Demostración Sencilla del Ultimo Teorema de Fermat Posible Demostración maravillosa de la que hablaba Pierre de Fermat

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Demostración Sencilla del Ultimo Teorema de

Fermat – Posible Demostración maravillosa de

la que hablaba Pierre de Fermat

Autor: Nilton Raúl Olivares Ramírez

Nilton_k_pe@hotmail.com

Lima – Perú

2009

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PRELIMINAR

Teorema de Fermat: (en general)

Para: xn ± yn = zn x, y, z pertenecen a los naturales (incluyendo el cero), n pertenece a los naturales (sin incluir el cero) Entonces:

“No existen soluciones enteras para n > 2.” simplificándolo: caso a: xn + yn = zn an = bn + cn caso b: xn - yn = zn xn = zn + yn

entonces adoptamos solo la forma general (que es más usada): xn + yn = zn

x, y, z pertenecen a los naturales (incluyendo el cero), n pertenece a los naturales sin incluir el cero) y para esta: “No existen soluciones enteras para n > 2.”

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DEMOSTRACION

1) xn + yn = zn :

Existirán los siguientes casos:

a) cuando n < 2: a.1) n = 1 x + y = z (soluciones infinitas) a.2) cuando n = 2 x2 + y2 = z2

(sus soluciones son las llamadas ternas ternas pitagóricas)

es el caso del ley de cósenos: x2 + y2 – 2xycosα = z2 cuando cosα = 0 , α = 90º b) cuando n > 2:

xm+2 + ym+2 = zm+2 donde m pertenece a los naturales (sin incluir el cero)

·Para este caso el Teorema de Fermat dice que no hay soluciones enteras (una de ellas debe ser nula). A continuación veremos este caso, que es el que nos interesa para la demostración.

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2) Caso b:

cuando n > 2:

xm+2 + ym+2 = zm+2

donde m pertenece a los naturales (sin incluir el cero)

Este caso lo subdivirémos en tres sub-casos: b.1) cuando: x + y < z (x + y)m+2 < zm+2 xm+2 + ym+2 + f < zm+2 xm+2 + ym+2 < zm+2

Este caso no cumple que: xm+2 + ym+2 = zm+2

Para este caso no hay soluciones.

b.2) cuando: x + y = z (x + y)m+2 = zm+2 xm+2 + ym+2 + f = zm+2 xm+2 + ym+2 < zm+2

Este caso no cumple que: xm+2 + ym+2 = zm+2

entonces para este caso no hay soluciones enteras. solo habrá soluciones nulas si en:

x + y = z

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Soluciones nulas: ·0m+2 + ym+2 = zm+2 , por lo tanto: y = z ·xm+2 + 0m+2 = zm+2 , por lo tanto: x = z ·0m+2 + 0m+2 = 0m+2 b.3) cuando: x + y > z (x + y)m+2 > zm+2 xm+2 + ym+2 + f > zm+2

Este caso puede cumplir que: xm+2 + ym+2 = zm+2

Pero aún no podemos determinar si habrán soluciones enteras.

A hora veremos si hay soluciones enteras:

Sí: x + y > z Geométricamente: y x z

(como se ve en el anexo 1: x < y < z , además se demuestra en el anexo 2 que x, y, z son lados de un triángulo)

Aunque visualmente nos podemos dar cuenta que x, y, z formarán el triángulo:

Gráfico 1

donde z es el lado mayor.

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Entonces x, y, z cumplen los teoremas de los triángulos.

Uno de esos teoremas de los triángulos es la llamada Ley de cósenos:

· Ley de cósenos:

Gráfico 2

x2 + y2 – 2xycosα = z2

Por lo tanto x, y, z cumplen las siguientes ecuaciones:

x2 + y2 – 2xycosα = z2 …(a)

ecuaciones

xm+2 + ym+2 = zm+2 …(b)

· Ahora acomodaremos las ecuaciones:

ecuación a: Gráfico 3 x2 + y2 – 2xycosα = z2 cosα = e y entonces: y2 + x2 – 2xy e = z2 y

· h es altura respecto a lado y2 + x2 – 2xe = z2 · 0 ≤ e ≤ x y2 + x (x – 2e) = z2 y2 + x2 (x – 2e) = z2 x

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ecuación b: xm+2 + ym+2 = zm+2 ym+2 + xm+2 = zm+2 zn y2 yn + x2 xn = z2 zn zn

Luego de haber acomodado las ecuaciones las comparamos: y2 + x2 (x – 2e) = z2 x ecuaciones y2 yn + x2 xn = z2 zn zn

Estas dos ecuaciones cumplen para las mismas variables x, y, z ; entonces los factores respectivos de cada variable son equivalentes. Igualando factores: · factores de y2: yn = 1 zn = yn z= y zn entonces: zn+2 = yn+2 + xn+2 zn+2 = zn+2 + xn+2 xn+2 = 0 x= 0 · factores de x2: x – 2e = xn x zn x – 2e zn = xn+1

pero sabemos de la comparación de factores de y2

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Reemplazando x = 0 , e = 0 :

0 – 2 x 0 zn = 0n+1 0. zn = 0

0 = 0

ya que x = 0 , z= y entonces surge una contradicción: El caso es: b.3) cuando: x + y > z pero si: x = 0 , z= y entonces: 0 + y > z y > z

pero sabemos que: y < z (anexo 1)

Entonces esta contradicción me dice el caso b.3 no cumple y por tanto no tiene raíces enteras ni nulas.

No cumple porque z debe ser igual a y (caso b.2, con sus soluciones), no mayor que y ; solo así se evita la contradicción y en tal caso se cumple la ley de cosenos como sigue:

x2 + y2 – 2xycosα = z2 02 + y2 – 2(0)ycos0º = z2 y2 – 2(0)y = z2 y2 = z2 y = z

por lo tanto debe ser una recta (caso b.2) y no un triángulo.

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CONCLUSION

De todo lo anterior, podemos concluir que:

1) El caso a tiene soluciones enteras y nulas, lo cual es conocido en el ámbito matemático.

2) El caso b, que presenta tres sub-casos, solo tiene soluciones en el sub-caso b.2 y estas presentan al menos una variable nula o todas nulas.

"Por lo tanto las soluciones para xn + yn = zn cuando n sea mayor que 2 (siendo x,y,z números naturales) no serán enteras sino que al menos una

de ellas será nula o todas nulas, como se quería demostrar".

“El Teorema de Fermat queda demostrado”

Nilton Raúl Olivares Ramírez

(6:43 pm - miércoles 01/07/2009) ¡Gracias, Señor Jesús!

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ANEXO 1) x < y < z · demostración: · x ≠ y pues sino: xm+2 + ym+2 = zm+2 xm+2 + xm+2 = zm+2 2xm+2 = zm+2 Sacando raiz m+2: m+2 2 . x = z

Entonces x ó z serían irracionales y no pertenecerían a los naturales como dice el teorema.

Por lo tanto diremos que:

x < y … (c)

Ahora no sabemos si: y < z ó y > z Pero lo podemos deducir de:

xm+2 + ym+2 = zm+2 del siguiente modo:

ym+2 = ym+2 xm+2 + ym+2 = (y + j)m+2 ecuaciones iguales xm+2 + ym+2 = zm+2 entonces: (y + j)m+2 = zm+2 sacando raíz m+2: y + j = z

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y < z … (d) Uniendo ecuaciones a y b: x < y < z

2) x, y, z son los lados de un triángulo. Demostración:

Para que: x ‹ y ‹ z debemos demostrar que:

x + y > z , esto lo sabemos (es el caso que tratamos) condiciones

de los lados x + z > y de un

triángulo y + z > x

Para ello primero sumamos:

x + z > y + y + z > x 2x + y + z > x + y Entonces operamos: 2x + y + z > x + y x + z > 0

esto es correcto porque x, z pertenecen a los naturales y son distintos, porque si:

x + y > z …(caso b.3) z > y …(ecuación d) suponiendo que: y = 0 entonces: z > 0 por lo tanto: x + z > 0

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De esto deducimos que x, y, z pueden ser tomados como lados de un triángulo y por lo tanto cumplir sus propiedades.

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