Matemáticas Aplicadas a la Ingeniería Petrolera.pdf

110 

Loading.... (view fulltext now)

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto completo

(1)
(2)

Matemáticas aplicadas a

la ingeniería petrolera

(3)

Título de la obra original

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

D.R. © Jetzabeth Ramírez Sabag

D.R. © Reverté Ediciones S.A. de C.V. Río Pánuco 141, Col. Cuauhtémoc, Del. Cuauhtémoc, C.P. 06500 México D.F.

ISBN México: 978-607-7815-09-9 ISBN España: 978-84-291-7914-9 Primera edición 2013

Reimpresión digital 2014

DISEÑO DE CUBIERTA:SANTIAGOROBLES

DISEÑO Y FORMACIÓN DE INTERIORES:VÍCTORM.MONTALVO CORRECCIÓN DE ESTILO:ARADAIPARDOMARTÍNEZ

Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción, total o parcial, de este libro, ni el almacenamiento en un sistema informático, ni la transmisión de cualquier forma o cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopia, registro u otros medios sin el permiso previo y por escrito de los titulares delcopyright .

Impreso en España -Printed in Spain

DL B 12027-2014

Impreso por Arvato Services Iberia, S. A. # 1389

(4)

Índice

Índice

Prólogo

Prólogo XIX

Capítulo 1. Planteamiento matemático de problemas

Capítulo 1. Planteamiento matemático de problemas 1

1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas 2 1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir 4 del cambio de temperatura de un cuerpo inerte

1.1.2 Ejemplo 2. Problema de decaimiento radioactivo 6 1.2 Introducción a los modelos matemáticos 7 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 7 1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático 8

1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentamiento de una esfera

de hielo 8

1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto 10 sometido a una fuente de calor en un momento determinado 1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidiano

de un objeto sometido a una fuente de calor 11 1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales 12

1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un

tanque con entrada y salida de salmuera 12 1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del ujo de calor en una barra por medio de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido a una fuente de calor 14 1.5.3 Modelado matemático de un experimento de ujo de calor 16 1.6 Esquema general del planteamiento matemático de un

problema físico 19

1.7 Categorías de modelos matemáticos 20 1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad 20

(5)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

1.9 Modelado matemático de yacimientos 23 1.9.1 Procedimiento general del modelado matemático

de problemas de ingeniería petrolera 24

Capítulo 2. Principios de los fenómenos de transporte

Capítulo 2. Principios de los fenómenos de transporte 25 2.1 Conceptos fundamentales 26 2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo 26 2.1.2 Sistemas termodinámicos 27 2.1.3 Tipos de procesos 31 2.2 Transporte de cantidad de movimiento (momentum) 32 2.2.1 Ley de Newton de la viscosidad 33 2.3 Transporte de calor 39 2.3.1 Principios básicos de termodinámica 40 2.3.2 Leyes fundamentales de la termodinámica 46 2.3.3 Transferencia de calor por conducción 51 2.3.4 Ejemplo 1. Flujo de calor a través de una tubería de acero 55 2.3.5 Ejemplo 2. Cálculo de la densidad de ujo de calor en un

cilindro conductivo 57

2.4 Transporte de masa 58 2.4.1 De niciones de concentraciones, velocidades y densidades

de ujo de materia 59

2.4.2 Ley de Fick de difusión 62 2.4.3 Analogía entre los diferentes mecanismos de transporte 63 2.4.4 Ecuación de balance de materia 64 2.4.5 Ejemplo 3. Proceso de evaporación de agua en régimen

permanente 68

2.4.6 Ejemplo 4. Determinación del coe ciente de

difusión binario 73

2.5 Ecuaciones generales de conservación 74 2.5.1 Leyes fundamentales de conservación 75 2.5.2 Ecuación de continuidad (conservación de masa) 80 2.5.3 Ecuación generalizada de transporte de cantidad

de movimiento 83

2.6 Ecuaciones de cambio para sistemas no isotérmicos 87 2.6.1 Ecuación general de la energía térmica 87

(6)

Índice Índice Capítulo 3. Preliminares de las ecuaciones

Capítulo 3. Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales

diferenciales parciales 93

3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias 94 3.1.1 Ecuaciones lineales homogéneas 96 3.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 97 3.1.3 Ejemplo 1. Solución de una ecuación diferencial

homogénea 97

3.1.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 98 3.1.5 Principio de superposición 98 3.1.6 Coe cientes constantes 101 3.1.7 Ecuación de Cauchy-Euler 103 3.1.8 Otras ecuaciones diferenciales homogéneas 105 3.1.9 Ecuaciones diferenciales no homogéneas 107 3.1.10 Variación de parámetros 108 3.1.11 Ejemplo 2. Solución de una ecuación

diferencial homogénea 111 3.1.12 Ejemplo 3. Solución de una ecuación diferencial

no homogénea

3.2 Ecuaciones diferenciales parciales 114 3.2.1 Ecuación diferencial parcial de primer orden 115 3.2.2 Uso de un cambio de variable para reducir una ecuación diferencial parcial a una ecuación diferencial ordinaria. 117 3.2.3 Solución e interpretación de una ecuación

diferencial parcial 118 3.2.4 Ecuaciones diferenciales parciales en física e ingeniería 122 3.2.5 Clasi cación de las ecuaciones diferenciales parciales 124 3.3 Problemas de valores en la frontera 126 3.4 Problemas de valores iniciales y de frontera adimensionales 127

3.4.1 Ejemplo 4. Transformación del problema de difusión a su forma adimensional 128 3.4.2 Ejemplo 5. Transformación de un problema

hiperbólico a su forma adimensional 132 3.5 Ecuaciones y funciones especiales 134 3.5.1 Ecuaciones y funciones Bessel 134 3.5.2 Series de Fourier 140

(7)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Capítulo 4. Desarrollo de

Capítulo 4. Desarrollo de las ecuaciones diferencialeslas ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el flujo de fluidos en los yacimientos parciales que gobiernan el flujo de fluidos en los yacimientos petroleros

petroleros 155

4.1 Introducción 156

4.2 Principios fundamentales del ujo del agua en medios porosos 157 4.3 La Ley de Darcy y el potencial de Hubbert 163 4.4 Experimento de Darcy 167 4.5 Ley de Darcy para medios porosos anisotrópicos 170 4.6 Derivación en coordenadas cartesianas de la ecuación de

difusividad para el ujo de un uido de una sola fase 172 4.6.1 Ecuación de continuidad 173 4.6.2 Ecuación de movimiento 178 4.6.3 Ecuación de estado para un uido ligeramente

incompresible 179

4.7 Ecuación de difusividad para gases 183 4.8 Derivación de la ecuación de Hagen-Poiseville para ujo

a través de un tubo circular 187 4.9 Cálculo de parámetros importantes 192 4.10 Derivación de la ecuación de Hagen-Poiseville para ujo

a través de una tubería horizontal, considerando un factor de

resbalamiento 

4.11 Flujo multifásico en yacimientos 199 4.11.1 Fundamentos de las fuerzas super ciales y capilares 200 4.12 Principales ecuaciones de ujo multifásico en yacimientos 204 4.13 Desplazamiento miscible ideal 211 4.13.1 Dispersión en medios porosos 212 4.13.2 Mecanismos de dispersión 214 4.13.3 Flujo de trazadores en yacimientos 214 4.13.4 Desarrollo de la ecuación fundamental de dispersión 216 4.14 Balance general de energía 4.14.1 Ecuación de energía para ujo en una fase 220221 4.14.2 Ecuación de energía para ujo multifásico 224 4.14.3 Ecuaciones de transporte 225 4.14.4 Componentes de cada fase 227

(8)

Índice Índice

4.15 Introducción a la simulación numérica de yacimientos 228 4.15.1 Tipos de simuladores numéricos de yacimientos 229 4.15.2 Ecuaciones básicas del modelo de simulación

numérica de yacimientos de tipo composicional 232 4.15.3 Análisis del problema 236 4.15.4 Ecuaciones básicas del modelo de simulación

numérica de yacimientos tipo aceite negro 237

Capítulo 5. Aplicación del método de separación de variables Capítulo 5. Aplicación del método de separación de variables 243

5.1 Introducción 244

5.2 Solución de ecuaciones diferenciales parciales con el

método de separación de variables 245 5.2.1 Problema de conducción de calor en una varilla con

temperatura de cero grados centígrados en los extremos 245 5.2.2 Valores y funciones característicos 249 5.2.3 El producto de soluciones, el principio de

superposición y la ortogonalidad 256 5.2.4 Ejemplo 1. Formulación, solución e interpretación 262 5.2.5 Problema de conducción del calor en una varilla

con extremos aislados 267 5.3 Aplicación del método de separación de variables a un problema de valores iniciales y de frontera de ujo de aceite hacia un pozo 269

5.3.1 Planteamiento físico del problema 269 5.4 Aplicación al problema de ujo lineal de un uido ligeramente compresible y de viscosidad constante en un medio poroso homogéneo 277

5.4.1 Descripción física del problema de aplicación 277 5.4.2 Uso de variables adimensionales para evitar el problema de condiciones inhomogéneas 279 5.4.3 Aplicación del método 281 5.5 Aplicación del método de separación de variables a

problemas de ujo con condiciones de frontera no homogéneas 5.5.1 Aplicación 1. Aplicación al problema de ujo lineal de 289 un uido ligeramente compresible con viscosidad constante

en un medio poroso, con condiciones iniciales y de frontera

(9)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

5.5.2 Aplicación 2. Flujo lineal de un uido ligeramente compresible con viscosidad constante en un medio poroso, con condiciones iniciales y de frontera no homogéneas,

tipo Neumann 295

5.5.3 Aplicación 3. Problema de distribución de presión para un sistema lineal cerrado 300 5.5.4 Problema de ujo de uidos en un medio semiin nito 303 5.6 Problemas de valores característicos, problemas de Sturn-Liouville 306

5.6.1 Introducción 306

5.6.2 Clasi cación general 307 5.6.3 Problema Sturn-Liouville 308 5.7 Procedimiento general del método de separación de variables 309 5.8 Condición de frontera del tercer tipo (técnica grá ca) 310

5.8.1 Ejemplo 2. Solución de la función dependiente de x

para los problemas de ujo de calor y cuerda vibrante 311 5.8.2 Ejemplo3. Problema de transferencia de calor con una

condición de frontera del tercer tipo 315 5.9 Modelado de la ecuación de onda 5.9.1 Movimiento de una cuerda con extremos jos 320320 5.9.2 Ejemplo 3. Movimiento de una cuerda con extremos jos 324

Capítulo 6. Aplicación del método de transformada de Laplace Capítulo 6. Aplicación del método de transformada de Laplace 327 6.1 Conceptos fundamentales y propiedades de la transformada

de Laplace 328

6.1.1 De nición de la transformada de Laplace 329 6.1.2 La existencia de la transformada de Laplace 333 6.1.3 La transformación de Laplace como operador lineal 340 6.1.4 La transformada inversa de Laplace 343 6.1.5 La existencia y unicidad de la transformada inversa

de Laplace, L−1 346

6.1.6 Teorema de Lerch 348 6.1.7 Propiedades de las transformaciones L y L−1 348

6.1.8 Teorema de traslación en el dominio de Laplace s 349 6.1.9 Teorema de traslaciónen el dominio del tiempo t 351 6.1.10 Transformación de derivadas 353

(10)

Índice Índice

6.1.11 Teorema de convolución 355 6.1.12 La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales 357 6.1.13 La transformada de Laplace de una derivada parcial y

las ecuaciones diferenciales 359 6.1.14 Ejemplo de aplicación: ujo de calor en un contenedor 361 6.1.15 Resumen del método y algunas observaciones 366 6.2 Aplicación del método de la transformada de Laplace al

problema de ujo de un uido incompresible hacia un pozo

uyendo a presión constante 368 6.2.1 Planteamiento del problema físico por resolver 369 6.2.2 Desarrollo de la ecuación de difusividad para ujo radial en variables adimensionales 370 6.2.3 Desarrollo de la ecuación de difusividad adimensional

para ujo radial 372

6.2.4 Variables adimensionales utilizadas 380 6.2.5 Problema línea fuente 382 6.2.6 Solución línea fuente por medio de la transformación

de Boltzman 383

6.2.7 Aplicación 1. Pozo que produce a gasto constante en

un yacimiento in nito. Solución línea fuente 388 6.2.8 Aplicación 2. Pozo que produce a gasto constante en

un yacimiento in nito. Solución fuente cilíndrica 404 6.29 Aplicación 3. Pozo que produce a gasto constante en

un yacimiento nito 408 6.3 Aplicación del método de transformada de Laplace al problema de ujo de trazadores a través de yacimientos petroleros 426

6.3.1 Aplicaciones de los trazadores a la industria petrolera 427 6.3.2 Modelos matemáticos 428 6.3.3 Aplicación 4. Flujo lineal unidimensional de trazadores a través de yacimientos homogéneos 430 6.3.4 Aplicación 5. Flujo lineal unidimensional de trazadores a través de yacimientos homogéneos con condiciones mixtas 435

Capítulo 7. Aplicación del método de funciones de Green

Capítulo 7. Aplicación del método de funciones de Green 443 7.1 Introducción a las funciones de Green 444

(11)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

7.2 Operador diferencial adjunto 448

7.3 Método de la expansión de las eigenfunciones para las

funciones de Green 450

7.3.1 Ejemplo 1. Solución de la función dependiente dex del

problema de ujo hacia unidimensional 452 7.4 La función delta de Dirac y su relación con las funciones

de Green 453

7.5 Reciprocidad de Maxwell 457 7.6 Aplicación del método de las funciones de Green al problema de ujo unidimensional en régimen permanente 458

7.6.1 Ejemplo 2. Planteamiento del problema adjunto 460 7.6.2 Caso 1. Problema tipo Dirichlet 463 7.6.3 Caso 2. Problema tipo Neumann 465 7.7 Resumen del método de las funciones de Green 468 7.8 Introducción al método de las funciones de Green

para ecuaciones diferenciales parciales 469 7.9 Aplicación del método de las funciones de Green a problemas bidimensionales en régimen permanente 473 7.10 Aplicación del método de las funciones de Green a problemas de ujo tridimensionales en régimen transitorio 483

Capítulo 8. Problema inverso

Capítulo 8. Problema inverso 491

Por Oscar C. Valdiviezo Mijangos

8.1 Introducción al problema inverso 492 8.2 Problema inverso 493 8.3 Problema mal condicionado 495 8.4 Planteamientos de la función objetivo 498 8.5 Problema inverso lineal 499 8.6 Problema directo 501 8.6.1 Transporte de trazadores en medios porosos 501 8.6.2 Modelo de línea fuente para pruebas de presión 504 8.7 Métodos de optimización no lineal 507

8.8 Aplicaciones 514

8.8.1 Pruebas de presión 514 8.8.2 Pruebas de trazadores 516

(12)

Índice Índice Apéndice A. Preliminares de ingeniería petrolera

Apéndice A. Preliminares de ingeniería petrolera 521

A.1 Introducción a la productividad de pozos 522 A.1.1 Sistema integral de producción 522 A.1.2 Flujo del yacimiento al pozo 525 A.1.3 Flujo en tuberías 528 A.1.4 Flujo en estranguladores 535 A.2 Conceptos básicos y propiedades relacionadas 537 A.2.1 Tendencia del medio continuo en ingeniería petrolera 537 A.2.2 Porosidad, una propiedad petrofísica estática 539 A.2.3 Permeabilidad, una propiedad de ujo de un medio 541 A.3 Conceptos relacionados con el ujo multifásico 549 A.3.1 Saturación de uidos 549 A.3.2 Permeabilidades efectivas y relativas 552 A.3.3 Solubilidad del gas 557 A.3.4 Factor de volumen de formación del aceite, Bo 559 A.3.5 Relación agua-aceite instantánea 560 A.3.6 Densidad relativa y grados API 561 A.3.7 Relación gas-aceite y gas-agua instantánea 562 A.3.8 Flujo másico para cada fase 564 A.4 Propiedades del gas 566 A.4.1 Ley de los gases reales 567 A.4.2 Densidad relativa del gas 568 A.4.3 Densidad del gas 570 A.4.4 Factor de compresibilidad del gas 570 A.4.5 Viscosidad del gas 571 A.4.6 Factor de volumen del gas 572 A.4.7 Compresibilidad del gas 572 A.4.8 Ejemplo de aplicación 575 A.5 Comportamiento de las fases de uidos del yacimiento

y super ciales 576

A.5.1 Diagrama de fases 577 A.5.2 Clasi cación de los yacimientos de acuerdo con el

diagrama de fases 578

A.6 Mecanismos de ujo y de desplazamiento en

(13)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

A.6.1 Mecanismos de ujo a través de yacimientos 583 A.6.2 Mecanismos de desplazamiento 589 A.7 Comportamiento de a uencia 593 A.7.1 Ecuación de a uencia 594 A.7.2 Geometrías de ujo 595 A.7.3 Regímenes de ujo 603 A.8 Procesos de recuperación adicional 616 A.8.1 Métodos térmicos 618 A.8.2 Métodos químicos 623 A.8.3 Desplazamiento miscible 625

Apéndice B. Flujo radial de trazadores a través de un Apéndice B. Flujo radial de trazadores a través de un yacimiento estratificado

yacimiento estratificado 629

B.1 Desarrollo de las ecuaciones fundamentales de ujo 630 B.1.1 Ecuación de ujo en la fractura o región móvil 630 B.1.2 Ecuación de ujo para la región inmóvil, estancada

o matriz 634

B.2 Solución del modelo matemático de ujo radial con fractura

horizontal 636

B.2.1 Modelo matemático expresado en variables

adimensionales 636

B.2.2 Solución de la ecuación para la región inmóvil

B.2.3 Solución de la ecuación fundamental para la región móvil 639

Apéndice C. Tabla de las transformadas de Laplace utilizadas Apéndice C. Tabla de las transformadas de Laplace utilizadas 645

Notación Notación 649 Unidades Unidades 659 Bibliografía Bibliografía 675

(14)

Prólogo

Prólogo

El objetivo principal de esta obra es ofrecer un documento que sirva como libro de texto para el curso de Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrole-ra y que también pueda ser consultado como material de apoyo en diversas asignaturas de la carrera de ingeniería petrolera por aquellos que requieran conocer la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el planteamiento y la solución de problemas relacionados con los fenómenos de transporte. Otro objetivo es familiarizar a los lectores de otras áreas con algunos de los fundamentos teóricos y prácticos del quehacer de los ingenieros petroleros. Cabe destacar que este libro no está dirigido a los matemáticos, sino a los ingenieros petroleros y a los estudiantes y profesionistas de otras áreas donde se privilegia la intuición física sobre el rigor matemático. Al examinar en retrospectiva los conocimientos adquiridos en un primer curso de mate-máticas sustentado en escasos y simples principios físicos, muchos alumnos que estudian temas perceptibles del mundo físico y que emplean recur-sos matemáticos repetitivos que rayan en la monotonía, consideran que no siempre tienen la oportunidad de obtener una comprensión su ciente de varios de los conceptos como para llevar a cabo —con ciertas probabilida-des de éxito— la solución de algunos problemas reales y prácticos con los métodos aprendidos.

Esta problemática se debe, en gran medida, al rigor y a la extrema pre-cisión con que debe de nirse y tratarse cada uno de los conceptos básicos, a falta de una imagen física lo su cientemente grá ca o tangible, y al hecho de que la metodología recurre, con frecuencia, a restricciones que reducen la complejidad de los fenómenos naturales y que suelen requerir cierto grado de conocimiento físico que, desafortunadamente, los alumnos no obtendrán hasta cursar materias de años superiores en los distintos planes de estudios.

(15)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

El presente texto es, por lo tanto, el resultado de un esfuerzo encamina-do, esencialmente, a subsanar los aspectos principales de esta problemática. Los temas aquí expuestos buscan estimular el pensamiento intuitivo en tor-no a temas físicos, cuidando de tor-no perder demasiada precisión matemática pues la combinación de temas de un alto nivel matemático con los fenó-menos que ocurren en la naturaleza pueden ocasionar, al nal, una com-prensión parcial o incompleta por parte de muchos estudiantes de pregrado e, incluso, llegar a un punto donde ni al estudiante ni al profesor les sea factible el tratamiento matemático del problema. Es por ello que se ha in-tentado alcanzar un equilibrio entre estos dos extremos al describir, en pri-mer término, la situación física del problema y, posteriormente, mediante la presentación de las herramientas matemáticas necesarias, algunas técnicas para plantear, formular y resolver el problema en cuestión, privilegiando siempre, como se ha mencionado, los aspectos físicos.

La génesis de este libro emana de la necesidad de responder adecua-damente a los múltiples comentarios de mis alumnos, quienes, cada ge-neración y de manera sistemática, solicitan referencias sobre los tópicos cubiertos en el curso. Esta insistente solicitud deriva del hecho de que prácticamente no existe una bibliografía que integre la física de los proble-mas de ingeniería petrolera con las técnicas matemáticas míniproble-mas reque-ridas para resolverlo. Es decir, por un lado, se dispone de la bibliografía clásica sobre ecuaciones diferenciales destinada a cientí cos e ingenieros, en donde se revisan los métodos de solución aplicados a la transferencia de calor y a problemas de vibraciones de cuerda (ecuación de onda) y, por el otro, las referencias puramente técnicas de la industria petrolera, las cuales consisten en una serie de artículos que revisan los métodos tradicionales de solución de ecuaciones diferenciales pero que, no obstante, carecen ge-neralmente de los detalles necesarios para que los estudiantes de pregrado los comprendan.

Fue así como surgió el reto de satisfacer esta carencia intelectual por medio de un libro con las características del que aquí se presenta; esto es, enfocado al planteamiento y la solución de problemas de valores iniciales y de frontera de ingeniería petrolera, en el que se guarde un equilibrio entre la física del problema y las técnicas matemáticas necesarias para su solución analítica. La premisa básica de esta obra es unir la intuición del estudiante de aspectos

(16)

Prólogo Prólogo

físicos con los métodos matemáticos, lo cual se aspira lograr por medio de la derivación del modelo matemático para un problema determinado, el uso del razonamiento físico en el desarrollo matemático y la interpretación de los resultados matemáticos en términos físicos; es por ello que los modelos matemáticos se formulan aquí por medio del i) desarrollo de las ecuaciones que gobiernan los procesos físicos y ii) el planteamiento de las condiciones de frontera posibles en los problemas de interés. Esto abarca el conocimiento físico del problema, las leyes físicas que lo rigen y el planteamiento matemá-tico que lo representa. En servicio de lo anterior, se discuten con detalle estos temas en el capítulo IV; en los capítulos posteriores se revisan las posibles condiciones de frontera y se incluye el planteamiento completo de un modelo matemático y su solución aplicados a los problemas de estudio.

Cabe señalar que tanto los lectores no relacionados con el área como los estudiantes de la carrera requieren una base apropiada de conocimientos tanto de temas de la física involucrada en los problemas de estudio como de algunos elementos matemáticos, además de los tópicos propios de la inge-niería petrolera, por lo que se han incluido los primeros tres capítulos y el apéndice A, que abarcan los siguientes temas: planteamiento matemático de problemas físicos, principios de fenómenos de transporte, preliminares de ecuaciones diferenciales parciales y preliminares de ingeniería petrolera. La nalidad de estos capítulos es ofrecer una base para la comprensión óptima de los capítulos dedicados a los métodos clásicos de solución de ecuaciones diferenciales parciales y las aplicaciones que se discuten en este texto: separa-ción de variables, transformada de Laplace y funciones de Green, así como la solución del problema inverso de dos aplicaciones importantes dentro de la ingeniería petrolera: el análisis de pruebas de variación de presión y las pruebas de trazadores, temas presentados en los capítulos V al VIII. El lec-tor notará que el método de transformada de Laplace recibe mayor atención ya que su uso es el más frecuente en el área.

Los capítulos V, VI y VII tienen esta estructura: i) explicación básica de los métodos de solución, ii) aplicación del método en algún ejemplo de transferencia de calor (con la intención de que el lector pueda consultar una referencia análoga en caso de así requerirlo) y iii) aplicación del método de solución a problemas especí cos, como el ujo de uidos hacia un pozo en un yacimiento petrolero.

(17)

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

Este prólogo no estaría completo si no expresara mi profundo agradeci-miento a todos aquellos que contribuyeron, de una u otra manera, a la rea-lización de este libro; desde la motivación para aceptar el reto de elaborarlo (aproximadamente hace cinco años) hasta el cierre de esta tarea. He recibido comentarios y sugerencias muy valiosas de parte de colegas y amigos; sin embargo, no me es posible mencionarlos a todos como me gustaría hacerlo. En particular, agradezco a las ingenieras Martha Argüelles y Jimena Gonzá-lez, a la licenciada Guadalupe Castro y a los maestros en ingeniería Mónica Meraz, Marisol Rojas, Abraham Ramírez y José Trejo por su colaboración en la edición de esta obra. Estoy en deuda con la Facultad de Ingeniería de la UNAM y, en especí co, con el Departamento de Ingeniería Petrolera, porque me han conferido el honor de ser la profesora de este curso por más de quince años; igualmente, reconozco la enorme deuda que tengo con todos mis alumnos dado que de ellos deriva la formidable oportunidad de escribir este documento.

Agradezco de forma especial al Dr. Oscar Valdiviezo Mijangos, autor del capítulo VIII, Problema inverso, por su interesante aportación a este texto.

Hago un reconocimiento especial a la maestra en ingeniería María Cristina Avilés Alcántara, así como a la maestra y trabajadora social Blanca Estela

Ran-gel Colchado, por el apoyo brindado para la publicación del presente libro. No olvido agradecer a la editorial Reverté por el interés mostrado en la edición de esta obra, en particular a las maestras Jimena Lascurain y Aradai Pardo por la inestimable colaboración recibida.

Finalmente, señalo con mucho orgullo que parte intangible de este texto es mi familia, gracias al soporte y comprensión brindados durante el desa-rrollo del mismo.

Apreciaré mucho cualquier sugerencia proveniente de estudiantes, pro-fesores o colegas, así como de cualquier persona interesada en mejorar este libro. Favor de hacerlas llegar al siguiente correo electrónico:

jetzabethramirez@ai.org.mx.

J R S México D.F. a 26 de agosto de 2012

(18)

Capítulo 1

Capítulo 1

Planteamiento matemático de problemas

Planteamiento matemático de problemas

El enfoque que busca resolver problemas del mundo real con herramientas matemáticas es frecuentemente llamado modelado matemático o matemá-ticas aplicadas. Este enfoque o modelado consta de los siguientes pasos:

1. Identi car un problema procedente de un fenómeno del mundo real. De los fenómenos complicados del mundo real, hay que identi car y extraer sólo el problema físico que se desea estudiar y entender por com-pleto la naturaleza del problema elegido. Se recomienda realizar esque-mas con guras.

2. Hacer la formulación matemática del problema:

q Determinar un conjunto apropiado de variables e incógnitas

relacio-nadas con el problema.

q Especi car las leyes físicas y/o geométricas involucradas en el problema.

3. Establecer el modelo matemático. Derivar las ecuaciones que gobier-nan el problema y determinar las condiciones adicionales con base en las leyes físicas o las restricciones geométricas. Este proceso conduce al llamado modelo matemático.

4. Realizar el análisis matemático.

5. Realizar la interpretación física de los resultados matemáticos. Discutir el comportamiento de la solución matemática, realizar esquemas con

guras y hacer su interpretación física.

6. Regresar al problema srcinal del fenómeno del mundo real. Compa-rar los resultados de la solución matemática con experimentos físicos, encontrar los defectos del modelo matemático y modi car el modelo, y comenzar de nuevo el proceso.

(19)

Capítulo 1 Capítulo 1

En este capítulo se presentan, primero de forma intuitiva, los pasos a seguir en el planteamiento matemático de un problema físico, para lo cual se des-criben algunos problemas especí cos muy sencillos. Después se incrementa gradualmente la di cultad de los problemas físicos hasta llegar, al nal del capítulo, a la formulación de ecuaciones diferenciales parciales a partir de la descripción de un problema de transferencia de calor.

Objetivo Objetivo

Mostrar cómo los problemas físicos y sus variaciones pueden ser explicados (modelados matemáticamente) por medio de un pro-cedimiento basado en la identificación, formulación, solución e interpretación del problema.

1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas 1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas

En esta sección se discute la solución de algunos problemas elementales característicos de los diversos campos de la ciencia y de la ingeniería, que comprenden ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuación diferencial par-cial, o EDP, es una ecuación que contiene derivadas parciales; por ejemplo:



En este caso, el estudio debería comenzar con la determinación de las fun-ciones u(x,t) que satisfacen la ecuación anterior; sin embargo, dos razones llevan a considerar más conveniente empezar por investigar el problema físico: la primera es que se estima que el interés del lector por las ecua-ciones diferenciales será mayor si comprende que estos métodos analizan problemas físicos. La segunda es el hecho de que las consideraciones físicas motivan muchos de los desarrollos matemáticos presentados en este texto. Muchos de los problemas de la ingeniería y las ciencias físicas son domina-dos por el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Algunas de las áreas que dependen en alto grado del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales son la acústica, la aerodinámica, la elasticidad, la

(20)

electrodinámi-Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

ca, la dinámica de uidos, la geofísica (propagación de onda), la transfe-rencia de calor, la transfetransfe-rencia de masa, la meteorología, la oceanografía, la óptica, la física de plasmas (ionización de líquidos y gases), la mecánica cuántica y la ingeniería petrolera, objeto del presente libro.

En este texto se sigue una losofía de la aplicación de las matemáticas que analiza los problemas en tres etapas principales:

1. Formulación del problema. 2. Solución.

3. Interpretación o análisis de la solución.

A continuación se presentan problemas especí cos sencillos para ilus-trar el planteamiento matemático de un problema físico.

Para resolver el primer problema es importante hacer una introducción a los procesos de transferencia de calor por medio de una ecuación empírica que relacione la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con el medio. Esta ecuación se conoce como Ley de enfriamiento de Newton y dice que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Supo-niendo que la constante de proporcionalidad sea la misma independiente-mente de que la temperatura auindependiente-mente o disminuya, la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento será:

Donde : Temperatura de un cuerpo

: Tiempo

: Temperatura del medio ambiente

Se soluciona la ecuación y se separan las variables:

(21)

Capítulo 1 Capítulo 1

Después, se integra cada miembro de la ecuación anterior:

Y se obtiene:

Pero, por lo que nalmente se obtiene:

Ec.1.1

Si se de ne que        , entonces queda:

Ec. 1.2

1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir del cambio 1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir del cambio de temperatura de un cuerpo inerte

de temperatura de un cuerpo inerte

Se requiere conocer la hora de deceso de una persona de edad muy avanza-da cuyo cuerpo fue encontrado sin viavanza-da a las doce del día.

1. Identi cación del problema

q La persona murió en su casa en algún momento antes del medio día. q

Al medio día, el cuerpo fue encontrado a una temperatura de 21.1 °C.

q El cuerpo se enfrió otros 2.8 °C en las dos horas posteriores al medio día. q Se asume que la habitación se encontraba a una temperatura con

tante de 15.5 °C.

(22)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

q Introducción del conjunto de variables e incógnitas relacionadas

con el problema. Se toma el medio día como  , se tiene que

=21.1,=15.5 y 2 (= 2 horas) =18.3 °C.

q Ley o leyes físicas que gobiernan el cambio de temperatura. La ley

que rige este problema es la Ley de enfriamiento de Newton; enton-ces, aplicando la ecuación 1.2 a= 2 horas se tiene que:



De donde se obtiene lo siguiente:

18.3−15.5=5.6−2 Ec. 1.3

De esta ecuación se obtiene que:

 (2)/2

Para determinar el momento del deceso se utiliza la ecuación 1.3 con la temperatura corporal humana normal de 37 °C y se plantea la siguiente ecuación:

37 − 15.5 = 5.6

Esta ecuación se resuelve para y, nalmente, se encuentra el tiempo buscado:

=−3.83/= −23.832 Ec. 1.4

= −3.90 horas

Por lo que se concluye que el deceso ocurrió a las 12:00 menos tres horas 54 minutos; esto es, a las 8:06 a.m.

(23)

Capítulo 1 Capítulo 1

1.

1.1.2 Ejemplo 2. 1.2 Ejemplo 2. Problema de decProblema de decaimiento radioactivoaimiento radioactivo

Una sustancia radioactiva decae a un ritmo proporcional a la cantidad de la sustancia presente. Si es la cantidad al tiempo, se tiene:

Ec. 1.5

Donde es una constante. La solución de la ED es:

Ec. 1.6

Si es la vida media de la sustancia radioactiva, se tiene por de nición:

Donde  .

Cabe señalar que la relación del radioisótopo y el átomo normal12 es, y

ha sido durante toda la historia del planeta, siempre la misma para toda criatura viviente y en la atmósfera, y que cuando los organismos mueren y cesa su metabolismo, inicia el proceso de decaimiento radioactivo de14.

A partir de los datos experimentales del isótopo14 y=0.0001216/año,

se puede determinar el momento en que un organismo murió al medir la concentración de14 en un fósil y compararla con un organismo

actual-mente en vida. Esta técnica se llama datado con radiocarbono. Por ejemplo, asuma que:

(24)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas 1.2 Introducción a los modelos matemáticos

1.2 Introducción a los modelos matemáticos

La mayoría de los sistemas o fenómenos físicos estudiados en las ciencias físicas y en las ingenierías se describen por medio de ecuaciones diferenciales. Esta descripción considera los cambios progresivos, tanto temporales como espaciales, de los sistemas o fenómenos físicos bajo observación.

La relación entre las matemáticas y el mundo real se representa por medio de expresiones cuantitativas que constituyen leyes fenomenológicas. Dichas expresiones se conocen, generalmente, como ecuaciones diferenciales. Se considera que las ecuaciones diferenciales gobiernan el comportamiento de ciertos sistemas o fenómenos y, al ser resueltas, proporcionan una gran cantidad de información que permite conocer y analizar la historia, el pre-sente y el futuro de los parámetros involucrados en los objetos de estudio. Es justamente este conocimiento sobre los parámetros lo que permite predecir el

comportamiento de los fenómenos estudiados y lo que hace sustantivas a las ecuaciones diferenciales y a los métodos o técnicas que sirven para resolverlas.

Estimar el comportamiento es difícil, especialmente cuando se trata de predicciones. Las metas generales del modelado matemático son:

q La comprensión. Obtener una idea general de cómo ocurre un

fenó-meno, cuáles son sus causas y cómo se relaciona con otras partes del sistema natural al que pertenece.

q La explicación. Intentar ir más allá al explicar por qué el fenómeno

o el proceso en cuestión sucede de una manera u otra.

q La predicción. Ser especí co al establecer lo que le sucederá a un

sistema bien de nido en el futuro si se cumplen ciertas condiciones.

q La retrodicción. En algunas áreas de la ingeniería se obtiene una

“predicción del pasado” cuando se extraen conclusiones relativas a la historia todavía inexplorada de un proceso o fenómeno.

1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

El modelo matemático es la ecuación o el conjunto de ecuaciones, usual-mente en derivadas parciales, donde se plasma la teoría del modelo

(25)

con-Capítulo 1 Capítulo 1

ceptual. Dentro de la computadora, el modelo matemático constituye la entidad abstracta que sustenta numéricamente al comportamiento idea-lizado del sistema real, y si bien todo modelo es perfectible y su grado de di cultad puede elevarse teóricamente hasta el in nito, esa complejidad puede ser bloqueada en la práctica por la carencia de datos medidos y por las capacidades siempre limitadas de las computadoras, aun las más poderosas.

Cabe señalar que las ecuaciones del modelo matemático son suposiciones en tanto que de nen el comportamiento supuesto de un continuo ideal. Aunque matemáticamente toda hipótesis constitutiva presentada en forma

de ecuación es una de nición, en realidad se llega a ella por medio de eviden-cias físicas fortalecidas con mediciones experimentales. Es por esto que a las ecuaciones constitutivas del modelo se les considera leyes fenomenológicas, las cuales abarcan procesos de excitación y respuesta del sistema natural. Es importante indicar que es muy escasa la probabilidad de determinar todos los aspectos de alguna teoría sin recurrir a la praxis de la física.

Como ya se mencionó, la formulación de un modelo matemático im-plica, en términos generales, tanto identi car los parámetros o variables de cambio en un sistema como establecer el conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema en cuestión. Dichas hipótesis suelen consideran el ritmo del cambio de uno o más de los parámetros involucrados. El enunciado matemático de esas hipótesis lo constituyen una o más ecuaciones donde intervienen derivadas; es decir, ecuaciones diferenciales.

El proceso de modelado sigue, en esencia, el siguiente orden:

1. Identi cación de variables. Establecer la notación matemática.

2. Determinación de las leyes empíricas que se pueden aplicar. Establecer las hipótesis del sistema estudiado.

3. Planteamiento de las ecuaciones.

1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático 1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático 1.4.

1.4.1 1 Ejemplo 3. Problema de Ejemplo 3. Problema de calentamcalentamiento de una iento de una esferesfera de a de hielohielo

(26)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

de su super cie. Hay que encontrar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo.

1. Identi cación de las variables:

q Incógnita: volumen (e cacia del tiempo). q Notación matemática.

2. Las leyes empíricas que se pueden aplicar:

q En los datos se indica que la esfera se derrite a un ritmo proporcional

al área de su super cie; es decir, el volumen de la esfera cambia a un ritmo proporcional al área de su super cie.

q El ritmo de cambio del volumen es la derivada de con respecto al

tiempo:

q La expresión de la ley en notación matemática: es el

radio de la esfera,= constante.

3. Planteamiento de la ecuación con la incógnita . Se sabe que el volu-men de la esfera es:

Entonces, resolver para:

Y al sustituir en la derivada:

Esta es la expresión que proporciona el cambio del volumen con res-pecto al tiempo; es decir, la ecuación diferencial que gobierna el compor-tamiento de la esfera y su reducción de volumen a un ritmo proporcional a su super cie.

Durante el proceso de modelado se presentan frecuentemente condi-ciones adicionales que se deben añadir al problema planteado. El problema presentado a continuación ejempli ca dicha situación.

(27)

Capítulo 1 Capítulo 1

1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto 1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto some-tido a una fuente de calor en un momento determinado

tido a una fuente de calor en un momento determinado

Un termómetro marca la temperatura de un sistema en 80 °C; se mide tam-bién la temperatura del medio, la cual es de 20 °C. El sistema se empieza a enfriar y, tres minutos después, se encuentra que el termómetro marca 75 °C. Se desea predecir la lectura del termómetro para varios tiempos poste-riores y, por lo tanto, se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados.

1. Identi cación del problema:  . representa la temperatura marcada por el termómetro, los datos indican que cuando  = 0.0, = 80.0, y cuando = 3.0 min, = 75 °C.

2. Leyes empíricas que gobiernan el problema. De acuerdo con la ecuación

de la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de la temperatura con el tiempo es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas,

3. Notación matemática:  es proporcional a la diferencia de tempe-raturas ( − 20.0). Puesto que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, entonces (−) resulta la constante de proporcionali-dad. Así, debe ser determinada a partir de la ecuación diferencial y, por lo tanto, necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes, dado que hay dos constantes a determinar: de la ecuación de enfriamiento de Newton y la constante de integración que se encuentra en la solución de la misma.

4. Condiciones adicionales.

Y transcurrido cierto tiempo de enfriamiento,

Debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C, de la ecuación 1.1 se sigue que:

(28)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

Entonces, la condición indica que 80 = 20 + y, por lo tanto, la cons-tante de integración es = 60, de modo que la ecuación anterior resulta:

El valor de será determinado ahora usando la condición: para = 3.0,

 = 75 °C, por lo que, con la ecuación anterior, se obtiene:

De esta ecuación se obtiene que Por consiguiente:

Entonces, sustituyendo

se obtiene la siguiente expresión:

Ecuación con la que se puede determinar la temperatura en un momen-to dado y, por consiguiente, al conocer la temperatura, también permite hallar el tiempo de enfriamiento transcurrido.

1.4.3 Ejemplo 5. Pl

1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidiano de un objetanteamiento de un problema cotidiano de un objetoo

sometido a una fuente de calor sometido a una fuente de calor

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 148 °C. Tres minutos después, su temperatura es de 93 °C. Se requiere conocer la temperatura del pastel a un tiempo determinado. Considere una temperatura ambiente de 21 °C.

1. Identi cación de las variables: temperatura en función del tiempo. 2. Ley empírica: la ley de enfriamiento de Newton que señala que la

(29)

ve-Capítulo 1 Capítulo 1

locidad con que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea.

3. Notación matemática: 

4. Condiciones adicionales:      

1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales 1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales

En esta sección se presenta una introducción a la deducción de las ecuacio-nes diferenciales a partir de algunas situacioecuacio-nes físicas de sistemas o fenó-menos físicos. Además, se revisan los pasos del modelado matemático para hacer un planteamiento matemático y obtener su solución, así como para realizar la interpretación física del resultado. Esta sección se orienta al mo-delado de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales.

1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un tanque con 1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un tanque con entrada y salida de salmuera

entrada y salida de salmuera

Un tanque se está llenando con salmuera a un ritmo de unidades de

volumen por segundo; al mismo tiempo, unidades por segundo son bom-beadas fuera del tanque. Se supone que la concentración de salmuera es

unidades de masa por unidad de volumen.

A un tiempo, el volumen de salmuera del tanque es y contiene 

unidades de masa de sal. ¿Cuál es la cantidad de sal en el tanque en un tiempo determinado, asumiendo que el contenido del tanque esté bien mezclado?

1. De nición de la notación:

q Sea la cantidad de sal en un tiempo determinado. q Sea el volumen de salmuera en un tiempo determinado.

2. Las leyes físicas que gobiernan el problema:

q Conservación de volumen de salmuera. q Conservación de masa de sal.

3. El balance de masa de sal en el tanque:

q La sal que se tire por segundo: ac (unidades de masa unidades de

(30)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

q La sal que contendrá el tanque será:

q La conservación del volumen de salmuera:

q La conservación de masa de sal. El cambio de la cantidad de sal con

respecto al tiempo:

Al sustituir en la ecuación anterior, se obtiene la siguiente ecuación lineal:

Ec. 1.a

En el caso particular de que el ritmo de entrada de salmuera por segundo fuera igual al ritmo de volumen de uido de salida,, la solución sería:

Ec. 1.b

La ecuación 1.a representa el modelo matemático del problema físico del tanque llenado con salmuera con una extracción determinada, mientras que la ecuación 1.b representa un caso particular del problema. Como un ejemplo numérico se tiene que si l, entonces    .

Ec. 1.c

Ahora bien, si después de 100 minutos suponemos que del tanque se empieza a fugar un litro de salmuera adicional por minuto, determinemos cuánta sal permanecerá en el tanque doce horas después del inicio de la fuga.

Se tiene que resolver una ecuación diferencial diferente, ahora con los parámetros   :

(31)

Capítulo 1 Capítulo 1

Ec. 1.d

Y como se tiene  como condición inicial, se sustituye en la ecua-ción 1.c:

Ec. 1.e

La solución general de la nueva ecuación es:

Con la condición inicial C.I,  se obtiene la constante:

Y después de doce horas,  minutos.

La solución se representa con una parábola con un máximo        . Cuando  , el tanque está vacío y la ecuación diferencial no constituye una descripción válida del proceso físico. La concentración en un tiempo     es:

La cual converge a 1 conforme  .

1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del flujo de calor en una barra por medio 1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del flujo de calor en una barra por medio de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido a una f

de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido a una fuenteuente

de calor de calor

(32)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

1. Se inicia con una barra de cobre de una longitud razonable (  ) de 2 cm de diámetro, cuyos lados laterales (pero no los extremos) están cubiertos con material aislante. En otras palabras, el ujo de calor puede entrar y salir de la barra por los extremos, pero no por la super cie lateral.

2. La barra se encuentra en un ambiente con una temperatura ja(en °C) durante un tiempo su cientemente largo para que el comporta-miento de la temperatura esté en un régimen permanente similar al ambiente. Por simplicidad, sea la temperatura del ambiente=10 °C.

3. Se toma la barra y se coloca fuera del ambiente a un tiempo= 0 y se adhieren dos elementos de temperatura (termostatos) en los extremos de la barra. El propósito de estos elementos es mantener los extremos de la barra a temperaturas especí cas y (sea= 0 °C y= 50 °C). En otras palabras, los termostatos monitorean constantemente la tempera-tura en los extremos de la barra y aseguran los valores de temperatempera-tura asignados en los extremos. El experimento se ilustra en la gura 1.1.

4. Se monitorea el per l de temperatura de la barra en algún tipo de display.

Figura 1.1 Diagrama esquemático del experimento

T1 T2 T1 T0 T2 L u Estado estacionario

Elemento que asegura la temperatura en el extremo izquierdo

Elemento que asegura la temperatura en el extremo derecho

(33)

Capítulo 1 Capítulo 1

1.5.3 Modelado matemático de un experimento de flujo de calor 1.5.3 Modelado matemático de un experimento de flujo de calor

La descripción de este problema físico requiere tres tipos de ecuaciones:

1. Una ecuación diferencial parcial que describa el fenómeno físico del

ujo de calor; esto es, la Ley de Fourier de ujo de calor por conducción.

2. Las condiciones de frontera que describan la naturaleza física del proble-ma en los extremos.

3. La condición inicial que describa el fenómeno físico al inicio del

experi-mento.

La ecuación básica en una dimensión que describe el ujo de calor a través de la barra es:

Ec. 1.f

La cual relaciona las cantidades presentadas a continuación.

: Ritmo de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, medido

en grados/seg.

: Concavidad del per l de temperatura , la cual compara, esencialmente, la temperatura en un punto con la temperatura en los puntos vecinos.

La derivación de esta ecuación se presentará en el capítulo II. Esta ecuación indica simplemente que la temperatura,, en algú n punto de la barra  y en algún momento  se incrementa≥ 0 o disminuye

≤ 0 de acuerdo con el valor, positivo o negativo, de la parcial. La gura 1.2 ilustra el ca mbio de temperatura a diferentes punto s a lo largo de la barra.

(34)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

Figura 1.2 Cambio de temperatura de acuerdo con  xx

Para ver como  puede interpretarse para medir el ujo de calor, se supone una aproximación de por la diferencia del cociente:

Ec. 1.g

Se tiene la siguiente interpretación de:

1. Si la temperatura < que el promedio de la temperatura de dos puntos vecinos, entonces> 0. Aquí el ujo neto de calor en es positivo.

2. Si la temperatura es igual al promedio de dos temperaturas co-rrespondientes a puntos vecinos, entonces= 0. En este caso, el ujo

de calor en es igual a cero.

3. Si la temperatura> que el promedio de las temperaturas de dos puntos vecinos, entonces< 0. En este caso, el ujo neto de calor en

 es negativo. Esto se ilustra en la gura 1.2.

u(x- x,t)

u(x+ x,t)

u(x- x,t)+u(x+ x,t) Promedio de temperatura de 2 puntos vecinos u x 2 u(x,t) Perfil de Temperatura al tiempo t

(35)

Capítulo 1 Capítulo 1

Es decir, si la temperatura en un punto> que el promedio de la tem-peratura en dos puntos vecinos      , entonces la temperatura en decrecerá. Además, el ritmo exacto del decremento es proporcional a esta diferencia. La constante de proporcionalidad es una propiedad del

material que no se discutirá en este texto.

En cuanto al tipo de ecuaciones llamadas condiciones de frontera, se puede decir que todos los problemas físicos tienen condiciones de frontera de algún tipo. Se tiene que describir matemáticamente lo que existe en los extremos para describir adecuadamente el problema físico.

En el experimento referido, las condiciones de frontera, CFI y CFE, se pueden deducir fácilmente a partir de las temperaturas que quedaron jas para todo   en y en los dos extremos   y  ; por lo que se puede escribir,

Ec. 1.h

Con relación a las condiciones iniciales, también se puede mencionar que todos los problemas físicos deben iniciar en un valor de tiempo, gene-ralmente llamado tiempo inicial,   . Es en este tiempo donde se tiene que especi car el problema físico. En el caso del experimento en cuestión, se inicia el monitoreo de la temperatura justo en el tiempo en el que la barra pierde su temperatura constante de. Entonces se puede escribir:

Ec. 1.i

Ahora está descrito matemáticamente el experimento. Si se escriben las ecuaciones juntas, se tiene un problema de valores iniciales y de frontera, PVIF; es decir:

(36)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

El conjunto de las cuatro ecuaciones (la ecuación que gobierna el ujo de calor, en este caso, las dos condiciones de frontera y la condición ini-cial) constituye la formulación matemática o planteamiento matemático del experimento y se le conoce como el problema de valores iniciales y de frontera, o PVIF, del experimento.

Cabe señalar que sólo existe una función  que satisface el blema 1.5.2 y que esta función describe la temperatura de la barra. El pro-blema después será encontrar la solución única. En los siguientes capítulos se revisarán los elementos necesarios para encontrar la solución única a este problema y a otros similares.

1.6 Esquema general del planteamiento matemático de un problema 1.6 Esquema general del planteamiento matemático de un problema físico

físico

Con la nalidad de ilustrar de forma sencilla los pasos a seguir en el planteamien-to matemático de un pro-blema del mundo real, a continuación se presenta un diagrama de bloques que representa el procedi-miento de modelado ma-temático.

Figura 1.3 Diagrama de bloques del procedimiento de modelado matemático Concebir la forma                  La                    NO SÍ

(37)

Capítulo 1 Capítulo 1

1.7 Categorías de modelos matemáticos 1.7 Categorías de modelos matemáticos

Los modelos matemáticos pueden clasi carse de acuerdo con sus formas matemáticas, como sigue:

q Modelos determinísticos y modelos estocásticos, dependiendo de la

aleatoriedad de las variables que aparezcan en el modelo.

q Modelos lineales y modelos no lineales, dependiendo del tipo de las

ecuaciones del modelo.

q Modelos estacionarios y modelos dinámicos, dependiendo de la

inclu-sión de la variable tiempo.

q Modelos de parámetros concentrados (condensados) y modelos de

pará-metros distribuidos, dependiendo de la inclusión de las variables espa-ciales.

En ingeniería de yacimientos es preferible el modelado de parámetros distribuidos porque este tipo de modelos es más general, más aproximado y más adecuado para los propósitos de planeación y administración de la explotación de los yacimientos. Un modelo de parámetros distribuidos se describe con una ecuación diferencial parcial o con un conjunto de ecua-ciones diferenciales parciales. Por ejemplo, se puede tener un modelo deter-minístico, no lineal y transitorio.

1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad 1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad

Dada la complejidad de muchos de los sistemas naturales que se requieren representar por medio de un modelo, en aquellos cuyo tratamiento matemá-tico exacto es prácticamente imposible, surge la necesidad de introducir la noción de modelo conceptual, que es el enfoque más poderoso para abstraer y simpli car los fenómenos naturales. En esta categoría, el sistema natural srcinal se reemplaza con un sistema cticio más simple o esquema, que puede ser representado por medio de un conjunto de ecuaciones integro-diferenciales de nidas en un espacio matemático que representa virtualmente el espacio real en donde ocurre el fenómeno a modelar.

Una vez que el modelo conceptual ha sido establecido, los principios básicos de la física y los procedimientos matemáticos que se apliquen

(38)

con-Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas

ducirán directamente a una teoría que describa el fenómeno investigado de manera aproximada. El sistema natural debe obedecer las leyes físi-cas y químifísi-cas, y estas también deben regir el comportamiento químico, mecánico y termodinámico del sistema esquematizado. Dichas leyes y su expresión en ecuaciones contienen varios parámetros, por ejemplo, en el caso de los yacimientos petroleros están la porosidad, la permeabilidad, la conductividad térmica y la compresibilidad, todas ellas relacionadas con las propiedades del sistema real.

Otro concepto clave en el arte de modelar es la noción de escala, la cual interviene en el grado de simpli cación del modelo. Siempre hay un punto en el cual debe detenerse el detalle del modelado. No es posible estudiar la termodinámica de un uido a partir de las interacciones cuánticas entre las partículas elementales que forman sus moléculas o calcular la deforma-ción de una roca describiendo los quarks de sus átomos. De ser factible su elaboración, tal modelo sería inimaginable y, por tanto, inútil. Al resultado nal proveniente de esquematizar, escalar y simpli car las características y el comportamiento del sistema real se le denomina modelo conceptual. Toda teoría para modelar un sistema determinado tiene que especi car los siguientes puntos:

q Dominio y validez. ¿Dónde se aplica?

q Precisión. ¿Qué tan bien reproduce lo observado? q Complejidad. ¿Cuántas ecuaciones y procesos abarca?

El aspecto más práctico del modelo conceptual es su grado de compleji-dad, el cual se re ere al número de postulados, relaciones y parámetros que necesitan especi carse a priori para obtener respuestas únicas y predecibles del modelo. Cuando no se pueden determinar todos los parámetros, ni siquiera de manera aproximada, la estrategia consiste en reducir la com-plejidad, aun a costa de una precisión y un campo de aplicación reducidos. Aquí interviene otra vez la noción de escala.

A continuación se resumen las características básicas de un buen mo-delo conceptual:

q La complejidad del modelo conceptual debe ser directamente

propor-cional a la cantidad de datos disponibles. Se debe escoger el modelo más simple que reproduzca toda la información medida.

(39)

Capítulo 1 Capítulo 1

q No se deben introducir complejidades teóricas para las cuales no se

ten-gan datos medidos. La aparición posterior de información nueva indica en qué dirección es conveniente re nar o elaborar más el modelo.

q La simpli cación no debe ser exagerada, ni debe llegarse al punto de

eli-minar las características fundamentales. Un modelo demasiado simple sólo proporcionará análisis igualmente simplistas.

q El modelo no debe tener tendencias; por ejemplo, no debe reproducir

un tipo de datos a expensas de otro.

q El modelo debe reproducir con el mismo rango de precisión todos los

grupos de datos disponibles. Un modelo que calibra con precisión sólo cierto tipo de información, sólo está validado parcialmente.

q El modelo debe veri car y reproducir primero los datos observados y

medidos, hasta donde sea posible. La información medida o calculada debe calibrarse con el modelo en un segundo paso con el n de evitar que se ltren tendencias al incorporar los datos interpretados usualmen-te con otros modelos. Incluso el suavizar los datos medidos puede borrar información relevante.

En general, modelar es comprender. A mejores y más representativos modelos matemáticos corresponde una comprensión más completa del fe-nómeno estudiado. Del conocimiento sobre el sistema, procedente de la observación y de la medición, sólo puede abstraerse la parte de su compor-tamiento susceptible de ser modelada con una teoría aceptada. La actividad de modelar se re ere a la formalización de un procedimiento; sin embargo, esta formalización no es única, pues depende inevitablemente de las teo-rías que la sustentan y de la información disponible. Todo modelo tiene limitaciones inherentes y debe veri carse con la realidad física observable. Dependiendo de qué tan adecuadas resulten sus predicciones de esa reali-dad, se hablará de la precisión del modelo y del rango de su aplicación. El mejor modelo será aquel que, para el mismo dominio simulado, prediga la conducta del sistema con más precisión dentro del rango de incertidumbre de los datos medidos. Es por esto que, aplicado a mediciones imprecisas e incorrectas, el tipo de modelo no tiene ninguna importancia.

(40)

Planteamiento matemático de problemas Planteamiento matemático de problemas 1.9 Modelado matemático de yacimientos

1.9 Modelado matemático de yacimientos

El estudio y la comprensión de los procesos de transporte que ocurren en sistemas naturales fracturados, tales como acuíferos, yacimientos petroleros y geotérmicos, es relativamente reciente. Desde hace aproximadamente 40 años se han desarrollado métodos de investigación basados tanto en modelos matemáticos-analíticos y numéricos como experimentales para tratar de com-prender los complicados mecanismos de ujo presentes en tales escenarios.

En este tipo de sistemas, el problema principal radica en la di cultad para representar con precisión las dimensiones y la distribución espacial de propiedades del medio como la permeabilidad, la porosidad, el fractura-miento, etc. La comprensión cabal de estas propiedades requeriría conocer la forma en la que fueron creadas por procesos geológicos y tectónicos de naturaleza aleatoria. En el comportamiento de los yacimientos, tanto el transporte de masa, de cantidad de movimiento y de energía, como la dis-tribución de los parámetros petrofísicos, juegan un papel de gran relevan-cia. Es por ello que en este texto se consideró necesario dedicar los capítulos 4 y 5 a revisar conceptos indispensables para la formulación de problemas de ujo en yacimiento. En el capítulo 4 se revisan los conceptos básicos de los fenómenos de transporte mientras que en el capítulo 5 se revisan los preliminares de la ingeniería petrolera junto con los conceptos necesarios para la comprensión de la fenomenología de un problema de ujo de uidos en yacimientos.

La limitante más importante en el desarrollo cientí co general de la in-geniería de yacimientos es la escasez de datos en unas áreas y su abundancia en otras. En esta disciplina siempre se trabaja con información incompleta y con incertidumbre. Tampoco es posible elaborar maquetas físicas que representen globalmente el yacimiento. Se tienen dudas incluso sobre cómo ligar los datos obtenidos en la medición directa en los núcleos de la forma-ción con las propiedades del yacimiento mismo. Existen técnicas, como las pruebas de variación de presión y las pruebas de trazadores, que propor-cionan información a nivel megascópico que resultan más con ables pues analizan el yacimiento de manera global en vez de en fragmentos pequeños. Lo mismo puede decirse de la simulación numérica de yacimientos, con la cual se puede obtener la descripción integral detallada del yacimiento,

(41)

Capítulo 1 Capítulo 1

reproduciendo los datos conocidos. Una vez lograda la aproximación de-tallada del yacimiento, se puede extrapolar la información y predecir el futuro del comportamiento del sistema, sujetos a diferentes condiciones o escenarios de explotación, bajo distintos procesos, riesgos y grados de incer-tidumbre. Los avances logrados en estos aspectos son la base de la ingenie-ría de yacimientos petroleros. A continuación se presenta el procedimiento general del modelado de problemas en ingeniería petrolera.

1.

1.9.9.1 Procedimiento general 1 Procedimiento general del modelado del modelado matemático de problemasmatemático de problemas

de ingeniería petrolera de ingeniería petrolera

1. Enfoque del problema:

q Reconocimiento de las variables (presión, temperatura, gasto, etc.). 2. Simpli cación del problema:

q Régimen estacionario, uido ligeramente compresible, presión

cons-tante, gasto constante.

3. Formulación del problema: q

Dependencia de una variable con respecto a otra.

4. Solución (No. de incógnitas = No. de ecuaciones): q Método analítico.

q Métodos numéricos. 5. Validación de la solución.

6. Utilizar la solución.

7. Desarrollar procedimientos de caracterización del sistema.

Puesto que el enfoque principal de este texto es el planteamiento mate-mático y la solución analítica de problemas valores iniciales y de frontera de ingeniería petrolera, los capítulos a continuación se limitan a desarrollar los primeros cuatro pasos del procedimiento anterior, considerando exclusiva-mente los métodos de solución analítica.

(42)

Capítulo 2

Capítulo 2

Principios de los fenómenos de transporte

Principios de los fenómenos de transporte

En este capítulo se presenta una breve introducción al campo de los fenó-menos de transporte en el que se revisan tres mecanismos principales: transporte de cantidad de movimiento ( ujo viscoso), transporte de calor (sólo conducción) y transporte de masa (difusión). El medio a través del cual se transportan estos fenómenos es un medio continuo. La nalidad de esta sección es presentar los conceptos de los mecanismos de transporte y las leyes fundamentales que rigen cada uno de los procesos, para garantizar, así, la comprensión cabal del lector necesaria para el desarrollo de las ecua-ciones de ujo en medios porosos de los capítulos subsecuentes. Por ejem-plo, para el desarrollo de la ecuación conocida como ecuación de difusivi-dad se requiere la ecuación de transporte de cantidifusivi-dad de movimiento, o bien, para la derivación de la ecuación de ujo másico de un trazador en un medio poroso se requiere la ecuación de continuidad y la de transporte de masa por difusión. Lo anterior es una muestra de que el entendimiento de los conceptos y principios básicos de las tres formas de transferencia es, de nitivamente, muy importante.

En este capítulo también se presentan los principios fundamentales de los mecanismos de transporte de cantidad de movimiento (momentum), calor y masa. En primer término, se revisan algunos conceptos fundamen-tales, como la de nición de uido, y se presenta una sucinta discusión sobre las tendencias moleculares y del medio continuo; luego se describe el estado de deformación de los uidos. Una vez revisados los conceptos fundamen-tales, se describen los mecanismos de transporte a nivel molecular de las tres formas de transferencia.

(43)

Capítulo 2 Capítulo 2

Objetivo Objetivo

Presentar los elementos preliminares de los mecanismos de transporte necesarios para comprender el desarrollo de las ecua-ciones que gobiernan el flujo de fluidos en yacimientos petroleros presentadas en los siguientes capítulos. Para alcanzar este objeti-vo, es necesario utilizar las ecuaciones de conservación, como la de continuidad y la de movimiento, entre otras. En este capítulo sólo se revisan los principios básicos de los tres tipos de transfe-rencia de manera resumida y se presenta una analogía entre ellas.

2.1 Conceptos fundamentales 2.1 Conceptos fundamentales

El contenido de este capítulo se enfoca en el movimiento de los uidos viscosos. La propiedad física que caracteriza la resistencia de un uido a

uir es la viscosidad y esta, a su vez, está de nida por la ley de Newton de la viscosidad, la cual será revisada más adelante. Partiendo de lo anterior, presentaremos primero la de nición de uido y, posteriormente, las dos tendencias de estudio de este libro: molecular y continuo.

Fluido. Es aquella sustancia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo; es decir, que uye. Existen dos tipos de uidos: los líquidos y los gases.

Figura 2.1 Deformación continua de un uido bajo la acción de un esfuerzo

2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo 2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo

El estudio de la transferencia de cantidad de movimiento atañe tanto a los uidos en movimiento como a las fuerzas responsables de este movi-miento. En este estudio existen dos formas de analizar los problemas:

t1

t2

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :