Solucionario Vallejo zambrano 1

Introducción

La siguiente obra es una ayuda para cualquier estudiante del nivel medio,

superior ó nivel universitario que brinda apoyo de guía en los ejercicios

propuestos por el libro “FISICA VECTORIAL 1” de los autores

Vallejo-Zambrano.

No hay explicaciones detalladas sobre los problemas, solo se sigue el camino

de la razón y lógica para llegar a la solución es por eso que se pide al

estudiante tener conocimientos básicos de álgebra, trigonometría y física

vectorial.

Las dudas o sugerencias serán aceptadas en la dirección que aparece a pie de

página para poder conseguir un mejor entendimiento si es que le hace falta a la

obra expuesta.

Se considera esfuerzo al estudiante para poder desarrollar la capacidad del

razonamiento matemático.

ÍNDICE EJERCICIO Nº 3 ... 4 EJERCICIO Nº 4 ... 16 EJERCICIONº5 ... 38 EJERCICIO Nº6 ... 59 EJERCICIO Nº 7 ... 66 EJERCICIO Nº8 ... 81 EJERCICIO Nº 9 ... 100 EJERCICIO Nº10 ... 106 EJERCICIO Nº11 ... 115 EJERCICIO Nº12 ... 120 EJERCICIO Nº13 ... 128 EJERCICIO Nº14 ... 155 EJERCICIO Nº 15 ... 162

EJERCICIO Nº 3

1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores: a) A



15i20j



m SOLUCIÓN:





A = 15, - 20 m b) B = 130 N, 125º





SOLUCIÓN: x x x B = B cos B = 130 Ncos125º B = -74, 56 N  _y y y B = B sen B = 130 Nsen125º B = 106, 49 N 









x y B = B , B B = -74,56;106, 49 N c) C = 37 cm, N37º E





x x x B = B sen B = 37 cm sen 37º B = 22, 27 cm  _y y y B = B cos B = 37 cmcos 37º B = 29, 55 cm 









x y B = B , B B = 22, 27; 29,55 cm d) D = 25 kgf -0, 6 i- 0,8 j





SOLUCIÓN:









D = 25 kgf -0, 6 i- 0,8 j D = -15 i- 20 j kgf





D = -15, - 20 kgf

2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores: a) A = -14 i+ 8 j m





SOLUCIÓN:



2 2



A = 14 + 8 A = 16,12 m 1 8 tan 14 8 tan 14 29, 74º         _{ }    180º 180º 29, 74 150, 26º         





A = 16,12 m; 150, 26º b) B = 87, 91 N





SOLUCIÓN:



2 2



B = 87 + 91 B = 125, 90 N 1 91 tan 87 91 tan 87 46, 29º         _{ }   





B = 125, 90 N; 46, 29º

c) C = 45 kgf 0, 707 i- 0, 707 j





SOLUCIÓN: 1 1 1 1 0, 707 tan 0, 707 0, 707 tan 0, 707 45º         _{ }    1 270º 270º 45º 315º         





C = 45 kgf; 315º d) D = 22 N,S28º O





SOLUCIÓN: 270º 270º 28º 242º          D = 22 N, 242º





3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores: a) A = 52, -25 N





SOLUCIÓN: 2 2 A = 52 + 25 A = 57, 7 N 1 52 tan 25 52 tan 25 64,32º         _{ }   





A = 57, 7 N; S64, 32º E b) B = 47 N, 245º





270º 245º 25º      B = 47 N, S 25º O





SOLUCIÓN: c) C = -32 im+ 21 jm SOLUCIÓN: 2 2 C = 32 + 21 C = 38, 28 m 1 32 tan 21 32 tan 21 56, 73º         _{ }   





C = 38, 28 m; N 56, 73O d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j





SOLUCIÓN: 1 0, 5 tan 0,866 0, 5 tan 0,866 30º         _{ }   





D = 35 cm; N 30º E

4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores: a) A = 44 m, 340º





SOLUCIÓN: x x x A = A cos A = 44 mcos 340º A = 41,35 m  _y y y A = A sen A = 44 msen 340º A = 15, 05 m  





A = 41,35 i-15, 05 j m









A A A A = A 41,35 i-15, 05 j m = 44 m = 0,94 i 0,34 j    





A = 44 m 0,94 i- 0,34 j b) B = 25km, S14º O





SOLUCIÓN: 270º 14º 284º      x x x B = B cos B = 25 km cos 284º B = 6, 05 km  y y y B = A sen B = 25 km sen 284º B = 24, 26 km  





A = 6, 05 i- 24, 26 j km









B B B B = B 6, 05 i- 24, 26 j km = 25 km = 0, 24 i 0,97 j    





B = 25 km 0, 242 i- 0,97 j c) C = -21, 45 N





SOLUCIÓN: 2 2 C 21 45 C 49, 66º N   









C C C C C -21 i+ 45 j N 49, 66 N -0, 42 i+ 0, 90 j      





C49, 66 N -0, 42 i+ 0,90 j d) D = 17 i+ 9 j kgf





SOLUCIÓN: 2 2 D = 17 9 D = 19, 24 kgf 









D D D D D 17 i+ 9 j kgf 19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j      





D 19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j

5. Expresar el vector R = -13, -27 m en:





a) Coordenadas polares

b) Función de los vectores base c) Coordenadas geográficas

d) Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN:





R = -13, -27 m a)

2 2 R = 13 + 27 R = 29, 97 m 1 1 1 1 27 tan 13 27 tan 13 64, 29º         _{ }    64, 29º 180º 244, 29º     





R = 29, 97 m; 244, 29º b)





R = -13 i- 27 j m c) 270º 244, 29º 25, 71º     





R = 29, 97 m; S 25, 71º O d)









R R R R R -13 i- 27 j m 29, 97 m -0, 43 i- 0, 9 j       R = 29,97 m -0, 43 i- 0,9 j





6. Expresar el vector V = 200 km, 318º en :





a) Coordenadas geográficas b) Coordenadas rectangulares c) Función de los vectores base d) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:





V = 200 km, 318º a) 318º 270º 48º      V = 200 km, S 48º E





b) x x x V = V cos 318º V = 200 kmcos 318º V = 148, 63km y y y V = V sen 318º V = 200 kmsen 318º V = -133,83 km





V = 148, 63; -133,83 km c)





V = 148, 63 i-133,83 j km d)









V V V V V 148, 63 i-133,83 j km 200 km 0, 743 i- 0, 669 j       V = 200 km 0, 743 i- 0, 669 j





7. Expresar el vector K = 20 N, N 47º O en:





a) Coordenadas polares

b) Coordenadas rectangulares c) Función de su modulo y unitario d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN: a) 90º 47º 137º      K = 20 N;137º





b) x x x K = K cos K = 20 Ncos137º K = -14, 63 N  _y y y K = K sen K = 20 Nsen137º K = 13, 64 N 





K = -14, 63; 13, 64 N

c)









K K K K K -14, 63 i 13, 64 j N 20 N 0, 73 i 0, 68 j          K20 N



0, 73 i 0, 68 j



d)





K = -14, 63 i 13, 64 j N

8. Expresar el vector L = 147 cm mi- nj





; Si m = 3n , en: a) Coordenadas geográficas

b) Coordenadas polares c) Coordenadas rectangulares d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:









 





L L 2 2 2 2 m i- nj m 3 n 3 n i- nj 1 3 n n 9 n n 1 10 n 1 1 n 10 n 0, 316            

















L L L L mi- nj m 3n 3n i- nj 3 0,316 i- 0,316 j 0,948 i- 0,316 j           a)

1 0, 948 tan 0, 316 0, 948 tan 0, 316 71, 57º         _{ }   





L 147 cm; S71, 57º O b) 270º 71, 57º 341, 57º      L



147 cm; 341, 57º



c)









L = 147 cm 0, 948; -0, 316 L = 139, 36; -19, 99 cm d)





L = 139,36 i-19,99 j cm

9. Expresar el vector H = -29 i+ 35 j m s





en: a) Coordenadas rectangulares

b) Función de su modulo y unitario c) Coordenadas polares d) Coordenadas geográficas SOLUCIÓN: a)





H = -29; 35 m s b) 2 2 H 29 35 H 45, 45 m/ s   









H H H H H -29 i+ 35 j m s = 45, 45 m s = 0, 64 i+ 0, 77 j     





H45, 45 m/ s 0, 64 i+ 0, 77 j c) 1 0, 64 tan 0, 77 0, 64 tan 0, 77 39, 73º         _{ }    90º 39, 73º 129, 73     





H 45, 45 m/ s; 129, 73º d)





H 45, 45 m/ s; N 39, 73º O

10. Expresar el vector E = 9 i+12 j m s





2 en: a) Coordenadas rectangulares

b) Coordenadas polares c) Coordenadas geográficas

d) Función de su modulo y unitario SOLUCIÓN: a)





2 E = 9; 12 m s b) 2 2 2 E = 9 +12 E = 15 m/ s 1 12 tan 9 12 tan 9 53,13º         _{ }   



2



E = 15m/ s ; 53,13º c)

90º 53,13º 36,87º     





2 E = 15m/ s ; N36,87º E d)









E 2 E 2 E E E 9 i+12 j m s 15 m s 0, 6 i+ 0,8 j      





2 E = 15 m/ s 0, 6 i+ 0,8 j

11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores: a) A = 65km/ h, 121º





SOLUCIÓN: x x x A = A cos A = 65 km/ hcos121º A = 33, 48 km/ h   y y y A = A sen A = 65 km/ hsen121º A = 55, 72 km/ h 





A = -33, 48 i+ 55, 72 j km/ h b) B = 70 N, NE





SOLUCIÓN: x x x B = B cos B = 70 Ncos 45º B = 49,5 N  B = 49,5 i 49,5 j N







c) C = 120 km 0,873 i- 0, 488 j





SOLUCIÓN:





C = 104, 76 i- 58,56 j km d) D = -13, 40 N





SOLUCIÓN:





D = -13 i 40 j N EJERCICIO Nº 4

1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar: a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G

sean perpendiculares

d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G

SOLUCIÓN: a)













F = 40 i+ 0 j m G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+ 0 j m 2 R = 70 = 70 m b)













F = 40 i+ 0 j m G = -30 i+ 0 j m R = 10 i+ 0 j m 2 R = 10 = 10 m c)













F = 40 i+ 0 j m G = 0 i+ 30 j m R = 40 i+ 30 j m 2 2 R = 40 30 = 50 m

d)













F = 40 i+ 0 j m -G = 30 i+ 0 j m R = 70 i+ 0 j m









2 F = 40 i+ 0 j m G = -30 i+ 0 j m R = 70 = 70 m

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar: a) El ángulo formado por los vectores

b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G

c) El vector unitario en la dirección de



F - 2G



SOLUCIÓN: a) 1 1 F • G cos F G 4× -6 + 6× -1 cos 52 37 133,15º            _       _{ }     2 2 F = 4 + 6 F 7, 21 2 G = 6 +1 G = 6, 08 b)





2 4 6 Á rea = = -4 + 36 = 32 u -6 -1 c) F = 4 i+ 6 j G = -6 i- j 2G = -12 i- 2 j







 











F - 2G = 4 i+ 6 j - -12 i- 2 j F - 2G = 16 i+ 8 j





F 2G _{2 2} F 2G 16 i+ 8 j 16 8 0,89 i 0, 45 j        

3. Dado el vector Q = 3, - 5 m , encontrar:





a) Un vector P perpendicular a Q, de modo que su módulo sea de 17m y la coordenada Y sea positiva

b) El área del paralelogramo formado por Q y P c) La proyección de Q sobre P SOLUCIÓN: a)





Q = 3, - 5 m









x y x y x y Q • P = 0 Q • P = 3× P - 5× P 3× P - 5× P = 0 3× P 5× P













P _{2 2} P P = 5 i+ 3 j m 5 i+ 3 j m 5 3 0,86 i+ 0, 51 j     









P = 17 m 0,86 i+ 0, 51 j P = 14, 62 i 8, 67 j m b)





2 3 -5 Área = = 26, 01+ 73,1 = 99,11m 14, 62 8, 67 c)

Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero 4. Dados los vectores P = 12 i- 8 j m s





Q = 15m s, 120º , encontrar:





a) P - Q

b) Q + P

c) 3 / 2P

d) Q • P

e) El ángulo formado entre Q y P SOLUCIÓN:





x x x Q = Q cos Q = 15 m/ scos120º Q = -7, 5 m/ s  _y y y Q = Q sen Q = 15 m/ s sen120º Q = 12, 99 m/ s  Q = -7,5 i+12,99 j m/ s





a)













P = 12 i - 8 j m s - Q = 7, 5 i-12, 99 j m/ s P - Q 19, 5 i- 20, 99 j m/ s b)













Q = -7,5 i 12,99 j m/ s P = 12 i - 8 j m s Q P 4,5 i 4,99 j m/ s      c)









3 3 P = 12 i- 8 j m s 2 2 3 P = 18 i-12 j m s 2 d)





Q • P = -7,5×12 +12,99×-8 m/ s Q • P = -193,92 m/ s e)













-1 2 2 -7, 5×12 +12, 99× -8 = cos 15 m/ s 12 + 8 = 93, 56º             f)





12 -8 P×Q = = 155,88 + 60 k = 215,88k -7,5 12,99

a) M + N

b) N - M

c) -2N

d) N • M

e) La proyección de N sobre M

f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores SOLUCIÓN: a) x x x N = N cos N = 41mcos 213º N = -34,39 m  _y y y N = N sen N = 41msen 213º N = -22, 33 m 





N = -34,39 i- 22,33 j m













M = 37 i + 25 j m N = -34, 39 i- 22, 33 j m M + N = 2, 61 i+ 2, 67 j m b)













N = -34,39 i- 22,33 j m - M = - 37 i - 25 j m N - M = - 71,39 i- 47,33 j m c)









-2N = -2 -34, 39 i- 22, 33 j m -2N = 68, 78 i+ 44, 66 j m d)





N • M = -34,39×37 - 22,33× 25 N • M = -1830,68 e)













M M M _{2 2 2 2} M N • M N = × M 37 i+ 25 j m -34, 39×37 - 22, 33× 25 N = × 37 + 25 37 + 25 N = -33, 97 i- 22, 95 j m          2 2 M M N = 33, 97 + 22, 95 N = 40, 99 m f)





2 37 25 Área = = -826, 21+ 934, 75 = 33,54 m -34,39 -22,33

6. Dados los vectores E = 15 N mi+ 0, 48 j





; I = 21N, SE y





F = 12 N, 312º ,





hallar:

a) E + I + F

b) 2 / 3I - 3E + 5 / 2F

c) 2 / 5 F• E

 

d)



3I × 2F



e) La proyección de E sobre el vector resultante de

 

I + F

f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E

SOLUCIÓN:





E = 15 N mi+ 0, 48 j I = 21N, SE







2



m = 1- 0, 48 m = 0,88 270º 45º 315º     









E = 15 N 0,88 i+ 0, 48 j E = 13, 2 i+ 7, 2 j  x x x I = I cos I = 21Ncos 315º I = 14,85  _y y y I = I sen I = 21Nsen 315º I = -14,85 





I = 14,85 i-14,85 j N





F = 12 N, 312º x x x F = F cos F = 12 Ncos 312º F = 8, 03  y y y F = F sen F = 12 Nsen 312º F = -15, 60 





F = 8, 03 i-15, 60 j N a)

















E = 13, 2 i+ 7, 2 j N I = 14,85 i-14,85 j N F = 8, 03 i-15, 60 j N E + I + F 36, 08 i- 23, 25 j N b)









2 2 / 3I = 14,85 i-14,85 j N 3 2 / 3I = 9, 9 i- 9, 9 j N









-3E = -3 13, 2 i+ 7, 2 j N -3E = -39, 6 i- 21, 6 j N









5 5 / 2F = 8, 03 i-15, 60 j N 2 5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N

















2 / 3I = 9, 9 i- 9, 9 j N - 3E = -39, 6 i- 21, 6 j N 5 / 2F = 20, 08 i- 39 j N 2 / 3I - 3E + 5 / 2F = -9, 62 i- 70, 5 j N c)

 

2





2 / 5 F • E = 8, 03×13, 2 -15, 60× 7, 2 5 F • E = -2,53 d)









3I = 3 14,85 i-14,85 j N 3I = 44, 55 i- 44, 45 j N









2F = 2 8, 03 i-15, 60 j N 2F = 16, 06 i- 31, 2 j N





44,55 -44,55 3I× 2F = k = -1389,96 + 715, 47 k = -674, 49 k 16, 06 -31, 2

e) La proyección de E sobre el vector resultante de

 

I + F













I = 14,85 i-14,85 j N F = 8, 03 i-15, 60 j N I + F 22,88 i- 30, 45 j N













I+F I F I+F _{2 2 2 2} I+F E • I F E = × I F 22,88 i- 30, 45 j 13, 2× 22,88 7, 2× 30, 45 E = × 22,88 + 30, 45 22,88 + 30, 45 E = 1, 30 i-1, 73 j m _       _{ }     2 2 I+F I+F E = 1, 30 1, 73 E = 2,16  f) 1 8, 03 13, 2 15, 60 7, 2 cos 15 12 92, 01º          _{ }    

7. Dados los vectores A = 31m s 0, 2 i+ mj





; B = 43m s, 172º y









C = 55, -12 m s , hallar:

a) A - B + C

c) El área del paralelogramo formado por 2Ay 2C 3 d) La proyección de



A + B



sobre C e)



A × C + A × B

 



f) A • B×C





SOLUCIÓN:





A = 31m s 0, 2 i+ mj B = 43m s, 172º





 

2 m = 1- 0, 2 m = 0,98 x x x B = B cos B = 43m/ scos172º B = -41, 59  _y y y B = B sen B = 43 m/ ssen172º B = 5, 98 









A = 31m s 0, 2 i+ 0, 98 j A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s  B = -41, 59 i+ 5, 98 j m/ s









C = 55 i-12 j m s a)

















A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s - B = 41, 59 i- 5, 98 j m/ s C = 55 i -12 j m s A - B + C 102, 79 i 12, 4 j m s b) 1 2 A + B - 2C









1 1 / 2A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s 2 1 / 2A = 3,1 i+15,19 j m s









-2C = -2 55 i-12 j m s -2C = -110 i+ 24 j m s

















1 / 2A = 3,1 i+15,19 j m s B = -41, 59 i+ 5, 98 j m/ s - 2C = -110 i+ 24 j m s 1 2 A + B - 2C -148, 49 i+ 45,17 j m s c)









2A = 2 6, 2 i+ 30, 38 j m s 2A = 12, 4 i+ 60, 76 j m s









2 2 / 3C = 55 i-12 j m s 3 2 / 3C = 36, 66 i- 8 j m s 12, 4 60, 76 Área = = -99, 2 - 934, 75 = 2326, 66 36, 66 -8 d) La proyección de



A + B



sobre C













A = 6, 2 i+ 30, 38 j m s B = -41, 59 i+ 5, 98 j m/ s A + B = -35, 39 i+ 36, 36 j m/ s





C = 55 i-12 j m s







 















C C C 2 2 2 2 C A+ B• C A+ B = × C 55 i-12 j -35, 39×55 + 36, 36× -12 A+ B = × 55 +12 55 +12 A+ B = -41, 35 i+ 9, 02 j         









2 2 C C A+ B = 41,35 9, 02 A+ B = 42,32  e)





6, 2 30,38 A×C = = -74, 4 -1670,9 k = -1745,3k 55 -12





6, 2 30,38 A× B = = -37, 08 +1263,5 k = 1226, 42 k -41,59 5,98



 





 



A × C + A × B = -1745, 3 k+1226, 42 k A × C + A × B = -518,88 k f)

B× C es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces





A • B×C 0

8. Tomando en consideración los vectores R = 20 m, N 25º O ;





S = 15 i+ 9 j m ;









T = 30 m, 260º y U = 17 m 0,5 i- 0,866 j , hallar:





a) 3 4 S - 2R + U

 

b) 5U -1 2 T + R - 2S c)

   

R •S + T • U d)



T × U + R ×S

  

e)

   

3R • 2 T f) La proyección de



R + S sobre



 

T - U

g) El área del paralelogramo formado por

 

R - T y



S + U



SOLUCIÓN:





R = 20 m, N 25º O T = 30 m, 260º





90º 25º 115º     

x x x R = R cos R = 20 mcos115º R = -8, 45 m  _y y y R = R sen R = 20 msen115º R = 18,13 m  _x x x T = T cos T = 30 mcos 260º T = -5, 21m  y y y T = T sen T = 30 msen 260º T = -29, 54 m 





R = -8, 45 i+18,13 j m T = -5, 21 i- 29,54 j m













U = 17 m 0,5 i- 0,866 j U 8,5 i-14, 72 j m a)









3 3 / 4S = 15 i+ 9 j m 4 3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m









-2R = -2 -8, 45 i+18,13 j m -2R = 16,9 i- 36, 26 j m

















3 / 4S = 11, 25 i+ 6, 75 j m - 2R = 16, 9 i- 36, 26 j m U 8, 5 i-14, 72 j m 3 4S - 2R + U 36, 65 i- 44, 23 j m   b)









5U 5 8, 5 i-14, 72 j m 5U 42, 5 i- 73, 6 j m  









1 -1 / 2T = - -5, 21 i- 29, 54 j m 2 -1 / 2T = 2, 6 i+14, 77 j m









-2S = -2 15 i+ 9 j m -2S = -30 i-18 j m





















5U = 42, 5 i- 73, 6 j m -1 / 2T = 2, 6 i+14, 77 j m R = -8, 45 i+18,13 j m - 2S = - 30 i -18 j m 5U -1 2 T + R - 2S = 6, 65 i- 58, 7 j m c)





R •S = -8, 45×15 +18,13×9 R •S = 36, 42





T • U = -5, 21×8,5 - 29,54×-14,72 T • U = 390,54

   

   

R •S + T • U = 36, 42 + 390,54 R •S + T • U = 426,96 d)





-8, 45 18,13 R ×S = = -76, 05 - 271,95 k = -348k 15 9



  



  

T × U + R ×S = 327, 78 k- 348 k T × U + R ×S = -20, 22 k e)









3R = 3 -8, 45 i+18,13 j m 3R = -25,35 i+ 54,39 j m









2T = 2 -5, 21 i- 29, 54 j m 2T = -10, 42 i- 59, 08 j m





-5, 21 -29,54 T× U = = 76, 69 + 251, 09 k = 327, 78k 8,5 -14, 72

   





   

3R • 2 T = -25,35×-10, 42 + 54,39×-59,08 3R • 2 T = -2949, 21 f)













R = -8, 45 i+18,13 j m S = 15 i+ 9 j m R + S 6,55 i+ 27,13 j m













T = -5, 21 i- 29,54 j m - U = -8,5 i+14, 72 j m T - U = -13, 71 i-14,82 j m

























T-U T-U T-U _{2 2 2 2} T-U R+ S• T- U R+ S = × T- U -13, 71 i-14,82 j 6, 55× -13, 71+ 27,13× -14,82 R+ S = × 13, 71 +14,82 13, 71 +14,82 R+ S = 16, 54 i+17,88 j         









2 2 T-U T-U R+ S = 16,54 17,88 R+ S = 24,36  g)













R = -8, 45 i+18,13 j m - T = 5, 21 i+ 29, 54 j m R - T = -3, 24 i+ 47, 67 j m













S = 15 i+ 9 j m U 8, 5 i-14, 72 j m S + U 23, 5 i- 5, 72 j m   3, 24 47, 67 Área = = 18,53-1120, 24 = 1101, 71 23,5 -5, 72 

9. Considérese los vectores A = 46cm mi- 0, 23 j ;





B = 81cm, 155º ,









C = 57cm, N 21º E y D = -32 i- 29 j m , determinar:





a) 1 2 A + 2C - B

b) 2D - 3A +1 3C - 2 5 B c)



3B + 2 3A • -C -3 4D

 



d)



D - 3C × 3 2 B + 4A

 



e)

   

B• A + C• D f)



2A× C + 5B× D

 



g) El ángulo formado por



D - A y





B + C



SOLUCIÓN:





A = 46cm mi- 0, 23 j B = 81cm, 155º







2



m = 1- 0, 48 m = 0,88 x x x B = B cos B = 81cmcos155º B = -73, 41cm  _y y y B = B sen B = 81cmsen155º B = 34, 23cm 









A = 46 cm 0,88 i- 0, 23 j A = 40, 48 i-10,58 j  B = -73, 41 i+ 34, 23 j cm









C = 57cm, N 21º E 90º 21º 69º      x x x C = C cos C = 57 cmcos 69º C = 20, 43cm  _y y y C = C sen C = 57 cmsen 69º C = 53, 21cm 





C = 20, 43 i+ 53, 21 j cm a)









1 1/ 2A = 40, 48 i-10, 58 j cm 2 1/ 2A = 20, 24 i- 5, 29 j cm









2C = 2 20, 43 i+ 53, 21 j cm 2C = 40,86 i+106, 42 j cm





B = -73, 41 i+ 34, 23 j cm

















1 / 2A = 20, 24 i- 5, 29 j 2C = 40,86 i+106, 42 j - B = 73, 41 i- 34, 23 j 1 2 A + 2C - B = 134, 51 i+ 66,89 j b)









2D = 2 -32 i- 29 j 2D = -64 i- 58 j









-3A = -3 40, 48 i-10, 58 j -3A = -121, 44 i+ 31, 74 j









1 1 / 3C = 20, 43 i+ 53, 21 j 3 1 / 3C = 6,81 i+17, 73 j









2 -2 / 5B = - -73, 41 i+ 34, 23 j 5 -2 / 5B = 29, 36 i-13, 69 j





















2D = -64 i- 58 j - 3A = -121, 44 i+ 31, 74 j 1 / 3C = 6,81 i+17, 73 j - 2 / 5B = 29, 36 i-13, 69 j 2D - 3A +1 3C - 2 5 B 149, 27 i- 22, 22 j c)









3B = 3 -73, 41 i+ 34, 23 j 3B = -220, 23 i+102, 69 j









2 2 / 3A = 40, 48 i-10, 58 j 3 2 / 3A = 26, 99 i- 7, 05 j









4 -4 / 3D = - -32 i- 29 j 3 -4 / 3D = 42, 66 i+ 38, 66 j













3B = -220, 23 i+102, 69 j 2 / 3A = 26, 99 i- 7, 05 j 3B + 2 3 A = -193, 24 i+ 95, 64 j













- C = -20, 43 i- 53, 21 j - 4 / 3D = 42, 66 i+ 38, 66 j -C - 4 3D = 22, 23 i-14,55 j



 









 



3B + 2 3A • -C - 4 3D = -193, 24× 22, 23 + 95,64×-14,55 3B + 2 3A • -C - 4 3D = -5687, 28 d)









-3C = -3 20, 43 i+ 53, 21 j -3C = -61, 29 i-159, 63 j









3 3 / 2B = -73, 41 i+ 34, 23 j 2 3 / 2B = -110,12 i+ 51, 35 j









4A = 4 40, 48 i-10, 58 j 4A = 161, 92 i- 42, 32 j













D = -32 i- 29 j - 3C = -61, 29 i-159, 63 j D - 3C = -93, 29 i-188, 63 j













3 / 2B = -110,12 i+ 51, 35 j 4A = 161, 92 i- 42, 32 j 3 2 B + 4A 51,8 i 9, 03 j



D - 3C × 3 2 B + 4A =

 



-93, 29 -188, 63 = -842, 41+ 9771, 03 k = 8928, 62 k





51,8 9, 03 e)





B• A = -73, 41× 40, 48 + 34, 23×-10,58 B• A = -3333,79





C • D = 20, 43×-32 + 53, 21×-29 C • D = -2196,85



  



  

B • A + C • D = -3333,79 - 2196,85 B • A + C • D = -5530,64

f)



2A×C + 5B× D

 











2A = 2 40, 48 i-10, 58 j 2A = 80, 96 i- 21,16 j









5B = 5 -73, 41 i+ 34, 23 j 5B = -367, 05 i+171,15 j





80,96 -21,16 2A×C = = 4307,88 + 432,30 k = 4740,18k 20, 43 53, 21

g) El ángulo formado por



D - A y





B + C















D = -32 i- 29 j - A = -40, 48 i+10,58 j D - A = -72, 48 i-18, 42 j













B = -73, 41 i+ 34, 23 j C = 20, 43 i+ 53, 21 j B + C = -52,98 i+ 87, 44 j







-1 2 2 2 2 -72, 48× -52, 98 -18, 42×87, 44 = cos 72, 48 +18, 42 52, 98 + 87, 44 = 73, 05º            

10. Dados los vectores D = 5km, 63º ,





E = -7, -1 km y





F = 4km; S70º E ,





calcular: a) 2D + E + 3F b) E - D - 2F c) D • E d) D - E × F

 

e) La proyección de E sobre D

f) El ángulo comprendido entre E y F

g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E SOLUCIÓN:

x x x D = D cos D = 5 kmcos 63º D = 2, 27 km  _y y y D = D sen D = 5 kmsen 63º D = 4, 46 km 





D = 2, 27 i+ 4, 46 j km





E = -7 i-1 j km 270º 70º 340º      x x x F = F cos F = 4 kmcos 340º F = 3, 76 km  _y y y F = F sen F = 4 kmsen 340º F = 1, 37 km  





F = 3, 76 i-1,37 j km









2D = 2 2, 27 i+ 4, 46 j km 2D = 4, 54 i+ 8, 92 j km









3F = 3 3, 76 i-1, 37 j km 3F = 11, 28 i- 4,11 j km

















2D = 4, 54 i+ 8, 92 j km E = - 7 i -1 j km 3F = 11, 28 i- 4,11 j km 2D E 3F   8,82 i 3,81 j km b) E - D - 2F









-2F = -2 3, 76 i-1, 37 j km -2F = -7, 52 i+ 2, 74 j km

















E = - 7 i -1 j km - D = -2, 27 i- 4, 46 j km - 2F = -7, 52 i+ 2, 74 j km E - D - 2F = -16, 79 i- 2, 72 j km c)





D • E = 2, 27×-7 + 4, 46×-1 D • E = -20,35 d)





-7 -1 E× F = k = 9,59 + 3, 76 k = 13,35k 3, 76 -1,37









  



D = 2, 27 i+ 4, 46 j+ 0k - E × F = 0 i + 0 j-13,35k D - E × F  2, 27 i+ 4, 46 j-13,35k e)













D E D D E • D E = × D 2, 27 i+ 4, 46 j -7× 2, 27 1 4, 46 E = × 5 5 E = -1,85 i- 3, 63 j      _{ }     2 2 D D E = 1,85 3, 63 E = 4, 07  f)





E = -7, -1 km y F = 3,76 i-1,37 j km









 





-1 2 -7 × 3, 76 -1× -1, 37 = cos 4 7 +1 = 86, 25º             g)





2 2, 27 4, 46 Área = = -2, 27 + 31, 22 = 28,95 km -7 -1

11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el ángulo formado por los vectores A y B

SOLUCIÓN: x x x x x x x x x x x x x A + B = 2...(1) A - B = 6...(2) De (2) A = 6 + B ...(3) (3) en (1) 6 + B + B = 2 2 B = -4 B = -2 Reemplazando el valor de B en (1) A - 2 = 2 A = 4    y y y y y y y y y y y y y A + B = -4...(1) A - B = -10...(2) De (2) A = -10 + B ...(3) (3) en (1) -10 + B + B = -4 2 B = 6 B = 3 Reemplazando el valor de B en (1) A + 3 = -4 A = -7   





A = 4 i- 7 j B = -2 i+ 3 j











1 1 2 2 2 2 cos 4 2 7 3 cos 4 7 2 3 176, 05º A B A B       _                  _{ }       





C = 0 i-16 j N

Para que Y=0 A = - Cy y A = 16y Calculando A_x x x x 16 tan 37º = A 16 A = tan 37º A = 21, 24 como esta en X(-)-21, 24





A = -21, 24 i+16 j N 2 2 A = 21, 24 +16 A = 26,59 N Para que X=0 B = - A Þ B = 21, 24x x x





B = 21, 24 i+ 0 j N B = 21, 24 N

EJERCICIONº5

1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas: a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10 f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00 SOLUCIÓN:

Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:

Datos: min L = 1, 2 m hor L = 0,8 m a) 150º 180º 0º 90º 270º 30º 120º 60º 240º 210º 300º 330º





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 30º r = 1, 2 mcos 30º r = 1, 04 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = 0, 6 m





min r = 1, 04 i+ 0, 6 j m





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 150º r = 0,8 mcos150º r = 0, 69 m Yhor Yhor r = 0,8 msen150º r = 0, 4 m





hor r = -0, 69 i+ 0, 4 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -0, 69 i+ 0, 4 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m r = -1, 73 i- 0, 2 j m b)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 30º r = 1, 2 mcos 240º r = -0, 6 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 240º r = -1, 04 m





min r = -0, 6 i-1, 04 j m





hor r = 0 i+ 0,8 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = 0 i+ 0,8 j m- -0, 6 i-1, 04 j m r = 0, 6 i 1,84 j m c) 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 210º r = 1, 2 mcos 210º r = -1, 04 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = -0, 6 m





min r = -1, 04 i- 0, 6 j m





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 300º r = 0,8 mcos 300º r = -0, 4 m Yhor Yhor r = 0,8 msen 300º r = 0, 69 m





hor r = -0, 4 i- 0, 69 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -1, 04 i- 0, 6 j m- -0, 4 i- 0, 69 j m r = -0, 64 i- 0, 09 j m d)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 30º r = 1, 2 mcos 330º r = 1, 04 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 330º r = -0, 6 m





min r = 1, 04 i- 0, 6 j m





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 210º r = 0,8 mcos 210º r = -0, 69 m Yhor Yhor r = 0,8 msen 210º r = -0, 4 m





hor r = -0, 69 i- 0, 4 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -0, 69 i- 0, 4 j m- 1, 04 i- 0, 6 j m r = -1, 73 i+ 0, 2 j m 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4

e)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 30º r = 1, 2 mcos 30º r = 1, 04 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = 0, 6 m





min r = 1, 04 i+ 0, 6 j m





hor r = -0,8 i+ 0 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -0,8 i+ 0 j m- 1, 04 i+ 0, 6 j m r = -1,84 i- 0, 6 j m f)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 150º r = 1, 2 mcos150º r = -1, 04 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = -0, 6 m





min r = -1, 04 i- 0, 6 j m





hor r = 0 i- 0,8 j m



 







hor/min hor min hor/min hor/min r = r - r r = 0 i- 0,8 j m- -1, 04 i- 0, 6 j m r = 1, 04 i- 0, 2 j m g) 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 210º r = 1, 2 mcos 210º r = -1, 04 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 210º r = -0, 6 m





min r = -1, 04 i- 0, 6 j m





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 30º r = 0,8 mcos 30º r = 0, 69 m Yhor Yhor r = 0,8 msen 30º r = 0, 4 m





hor r = 0, 69 i+ 0, 4 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = 0, 69 i+ 0, 4 j m- -1, 04 i- 0, 6 j m r = 1, 73 i+ j m h)





min Xmin Xmin r = 1, 2 m; 60º r = 1, 2 mcos 60º r = 0, 6 m Ymin Ymin r = 1, 2 msen 30º r = 1, 04 m





min r = 0, 6 i+1, 04 j m





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 120º r = 0,8 mcos120º r = -0, 4 m Yhor Yhor r = 0,8 msen120º r = 0, 69 m





hor r = -0, 4 i+ 0, 69 j m



 







hor/ min hor min hor/ min hor/ min r = r - r r = -0, 4 i+ 0, 69 j m- 0, 6 i+1, 04 j m r = - i- 0,35 j m 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4

i)





min r = 0 i+1, 2 j m





hor Xhor Xhor r = 0,8 m; 330º r = 0,8 mcos150º r = 0, 69 m Yhor Yhor r = 0,8 msen 330º r = -0, 4 m





hor r = 0, 69 i- 0, 4 j m



 







hor/ min hor min hor/ min

hor/ min

r = r - r

r = 0, 69 i- 0, 4 j m- 0 i+1, 2 j m

r = 0, 69 i-1, 6 j m

2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda mas cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar: a) La posición de la tienda respecto a la ciudad

b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda

SOLUCIÓN: Datos: Ciudad=origen









casa r = 2 km; NE  1, 41 i+1, 41 j km









tienda/casa tienda/casa r = 200i-100 j mr = 0, 2i- 0,1 j km a)













tienda/casa tienda casa tienda tienda/casa casa tienda tienda r = r - r r = r + r r = 1, 41 i+1, 41 j km+ 0, 2i- 0,1 j km r = 1, 61 i+1, 31 j km 10 9 3 12 6 2 11 1 7 8 5 4

b)









tienda/casa tienda/casa r = 200i-100 j mr = 0, 2i- 0,1 j km c) 2 2 tienda/casa tienda/casa r = 200 +100 r = 223, 60 m0, 223 km

3. Los vértices de un triangulo son los puntos P 0,5 , ₁

 

P 2, -1 y ₂





P 3,6 , ₃

 

determinar:

a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El tipo de triangulo en función de sus lados

SOLUCIÓN: a)

  







1 2 1 2 P P = 2 i- j - 0 i+ 5 j P P = 2 i- 6 j



 







1 3 1 3 P P = 3 i 6 j - 0 i+ 5 j P P = 3 i j  



  





2 3 2 3 P P = 3 i+ 6 j - 2 i- j P P = i+ 7 j







-1 1 2 1 3 1 2 1 3 -1 2 2 2 P P • P P A = cos P P P P 2 3 6 1 A = cos 2 6 3 1 A = 90º                 _{ }     







-1 1 3 2 3 1 3 2 3 -1 2 2 P P • P P B = cos P P P P 3 1 1 7 B = cos 3 1 1 7 B = 63, 43º                 _{ }      63, 43º +90º +C = 180º C = 180º -90º -63, 43º C = 26, 57º b) Triangulo rectángulo

4. Los vértices de un triangulo son los puntos A 8,9 m ,

 

B -6,1 m ,

 

C 0,-5m ,





determinar:

a) El valor de los ángulos internos del triangulo b) El área del triangulo ABC

a)



 







AB = -6 i+ j m- 8 i+ 9 j m AB = -14 i- 8 j m



 







AC = 0 i- 5 j m- 8 i+ 9 j m AC = -8 i-14 j m



 







BC = 0 i- 5 j m- -6 i+ j m BC = 6 i- 6 j m







-1 -1 2 2 2 2 • A = cos 14 8 8 14 A = cos 14 8 8 14 A = 30, 51º AB AC AB AC                   _{ }     







-1 -1 2 2 2 2 AC • BC C = cos AC BC -8× 6 -14× -6 C = cos 8 +14 6 + 6 C = 74, 74º                   B = 180º -30,51º -74, 74º B = 74, 75º

b) 2 1 Área = AB× AC 2 -14 -8 1 Área = = 196 - 64 = 132 m -8 -14 2

5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P 4,5 km ,

 

 

Q 0, 4 km , R 1,1 km ,

 

S 5, 2 km, determinar:

 

a) La forma geométrica de la ciudad

b) El área de la ciudad

c) La posición relativa del punto R respecto del punto P d) La posición relativa del punto S respecto del punto R

SOLUCIÓN: a) Paralelogramo b)



  





RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km RQ = - i+ 3 j km



  





RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km RS = 4 i+ j km 2 Área = RQ× RS -1 3 Área = = -1-12 = 13km 4 1 c)

  







R/ P R/ P r = i+ j km- 4 i+ 5 j km r = -3 i- 4 j km d)



  





S/ R S/ R r = 5 i+ 2 j km- i+ j km r = 4 i+ j km

6. tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a R para los siguientes casos:

a) r_P/Q



50km; S60º E y



r_R/Q



70km; NO



b) r_P/Q



80 km; SO y



r_R/Q



25km; N70º O



c) r_P/Q



65km; N15º O y



r_R/Q



90km; S30º O



d) r_P/Q



40 km; N 75º E y



r_R/Q



100km; S25º E



SOLUCIÓN: P/Q P Q Q P P/Q r = r - r r = r - r ...(1)  R/Q R Q Q R R/Q r = r - r r = r - r ...(2)  P/R P R r = r - r ...(3) P P/Q R R/Q P R P/Q R/Q Igualando (1) y (2) r - r = r - r r - r = r - r ...(4) P/R P/Q R/Q (3) en (4) r = r - r a)





P/Q r 50km; S60º E 270º 60º 330º     

P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 50 kmcos 330º r x = 43, 30 km  P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 50 kmsen 330º r y = -25 km 





P/Q r  43,30 i- 25 j km





R/Q r 70 km; NO 90º 45º 135º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 70 kmcos135º r x = -49, 50 km  R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y = 70 kmsen135º r y = 49, 50 km 





R/Q r  -49,50 i 49,50 j km













P/ R P/Q R/Q P/ R P/ R r = r - r r = 43, 30 i- 25 j km -49, 50 i 49, 50 j km r = 92, 50 i- 74, 50 j km   b)





P/Q r 80 km; SO 270º 45º 225º      P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 80 kmcos 225º r x = -57, 57 km  P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 80 kmsen 315º r y = -56, 57 km 





P/Q r = -56,57 i- 56,57 j km





R/Q r 25km; N70º O 90º 70º 160º     

R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 25 kmcos160º r x = -23, 49 km  R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y = 25 kmsen160º r y = 8, 55 km 





R/Q r  -23, 49 i 8,55 j km



 







P/ R P/Q R/Q P/ R P/ R r = r - r r = -56, 57 i- 56, 57 j km- -23, 49 i+ 8, 55 j km r = -33, 08 i- 48, 02 j km c)





P/Q r 65km; N15º O 90º 15º 105º      P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 65 kmcos105º r x = -16,82 km  P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 65 kmsen105º r y = 62, 79 km 





P/Q r = -16,82 i+ 62, 79 j km





R/Q r 90 km; S30º O 270º 30º 240º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 90 kmcos 240º r x = -45 km  _{R/Q R/Q} R/Q R/Q r y = r sen r y = 90 kmsen 240º r y = -77, 94 km 





R/Q r = -45 i- 77,94 j km



 







P/ R P/Q R/Q P/ R P/ R r = r - r r = -16,82 i+ 62, 79 j km- -45 i- 77, 94 j km r = 28,18 i+140, 73 j km

d)





P/Q r 40 km; N 75º E 90º 75º 15º      P/Q P/Q P/Q P/Q r x = r cos r x = 40 kmcos15º r x = 38, 64 km  P/Q P/Q P/Q P/Q r y = r sen r y = 40 kmsen15º r y = 16,82 km 





P/Q r = 38, 64 i+16,82 j km





R/Q r 100 km; S25º E 270º 25º 295º      R/Q R/Q R/Q R/Q r x = r cos r x = 100 kmcos 295º r x = 42, 26 km  R/Q R/Q R/Q R/Q r y = r sen r y = 100 kmsen 295º r y = -90, 63km 





R/Q r = -45 i- 77,94 j km



 







P/ R P/Q R/Q P/ R P/ R r = r - r r = 38, 64 i+16,82 j km- -45 i- 77, 94 j km r = 83, 64 i+ 94, 76 j km

7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta desde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en línea recta. 8. Dados los puntos L 8, - 6 m y





J -4, 3 m , determinar:





a) Los vectores posición de L y J respecto al origen b) La posición relativa de L con respecto a J

c) La distancia entre los puntos L y J SOLUCIÓN: a)





L r = 8 i- 6 j m





J r = -4 i+ 3 j m b)



 







L/ J L J L/ J L/ J r = r - r r = 8 i- 6 j m- -4 i+ 3 j m r = 12 i- 9 j m c) 2 2 L/ J L/ J r = 12 + 9 r = 15 m

9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km del suelo. Si las montañas se unen como indica el siguiente grafico:

Determinar:

a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la montaña A

b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la cumbre de la montaña B

A A A A A A r x tan 60º = r y r x r y = tan 60º 3 km r y = tan 60º r y = 1, 73 km B B B B B B r x tan 40º = r y r x r y = tan 40º 2 km r y = tan 40º r y = 2, 38 km





A r = -1, 73i+ 3 j km r = 2,38 i+ 2 j km_B





a)













B/ A B/ A r = 2, 38 i+ 2 j km- -1, 73i+ 3 j km r = 4,11 i- j km b) 2 B/ A B/ A r = 4,11 +1 r = 4, 23 km

Considerando ida y vuelta por cables independientes

4, 23km 2 8, 46

10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son



5, - 2 m y





-4, 7 m respectivamente, determinar:



a) Las componentes rectangulares del vector E b) La magnitud del vector E

c) El vector unitario del vector E SOLUCIÓN:













E -4, 7 m 5, - 2 m E -9, 9 m    b) 2 2 E = 9 + 9 E = 12, 73 m c)









E E E E E -9 i+ 9 j m 12, 73 m -0, 706 i+ 0, 706 j m      

11. Un avión de aeromodelismo está a



4km, SO de la torre de control. En ese



momento, su dueño desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto



6, - 4 km , determinar:



a) La posición del avión respecto al blanco

b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito c) La distancia del avión al blanco

SOLUCIÓN: a)



4km, SO



x x x A = A cos A = 4 kmcos 225º A = -2,83 km  _y y y A = A sen A = 4 kmsen 225º A = -2,83 km 





A = -2,83 i- 2,83 j km



 







A/ B A/ B r = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i- 4 j km r = -8,83 i+1,17 j km b) 8,83 tan 1,17 82, 45º      _{ }    S82, 45º E c) 2 2 A/ B A/ B r = 8,83 +1,17 r = 8, 91km

12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición



200m, N 28º E



respecto a la torre de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición



200m, SO respecto a la misma torre de control, determinar:



a) La posición relativa de B respecto de A

b) La distancia que existe entre los dos aviones SOLUCIÓN: a)



200m, N 28º E



x x x B = B cos B = 200 mcos 62º B = 93,89 m  y y y B = B sen B = 200 msen 62º B = 176, 59 m 





B = 93,89 i+176,59 j m



200m, SO



x x x A = A cos A = 200 mcos 225º A = -141, 42  _y y y A = A sen A = 200 msen 225º A = -141, 42 





A = -141, 42 i-141, 42 j m



 







B/ A B/ A r = 93,89 i+176, 59 j m- -141, 42 i-141, 42 j m r = 235, 31 i+ 318, 01 j m b) 2 2 B/ A B/ A r = 235, 31 + 318, 01 r = 395, 60 m

13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección NO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE con una velocidad de 15m/s, determinar:

a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección b) El vector unitario del vector velocidad resultante

c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante SOLUCIÓN: a)





A = 20 m/ s; NO x x x A = A cos A = 20 m/ scos135º A = -14,14 m/ s  y y y A = A sen A = 20 m/ ssen135º A = 14,14 m/ s 





A = -14,14 i+14,14 j m/ s





B = 15m/ s; N 25º E

x x x B = B cos B = 15 m/ scos 65º B = 6,34 m/ s  _y y y B = B sen B = 15 m/ ssen 65º B = 13,59 m/ s 





B = 6,34 i+13,59 j m/ s













V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6, 34 i+13, 59 j m/ s V = -7,8 i+ 27, 73 j m/ s 2 2 V = 7,8 + 27, 73 V = 28,81m/ s 1 7,8 tan 27, 73 15, 71º       _{ }   





V = 28,81m/ s; N15, 71º O b)









V V V V V -7,8 i+ 27, 73 j m/ s = 28,81m/ s = -0, 27 i+ 0, 96 j m/ s     c) 90º 15, 71º 105, 71º       15, 71º

14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E c) El ángulo formado por los vectores EA y EC

d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D e) La proyección del vector AE sobre AQ

SOLUCIÓN:

Considerando A como origen: a)





F/A r = 2,8 i-1,5 j m b)





c r = 2,8 i+ 0 j m r = 1, 4 i-1,5 j m_E







 







C/ E C E C/ E C/ E r = r - r r = 2,8 i+ 0 j m- 1, 4 i-1, 5 j m r = 1, 4 i+1, 5 j m c)





EA = A - E EA = -1, 4 i+1,5 j m





EC = C - E EC = 1, 4 i 1, 5 j m







1 2 2 2 2 1, 4 1, 4 1, 5 1, 5 cos 1, 4 1, 5 1, 4 1, 5 86, 05º             _{ }        d)





Q = 2,1 i- 0, 75 j m D = 0 i-1,5 j m







 







Q/ D Q/ D r = 2,1 i- 0, 75 j m- 0 i-1, 5 j m r = 2,1 i 0, 75 j m

e)





AE = 1, 4 i-1,5 j m AQ = 2,1 i- 0, 75 j m









AQ AQ AQ _{2 2 2 2} AQ AE • AQ AE = AQ 1, 4 2,1 1, 5 0, 75 2,1 i- 0, 75 j AE = 2,1 0, 75 2,1 0, 75 AE = 1, 72 i- 0, 61 j m              _  _





AQ AQ AE = 1, 72 i- 0, 61 j m AE = 1,82 m EJERCICIO Nº6

1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur; determinar:

a) Los desplazamientos realizados b) El desplazamiento total realizado c) El modulo del desplazamiento total d) La distancia total recorrida

SOLUCIÓN: a) 2 2 r x = 12 cm cos 45º r x = 8, 49 cm   2 2 r y = 12 cmsen 45º r y = 8, 49 cm  





1 r 8 i+ 0 j cm    r2



8, 49 i+ 8, 49 j cm



r = 0 i- 5 j cm3





b)



 

 







1 2 3 r r r r r 8 i+ 0 j cm 8, 49 i+ 8, 49 j cm 0 i- 5 j cm r 16, 49 i+ 3, 49 j cm              c) 2 2 r 16, 49 3, 49 r 16,85 cm      d) d = 8cm+12 cm+ 5cm d = 25cm

2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el plano XY: 45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos en línea recta;: determinar:

a) Los desplazamientos realizados b) Los vectores posición en cada punto c) El desplazamiento total realizado d) El módulo del desplazamiento e) La distancia recorrida SOLUCIÓN: a) 3 3 r x = 76 mmcos 200º r x = -71, 41mm   3 3 r y = 76 mmsen 200º r y = -25,99 m  





1 r 0 i- 45 j mm    r₂



-30 i+ 0 j mm



r = -71, 41 i- 25,99 j mm₃





b)





1 r  0 i- 45 j mm r₂ 



-30 i- 45 j mm















3 2 3 3 3 r r r r -30 i- 45 j mm -71, 41 i- 25, 99 j mm r -100, 41 i- 70, 99 j mm       c)

















1 2 3 r r r r r 0 i- 45 j mm -30 i+ 0 j mm -71, 41 i- 25, 99 j mm r -100, 41 i- 70, 99 j mm              d) 2 2 r 100, 41 70, 99 r 122, 97 mm      e) d = 45 mm+ 30 mm+ 76 mm d = 152 mm

3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A -85, 204 km





y la lectura de su odómetro es 10235 km, viaja rectilíneamente hacia B 123, 347 km





y llega a las 11h10; determinar:

a) Los vectores posición de cada ciudad b) El desplazamiento realizado

c) La lectura del odómetro cuando llega a B d) La velocidad media

e) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las 14h15.

a)





A r = -85 i+ 204 j km r = 123 i+ 347 j km_B





b)



 







B A r = r - r r = 123 i+ 347 j km- -85 i+ 204 j km r = 208 i+143 j km    c) 2 2 r = 208 143 r = 252, 41km    Lectura = 10235 km+ 252, 41km Lectura = 10487, 41km d) 10 min 1h = 0,166 h 60 min f 0 t t - t t 11,166 h- 7 h t 4,166 h      









m m m r V = t 208 i+143 j km V = 4,166 h V = 49, 93 i+ 34, 33 j km/ h   m m m r V = t 252, 41km V = 4,166 h V = 60,58 km/ h   e) 15 min 1h = 0, 25 h 60 min f 0 t t - t t 14, 25 h-11,166 h t 3, 084 h      

m m m r V = t 252, 41km V = 3, 084 h V = 81,85 km/ h  

4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a



865km;15º



hasta A y el otro vuela



-505 i+ 253 j km



hasta B en 2 horas en línea recta; determinar:

a) Los vectores posición de los puntos A y B b) Los desplazamientos realizados por cada avión c) La velocidad media de cada avión

d) La rapidez media de cada avión

e) La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B SOLUCIÓN: a)



865km;15º



A A r x = 865 kmcos15º r x = 835,53km A A r y = 865 kmcos15º r y = 223,88 km r = 835,53 i+ 223,88 j kmA









B r  -505 i+ 253 j km b)





A r = 835,53 i+ 223,88 j km   r_B



-505 i+ 253 j km



c)









mA mA mA r V = t 835, 53 i+ 223,88 j km V = 2 h V = 417, 77 i+116, 94 j km/ h  









mB mB mB r V = t -505 i+ 253 j km V = 2 h V = -252, 5 i+126, 5 j km/ h   d) 2 2 mA mA V = 417, 77 116,94 V = 433,83km/ h  2 2 mB mB V = 252,5 126,5 V = 282, 42 km/ h  e)













B A r r r r -505 i+ 253 j km 835, 53 i+ 223,88 j km r -1340, 53 i+ 476,88 j km        









mA mA mA r V = t -1340,53 i+ 476,88 j km V = 3h V = -446,84 i+158,96 j km/ h   2 2 mA mA V = 446,84 +158, 96 V = 474, 27 km/ h

5. Una partícula cuya velocidad era de



12 i+15 j m/ s



se detiene en 20s por una ruta rectilínea; determinar:

a) El modulo de la velocidad inicial b) El vector unitario de la velocidad inicial c) El vector velocidad final

d) La aceleración media de la partícula SOLUCIÓN:

2 2 0 0 V = 12 +15 V = 19, 21m/ s ç b)









0 0 0 0 V 0 V V V V 12 i+15 j m/ s 19, 21m/ s 0, 62 i+ 0, 78 j       c)

Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0 d)









f 0 V - V a = t -12 i-15 j m/ s a = 20 s a = -0, 6 i- 0, 75 j m/ s 

6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de



-21 i-18 j m/ s



a



24m/ s; S30º E



; en 10s determinar: a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final b) La aceleración media

SOLUCIÓN: a)

f f f f V x = V cos V x = 24 m/ scos 300º V x = 12 m/ s  _{f f} f f V y = V sen V y = 24 m/ ssen 300º V y = 20, 78 m/ s  





f V = 12 i- 20, 78 j m/ s









0 0 0 0 V 0 V _{2 2} V V = V -21 i-18 j m/ s = 21 +18 = -0, 76 i- 0, 65 j m/ s   









f f f f V f V V V = V 12 i- 20, 78 j m/ s = 24 m/ s = 0, 5 i- 0,87 j m/ s    b)

















f 0 V - V a = t 12 i- 20, 78 j m/ s- -21 i-18 j m/ s a = 10 s 33 i- 2, 78 j m/ s a = 10 s a = 3, 3 i- 0, 278 j m/ s  EJERCICIO Nº 7

1. Si un vehículo se mueve de la ciudad A -35, 50 km a la ciudad





B -25, 45 km







en línea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar:

a) El desplazamiento realizado b) La velocidad media

c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje SOLUCIÓN: a)



 







r -25 i- 45 j km- -35 i+ 50 j km r 10 i- 95 j km    

b)









r V = t 10 i- 95 j km V = 2 h V = 5 i- 47,5 j km   c) 40 min 1h = 0, 666 h 60 min









r V × t r 5 i- 47,5 j km/ h 0, 666 h r 3,33 i- 31, 64 j km       

2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes de modo que al instante t=0 sus posiciones son



-40 i+ 20 j



y



15 i 30 j m



y al instante t=10s sus posiciones son

 

20 i y

 

-10 j km

respectivamente; determinar:

a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo b) La velocidad media de cada vehículo

c) La velocidad de A respecto a B SOLUCIÓN: a)



 







A fA 0 A A A r = r - r r = 20 i+ 0 j m- -40 i+ 20 j m r = 60 i- 20 j m   



 







B fB 0 B B B r = r - r r = -10 i+ 0 j m- 15 i- 30 j m r = -25 i+ 30 j m    b)









A A A r V = t 60 i- 20 j m V = 10 s V = 6 i- 2 j m/ s  









B B B r V = t -25 i+ 30 j m V = 10 s V = -2, 5 i+ 3 j m/ s   c)













A/ B A/ B V = 6 i- 2 j m/ s- -2, 5 i+ 3 j m/ s V = 8, 5 i- 5 j m/ s

3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h, pasa por un túnel recto de 400 m de largo y desde que penetra la maquina hasta que sale el ultimo vagón demora 30s;

determinar:

a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s) b) La longitud del tren

SOLUCIÓN: a) 60 i km 1000 m 1h = 16, 67 m/ s h 1km 3600 s r = V× t r = 16, 67 m/ s 30 s r = 500 m      r = V× t r = 16, 67 m/ s 60 s r = 1000 m      r = V× t r = 16, 67 m/ s 90 s r = 1500 m      b) x = r- 400 m x = 500 m- 400 m x = 100 m 

4. Una partícula parte del punto



25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al



punto



 6, 30 m



con una rapidez constante de 40 km/ h; determinar:

a) La velocidad empleada b) El tiempo empleado

c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más. SOLUCIÓN: a) 40 km 1000 m 1h = 11,11m/ s h 1km 3600 s



 







f 0 r = r - r r = -6 i- 30 j m- 25 i 20 j m r = -31 i- 50 j m    

_

_

r 2 2 V = V × -31 i- 50 j V = 11,11m/ s 31 50 V = -5,85 i- 9, 44 j m/ s _        2 2 r = 31 50 r = 58,83 m    b) A r t = V 58,83 m t = 11,11m/ s t = 5, 30 s     c)









r = V × t r = -5,85 i- 9, 44 j m/ s 10s r = -58,5 i- 94, 4 j m     



 







1 2 r = r r r = -31 i- 50 j m -58, 5 i- 94, 4 j m r = -89, 5 i-144, 4 j m       

5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y

40 i km/ h en bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar: a) La velocidad media durante las 10 horas

b) El desplazamiento en moto

c) El tiempo que recorrió en bicicleta SOLUCIÓN: a) r V = t 1000 i km V = 10 h V = 100 i km/ h   b) moto bici r r r ...(1)      moto bici bici moto t = t t t t t ...(2)          

moto moto moto

r = V t ...(3)

  r_bici = V_bicit_bici...(4)

moto moto bici bici (3) y (4) en (1)

r V t V t ...(5)









moto moto bici moto moto moto bici bici moto moto moto bici moto bici

moto moto bici (2) en (5) r = V t V t t V t V t V t = r V t V t = r V t t V V = r                               _bici bici moto moto bici moto moto V t r V t t = V V 1000 km- 40 km/ h×10 h t = 120 km/ h- 40 km/ h t = 7, 5 h           moto moto r = 120 km/ h× 7, 5 h r = 900 km   c) bici bici t 10 h- 7,5h t 2,5h    

6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:

Determinar:

a) La posición inicial

b) La rapidez en cada tramo del viaje c) El tiempo que permaneció en reposo d) La posición cuando t=35(s)

e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando esta en el origen SOLUCIÓN:

0

r = 10 m b)

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3

f 0 f 0 r - r V = t - t 30 m-10 m V = 10s V = 2 m/ s Reposo f 0 f 0 r - r V = t - t 40 m- 30 m V = 30s- 20s V = 10 m/ s Tramo 4 f 0 f 0 r - r V = t - t 0 m- 40 m V = 40s- 30s V = -4 m/ s c) t 20s-10s t 10s     d) r = V t r = 4 m/ s 5s r = 20 m      e)

Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s 7. Una persona parte de la esquina

 

0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x

60m y camina primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2 m/ s ; determinar: