Gonz´alez del Campo, Ram´on, e-mail:[email protected], DSIC, UCM Garmendia, Luis, e-mail:[email protected], DISIA, UCM
RESUMEN
Los conjuntos difusos intervalo-valorados han sido ampliamente utilizados. En este art´ıculo mostramos su sem´antica, su estructura matem´atica, sus relaciones con otras extensiones de los conjuntos difusos y las conectivas. Tambi´en mostramos medidas de la entrop´ıa y de la especificidad de los conjuntos difusos valorados. Para finalizar indicamos las aplicaciones donde los conjuntos intervalo-valorados han tenido m´as ´exito.
Palabras claves:
Conjuntos difusos intervalo-valorados; negaci´on intervalo-valorada; t-norma valorada, t-conorma valorada; medida de entrop´ıa intervalo-valorada; especificidad intervalo-valorada.
1. INTRODUCCI ´
ON
Los conjuntos difusos (fuzzy sets, F Ss) que fueron introducidos por Zadeh en 1.965 [24] constituyeron una asombrosa herramienta para representar el conocimiento humano. Sin embargo, pronto, en 1.973, se vieron sus limitaciones en algunos problemas de toma de decisiones [25]. Con el prop´osito de superar estas limitaciones surgieron las generalizaciones de los conjuntos difusos.
La eficacia de conjuntos difusos depende de lo representativo que sea el valor de
la funci´on de pertenencia. En muchas ocasiones la elecci´on de este valor es prob-lem´atica. En estos casos puede ser apropiado representar el valor de pertenencia de un elemento a un conjunto mediante un intervalo de valores en lugar de un so-lo vaso-lor. A partir de estas ideas surgen so-los conjuntos difusos intervaso-lo-vaso-lorados (interval-valued fuzzy sets, IVF Ss). IVF Ss asignan un subintervalo del in-tervalo [0,1] a cada elemento del universo. IVF Ss permiten modelar tanto la vaguedad, carencia de nitidez de los l´ımites de un conjunto, como la imprecisi´on debida a la incertidumbre, carencia de informaci´on. En muchas aplicaciones IVFSs ofreciendo resultados menos espec´ıficos pero m´as realistas que FSs [16].
En la d´ecada de 1.970 aparecieron las primeras publicaciones sobre IVF Ss. Sambuc present´o el concepto de IVFSs con el nombre de F-fuzzy set [18] y Jahn empez´o a estudiarlos [14]. Grattan-Guinness defini´o la funci´on de pertenencia intervalo-valorada [11]. A lo largo de la decada de 1.980 a trav´es de los trabajos de Gorzalczany y Turksen [9, 21] la importancia de IVF Ss fue definitivamente establecida.
2. DEFINICIONES PREVIAS
Definition 1 [7] LI = (L, ≤L) es un ret´ıculo que satisface:
1. L = {[x1, x2] ∈ [0, 1]2 with x1≤ x2}.
2. [x1, x2] ≤L[y1, y2] if and only if x1≤ y1 and x2≤ y2
Adem´as, de forma trivial tenemos:
[x1, x2] <L[y1, y2] ⇔ x1< y1, x2≤ y2 or x1≤ y1, x2< y2
0L=L[0, 0] and 1L=L [1, 1] son el menor y el mayor elemento de L
respectiva-mente. LI es un ret´ıculo completo.
Definition 2 [6] Sea {[vi, wi]} un conjunto de intervalos en L. El supremo y el
´ınfimo son definidos de la siguiente forma:
1. InfL{[vi, wi]} ≡ [inf imun{vi}, inf imun{wi}]
2. SupL{[vi, wi]} ≡ [supremun{vi}, supremun{wi}]
Definition 3 [7] Un conjunto intervalo-valorado difusto A en un universo X es una funci´on:
A = {(a, [x1, x2]) | a ∈ X, [x1, x2] ∈ L}
Definition 4 [7] Sea X un universo A y B dos conjuntos intervalo-valorados. La iqualdad entre A y B se define: A =LB if and only if A(a) =L B(a) ∀a ∈ X.
Definition 5 [7] Sea X un universo y A y B dos conjuntos intervalo-valorados difusos. La inclusi´on de A en B se define: A ⊆L B si y solo si A(a) ≤L B(a)
∀a ∈ X.
3. RELACIONES CON OTRAS EXTENSIONES
El concepto de conjunto difuso de tipo 2 (type 2 fuzzy set ) fue introducido por Zadeh en 1.975 [26] como una generalizaci´on de los conjuntos difusos.
Dado un conjunto X, un conjunto difuso de tipo 2 A se define de la siguiente forma:
La funci´on µa(x) representa en grado en el que el valor x es el valor de
perte-nencia de a a A.
Sea µa(x) una funci´on de pertenencia de un conjunto de tipo 2. Sea µ(a) una
funci´on de pertenencia de un conjunto valorado. Un conjunto intervalo-valorado es un caso particular de conjunto difuso de tipo 2 que verifica:
µa(x) = cte, si x1≤ x ≤ x2; 0, en caso contrario. si µ(a) = [x1, x2]
Los conjuntos intuicionistas (Intuitionistic Fuzzy Sets IF Ss) son una ge-neralizaci´on de los conjuntos difusos muy utilizada. Fueron introducidos en 1.983 por Atanassov [1]. Un conjunto intuicionista A es una funci´on que asigna a cada elemento a de X un grado de pertenencia y un grado de no pertenencia:
A = {(a, µ(a), ν(a)) | a ∈ X, µ(a), ν(a) ∈ [0, 1]}
donde µ + ν ≤ 1. El valor π = 1 − µ − ν se interpreta como una medida de la incertidumbre.
Dado un conjunto difuso intervalo-valorado podemos obtener f´acilmente un conjunto intuicionista mediante la funci´on:
Ψ : IVF Ss → IF Ss
µ(a) = [µ(a), µ(a)] → [µ(a), 1 − µ(a)]
En [8] se demuestra que Ψ es un isomorfismo. Por lo tanto, muchas resulta-dos en IVF Ss tienen una expresi´on equivalente en IF Ss, y viceversa, aunque su sem´antica sea completamente distinta
4. CONECTIVAS
Definition 6 [7] En conjuntos intervalo-valorados una funci´on negaci´on N es una funci´on decreciente, N : L → L, que satisface:
1. N (0L) =L1L
2. N (1L) =L0L
Si se cumple N (N ([x1, x2])) =L [x1, x2] para todo [x1, x2] en L entonces N se
denomina negaci´on involutiva.
Definition 7 Una funci´on negaci´on para conjuntos intervalo-valorados N es una funci´on involutiva, N : L → L, que satisface:
1. N (0L) =L1L
2. N (1L) =L0L
Example 1 Sea N la funci´on involutiva definida por la funci´on: N : L → L
N ([x1, x2]) =L[1 − x2, 1 − x1]
Entonces N es un operador de negaci´on para conjuntos intervalo-valorados. Es trivial probar que se cumple: N (0L) =L 1L, N (1L) =L0Land N (N ([x1, x2])) =L
[x1, x2].
Definition 8 [7] Una t-norma generalizada T es una funci´on estrictamente creciente, sim´etrica y asociativa, T : L2 → L, que verifica: T (1
L, [x1, x2]) =L
[x1, x2] for all [x1, x2] in L.
Es f´acil probar:
T (SupL{[vi, wi]}, [y1, y2]) ≥LSupL{T ([vi, wi], [y1, y2])}
T (InfL{[vi, wi]}, [y1, y2]) ≤LInfL{T ([vi, wi], [y1, y2])}
Debido a la asociatividad T la conjunci´on de tres o mas intervalos puede ser inductivamente definida como:
T (a, T (b, c)) =LT (T (a, b), c) =La 4 b 4 c where 4 =LT .
donde a =L[a1, a2], b =L[b1, b2] y c =L[c1, c2].
T ([x1, x2], [y1, y2]) y T ([x1, x2], [y1, y2]) representan el menor y mayor valor
respectivamente de T ([x1, x2], [y1, y2]).
Definition 9 [2] Sea {xi} in [0, 1]. Una t-norma generalizada T en ([0, 1], ≤)
es continua por la izquierda si satisface:
T (Sup xi, y) = Sup T (xi, y)
La continuidad por la derecha puede ser definida de forma similar. Esta propiedad tambi´en es conocida como sup-preservancia.
————————————————————————————————— 326 Jornadas Internacionales de Did´actica de las Matem´aticas en Ingenier´ıa
Definition 10 [7] Una t-norma generalizada T es t-representable en LI si
ex-isten dos t-normas: T1 y T2 (T1, T2, en ([0,1],≤)) que verifica:
T ([x1, x2], [y1, y2]) =L[T1(x1, y1), T2(x2, y2)]
donde T1(v, w) ≤ T2(v, w) ∀v, w ∈ [0, 1].
Sea x =L[x1, x2] y y =L[y1, y2] dos intervalos en L:
Example 2 T =L [min(x1, y1), min(x2, y2)] es t-representable en ([0,1],≤).
Hay que resaltar que min es la mayor t-norm.
Example 3 La siguiente t-norma generalizada T es t-representable: T ([x1, x2], [y1, y2]) =L[x1∗ y1, x2∗ y2]
Example 4 Existen dos generalizaciones de la t-norma de Lukasiewicz [6]: Tw([x1, x2], [y1, y2]) =L
[max(0, x1+ y1− 1), max(0, x2+ y2− 1)]
TW([x1, x2], [y1, y2]) =L
[max(0, x1+ y1− 1), max(0, x1+ y2− 1, x2+ y1− 1)]
Tw es t-representable pero TW no.
Definition 11 [7] Una t-conorm generalizada S es un operador creciente, com-mutativo y asociativo S : L2 → L, que satisface: S(0
L, [x1, x2]) =L [x1, x2] y
S(1L, [x1, x2]) =L1L.
Debido a la asociatividad de S es posible escribir:
Por ejemplo, S = SupL es una t-conorma generalizada.
Consideremos las siguientes definiciones.
Definition 12 Sea {[vi, wi]} en L. Una t-norma generalizada T es continua
por la izquierda si y solo si:
T (SupL{[vi, wi]}, [y1, y2]) =LSupL{T ([vi, wi], [y1, y2])}
La continuidad por la derecha puede ser definida de forma similar.
Definition 13 Dada una t-norma generalizada T y una negaci´on generalizada N , el operador:
T∗
N =LN (T (N ([x1, x2]), N ([y1, y2]))
es una t-conorma geralizada llamada t-conorma dual de T con respecto a N . Una t-norma, una negacion y la t-conorma dual de T con respecto a N es lla-mada tripleta de Morgan.
5. ALGUNAS APLICACIONES
El razonamiento aproximado consiste en obtener una conclusi´on difusa a partir de un cojunto de premisas difusas.
La generalizaci´on de la regla de inferencia del modus ponens mediante IVF Ss ha sido ampliamente estudiada, ver [9, 7, 4].
En el procesamiento de im´agenes IVF Ss han tenido un ´exito considerable. Uno de los principales retos del procesamiento de im´agenes consiste en detectar las siluetas de los objetos. En [3] podemos ver c´omo se utilizan IVF Ss para afrontar este problema.
IVF Ss han sido utilizado en programaci´on lineal difusa [5, 12]; en econom´ıa [20, 23]; en medicina [18, 17]; en rob´otica [15, 13, 22]; en teor´ıa de la posibilidad [7] y en control [10, 19].
Referencias
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