Ayudantía N°2
Mecánica de Fluidos
Jueves 10 de octubre de 2013
1. La temperatura T del agua de un lago en el sur de Chile disminuye linealmente en profundidad, según la ecuación:
0 T z T zdonde T0 denota la temperatura superficial (z= 0), α es un coeficiente constante positivo y z es una coordenada
vertical hacia arriba. Suponga una ecuación de estado para la densidad del agua en función de la temperatura de la forma:
T 0
1 T
donde denota una densidad de referencia y β es un coeficiente constante positivo.
a) Determine una expresión para la variación de la presión del agua con z considerando el efecto de la temperatura en la densidad. Determine el error que se comete en la estimación de la presión al despreciar la variación de la densidad del agua. Evalúe el error a una profundidad de 30 [m].
b) Considere un buzo que nada a una profundidad h bajo la superficie. Si el buzo genera burbujas de gas de radio
r0, determine una ecuación que permita calcular la variación del radio de las burbujas con z, r(z), a medida
que ellas se elevan hacia la superficie. Para este análisis suponga que el agua tiene una tensión superficial constante y que la temperatura del gas al interior de las burbujas es en todo momento igual a la temperatura del agua externa (es decir el flujo de calor necesario para equilibrar las temperaturas se ajusta para que dicho equilibrio sea instantáneo).
c) Si en la superficie del lago se observan burbujas de radio R, a qué profundidad h se encuentra el buzo? Datos: 3 0 0 0 0.2[ / ]; 0.00013 [1/ 17[ ]; 1001 [ / ]; C]; 101293 [ ]; 5[mm] 1.63[N/ m]; ; R 8[ ] atm T C kg m Pa m C m p m r
Indicación: Recuerde que en la ecuación de estado del gas tanto la presión como la temperatura deben ser absolutas (Kelvin C 273)
Solución:
a) Del enunciado se tienen las siguientes relaciones
Variación de la temperatura con la profundidad: T z
T0 z (1) Variación de la densidad con la temperatura:
T 0
1 T
, 0 (2) Remplazando (1) en (2)Además, recordando que la presión satisface
b
p f
En este caso, p (0, 0, g) , así considerando el gradiente de presión en profundidad y usando la variación de (z) descrita en (3):
0(1 0) 0
dp g T z g dz 0g(1 T0) 0g z (4) Luego, integrando (4) entre la superficie y un valor z cualquiera:
0 0 0
2 0 0 0 ( ) 0 (1 ) ( ) (1 ) 2 atm P z z P atm dp g g dz g P z g T P z z T z
2 0 0 0 ( ) (1 ) 2 atm g P z P g T z z (5)Por otro lado, si se desprecia la variación de la densidad ( )z 0
0 (z) atm
P P gz (6)
Así, el error queda definido por:
2 0 0 0 0 2 0 0 0 ( ) ( ) (1 ) 2 2 atm T z atm P variable P constante g P g z P gz g g Tz z 2 0 0 2 g T z z (7) A 30 m de profundidad (z=-30): ( ) [ ] ( ) [ ] 535.6 [ ] P variable 395062.5 Pa P constante 395598.6 Pa Pa b)
Figura N° 1. Esquema burbuja.
Por un lado, se tiene la ecuación de estado del gas contenido en la burbuja:
0 int P VnR T 3 0 4 ( ) ( 3 ) int r z n int P RT z (8) Supuesto:
int( ) 0 [ ] 0 273 [ ] T z T z T z C T z K (9) Así, despejando Pint en (8):0 int 3 ( ) 3 4 ( ) ) ( int P nR T z r z z (10) Evaluando (10) en z=-h y usando (9): 0 0 0 3 ( 273 ) 3 4 int o nR T r P h (11)
Por otra parte, se tiene la ecuación de Young-Laplace:
int( ) 2 ( ) ( ) ext z P z P z r (12) Evaluando (12) en z=-h: 0 0 2 ( ) int ext h r P P 2 0 int 0 0 0 0 (1 ) 2 2 atm g P T P g h h r (13) (11)=13: 2 0 0 0 0 0 3 0 ( 2 (1 3 ) 7 ) 3 2 4 o atm g 2 nR T h g r P T h h r r(z) Pint Pext=P(z)
Reemplazando (14) en (10), se obtiene: 3 2 0 int int 0 0 3 3 0 0 (1 ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( 273 ) ( ) ( ) o int atm g r T z T z z P T h A r T h r z r z P g h (15)
Pero dado que conocemos a través de la ecuación (5) de la presión afuera de la burbuja, podemos obtener de (12) que: int( ) 2 ( ) ( ) ext z P z P z r 2 0 int( ) 0 (1 0) 2 2 ( ) atm g P T z P z g z r z (16) Así, igualando (15) y (16) 2 int 0 0 0 3 (1 ) ( ) 2 2 ( ) ( ) atm T z g A P T z r z z z g r (17)
La constante A depende de h, pero si evaluamos (17) en z=0, donde r z( )R:
3 0 2 273 atm R P T R A (18)
Finalmente, remplazando (18) en (17), se obtiene: 3 2 int 0 0 0 3 0 ( ) 2 2 273 atm ( ) atm g(1 )z 2 ( ) r( ) T z g R P P T z T R r z r z z (19) c) Calcular h Evaluando la ecuación (19) en z=-h y r=r0: 3 2 0 0 3 0 0 0 0 0 ( 273 ) (1 ) 2 2 273 atm atm 2 T g h r h g R P P T h T R r (20) Reordenando (20):
3 3 2 0 0 0 3 3 0 0 0 0 2 (1 2 2 0 27 )2 atm 3 atm atm
a b c g R R h T P h P P R T r r R g r 2 0 ah bh c (21)
(21) es una ecuación de segundo grado, con soluciones: 2 4 2 b b ac h a (22) Así, considerando:
0 0 3 2 0 17[ ]; 0.2[ / ]; 1001[ / ]; 0.00013 [1/ C]; 101293 [ 1.63[N ]; 5[mm] 0.005[m]; R 8[ ] 0.008[m]; 9.81[m/ s ] / m]; atm T C kg m Pa r m g C m m p
se evalúan los coeficientes a, b y c
0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 (1 ) (1 0.0001 ) 1001 9.81 0.2 0.00013 0.1277 2 2 2 2 1.63 0. 1012 2 (0.008) 1001 9.81 17 10085 0.008 273 17 273 0.005 2 2 2 1. 10129 9 3 3 atm atm atm g a R b T P R T r R c P P r R g r 33 101293 -314620 0.005 63 0.008 2 1.63 0.008 0.005 Asi, evaluando (22) y considerando que h>0, se obtiene:
2 2 4 10085 1008 314620 0.1277 0.1 5 4 31 277 .18 [m] 2 2 b b ac h a
Para finalizar, se presentan gráficos esquemáticos de la evolución de la presión, densidad, temperatura y radio de las burbujas.
Figura N° 2. Gráficos esquemáticos.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -50 -40 -30 -20 -10 0 Temperatura [°C] P ro fu n d id a d [ m ] 998 998.5 999 999.5 1000 1000.5 1001 1001.5 1002 -50 -40 -30 -20 -10 0 Densidad [kg/m3] P ro fu n d id a d [ m ] 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 -50 -40 -30 -20 -10 0 Presión [HPa] P ro fu n d id a d [ m ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -50 -40 -30 -20 -10 0 Radio Burbuja [mm] P ro fu n d id a d [ m ] Densidad Variable Densidad Constante Densidad Variable Densidad Constante
centro de la esfera forman un ángulo de 45 grados. Determine: a) La densidad del material del que está compuesta la esfera. b) Si la esfera se sumerge en mercurio (
2
13.6
Hg H O
), determine el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera.
Figura N° 3. Esquema de la esfera parcialmente sumergida. Solución:
a)
El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura
Figura N° 4. Esquema elemento diferencial empleado.
De esta forma, el empuje queda definido por:
Puesto que: cos( ) ( ) r R y h Rsen
2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 2 ( ) cos( ( ) co 2 ) 2 ) 2 ) 2 2 s( ( ) ( ) cos( ( ) ( ) 2 3 g R d gh d g d E gh g E h Rsen R sen E R sen R sen sen sen R R
21 2 2 31 3 3 ( ) 2 2 ( ) 2 2 3 2E gh R sen sen g R sen sen
(1) para 45 4 ; 4 hRsen
2 2 2 3 3 3 2 3 2 2 3 1 1 2 4 2 3 4 2 1 1 1 1 2 2 2 2 / 0.353553 ( 1) 2 2 3 1.353553 1.353553 4 3 4 3 0 4 2 2 2 .6R sen sen R sen sen
R R Rse E gh g E gh g E g R h R g R n R E g R 3 27961.2559 g R
El peso de la esfera debe ser igual a su empuje, por lo que se debe cumplir:
2 2 3 3 3 4 1.2559 3 1.2559 1000 1.2559 kg 941.93 4 4 3 3 H O H e e O W g R m R E g Como era de esperar, la densidad de la esfera es inferior a la del agua.
b) Si la esfera se sumerge en el mercurio, y dado que la densidad del mercurio es 13.6 veces la densidad del agua, se
puede realizar una estimación inicial calculando si la mitad de la esfera quedará o no cubierta por el mercurio. Para ello, se debe comparar el peso de la esfera con el empuje producido para esa situación:
3 3 4 1 3 1 4 2 2 3 e Hg Hg e W g g R E R
Por lo tanto, seguro que únicamente un pequeño casquete esférico quedará sumergido en el mercurio. Dado que el elemento diferencial de empuje es el mismo que en a), se llega a la misma expresión (1), aunque ahora la densidad de fluido es la del mercurio.
2 2 de donde: 2 3 3 2 2 ( ) ( ) 3 2 2 2 2 Hg
E g R Rsen sen hsen sen
(2)
Con el fin de comprobar la bondad de la ecuación encontrada, se comprueba que para θ=0 y h= 0 el empuje debería sea el equivalente al de media esfera.
2 2 3 3 2 2 (0 1) 2 (0 1) 3 2 3 2 4 1 3 3 2 Hg Hg Hg Hg R h R R h E g g g g E R R E R
La determinación de θ se obtendrá de igualar el peso de la esfera a la ecuación del empuje en función de dicho ángulo. El peso de la esfera viene dado por:
3 3 941.93 9.8 4 4 38666.77[N] 3 3 1 e R W g (3)
Considerando además, que para el ángulo de tangencia se cumple que: ( ) hRsen Se tiene que: 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 ( ) 38666.77[N] ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 ( ) 38666. 2 1000 9.8 2 1 77[N] ( ) ( ) 3 2 2 2 42 Hg R Rsen
R sen sen sen sen
sen se
W E
g
n sen sen sen
.7 Por lo tanto, el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera es:
1 (42.7) -0.6784[m]
