Aptitud Académica
Matemática
Humanidades
Ciencias Naturales
1
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Verano
Verano
uni
uni
2016
2016
Preguntas propuestas
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Geometría
Triángulos I
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico mostrado, a+b=250º. Halle x+y. A) 125º
B) 130º C) 145º D) 110º E) 95º
2. En el gráfico mostrado, AB=BC=CD. Halle a. A) 15º
B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º
3. Si los perímetros de las regiones equiláteras
ABC y CDE son 18 m y 6 m, halle el perímetro
de la región sombreada. A) 11 m A B C D EE B) 14 m C) 20 m D) 22 m E) 24 m
4. Los triángulos ABC y BDN son isósceles de bases AC y DN respectivamente. Halle x. A) 100º A B C D x N 130º 30º B) 105º C) 110º D) 115º E) 120º α β x y A B C D 2α α 165º
5. En el gráfico, AB=BC y BD=DE. Halle x.
A B C D E x 70º A) 70º B) 75º C) 80º D) 95º E) 100º
6. En el gráfico, AB=BC. Halle x. A) 65º
B) 70º C) 75º D) 80º E) 85º
7. Según el gráfico mostrado, halle x. 10º 10º 30º 3θα θ3α x A) 15º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º
8. Del gráfico mostrado, calcule x+y. A) 140º B) 160º C) 200º D) 220º E) 280º A B C x 60º45º 140º β β x y
Geometría
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NIVEL INTERMEDIO
9. En un triángulo, las medidas angulares interiores se encuentran en progresión aritmética. Calcule una de las medidas angulares mencionadas. A) 30º B) 45º C) 60º
D) 75º E) 120º
10. Si el triángulo ABC es isósceles de base AC, indique las proposiciones correctas.
A B C β α I. a < 90º ∨ a=90º ∨ a > 90º II. b < 90º III. b=90º IV. b > 90º V. 2b – a=180º
A) I, II y III B) I, IV y V C) II, III y V D) III, IV y V E) I, III y V
11. En la región exterior relativa a BC de un triángulo
ABC (AB=AC=5), se ubica T, tal que, BC=BT=12.
Si 2(m BCT ) – m BAC=90º, halle AT.
A) 7 B) 8 C) 13
D) 17 E) 20
12. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto de las siguientes pro-posiciones.
I. Todo triángulo isósceles siempre es acu-tángulo.
II. Todo triángulo equilátero es acutángulo. III. Si los lados de un triángulo miden 4, 3 y 6,
entonces, el triángulo es escaleno y acu-tángulo.
A) VVV B) VFF C) FVV
D) FVF E) FFF
13. En un triángulo isósceles, la longitud de los lados congruentes es 5. Halle la suma de los posibles valores enteros de la longitud de la base.
A) 10 B) 15 C) 25
D) 40 E) 45
14. En un triángulo escaleno el lado mayor mide 10. Halle el máximo valor entero del perímetro de la región que limita dicho triángulo. (Considere a los lados menores de longitudes enteras).
A) 30 B) 29 C) 28
D) 27 E) 26
NIVEL AVANZADO
15. ¿Cuántas regiones triangulares isósceles de perímetro igual a 16 y cuyos lados tienen longi-tudes enteras existen?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
16. En un triángulo ABC, m BAC=2(m ACB) y
AC > AB. Calcule el máximo valor entero de
la m ACB.
A) 46º B) 45º C) 44º
D) 40º E) 39º
17. En el gráfico, x+y+z < 360º, a < q y b < q. Halle el máximo valor entero de q.
A) 41º B) 42º C) 43º D) 44º E) 45º
18. En la región interior de un triángulo EVI se ubica el punto T, tal que EV=IT. Si m VET=20º y m ETI=2(m EVT)=120º, calcule m
m IVT VIT. A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 3 E) 2 β θ x y z α
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Geometría
Triángulos II
NIVEL BÁSICO
1. En un triángulo, el segmento que tiene por extremos, un vértice y el punto medio del lado opuesto se denomina A) mediana. B) bisectriz interior. C) bisectriz exterior. D) altura. E) mediatriz.
2. En un triángulo isósceles ABC de base AC y m ABC=80º. Calcule la medida del ángulo entre la altura relativa a AC y una de las bisectrices interiores congruentes.
A) 40º B) 45º C) 50º
D) 55º E) 65º
3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD, tal que, ABD es isósceles de base
AB. Si m ACB=30º, calcule m ADB.
A) 50º B) 55º C) 60º
D) 70º E) 80º
4. En un triángulo ABC, BD es una bisectriz interior, tal que, AB=BD=CD. Calcule m ABD. A) 24º B) 30º C) 32º
D) 36º E) 38º
5. En el gráfico, BD es bisectriz interior, BD=DC y el triángulo BDE es isósceles de base DE. Halle α β. A B C D E α β A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 3 E) 32 6. En el gráfico, m+n=60º, halle x. α α θ θ x m n A) 110º B) 120º C) 130º D) 140º E) 150º
7. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Si
AB=CM y m BMC=130º, halle m BAM.
A) 50º B) 55º C) 60º
D) 80º E) 30º
8. En el gráfico mostrado, AD y BE son bisectrices interiores del triángulo ABC. Halle x y
z + . A B C D E y x z A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 4 E) 2/3
Geometría
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NIVEL INTERMEDIO
9. En un triángulo ABC, AD y CE son bisectrices interiores, además, las bisectrices de los án-gulos ADC y AEC se intersecan en F, tal que m ABC=4(m DFE). Calcule m DFE. A) 20º B) 22º C) 22,5º D) 24,5º E) 25,5º
10. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior
BD, tal que, ABD es equilátero, CD=4 y la media-triz de AC interseca a BD en E. Calcule BE. A) 3 B) 2 C) 2 3
D) 3 E) 4
11. En el gráfico mostrado, CMN es isósceles de base MN, AB=NC, además, BM es una media-na. Si m ABC=80º, calcule m BMN. A) 20º
B) 25º C) 40º D) 50º E) 60º
12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH relativa a AC, y en los triángulos AHB y CHB se trazan las bisectrices interiores BM y BN, respectivamente. Si AB=8 y BC=15, halle MN.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
13. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz del ángulo BAC y la bisectriz del ángulo exterior en
C, tal que se intersecan en E. Si AE
interseca a
BC en D y EC=ED, halle m m ACB ABC. A) 1 B) 1/2 C) 2/3 D) 1/3 E) 2 A B C M N
14. En un triángulo ABC, AC=2(AB), la mediatriz de
AC interseca a AB
en P, tal que, m BPM=40º. Si M es punto medio de AC, calcule m ABM. A) 40º B) 45º C) 50º
D) 65º E) 70º
NIVEL AVANZADO
15. En un triángulo isósceles ABC de base AC, se tra-za la bisectriz exterior CD (D está en la prolon-gación de BA), tal que, m ACD=3(m ADC). Calcule m ADC.
A) 15º B) 16º C) 18º
D) 20º E) 24º
16. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz interior AD, las cuales se intersecan en E, tal que, el triángulo BDE es isósceles de base BE. Si m ABC=60º, calcule m AEH. A) 30º B) 35º C) 40º
D) 45º E) 50º
17. En un triángulo ABC, m ABC > 90º, se trazan las cevianas interiores BD y DE de los triángu-los ABC y BCD, respectivamente, tal que, triángu-los triángulos ABD, BDE y CDE son isósceles de bases AB, DE y CD, respectivamente. Calcule el máximo valor entero de la m ACB. A) 31º B) 32º C) 33º
D) 35º E) 36º
18. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AI y CV, se intersecan en T, tal que,
IT=6 y TV=7. Halle el máximo valor entero de IV.
A) 8 B) 9 C) 10
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Geometría
Congruencia de triángulos
NIVEL BÁSICO
1. Las regiones triangulares ABC y CMN son con-gruentes. Si AB=MN, calcule m ACM.
A B C M N 20º 20º 80º A) 20º B) 25º C) 40º D) 45º E) 50º
2. En el gráfico, los triángulos ABC y CDE son congruentes. Halle m BED.
A B C D E 80º A) 5º B) 10º C) 15º D) 20º E) 25º
3. En el gráfico, AB=5 y AC=8. Halle x.
A B C xx 120º 30º A) 63º B) 67º C) 77º D) 83º E) 87º
4. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC inter-seca a BC en D, tal que, AB=CD y m ACB=40º. Halle m BAC.
A) 40º B) 45º C) 50º
D) 60º E) 80º
5. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica I en BC, tal que, MI=3 (M es punto medio de AC) y AC=8. Si m BAC=m BIM, halle BI.
A) 12 B) 11 C) 10
D) 7 E) 5
6. En el gráfico, AB=BC, MN=CE y AN // BE. Halle x.
A B C E M N α α x A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
7. Si AB=AC, BM=MC, MN=5 y CE=6. Calcule x. A) 37º
B) 45º C) 53º D) 127º/2 E) 37º/2
8. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BM, tal que, AM=3(CM). Calcule m CBM.
A) 15º B) 16º C) 37º/2 D) 53º/2 E) 37º A B C E M N x
Geometría
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NIVEL INTERMEDIO
9. Las regiones sombreadas son congruentes. Si a+b=90º, AB=MN=3 y NP=4, calcule BM.
A B M N P θθ θθ αα β A) 3 B) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 5
10. En el gráfico mostrado, los triángulos ABC y MNP son equiláteros. Si AP=2 y BN=3, calcule NP. A) 5 B) 4 C) 2 2 D) 7 E) 6
11. En el gráfico mostrado, calcule BC
AB. A) 1 B) 2 C) 1 2 D) 3 E) 3
12. En un triángulo equilátero ABC, se trazan la altura BH, y la ceviana interior AN, las cuales se intersecan en P, tal que AP=NC, calcule m NAC. A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 50º A B C M N P A B C 2θ 2θ 90º90º––3θ3θ
13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana exterior BE, relativa a AC, tal que, m BEC=2(m BAC). Si AC=12, calcule BE.
A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 4 3
14. Si AM=MB y NC – AN=9, calcule BC. A) 3 B) 6 C) 9 D) 3 3 E) 9 2 NIVEL AVANZADO
15. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BN, y la mediatriz de BC interseca a CN en E, tal que,
AB=EN. Si ABN es equilátero, calcule m CBN.
A) 30º B) 37º C) 45º
D) 53º E) 60º
16. En un triángulo isósceles ABC de base AC, se traza la ceviana interior AD y la ceviana exte-rior AE, ( E esta en la prolongación de BC ) tal que, AD=5 y AE=6. Si la distancia de C hacia
AB es 3, calcule m DAE.
A) 87º B) 93º C) 97º D) 103º E) 113º
17. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana interior BI, tal que, m IBC=2(m BCI) y CI=2(AB)+AI. Calcule m ACB.
A) 5º B) 7º C) 8º
D) 10º E) 15º
18. En la región interior de un triángulo ABC se ubi-ca P, tal que, m PAC=2(m ACP)=2(m BAP) y AB=CP. Si m BPC=120º, calcule m ACP. A) 10º B) 15º C) 16º D) 20º E) 24º A B C M N α 2α
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Geometría
Cuadriláteros
NIVEL BÁSICO
1. En un trapezoide de ABCD, AB=BC=AD, ade-más, la mediatriz de CD pasa por el vértice A. Calcule m ABC.
A) 90º B) 106º C) 108º
D) 120º E) 60º
2. En un trapecio isósceles ABCD, AD//BC m ABC=110º y AC=AD. Calcule m BAC. A) 10º B) 15º C) 20º
D) 25º E) 30º
3. En un rectángulo cuyos lados miden 3 y 4, calcule la medida del ángulo entre sus diagonales.
A) 37º B) 53º C) 90º D) 106º E) 127º
4. En el gráfico mostrado, calcule x. α α β β x 80º 120º A) 10º B) 15º C) 20º D) 25º E) 30º
5. En el gráfico mostrado, ABCD es un trape-cio (AD // BC), AM=MB, CN=ND, AD=4(BC) y
MN=10. Halle la longitud del segmento cuyos
extremos son los puntos medios de AC y BD. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A B C D M N
6. En el gráfico, se muestra cuatro cuadrados, calcule el valor de x. A) 30º B) 37º C) 45º D) 60º E) 53º
7. En un trapecio ABCD, AB // CD, m ADC > 90º, su altura mide 3, AD=5 y AC=6. Calcule m CAD.
A) 7º B) 8º C) 12º
D) 14º E) 15º
8. Un rectángulo está formado por la unión de dos cuadrados. Calcule la medida del ángulo forma-do por las diagonales de dicho rectángulo. A) 90º B) 76º C) 74º
D) 60º E) 53º
NIVEL INTERMEDIO
9. En el gráfico mostrado, ABCD es un trapecio (AD // BC), además, AM=MB y AB=BC. Calcule a.
2α α A B C D M A) 7º B) 8º C) 10º D) 12º E) 15º
10. En un trapecio ABCD, M y N son los puntos medios de las diagonales AC y BD, tal que,
BCNM es un paralelogramo. Calcule BC AD.
A) 1/2 B) 2/3 C) 1/3
D) 3/4 E) 1/4
Geometría
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11. En el gráfico mostrado, ABCD es un rombo,
BD=6 y DE=1. Calcule m DAE. A B C D E 74º A) 7º B) 8º C) 14º D) 15º E) 37 2 º
12. Se muestra un cuadrado ABCD de centro O y un triángulo DEO que es equilátero. Calcule x.
A B C D E O x A) 82º B) 75º C) 74º D) 60º E) 53º
13. En el gráfico mostrado, ABCD es un trapecio isósceles y ACDE es un rectángulo, DE=4 y
DF=5. Calcule x. A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 127 2 º A B C D E F x
14. La figura mostrada está formada por 9 cuadra-dos congruentes, calcule m ABE.
A B E A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º NIVEL AVANZADO
15. En un cuadrado ABCD, se ubican M y N en
AB y AD, respectivamente, tal que, CMN es equilátero. Si O es el centro de ABCD y AB=4 u, calcule la distancia de O hacia CN.
A) 1 u B) 2 u C) 2 u D) 3 u E) 5 u
16. Sea ABCD un trapecio rectángulo, AD // BC,
CD > AB, la mediatriz de CD interseca a CD y AD en M y N, respectivamente, tal que,
DN=2(BM). Si m ADC=15º, calcule m AMC.
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
Geometría
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17. En un triángulo isósceles ABC de base AC, se inscribe un cuadrado MNPQ, tal que, M, N y
P están ubicados en AC, AB y BC,
respectiva-mente. Calcule la medida del ángulo entre AP y CN, si m ABC=37º.
A) 60º B) 74º C) 76º D) 127º E) 143º
18. En un trapezoide ABCD, BC=CD, m BCD=150º, m ADC=45º y AD=BC 2 1
(
+)
. Calcule m BAD. A) 46ºB) 47,5º C) 49º D) 50,5º E) 52,5º