Valores y Vectores Propios

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(1)

Facultad

Facultad de de Ciencias Ciencias QuQu´´ımicasımicas Departamento de Matem´ Departamento de Matem´aticasaticas

´ ´ Algebra Algebra

1

1

Cap

Cap´

´ıtulo 4:

ıtulo 4: V

Valore

alores y

s y ve

vectore

ctores propios.

s propios.

1.

1. Halla los vHalla los valores propios y los vealores propios y los vectores propios de las aplicaciones linectores propios de las aplicaciones lineales deales de RRnn enenRRnn que est´que est´an dadas por las siguientesan dadas por las siguientes

matrices: matrices: a a ==

4 4 66

33

55

, , bb ==

55

11 4 4 11

, , cc ==

22

11 3 3 11

, , dd ==

1 1 00 00

11

ee ==

0 0 00

11 11

22

11

2 2 3 3 11

, , f f  ==

2 2 22

11 00

2 2 11

1 1 0 0 00

,, gg ==

22

1 1 11 0 0 1 1 00

1 1 1 1 00

, , hh ==

00

1 1 22 00

1 1 00

1 1 11

33

..

En los casos que sea posible halla una base de

En los casos que sea posible halla una base de RRnn formada por vectores propios, y la matriz en esa base, de lasformada por vectores propios, y la matriz en esa base, de las

aplicaciones dadas en el ejercicio anterior. aplicaciones dadas en el ejercicio anterior.

(a)

(a) ParPara buscar los a buscar los vvalorealores s propipropios, lo os, lo primeprimero es ro es enconencontrar el trar el polinompolinomio caracteriio caracteristicostico

det(

det(aa

λI λI ) ) ==









44

λλ 66

33

55

λλ









= =

2 +2 + λλ ++ λλ22 ,,

por lo que los valores caracteristicos son

por lo que los valores caracteristicos son λλ11 = = 11,, λλ22 ==

2. 2. BusquBusquemos ahora los autovemos ahora los autovectorectores. es. ParPara ello a ello tenemtenemosos

que buscar los nucleos de las aplicaciones

que buscar los nucleos de las aplicaciones aa

λλiiII, , ii = 1= 1,, 22,, es decires decir

6 6 66

33

33

 

xx yy

= =

00 00

vv11 ==

11

11

,,

3 3 66

33

66

 

xx yy

= =

00 00

vv22 ==

22

11

,, por lo que por lo que D D ==

2 2 00 0 0 11

,, V V  ==

1 1 22

11

11

.. (b)

(b) AnaloAnalogamengamentete

det det

55

λλ

11 4 4 11

λλ

= = 99

66λλ ++ λλ22 = 0 = 0

con lo que esta matriz no se puede diagonalizar, ya que tiene como autovalor doble a

con lo que esta matriz no se puede diagonalizar, ya que tiene como autovalor doble a λλ11,,22 = = 33,, con multiplicidadcon multiplicidad

algebr´

algebr´aica 2, y con multiplicidad geometrica 1.aica 2, y con multiplicidad geometrica 1. (c)

(c) En este caso tenEn este caso tenemosemos

det det

22

λλ

11 3 3 11

λλ

= = 55

33λλ ++ λλ22 = 0 = 0 , Solution is : , Solution is :

λλ == 33 2 2 ++ 1 1 2 2ii

1111

,,

λλ == 3 3 2 2

1 1 2

(2)

2. Se˜

2. Se˜nala cu´nala cu´ales de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio deales de las siguientes matrices pueden reducirse a una matriz diagonal y encuenta una matriz de cambio de base base P P :: a = a =

1 1 33

11

3 3 55

11

3 3 3 3 11

,, b b ==

44

11

11 1 1 22

11 11

1 1 22

, , cc ==

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

.. 3.

3. Busca los valoBusca los valores y res y vecvectores propitores propios de os de la aplicacila aplicaci´´on derivaci´on derivaci´onon DD, , enen P P 33((xx).).

4.

4. DeterDetermina para que valmina para que valoresores a,a, bb

∈∈

RR la matrizla matriz AA es diagonalizable enes diagonalizable en RR siendosiendo AA

A A ==

a a bb 00 00

1 1 00 0 0 0 0 11

..

Como la matriz es triangular, los autovalores son los componentes de la diagonal principal, es decir

Como la matriz es triangular, los autovalores son los componentes de la diagonal principal, es decir λλ11 == a,a, λλ22 ==

11,, λλ33 = = 11.. SiSi aa



= = 11,, yy aa ==



1 los 1 los tres autovtres autovalorealores son s son distindistintos por tos por lo que lo que la matriz es diagonalizla matriz es diagonalizable. able. SiSi aa = = 11,,

entonces para

entonces para que el que el autovautovalor 1 alor 1 tenga tenga multiplicidad geom´multiplicidad geom´etrica 2, etrica 2, la la matrizmatriz

a a

I I  ==

00 bb 00 00

2 2 00 0 0 0 0 00

tiene que tener rango 1, lo que sucede para todo

tiene que tener rango 1, lo que sucede para todo b.b. SiSi aa ==

11,, entoncesentonces a a ++ I I  ==

00 bb 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 22

que solo tiene rango 1 para

que solo tiene rango 1 para bb = 0= 0.. 5.

5. EstudEstudia para que ia para que vvalorealores reales des reales de αα la matrizla matriz AA es diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su formaes diagonalizable y en los casos en que lo sea, encuentra su forma diago

diagonal nal ,, J,J, y una matrizy una matriz P P  tal quetal que P P −−11

AP 

AP  == J,J, siendosiendo

A A ==

11

22

22

αα 00

11 αα 0 0 0 0 11

.. En este

En este caso tenemos dos caso tenemos dos autoautovavaloreslores, , uno dobleuno doble λλ11,,22 = 11,, y uno simple= y uno simple λλ33 = = 11.. ParPara a que sea que sea diagodiagonaliznalizable, laable, la

multiplicidad algebr´

multiplicidad algebr´aica tiene que aica tiene que ser igual ser igual a a la la multmultipliciplicidad geom´idad geom´etricetrica a y y por por tantanto to dimdim (ker(ker((AA

I I )) = 2)) = 2,, es decires decir Rg

Rg ((AA

I I ) ) == RgRg

00

22

22

αα 00

22 αα 0 0 0 0 00

== RgRg

22

22

αα

22 αα

..

Como el determinante de este menor es Como el determinante de este menor es

det det

22

22

αα

22 αα

= =

44 ((αα + 1)+ 1) ,, entonces para todo

entonces para todo αα



==

11,, el rango eel rango es dos y por tanto dims dos y por tanto dim (ker(ker((AA

I I )) = 1)) = 1,, por lo que la matriz solo es diagonalizablepor lo que la matriz solo es diagonalizable para

para αα ==

11.. 6.

6. DemDemuestruestra que sia que si xxes vector propio dees vector propio de f f  para el valor propiopara el valor propio λλ, entonces, entonces xxes vector propio dees vector propio de f f nn para el valor propiopara el valor propio

λ λnn, , nn

∈∈

N N . . ¿Qu´¿Qu´e oe ocurre curre si si adem´adem´asas f f  es invertible?.es invertible?. Si suponemos que

Si suponemos que f f ((xx) ) == λxλx

f f 22

((xx) ) == f f ((f f ((xx)) )) == f f ((λxλx) ) == λf λf ((xx) ) == λλ22

f ((xx)) ,, y por inducci´y por inducci´on, sion, si f f nn−−11

((xx) ) == λλnn−−11 x, x, entonces entonces f f 



f f nn−−11 ((xx))



== f f 



λλnn−−11 x x



== λλnn−−11 f  f ((xx) ) == λλnnx.x.

(3)

7. En

7. En RR33, consideramos el endomorfismo, consideramos el endomorfismo f f  dado pordado por

f ((x,y,zx,y,z) = (2) = (2xx ++ yy ++ z,z, 22xx + 3+ 3yy + 2+ 2z,z, xx ++ yy + 2+ 2zz)) y sea

y sea AA la matriz dela matriz de f f  respecto de la base can´respecto de la base can´onicaonica. . DeterDetermina: mina: vecvectores propiostores propios, , vavalores propioslores propios, , diagodiagonaliznalizaci´aci´on on yy matriz de paso. matriz de paso. La matriz La matriz AA eses A A ==

2 2 1 1 11 2 2 3 3 22 1 1 1 1 22

Si calculamos el polinomio caracteristico, tenemos Si calculamos el polinomio caracteristico, tenemos

det(

det(AA

λI λI ) = det) = det

22

λλ 1 1 11 2 2 33

λλ 22 1 1 1 1 22

λλ

= = 55

1111λλ + 7+ 7λλ 2 2

λλ33

cuyos valores propios son

cuyos valores propios son λλ11,,22= = 11,, doble ydoble y λλ33= = 55.. Para los autovectores dePara los autovectores de λλ11,,22 tenemostenemos

ker(

ker(AA

λλ11,,22I I ) ) ::

1 1 1 1 11 2 2 2 2 22 1 1 1 1 11

x x yy zz

= 0= 0

xx ++ yy ++ zz = = 00

que tiene como base a

que tiene como base a

BB

==

{{

vv11 = (= (11,,

11,, 00,, )) ,, vv22= = (1(1,, 00,,

1)1)

}}

.. En cuanto aEn cuanto a λλ33 tenemostenemos

ker(

ker(AA

λλ33I I ) ) ::

3 3 1 1 11 22

2 2 22 1 1 11

33

x x yy zz

= 0= 0 com

como o esteste e sissistemtema a tietiene ne ranrango go 2, 2, hahay y dos dos ecuecuaciacioneones s linlinealealmenmente te indindepenependiedientntes. es. TTomaomando ndo la la priprimermera a y y segsegundundaa ecuaci´

ecuaci´on on tenemtenemosos

33xx ++ yy ++ zz = = 00 x

x

yy ++ zz = = 00 resolviendo este sistema llegamos al autovector

resolviendo este sistema llegamos al autovector vv = = (1(1,, 22,, 1)1) ,, por lo que la matriz de paso espor lo que la matriz de paso es 8. En

8. En RR33

, consideramos la aplicaci´

, consideramos la aplicaci´onon f f ((x,y,zx,y,z) = (3) = (3xx ++ y,y,

xx ++ y,y, 0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonaliz-0). Halla los valores y vectores propios. ¿Es diagonaliz-able?.

able?. 9. Sea

9. Sea E E  un espacio vectorial sobreun espacio vectorial sobre RR yy f f  un endomorfismo deun endomorfismo de E E  tal quetal que f 22

=

= f f . Demuestra que:. Demuestra que: (a)

(a) E E  == IImf mf 

kerker f.f. (b)

(b) f f  es diagonalizable.es diagonalizable. 10.

10. Si diSi dim(m(E E ) = 3 y) = 3 y

BB

==

{{

uu,,vv,,ww

}}

es una base dees una base de E E  tal quetal que

f ((uu) ) ==uu

ww,, f f ((vv) ) ==vv

22ww,, f f ((ww) ) = 0= 0

determinar una base

determinar una base

BB

 dede E E  respecto de la cual la matriz derespecto de la cual la matriz de f f  sea diagonal.sea diagonal.

11.

11. EstudEstudia si ia si es diagonales diagonalizablizable el e el endomendomorfismorfismo deo de RR22

definido por

definido por f f ((a,a, bb) ) = = ((aa ++ b,b, bb)).. 12. Sea

12. Sea f f  ::RR33

−→

RR33

el endomorfismo cuya expresi´

el endomorfismo cuya expresi´on anon analal´´ıtica ıtica respecrespecto dto de la e la basebase

BB

==

{{

ee11,,ee22,,ee33

}}

eses

yy11 yy22 yy33

==

1 1 11

11 0 0 22

11 0 0 1 1 00

x x11 x x22 x x33

..

(4)

(a)

(a) CalcuCalcula los la los vavalorelores s propipropios y os y sus subespaciosus subespacios s propipropios asociados.os asociados. (b)

(b) ¿Se puede encon¿Se puede encontrar otra basetrar otra base

BB

, tal que respecto a ella sea, tal que respecto a ella sea f f  diagonalizable?.diagonalizable?.

13. Sea

13. Sea f f  ::RR33

−→

RR33

el

el endomendomorfismorfismo o definiddefinido o por:por: f 

f ((x,y,zx,y,z) ) = = ((xx + 2+ 2yy

z,z, 22yy ++ z,z, 22yy + 3+ 3zz)).. (a)

(a) Halla la maHalla la matriz detriz de f f  respecto de la baserespecto de la base

BB

==

{{

ee11,,ee22,,ee33

}}

..

(b)

(b) CalcuCalcula los la los vvalorealores propios, los subespacios propis propios, los subespacios propios y os y comprcomprueba que el ueba que el subespasubespacio suma de cio suma de estos subespaestos subespacios escios es suma directa. suma directa. 14. Sea 14. Sea f f  ::RR33

−→

RR33

el endomorfismo cuya expresi´

el endomorfismo cuya expresi´on anon analal´´ıtica ıtica respecrespecto dto de la e la basebase

BB

==

{{

ee11,,ee22,,ee33

}}

eses

yy11 yy22 yy33

==

1 1 2 2 22 1 1 22

11

1 1 1 1 44

x x11 x x22 x x33

Encuentra una nueva base

Encuentra una nueva base BB tal que respecto de ella la expresi´tal que respecto de ella la expresi´on on anaanall´´ıtiıtica ca dede f f  venga dada por una matriz diagonal.venga dada por una matriz diagonal.

15.

15. ElevElevaa AA a la potencia enesima siendoa la potencia enesima siendo

A A ==

a a b b bb b b a a bb b b b b aa

.. 16.

16. DemDemuestruestra que una matriza que una matriz AA y su traspuestay su traspuesta AAtt tienen tienen el mismel mismo poo polinomio linomio caracter´caracter´ıstico.ıstico.

17. Sea

17. Sea AA una matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpouna matriz cuadrada de orden 2 con coeficientes en el cuerpo CC de los n´de los n´umeroumeros complejoss complejos. . Halla la condici´Halla la condici´onon

necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales. necesaria y suficiente para que los valores propios sean iguales. 18.

18. Halla todas las Halla todas las matrimatrices cuadradces cuadradas de as de orden 2 con orden 2 con coeficicoeficienteentes reales que tengan ps reales que tengan p or valoor valores propios 1 yres propios 1 y

1.1. 19. Sea

19. Sea V V  un un espacespacio io vecvectoriatorial l de de dimensdimensi´i´onon nn y seay sea V V  == W W 11

W W 22 donde dim(donde dim(W W 11) ) == mm. . EncEncuenuentra el poltra el polinoinomiomio

caracter´

caracter´ıstico ıstico de de la la proyecci´proyecci´onon ππ11 dede V V  sobresobre W W 11..

20.

20. En En el el espespaciacio o vevectoctoriarial l de de los polinolos polinomiomios s reareales de les de gragrado do menmenor or o o iguigual al que tres que tres se se defidefine ne la la aplaplicaicaci´ci´onon f f  dada pordada por f 

f (( p p((xx)) )) == pp((xx) +) + p p((xx))..

(a)

(a) DemDemuestruestra quea que f f  es un endomorfismo.es un endomorfismo. (b) Halla la matriz

(b) Halla la matriz AA asociada al endomorfismoasociada al endomorfismo f f  respecto de la base can´respecto de la base can´onica.onica.

(c) Sea la matriz (c) Sea la matriz J J  ==

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

y la matriz

y la matriz BB == AA ++ J.J. Prueba que las matricesPrueba que las matrices I , B , BI , B , B22

,, BB33 y y BB44 son son linealmente independientes. linealmente independientes. (d)

(d) Halla la matriz inHalla la matriz inverversa desa de BB.. 21.

21. Se considSe considera la matrizera la matriz

J  J  ==

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

11

11 11

1 1 11

11 11

11

1 1 11

..

Prueba que es diagonalizable y determinar una matriz

(5)

22.

22. EncueEncuentra una matrizntra una matriz C C  tal quetal que C C 22

= = AA, siendo, siendo A A ==

2626

1010

110 0 2266

.. 23.

23. CalcuCalcula, aplicandla, aplicando o el teorema de el teorema de CayCayley-Hley-Hamiltoamilton, la n, la invinversa de ersa de la matrizla matriz

A A ==

1 1 2 2 00

1 1 3 3 11 0 0 1 1 11

.. 24. Sea

24. Sea

BB

==

{{

ee11,,ee22,,ee33

}}

una base deuna base de IIRR33 yy AA la matriz de la matriz de un endomorfiun endomorfismo referidsmo referido a o a dicdicha base. ha base. En dicho endomorEn dicho endomorfismo,fismo,

los subespacios los subespacios V  V 11

xx ++ yy ++ zz = 0= 0, , V V 22 ==

xx

yy = = 00 x x

zz = = 00 est´

est´an asociados respectivamente a los vectores propiosan asociados respectivamente a los vectores propios λλ = = 1 1 yy λλ = 1= 1//2. Se pide:2. Se pide: (a)

(a) DiagoDiagonaliznaliza la matriza la matriz AA.. (b) Calcula la matriz

(b) Calcula la matriz M M  = = 22AA44

77AA33

+ 9 + 9AA22

55AA ++ I I .. (c)

(c) CalcuCalcula la matrila la matrizz N N  == AA−−33

44AA−−22 + 5 + 5AA−−11 + 4 + 4I I .. 25.

25. EstudEstudia para que valoria para que valores reales dees reales de tt, la matriz, la matriz AA es diagonalizable en el campo real siendoes diagonalizable en el campo real siendo

A

A ==

coscos tt sensen tt sen

sen tt coscos tt

..

26.

26. EncueEncuentra una forma can´ntra una forma can´onica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices:onica de Jordan y el cambio de base correspondiente de las siguientes matrices:

D D ==

3 3 22

22 0 0 44

11 0 0 1 1 22

,, E =E =

00

11

22 1 1 3 3 11 1 1 0 0 33

,, F =F =

2 2 00

11

11

11

11 1 1 0 0 11

,, G G ==

3 3 22

33 4 4 1010

1212 3 3 66

77

.. 27.

27. Diagonaliza las Diagonaliza las siguientes matrices siguientes matrices sim´sim´etricasetricas

A A ==

33

1 1 00

1 1 3 3 00 0 0 0 0 22

, , BB ==

102 102 00

1010 201 201

, , C C  ==

0 0 1 1 11 1 1 0 0 11 1 1 1 1 00

,,

calculando una matriz de paso

calculando una matriz de paso P P  ortogonal que permita escribir su forma diagonalortogonal que permita escribir su forma diagonal AA comocomo AA == P ttAP.AP.

28. Sea

28. Sea

BB

==

{{

ee11,,ee22,,ee33,,ee44,,ee55

}}

una base del espacio vectorialuna base del espacio vectorial RR55. Sea. Sea f f  un endomorfismo deun endomorfismo de RR55 del que se conocedel que se conoce

–– f f ((ee22) ) ==

ee22..

–– f f ((ee33++ ee44) =) = ee33++ ee44..

–– f f ((ee55) ) = 2= 2ee55++ ee11

ee22..

– El

– El polipolinomio nomio caracter´caracter´ıstico ıstico dede f f  tiene tiene la la rara´´ız ız triple triple 2.2. –

– Las Las ecuaciones impl´ecuaciones impl´ıcitas, respıcitas, respecto ecto de la de la basebase BB, del n´, del n´ucleo del endomorfismoucleo del endomorfismo f f 

22I I  sonson

x x11++ xx22++ xx33 = 0= 0 x x33++ xx44= = 00 x x55 = = 00 .. Se pide Se pide

(6)

(a)

(a) MatMatriz deriz de f f  respecto de la baserespecto de la base BB.. (b) La forma can´

(b) La forma can´onica de Jordan deonica de Jordan de f f  y una matriz de pasoy una matriz de paso P P .. 29.

29. DadDada la a la matmatriz A:riz A:

A A ==

11 αα 00 00

11 β β  0 0 0 0 22

donde

donde αα yy β β  son dos n´son dos n´umeros reales. Se pideumeros reales. Se pide (a)

(a) EstudEstudia para que valia para que valores deores de αα yy β β  la matrizla matriz AA es diagonalizable.es diagonalizable. (b)

(b) ParPara aquellos vala aquellos valores para los ores para los que no que no sea diagonasea diagonalizablizable hallar la le hallar la forma can´forma can´onica de Jordan y la matriz de pasoonica de Jordan y la matriz de paso correspondiente en funci´

correspondiente en funci´on deon de αα yy β β .. 30.

30. Estudia para Estudia para qu´qu´e e valorvalores es de de los par´los par´ametrosametros aa yy bb, reales, la matriz, reales, la matriz

A A ==

5 5 0 0 00 00

11 bb 3 3 00 aa

es diagonalizable, calculando: es diagonalizable, calculando: (a)

(a) FForma can´orma can´onica de Jordan y la matriz de paso para los valoresonica de Jordan y la matriz de paso para los valores aa ==

1 1 yy bb ==

1.1. (b)

(b) FForma can´orma can´onica de Jordan y matriz de paso paraonica de Jordan y matriz de paso para aa = = 1 1 yy bb = 10. Calcular en este caso= 10. Calcular en este caso AA129129

.. 31. Sea

31. Sea f f  un endomorfismo deun endomorfismo de RR33

.

. Se saSe sabe que unbe que una basa base del n´e del n´ucleo del endomorfismo est´ucleo del endomorfismo est´a constituida por los vectoresa constituida por los vectores (1

(1,, 11,, 0) y (10) y (1,, 00,, 1) y que la imagen del vector (01) y que la imagen del vector (0,, 22,, 1) es el vector (11) es el vector (1,, 11,, 0). Se pide0). Se pide (a)

(a) VValores propios y subespacios invaralores propios y subespacios invariantes deiantes de f f .. (b)

(b) DiagoDiagonaliznaliza el a el endomendomorfismorfismoo f f .. (c)

(c) ClasiClasifica dicho endomorfica dicho endomorfismo.fismo. (d)

Figure

Actualización...

Referencias