damentales del conocimiento científico, filosófico y esté- tico: la proporción: relación entre parejas de números o magnitudes físicas; la relatividad: dependencia de ideas u objetos del marco de referencia en que se miren o midan; y simetría: conservación de estructuras o patrones bajo transformaciones o movimientos. Examina los casos con-cretos de la proporción áurea, conocida como divina pro-porción desde la Antigüedad, el de la velocidad de la luz en la física moderna y en particular en la teoría de la rela-tividad, y el de los átomos de simetría y su relación con los grupos simples entre los que se encuentra el llamado grupo monstruo. Revela, además, cómo estas nociones permean la concepción moderna del espacio y el tiempo, desde Galileo hasta Einstein, y llevan a descubrir cons-tantes universales. Uno de sus objetivos es mostrarles a estudiantes y profesionales con conocimientos básicos de matemáticas y física que estas pueden ser no solamente entendidas a cabalidad, sino también entretenidas, si se acude a recursos como figuras y diagramas geométricos.

Hernando Durán realizó estudios de ingeniería en la Universidad de los An-des y obtuvo sus títulos de ingeniero eléctrico y de Magíster en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Illinois y de doctorado en la Universidad de Stan-ford. Fue director de los departamentos de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería In-dustrial de la Universidad de los Andes. Cofundó la firma de consultoría siste-com ltda, que en consorcio con otras empresas nacionales y extranjeras tuvo a cargo la implementación y puesta en marcha de la mayoría de los centros de control y manejo de energía eléctrica del país. De regreso a la Universidad de los Andes ocupó los cargos de director del Centro de Investigaciones de la Fa-cultad de Ingeniería y de decano de la misma facultad. Ha sido un estudioso de la física y las matemáticas aplicadas desde el bachillerato. Es aficionado a la pintura y melómano de los que insiste en que la tecnología digital actual del disco compacto no ha superado en fi-delidad de reproducción del sonido al viejo disco de vinilo.

Hernando Durán Castro

PR

OPOR

CIÓN, REL

ATIVIDAD, SIMETRÍA

H ernando D urán Castr o

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Proporción, relatividad, simetría

En hombros de Fibonacci,

Einstein y Galois

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colección séneca

Por el accidentado campus de nuestra Universidad solía pasear libremente una amable e inquieta cabra, bautizada “Séneca” por los estudiantes, personaje a quien ninguna puerta le estuvo ve-dada y de apetito voraz por todo tipo de escrito. Mente amplia que rumió de forma placentera cuanta literatura estuvo a su al-cance. A su memoria y al espíritu que la acompañó, sea dedicada

la presente colección.

Comité Editorial de la Universidad de los Andes Decana de la Facultad de Artes y Literatura: Claudia Montilla; decano de la Facultad de Ciencias Sociales: Hugo Fazio; decana de la Facultad de Economía: Ana María Ibáñez; editor general: Julio Paredes; representante de los Profesores: Luis Quiroga; vicerrector de Asuntos Académicos: Carl Langebaek; vicerrec tor Administrativo y Financiero: Javier Serrano; vicerrectora de

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Proporción, relatividad, simetría

En hombros de Fibonacci,

Einstein y Galois

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Primera edición: abril del 2015 © Hernando Durán Castro

© Universidad de los Andes, Vicerrectoría de Investigaciones Ediciones Uniandes Calle 19 núm. 3-10, oficina 1401 Bogotá, D. C., Colombia Teléfono: 3394949, ext. 2133 http://ediciones.uniandes.edu.co infeduni@uniandes.edu.co ISBN: 978-958-695-980-3 ISBN e-book: 978-958-695-981-0 Corrección de estilo: Manuel Romero

Diagramación interior y de cubierta: Angélica Ramos y Jazmine Güechá Impresión y acabados:

Editorial Kimpres S.A.S. Calle 19 sur núm. 69C-17 Teléfono: 413 6884 Bogotá, D. C., Colombia

Impreso en Colombia – Printed in Colombia

Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida ni en su todo ni en sus partes, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recupera-ción de informarecupera-ción, en ninguna forma ni por ningún medio, sea mecánico, foto-químico, electrónico, magnético, electro-óptico, por fotocopia o cualquier otro, sin

el permiso previo por escrito de la editorial.

Durán Castro, Hernando

Proporción, relatividad, simetría. En hombros de Fibonacci, Einstein y Galois / Hernando Durán Castro. – Bogotá: Universidad de los Andes, Vicerrectoría de Investigaciones, Ediciones Uniandes, 2015.

180 p.; 11 x 17cm. – (Colección Séneca)

ISBN 978-958-695-980-3

1. Ciencia – Colecciones de escritos 2. Proporción 3. Sección aurea 4. Relativi-dad (Física) 5. Electromagnetismo 6. Simetría I. UniversiRelativi-dad de los Andes (Co-lombia). Vicerrectoría de Investigaciones II. Tít.

(7)

A mi esposa María Lucía por su constante apoyo. Y a mis nietos, Lorenzo, Eva, Antonieta y Manuela,

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Tabla de contenido

Prólogo 1 I

La proporción áurea 3

Introducción 5

1. Definición matemática de la proporción áurea 6

Irracionalidad (matemática) de la proporción áurea 7

Construcción geométrica 8 Triángulos áureos 9 Rombos y teselaciones 11 Pentáculo 11 Autosemejanza y fractales 12 Espirales áureas 12 Fracción continua 14 2. Colores áureos 15

3. La proporción áurea y la sucesión de Fibonacci 17

Cuadrados y rectángulos 19

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4. Búsqueda de Fibonacci y de la proporción áurea 22

Búsqueda con posición falsa 28

5. Mapa logístico 31 Epílogo 36 II Relatividad y electromagnetismo 37 Introducción 39 1. Einstein y el electromagnetismo 40

2. Relatividad según Galileo y Newton 43

Sistemas inerciales 43

Transformación de coordenadas 43

Principio de relatividad 46

Simultaneidad universal 46

3. La crisis de fines del siglo xix 48 Experimento de Michelson y Morley 48 Contracción espacial de Lorentz-Fitzgerald 50

4. Relatividad de Einstein 50

Mediciones de espacio y tiempo 51

Reconciliación de los principios de relatividad

galileana e invariancia de la velocidad de la luz 52 Patrones de medición de espacio y tiempo 55 Calibración de patrones de dos observadores 55 Sincronización de relojes en un sistema

(11)

Medición de intervalos de tiempo de relojes en movimiento 56 Medición de distancias entre dos puntos en movimiento 56 Observaciones sobre los postulados anteriores 57

5. Transformación relativista de coordenadas 58

Transformación del tiempo 66

6. Transformaciones de Lorentz 66

Propiedades de la transformación de Lorentz 67 La transformación de Lorentz como corrección

de la transformación galileana 70

7. El nuevo espacio-tiempo 71

Geometría del espacio-tiempo 72

Invariancia de la velocidad de la luz 73

Relatividad galileana 75

8. Dilatación del tiempo 78

9. Contracción del espacio 80

10. Cinemática relativista 90

Transformación de las velocidades 90

11. Intervalo en el espacio-tiempo 92

El intervalo no depende del sistema de referencia

en el que se mide 92

12. Cuadrivectores 92

13. Masa y momentum 95

14. Fuerza y energía 98

(12)

Conmutador de vectores y producto vectorial 101 Transformación de la fuerza y triple producto vectorial 104

15. Electrodinámica clásica 104

Desarrollo histórico 104

Carga eléctrica 108

Fuerza entre cargas estáticas 109

Interacción de cargas en movimiento 115 16. Las leyes de la electrodinámica clásica a la luz

de la relatividad especial 120

Fuerzas entre conductores eléctricos 123

Magnetismo 124

Geomagnetismo 127

17. Las ecuaciones de Maxwell 128

Producto matricial, conmutador y nabla relativistas 128 Densidad de carga y de corriente 130 La cuadrimatriz del campo electromagnético 131 Epílogo 133 III Aproximación al monstruo 135 Introducción 137 1. Átomos de simetría 138 2. Ejemplos 140 Átomo de parejas 140 Átomo de ternas 142

(13)

3. Relaciones entre número total de parejas,

elementos y elementos por bloque 147

Átomo de cuartetas 149

Átomo de quintetas 151

Átomo de sextupletas 153

4. Representación de átomos de simetría

mediante M-gonos 154 Supuesto: congruencia de los bloques 155 Representación de átomos de simetría

por arreglo triangular 156

5. Átomos de simetría y teoría de grupos 161

(14)
(15)

Prólogo

Proporción, relatividad y simetría, tres conceptos a cual

más cargados de significados y contextos diferentes en el

arte, la ciencia y la filosofía. Divina proportionis, teoría de

grupos, teoría especial de la relatividad, invenciones del

intelecto humano en el diseño plástico-arquitectónico,

la matemática abstracta y la estructura fundamental del

espacio-tiempo. Leonardo de Pisa, más conocido como

Fibonnacci, Evariste Galois y Albert Einstein, tres

men-tes prodigiosamente inquisidoras y creadoras de los

siglos xii, xix y xx.

¿Por qué reunidos en un mismo texto? Digámoslo de

una vez: porque el conocimiento no tiene límites como

divertimento de nuestra especie. Siempre habrá lugar

para buscar algún atajo o paraje desde donde contemplar

y maravillarnos con la realidad. Si hoy podemos ver más

allá de lo que contemplaron nuestros antepasados,

escri-bió Newton a un físico colega, es porque vamos sobre

hombros de gigantes.

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I

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Referencias

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