Integrales de funciones especiales

    

 Integrales de funciones especiales 

Por: Sandra Elvia Pérez

En cálculo integral existen fórmulas de integración llamadas

directas

. Para su estudio se clasificaron en

dos partes:

1.

Integrales algebraicas:

las cuales ya revisaste en la actividad 1 del módulo 1 de este curso.

2.

Integrales especiales:

las cuales verás en esta lectura y para su estudio, a su vez, se

presentan en tres grupos:

Integrales de

funciones

exponenciales

Integrales de funciones

trigonométricas

Integrales de fracciones

racionales (especiales)

C

e

du

e

u

u

+

=

∫

∫

=

+

C

a

a

du

a

u u

ln

C

u

du

u

sen

=

−

+

∫

cos

cos u du

= sen u

!

+C

sec

2

_{u du}

_{= tan u}

!

+C

csc

2

u du

= !ctg u

"

+C

sec u tan u du

= sec u

!

+C

csc u cot u du

= !csc u

"

+C

tan u du

= !lncos u

"

+C = lnsec u +C

cot u du

= ln sen u

!

+C

sec u du

= ln(sec u

!

+ tan u)+C

csc u du

= ln(csc u

!

"cot u)+C = ln tan

u

2

+C

C

a

u

a

u

a

du

+

∫

=

+

−1 2 2

tan

1

du

a

2

!u

2

=

1

2a

ln

u

+ a

u

!a

"

+C

C

a

u

a

u

a

a

u

du

+

+

−

=

−

∫

2 2

₂

1

ln

C

a

u

sen

u

a

du

+

∫

=

−

−1 2 2

C

a

u

a

a

u

u

du

+

∫

=

−

−1 2 2

sec

1

C

a

u

u

a

u

du

+

±

+

=

±

∫

2 2

ln

2 2

2.1. Integrales de funciones exponenciales

Estas integrales utilizan las siguientes fórmulas:

C

e

du

e

u

u

+

=

∫

∫

=

+

C

a

a

du

a

u u

ln

A continuación se presentan algunos ejemplos de este tipo de integrales.

Ejemplo 1

Calcula la integral de

∫

6

e

4x

dx

Solución

En este caso, es conveniente observar que la integral está formada por el producto (multiplicación) de

una constante por una exponencial.

Recuerda que si una constante multiplica a una variable, ésta puede salir de la integral de esta forma:

∫

∫

6

e

4x

dx

=

6

e

4x

dx

Determina los valores de

u

y

du

:

dx

du

x

u

4

4

=

=

Observa que se necesita completar la integral con un 4, multiplicando dentro de la integral y un 4

dividiendo fuera de la integral.

Completando

∫

e

x

4

dx

4

6

4

Ahora que la integral está completa, se puede aplicar la fórmula

C

e

du

e

u

u

+

=

∫

C

e

dx

e

x x

+

=

∫

4

4

6

₄

4

4

6

Así:

C

e

dx

e

x x

+

=

∫

6

4

6

₄

4

Ejemplo 2

Calcula la integral de

dx

e

e

e

x x x

∫

⋅

3 7 2

En este caso, tienes la integral de esta operación

x

x x

e

e

e

3 7 2

⋅

y como no existe una integral de la

multiplicación y de la división, utiliza las reglas de las exponentes para simplificar la expresión antes de

aplicar la fórmula de la integral:

n m n m

_a

_a

a

+

=

⋅

n m n m

a

a

a

−

=

x x x x x x x x x x x

e

e

e

e

e

e

e

e

e

9 3 6 3 9 3 7 2 3 7 2

=

=

=

=

⋅

− +

Por lo tanto, la integral simplificada es:

∫

∫

⋅

dx

=

e

dx

e

e

e

x x x x 6 3 7 2

Ahora, la integral a resolver es

∫

e

dx

x 6

Donde

du

dx

x

u

6

6

=

=

Completando

C

e

dx

e

x x

+

=

∫

6

6

₆

1

6

6

1

Así:

C

e

dx

e

e

e

x x x x

+

=

⋅

∫

3 6 7 2

6

1

Ejemplo 3

Calcula la integral de

∫

dx

x 2

4

Observa la fórmula:

∫

=

a

+

C

a

du

a

u u

ln

Donde:

du

dx

x

u

a

2

2

4

=

=

=

Completando la integral

∫

dx

x

₂

4

2

1

2

Aplicas la fórmula

C

dx

x x

+













=

∫

4

2

₂

1

_ln

4

₄

2

1

2 2

Por lo tanto,

C

dx

x x

+

=

∫

4

₂

4

_ln

₄

2 2

Ejemplo 4

Calcula la integral de

xe

x

dx

x x

₆

₎

(

2 2 2

−

∫

Como la integral es una diferencia, esto te permite separar en dos integrales:

∫

∫

∫

(

xe

x2

−

x

6

2x2

)

dx

=

xe

x2

dx

−

x

6

2x2

dx

Resolviendo por separado:

∫

xe

dx

x2

∫

x

dx

x2 2

6

Donde

xdx

du

x

u

2

2

=

=

Completando

∫

e

x

2

xdx

2

1

2

Aplicando fórmula

C

e

xdx

e

x x

+

=

∫

2

2

₂

1

2

2

1

Donde

xdx

du

x

u

a

4

2

6

2

=

=

=

Completando

∫

x

6

x

4

dx

4

1

₂ 2

Aplicando fórmula

C

xdx

x x

+

















=

∫

6

4

₄

1

6

_ln

₆

4

1

₂ 2 2 2

=

Tabla 2. Solución por separado.

Uniendo los dos resultados, tienes que:

C

e

dx

x

dx

xe

dx

x

xe

x x x x x x

+

−

=

−

=

−

_∫

_∫

∫

(

6

)

6

₂

1

6

_ln

₆

2 2 2 2 2 2 _{2 2} 2

2.2 Integrales de funciones trigonométricas

Las fórmulas que involucran a las integrales trigonométricas son las siguientes:

sen u du

= !cos u

cos u du

= sen u

!

+C

sec

2

u du

= tan u

!

+C

csc

2

u du

= !cot u

"

+C

sec u tan u du

= sec u

!

+C

csc u ctg u du

= !csc u

"

+C

tan u du

= !lncos u

"

+C = lnsec u +C

ctg u du

= ln sen u

!

+C

sec u du

= ln(sec u

!

+ tan u)+C

csc u du

= ln(csc u

!

"cot u)+C = ln tan

u

2

+C

A continuación se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Calcula la integral de

∫

xsen

(

6

x

)

dx

2

Solución

Primero necesitas identificar la fórmula de acuerdo a la función trigonométrica, en este caso el seno, y

después identificar sus elementos.

La fórmula que vas a utilizar es

∫

sen

u

du

=

−

cos

u

+

C

Donde:

xdx

du

x

u

12

6

2

=

=

Completando y acomodando:

∫

∫

xsen

x

dx

=

sen

(

6

x

)

12

xdx

12

1

)

6

(

2 2

Aplica la fórmula:

(

x

)

C

xdx

x

sen

dx

x

xsen

=

_∫

=

−

+

∫

(

6

2

)

₁₂

1

(

6

2

)

12

₁₂

1

cos(

6

2

)

Reacomodas la respuesta:

C

x

dx

x

xsen

=

−

+

∫

(

6

)

cos(

₁₂

6

)

2 2

Ejemplo 2

Calcula la integral de

dx

x

x

x

∫

sec

⋅ tan

En un inicio pudieras pensar que es una integral muy complicada; sin embargo, lo que debes hacer es

buscar una integral que contenga las funciones trigonométricas que involucra la función. Si observas, ya

existe una fórmula de integración que involucra el producto de las dos funciones trigonométricas.

C

u

du

u

u

=

+

∫

sec

tan

sec

En esta integral, ¿qué función representa u?

Observa que:

x

dx

x

du

x

x

u

2

2

1

1₂ 2 1

=

=

=

=

−

Si la integral la acomodas

∫

⋅

x

dx

x

x tan

sec

, puedes observar que contiene casi todos los elementos

que la fórmula implica, solamente les falta completar con

2

1

dentro de la integral y fuera de la integral

con un

2

.

Completando:

∫

∫

⋅

=

⋅

⋅

x

dx

x

x

dx

x

x

x

2

tan

sec

2

tan

sec

Ahora se puede aplicar la fórmula de manera directa:

C

x

x

dx

x

x

dx

x

x

x

+

=

⋅

⋅

=

⋅

∫

∫

sec

tan

2

sec

tan

₂

2

sec

La solución a la integral es:

C

x

dx

x

x

x

+

=

⋅

∫

sec

tan

2

sec

Como puedes darte cuenta, al aplicar las fórmulas de

integración de funciones trigonométricas, es importante

que las tengas presentes para que puedas determinar si

existe una fórmula directa que te permita resolverla de

inmediato; también debes verificar que esté completa o si

tiene todos los elementos para poder completarla por

medio de un constante, que puede estar multiplicando o

dividiendo a la función.

2.3 Integrales de funciones racionales (especiales)

Las fórmulas que se utilizan son las siguientes:

C

a

u

a

u

a

du

+

∫

=

+

−1 2 2

tan

1

C

a

u

a

u

a

u

a

du

+

−

+

=

−

∫

2 2

₂

1

ln

C

a

u

a

u

a

a

u

du

+

+

−

=

−

∫

2 2

₂

1

ln

C

a

u

sen

u

a

du

+

∫

=

−

−1 2 2

C

a

u

a

a

u

u

du

+

∫

=

−

−1 2 2

sec

1

C

a

u

u

a

u

du

+

±

+

=

±

∫

2 2

ln

2 2

En este tipo de integrales debes tener especial cuidado en definir primero qué elementos tiene la

integral. A continuación, se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Calcula la integral de:

∫

_{25 x}

₊

2

dx

En este tipo de integrales tienes que definir cuál de las fórmulas cumple con las condiciones que tiene la

integral a realizar.

En este caso, la fórmula es

C

a

u

a

u

a

du

+

∫

=

+

−1 2 2

tan

1

Observa que en el denominador hay una suma de dos términos al cuadrado. En el caso de la suma, no

2

Identificando los elementos de la integral:

dx

du

x

u

a

x

u

a

=

=

=

=

=

=

5

25

25

2 2 2

Como puedes observar, la ecuación está completa, solamente falta sustituir los valores en la respuesta.

C

x

x

dx

+

=

+

−

∫

₂₅

2

₅

1

tan

1

₅

Ejemplo 2

Calcula la integral de

∫

_x

2

_{− 25}

dx

En este tipo de integrales, tienes que definir cuál de las fórmulas cumple con las condiciones que tiene

la integral a realizar.

En este caso, la fórmula es

C

a

u

a

u

a

a

u

du

+

+

−

=

−

∫

2 2

₂

1

ln

Identificando los elementos de la integral:

dx

du

x

u

a

x

u

a

=

=

=

=

=

=

5

25

25

2 2 2

Observa que los elementos de la integral son los mismos de la integral del ejemplo anterior; sin

embargo, este caso tiene un signo menos, por lo que es muy importante que identifiques cuál de los

términos elevado al cuadrado es el negativo para poder aplicar la fórmula adecuada.

Aplicando la fórmula:

C

x

x

x

dx

+

+

−

=

−

∫

2

₂₅

₁₀

1

ln

₅

5

En general, todas las integrales que se pueden resolver de forma directa o inmediata mediante la

aplicación de alguna fórmula o teorema de integración requieren:

• Identificar la fórmula a utilizar y, si todos los elementos coinciden, aplicar la fórmula.

• Identificar la fórmula a utilizar, si es necesario se completa la integral y se aplica la fórmula.

Referencias 

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

 

Bibilografía

 

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.