Integrales Triple y Dobles

(1)

1. La temperatura T

1. La temperatura T en un lugar del hemisferio norte depende de laen un lugar del hemisferio norte depende de la longitud

longitud x x , la latitud, la latitud y y , y el tiempo, y el tiempo t t , de modo que podemos, de modo que podemos escribir

escribir T T

=

f f

( (

x x , , y ,t y ,t

))

. Midamos el tiempo en horas . Midamos el tiempo en horas desde eldesde el principio de enero.

principio de enero. (a) ¿Cul es el

(a) ¿Cul es el signi!cado de las deri"adas parcialessigni!cado de las deri"adas parciales ∂∂ T T

/ /

∂ x∂ x , , ∂

∂ T T

/ /

∂ ∂ yy _y_y ∂∂ T T

/ /

∂_{∂ t t ##}

(b) $onolulu tiene longitud

(b) $onolulu tiene longitud 158158ªOªO y la latitud y la latitud 2121ªN ªN . %uponga. %uponga que, alas

que, alas 9:009:00a . m .a . m . del 1 de enero, el del 1 de enero, el "iento esta soplando aire"iento esta soplando aire caliente hacia el noroeste, de modo que el aire

caliente hacia el noroeste, de modo que el aire al oeste y al sur al oeste y al sur eses caliente y el aire al norte y al este es mas fresco. ¿&s de esperar caliente y el aire al norte y al este es mas fresco. ¿&s de esperar que

que f f x x

((

158,21,9158,21,9

))

,, f f y y

((

158,21,9158,21,9

))

_y_y f f t t

((

158,21,9158,21,9

))

_{sea positi"o o negati"o#}_{sea positi"o o negati"o#}

&'plique. &'plique. Solución: Solución:

(a)

(a) ∂∂ T T

/ /

∂ x∂ x : representa la tasa de variación de: representa la tasa de variación de T T cuando fjamos cuando fjamos y

y y y t t y consideramos y consideramos T T como una unción de la única como una unción de la única variable

variable x x , que , que describe cómo rápidamente la temperatura cambiadescribe cómo rápidamente la temperatura cambia cuando cambia de longitud, pero la latitud y

cuando cambia de longitud, pero la latitud y el tiempo sonel tiempo son constantes

constantes ∂

∂ T T

/ /

∂ _{∂ yy : representa la tasa de variación de}_{: representa la tasa de variación de} T _{T cuando fjamos}_{cuando fjamos} x

x y y t t y y T T consideramos como una unción de consideramos como una unción de y y , que, que describe la rapide! con la los

describe la rapide! con la los cambios de temperaturcambios de temperatura cuando losa cuando los cambios de latitud, pero la longitud y el

cambios de latitud, pero la longitud y el tiempo son constantestiempo son constantes ∂

∂ T T

/ /

∂_{∂ t t : representa la tasa de variación de}_{: representa la tasa de variación de} T _{T cuando nos fjamos}_{cuando nos fjamos} x

x e e y y y consideramos y consideramos T T como una unción de como una unción de t t , que, que describe cómo rápidamente los cambios de temperatura en el

describe cómo rápidamente los cambios de temperatura en el tiempotiempo para una longitud y latitud

para una longitud y latitud constanteconstante

(b)

(b) f f x x

((

15158,21,8,21, 99

))

_{: representa la tasa de cambio de la temperatura a}_{: representa la tasa de cambio de la temperatura a}

longitud de "#$%&, latitud '"%, a las :** am, cuando sólo longitud longitud de "#$%&, latitud '"%, a las :** am, cuando sólo longitud var+a uesto que el aire es más cálido, al oeste, de los resultados, el var+a uesto que el aire es más cálido, al oeste, de los resultados, el aumento de longitud del este en un mayor aire temperatura, por lo aumento de longitud del este en un mayor aire temperatura, por lo que esperar+amos que

(2)

f _y

(

158,21,9

)

_{: representa la velocidad de cambio de la temperatura}

al mismo tiempo y ubicación cuando sólo latitud var+a uesto que el aire es más cálido en el sur y más resco -acia el norte, incrementar los resultados de latitud en una disminución de la temperatura del aire, por lo que esperar+amos que f y

(

158,21,9

)

_{a ser negativo}

f t

(

158, 21,9

)

_{: representa la tasa de cambio de la temperatura al}

mismo tiempo y ubicación sólo cuando el tiempo var+a .ado que por lo general aumenta la temperatura del aire de la ma/ana a la tarde cuando el sol calienta, esperar+amos f y

(

158,21,9

)

_{para ser}

positivo

. &l ndice enfriador del "iento I es la temperatura percibida as como la temperatura real es T y la "elocidad del "iento es v , de modo que podemos escribir I

=

f

(

T , v

)

. La tabla de "alores presentes en es un e'tracto de una tabla de "alores de I

compilada por National Atmospheric and Oceanic Administration. (a)&stime los "alores los "alores f T

(

12,20

)

_y f v

(

12,20

)

.¿Cual es la

interpretaci*n practica de estos "alores#

T v 1+ + + -+ + /+ 0+ + 2+ 1+ + + 1 1/ 1- 1 1 1 1 1 1 1 1/ 1- 11 2 0 0 / /    1 2   1 + + 31 31 31 31   + 3 3 3/ 30 30 3 3 3

(b)&n general,¿ que se puede decir acerca de los signos ∂ I

/

∂ T y ∂ I

/

_{∂ v #}

(c)¿Cual parece que es el "alor del siguiente limite#

lim

v →∞

∂ I ∂ v

(3)

(a) or defnición tenemos , f T

(

12,20

)

=

lim h →0

f

(

12

+

h ,20

)

−

f

(

12,20

)

h , 0ue

podemos apro1imar considerando h

=

4 y h

=−

4 y utili!ando los valores dados en la tabla: 2uando h

=

4 tenemos: f T

(

12,20

)

≈ f

(

16,20

)

−

f

(

12,20

)

4

=

11

−

5 4

=

6 4

=

1.5 2uando h

=−

4 tenemos: f T

(

12,20

)

≈ f

(

8,20

)

−

f

(

12,20

)

−

4

=

0

−

5

−

4

=

−

5

−

4

=

1.25

3n promedio de estos valores, se estima que f T

(

12,20

)

viene -acer

apro1imadamente "45# or lo tanto, cuando la temperatura real es "'62 y la velocidad del viento es de '* 7m 8 -, la temperatura aparente se

incrementa en alrededor de "45#62 por cada grado que la temperatura real se eleva

.el mismo modo, f v

(

12,20

)

=

lim h →0

f

(

12,20

+

h

)

−

f

(

12,20

)

h que podemos

apro1imar considerando h

=

10 y h

=−

=

10 tenemos: f v

(

12,20

)

≈ f

(

12,30

)

−

f

(

12,20

)

10

=

3

−

5 10

=

−

2 10

=−

0.2 2uando h

=−

10 tenemos: f v

(

12,20

)

≈ f

(

12,10

)

−

f

(

12,20

)

−

10

=

9

−

5

−

10

=

4

−

10

=−

0.4

3n promedio de estos valores, se estima f v

(

12,20

)

sea de

apro1imadamente 9*4

(4)

(b) ara una velocidad de viento v fjo, los valores del +ndice de enriamiento del viento I aumento a medida que aumenta la temperatura T (mirar a una columna de

la tabla), por lo que ∂ I

/

∂ T es positivo

ara una temperatura fja T , los valores de I disminución (o se

mantienen constantes) como v aumenta (mirada en una fla de la tabla), por lo que ∂ I

/

∂ v

es negativo (o qui!á *)

(c) ara valores fjos de T , la unción de valores de f

(

T , v

)

parecen ser constante (o casi constante) como v aumenta, por lo que la tasa de

cambio correspondiente es * o cerca de * que v aumenta sto sugiere

que _{v →∞}lim ∂ I

∂ v

=

0 

-. La altura h de las olas en el mar abierto depende de la

"elocidad v del "iento y del tiempo t que el "iento haya estado soplando a esa "elocidad. &n la siguiente tabla se dan "alores de la funci*n h

=

f

(

v ,t

)

en pies4

v t 5 10 15 20 30 40 50 10 2 2 2 2 2 2 2 15 4 4 5 5 5 5 5 20 5 7 8 8 9 9 9 30 9 13 16 17 18 19 19 40 14 21 25 28 31 33 33 50 19 29 36 40 45 48 50 60 24 37 47 54 62 67 69

(5)

(a)¿Cul es el signi!cado de las deri"adas parciales

∂ h ∂ v y

∂ h ∂t # (b)&stime los "alores de f v

(

40,15

)

_y f t

(

40,15

)

_{.¿Cual es la}

interpretaci*n practica de estos "alores # (c) ¿Cul parece ser el "alor del siguiente limite#

lim

t → ∞

∂ h ∂t Solución:

(a) ∂ h

/

∂ v : representa la tasa de variación de h cuando fjamos a t y consideramos h como una unción de la única variable v , que describe cómo rápidamente la altura de la ola en mar abierto cambia cuando cambia la velocidad , pero el tiempo es constantes

∂ h

/

_{∂ t : representa la tasa de variación de h cuando fjamos a v y} consideramos h como una unción de la única variable t , que describe cómo rápidamente la altura de la ola en mar abierto cambia cuando cambia el tiempo, pero la velocidad es constantes

(b) or defnición tenemos , f v

(

40,15

)

=

lim h→0

f

(

40

+

h ,15

)

−

f

(

40,15

)

h , 0ue

podemos apro1imar considerando h

=

10 y h

=−

10 y utili!ando los valores dados en la tabla:

2uando h

=

10 tenemos: f v

(

40,15

)

≈ f

(

50,15

)

−

f

(

40,15

)

10

=

36

−

25 10

=

11 10

=

1.1 2uando h

=−

10 tenemos: f v

(

40,15

)

≈ f

(

30,15

)

−

f

(

40,15

)

−

10

=

16

−

25

−

10

=

−

9

−

4

=

2.25

3n promedio de estos valores, se estima que f v

(

40,15

)

_{viene -acer}

apro1imadamente ";5# or lo tanto, cuando el tiempo que el viento soplo es "# - y la velocidad del viento es de <* 7m 8 -, la altura aparente se

incrementa en alrededor de ";5# pies, por cada 7ilometro que la velocidad del viento real se eleva

(6)

.el mismo modo, f t

(

40,15

)

=

lim h →0

f

(

40

+

h ,15

)

−

f

(

40,15

)

h , 0ue podemos

apro1imar considerando h

=

10 y h

=−

=

5 tenemos: f t

(

40,15

)

≈ f

(

40,20

)

−

f

(

40,15

)

10

=

28

−

25 10

=

3 10

=

0.3 2uando h

=−

5 tenemos: f t

(

40,15

)

≈ f

(

40,10

)

−

f

(

40,15

)

−

5

=

21

−

25

−

5

=

−

4

−

5

=

0.8

3n promedio de estos valores, se estima f t

(

40,15

)

sea de

apro1imadamente *##

or lo tanto, cuando el tiempo real es "# - y la velocidad del viento es de <* 7m 8 -, la altura aparente disminuye apro1imadamente *,## pies por cada -ora que aumenta el tiempo de soplado del viento

(c) ara valores fjos de v , la unción de valores de f

(

t , v

)

parecen ser constante (o casi constante) como t aumenta, por lo que la tasa de

cambio correspondiente es * o cerca de * que t aumenta sto sugiere

que lim_{t → ∞} ∂ h

∂t

=

0 

. Las siguientes super!cies, marcadas a, b y c , son las gra!cas de una funci*n f y sus deri"adas parciales f x y f y _{. 5denti!que cada}

super!cie y de ra6ones para sus elecciones. (a) n la superfcie anterior podemos destacar que el punto (*,',') es un punto de silla, as+

tambi=n como los puntos (<,*,) y (9<,*,) pueden ser má1imos absolutos los cuales responden a las derivadas parciales ntonces por elección tomar+a al araboloide >iperbólico por el unto de silla que contiene

(7)

(b) ?a siguiente superfcie tiene la orma de una ola como si perteneciera a una unción que contenga senos y cosenos @ posee un punto de silla el cual no se llega a notar pero que esta por la coordenada

(

0,

−

1,0

)

_

(c) ?a siguiente superfcie tiene mas que una orma de ola una orma sim=trica con respecto al plano

(

xy

)

 @ posee tambi=n un punto de silla que esta muy disimulado en la coordenada

(

0,

−

1,2

)

,

/.7 continuaci*n se da un mapa de contorno para una funci*n f

.8tilicel o para

estimar f x

(

2,1

)

(8)

Solución:

Si aplicamos el criterio de las derivadas parciales a la grafca que nos muestra las curvas de nivel, podr+amos decir que:

f _x

(

2,1

)

, la cual es la derivada parcial con respecto a x esta va ser positiva y se va encontrar apro1imadamente en z

=

10 

f _y

(

2,1

)

, la cual es la derivada parcial con respecto a x esta va ser positiva y se va encontrar apro1imadamente en z

=

10 

0. si f

(

x , y

)

=

16

−

4 x2

−

y2 , encuentre f x

(

1,2

)

y f y

(

1,2

)

e interprete

estos n9meros como pendientes. 5lustre con dibu:os a mano o a computadora.

Solución:

>allamos el f x _{y el} f y _:

f _x

=−

8 x _@ f _y

=−

2 y _{→ siendo evaluado en}

(

1,2

)

→ f _x

=−

8 y f _y

=−

4

. si f

(

x , y

)

=

√

4

−

x2

−

4 y2 , encuentre f x

(

1,0

)

y f y

(

1,0

)

e interprete

estos n9meros como pendientes. 5lustre con dibu:os a mano o a computadora.

Solución:

>allamos el f x _{y el} f y _:

f _x

=

−

x

√

4

−

x2

−

4 y2 @ f y

=

−

4 y

√

4

−

x2

−

4 y2 → siendo evaluado en

(

1,0

)

→ f _x

=

−

1 √ 3 y f y

=

0

(9)