DINÁMICA DE FLUIDOS 1

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1

DINÁMICA

DE FLUIDOS

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2

CONCEPTO GENERAL DE FLUJO

Una magnitud física...

A

Carácter vectorial...

Una superficie...

S

A

θ

Flujo de A a través de la superficie

S

A

⋅

=

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3

CONCEPTO GENERAL DE FLUJO (2)

Transporte de partículas:

El flujo está asociado con el número de partículas transportadas por unidad de tiempo

volumen unidad partículas numero = n

v

x

N Número de partículas que atraviesan la superficie en el intervalo t S x = v⋅t N = n⋅S⋅v⋅t v S n t N ₌ _⋅ _⋅ = Φ 3 m partículas numero s m 2 m = numero partículas_s t N = n⋅S⋅x

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4

FLUJO DE FLUIDOS

La velocidad de las partículas de fluido que pasan por un punto dado es la misma en todo instante del tiempo

Flujo estacionario Atendiendo a la

velocidad de las partículas de fluido en cada punto del espacio

CLASIFICACIÓN DE

L FLUJO DE UN FLUIDO

Las velocidades de las partículas de fluido son una función del tiempo en cualquier punto dado

Flujo

no estacionario

Flujo

irrotacional

Si el elemento de fluido en un punto dado no tiene velocidad angular neta alrededor del punto

Atendiendo a la velocidad angular

neta del fluido _Flujo

rotacional

Cuando la velocidad angular neta del elemento de fluido no es nula

Flujo

compresible

La densidad del fluido varía de punto a punto, en general es una función de las coordenadas.

Atendiendo a las variaciones de

densidad Cuando no hay variaciones de densidad en función de la posición. Generalmente el flujo de los líquidos es incompresible

Flujo

incompresible

Fuerzas tangenciales entre distintas capas del fluido: se disipa energía Flujo viscoso

Atendiendo a los rozamientos

internos Flujo

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5

LÍNEAS DE CORRIENTE

Supongamos flujo estacionario Un patrón de líneas de flujo en un fluido se dibuja de manera que la dirección de la velocidad

instantánea de una partícula en un punto cualquiera sea tangente a la línea de flujo que pasa por dicho punto. A B C A v B v C v línea de corriente

Las líneas de corriente están fijas y coinciden con la trayectoria de las partículas de fluido solo si el flujo es estacionario.

En flujo no estacionario el patrón de líneas de

corriente cambia a medida que transcurre el tiempo: la trayectoria de las partículas individuales no

coincide con una línea de corriente en un instante dado, sino que la línea de corriente y la trayectoria de una partícula se tocan en ese punto, pero luego se separan.

La velocidad en cada punto es constante en el tiempo

Trazando una curva tangente al campo de velocidades del fluido, se obtiene la trayectoria seguida por cada partícula que

pasa sucesivamente por los puntos A, B, C...

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6

VISCOSIDAD

Viscosidad: propiedad molecular que representa la resistencia del fluido a la deformación Dentro de un flujo, la viscosidad es la responsable de las fuerzas de fricción entre capas adyacentes de fluido. Estas fuerzas se denominan de esfuerzo cortante

(“shearing stress”, cizalla) y dependen del gradiente de velocidades del fluido.

Viscosidad dinámica Gradiente de velocidad z c c+dc F A z c A F ∂ ∂ = = η τ ρ η ν = Viscosidad cinemática (m2_s-1₎ ρ es la densidad (Pa · s=N·s/m2₎ (1 Pa · s = 10 Poise)

Fluidos viscosos → fricción entre capas, disipación energía cinética como calor → → aportación de energía para mantener el flujo

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7

RÉGIMEN IDEAL, LAMINAR Y TURBULENTO

Viscosidad nula, se conserva la energía ya que se supone ausencia total de rozamiento.

Régimen ideal (Bernoulli)

•

Se admite que el fluido va deslizando sin rozamiento sobre la pared del conducto cuando pasa junto a la misma, de modo que el perfil de velocidades es uniforme en una sección perpendicular.

Viscosidad no nula. Los fluidos reales se adhieren a las paredes de conductos y tuberías debido a las interacciones moleculares. En un fluido real se satisface la condición de velocidad relativa cero (en la interfase) con respecto de la superficie del sólido.

Régimen laminar (Poiseuille)

•

En régimen laminar puede considerarse que existen

láminas fluidas en movimiento regular siguiendo líneas de corriente: se deslizan unas sobre otras, siendo mayor la velocidad a medida que crece la distancia a la interfase. Se mantiene el paralelismo entre las diferentes láminas fluidas, y no hay mezcla de fluido ya que dos líneas de corriente no pueden cortarse.

Ausencia de componentes transversales de velocidad,

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8

RÉGIMEN IDEAL, LAMINAR Y TURBULENTO (2)

Régimen turbulento (Venturi)

•

* El movimiento de las partículas fluidas es caótico. * No pueden identificarse las líneas de corriente. * Es muy disipativo (pérdidas de energía).

* Se favorece la mezcla de magnitudes y constituyentes. Fuertemente rotacional. Remolinos superpuestos a circulación general.

*

El régimen turbulento tiene su origen en la inestabilización del régimen laminar. Cuando la cizalla interna alcanza un valor suficientemente alto, se produce inicialmente una fase de transición laminar/turbulento, y finalmente se desarrolla completamente el régimen turbulento.

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9

NÚMERO DE REYNOLDS

Transición entre flujo laminar y flujo turbulento

ν η ρ ⋅c⋅l ₌ c⋅l = Re Número de Reynolds densidad velocidad _Longitud característica Viscosidad dinámica Viscosidad cinemática Si Re < Re CRÍTICO → Régimen laminar

Si Re > Re CRÍTICO → Régimen turbulento

Valores típicos

Superficie plana: Re CRÍTICO ∼ 5⋅10-5 Conducto cilíndrico: Re CRÍTICO ∼ 2200

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VOLUMEN DE CONTROL. FLUJO MÁSICO Y FLUJO VOLUMÉTRICO

Sistema abierto: puede intercambiar masa y energía con sus alrededores También recibe el nombre de volumen de control

Flujo másico c S dt dm m_& = = ρ ⋅ ⋅ densidad sección velocidad 3 m kg _m2 s m

Flujo volumétrico (también caudal o gasto)

c S dt dV V& = = ⋅ ρ m& = Masa de fluido entrante o saliente que atraviesa una sección dada por unidad de tiempo

Volumen de fluido entrante o saliente que

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11

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. CONSERVACIÓN DE LA MASA.

1 2 3 4 ... 4 3 2 1 + − − + =m m m m dt dm & & & & ₌ _∑ ₋_∑ out in m m dt dm & &

Aplicación a una conducción (régimen estacionario)

2 1 m m dt dm & & − = ₁ S₁ c₁ ₂ S₂ c₂ dt dm ₌ _ρ _⋅ _⋅ ₋ _ρ _⋅ _⋅

La variación con el tiempo de la masa contenida en el sistema abierto debe coincidir con la suma algebraica de los flujos que atraviesan la frontera del volumen de control. 1 2 Régimen estacionario 0 2 2 2 1 1 1⋅S ⋅c − ρ ⋅S ⋅c = ρ Fluido incompresible 2 2 1 1 c S c S ⋅ = ⋅

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12

ECUACIÓN DE BERNOULLI

1 1 S P ⋅ 2 2 S P ⋅ 1 c 2 c 1 x 2 x 1 y 2 y 1 1 1 1 P S x W = ⋅ ⋅

Trabajo efectuado por el sistema contra la fuerza de presión a la salida:

2 2 2 2 P S x W = − ⋅ ⋅ Fluido entrante Balance de energía

Consideremos un tubo de corriente

Trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión a la entrada:

Criterio de signos: trabajo de las fuerzas a favor de la entrada de fluido (1) W₁ >0 trabajo de las fuerzas en contra de la salida de fluido (2) W₂ <0

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13

TRABAJO NETO: WNETO =W1 +W2

1. Sistema sin rozamientos 2 2 2 1 1 1 S x P S x P W_NETO = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ _Volumen

VARIACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA:

ECUACIÓN DE BERNOULLI (2)

1 1 S P ⋅ 2 2 S P ⋅ 1 c 2 c 1 x 2 x 1 y 2 y Trabajo fuerza de presión entrada: W₁ = P₁⋅S₁⋅x₁

Trabajo fuerza de presión salida: W₂ = −P₂ ⋅S₂ ⋅x₂

m masa de fluido entrante/saliente

(

2

)

(

₂ ₁

)

1 2 2 2 1 y y mg c c m E E_C + ∆ _P = − + − ∆

Es la misma! El fluido es incompresible

2. Fluido incompresible

HIPÓTESIS

3. Régimen estacionario

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g y c g g P ρ ρ constante 2 1 ₂ ₊ ₌

+ _ρP_g + ₂1_g c2 + y = constante Unidades de _longitud

2 2 1 c g y es la altura geométrica es la altura cinética es la altura piezométrica y c g + 2 2 1

1. Conservación de la energía Unidades de

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16

ECUACIÓN DE BERNOULLI (5)

El fluido asciende más sobre la parte ancha de la conducción Como P₁ > P₂, z₁-z₂ = h > 0

Fundamento del Venturímetro. Véase ejemplo más adelante. Pregunta: ¿qué diferencia de altura debe haber entre los dos tubos abiertos si R₁ = R₂?

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18

Aplicable a una línea de corriente de un fluido ideal en régimen estacionario

ECUACIÓN DE BERNOULLI (7)

APROXIMACIÓN A FLUIDOS REALES

Aparecen efectos de rozamiento interno debidos a la viscosidad del fluido. Esto se resume en el efecto de pérdidas de carga.

1.

Situación ideal. Sin pérdidas de carga Situación real. Con pérdidas de carga

h 1 2 1 1 2 1 y c g g P ₊ ₊ ρ 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 y c g g P ₊ ₊ = ρ Φ −

Pérdida de altura por rozamientos internos. Así se cuantifica la

pérdida de carga

Presencia de bombas (aportan energía al fluido circulante) o turbinas (retiran energía del fluido circulante).

2. Φ − + + 2 ₁ 1 1 2 1 y c g g P ρ 2 2 2 2 2 1 y c g g P ₊ ₊ = ρ B H + −H_T

Altura equivalente añadida por la bomba que impulsa el fluido

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19

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: EC. DE TORRICELLI Velocidad de salida de líquido de un depósito abierto Líquido densidad ρ 1 2 1 1 2 1 gy c P + ρ + ρ ₂ ₂2 ₂ 2 1 gy c P + ρ + ρ = c h 2 1 y₁ y₂ c₂ x₀

Gran volumen contenido en el depósito, bajada de nivel de la

superficie muy lenta, c₁ ≈ 0

atm P P P₁ = ₂ =

(

y y

)

gh g c₂ = 2 ₁ − ₂ = 2

Cálculo adicional: distancia horizontal x₀ recorrida por el chorro de líquido Tiempo de caída (inicialmente no hay componente vertical de velocidad):

g y t = 2 ₂

Espacio horizontal recorrido:

2 0 4h y x = ⋅ g y gh t c x₀ = ₂ = 2 2 ₂

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20

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. TUBO DE VENTURI Determinación de velocidad de un fluido

Modelo de Venturímetro S₁ 1 2 S₂ h A _A B y₁ y2 z₀

Aplicamos Bernoulli entre 1 y 2

1 2 1 1 ₂ 1 gy c P + ρ + ρ ₂ ₂2 ₂ 2 1 gy c P + ρ + ρ = c₁ c₂

(

₀

)

1 g h z P P_A = + ρ + P_B = P₂ + ρgz₀ Fluido, densidad ρ

2 2 2 1 1 − − = S S gh c m ρ ρ ρ

(

)

        −       = − 1 2 2 2 1 2 1 S S c gh m ρ ρ ρ

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21

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. TUBO DE PRANDTL Medidas de velocidad en flujo de gases

Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre A y B

h

Presión de la corriente fluida p_A

Punto de remanso p_B Las aberturas son paralelas a la dirección del flujo

Punto de remanso: el gas se detiene Líquido manométrico p_A p_B c_A B A A c p p + 2 = 2 1 _ρ _ρ _{→ densidad gas} B m A gh p p + ρ = ρ_m → densidad liquido manom. p_B

(despreciamos diferencias de altura entre A y B, pues la densidad de los gases es baja)

ρ ρ_m A gh c = 2 gh c_A ρ_m ρ 2 = 2 1

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22

CIRCULACIÓN DE FLUIDOS VISCOSOS EN RÉGIMEN LAMINAR

Ecuación de Poisseuille

Expresa la caída de presión a lo largo de una longitud L de recorrido de un fluido viscoso por un tubo circular de radio r.

2r L V r L P 8 ₄ & π η = ∆ η ρ η ρ c l c 2r Re = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Ejemplo. Un líquido de densidad 1,060 g/cm3 circula a 30 cm/s por un conducto horizontal de 1,0 cm de radio. La viscosidad del líquido es 4 mPa·s. ¿Cuál es la pérdida de presión en un recorrido de 20 cm?

Cálculo del número de Reynolds para comprobar que se trata de flujo laminar. En el caso de una tubería circular, la longitud característica es el diámetro. 1590 10 4 02 . 0 30 . 0 1060 3 = ⋅ ⋅ ⋅ = ₋ < 2200

(

0.01 0.03

)

01 . 0 20 . 0 10 4 8 ₂ 4 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − π π V r L P 8 ₄ & π η = ∆ =19.2Pa