Sistemas superintegrables en espacios homogéneos de SU(p, q)

(1)

Universidad de Valladolid

Sistemas superintegrables en espacios

homogéneos de SU(p, q)

Juan Antonio Calzada Delgado

2002

Tesis de Doctorado

Facultad de Ciencias

(2)

Sistemas Superintegrables en

Espacios Homog´eneos de SU(p,q)

Tesis Doctoral

Juan Antonio Calzada Delgado

Julio 2002

Universidad de Valladolid

Departamento de F´ısica Te´orica

(3)

(4)

Agradecimientos

Deseo, en estas pocas l´ıneas, reconocer la ayuda y el apoyo del que he dispuesto durante estos a˜nos para la realizaci´on de este trabajo.

En primer lugar mi agradecimiento a Mariano del Olmo, mi director de Tesis. Con él se inició esta idea y gracias a su apoyo, consejo y ayuda se ha podido terminar. Gracias por el interés y el tiempo dedicado a la resolución de las innumerables dudas que han surgido y por el trato recibido en todo momento.

También deseo expresar mi especial agradecimiento a Javier Negro y a Miguel Ángel Rodr´ıguez, con los que he compartido cálculos y congresos, por resolver siempre con amabilidad todas mis preguntas.

A los departamentos de Matem´atica Aplicada a la Ingenier´ıa y de F´ısica Te´orica de la Universidad de Valladolid que me ayudaron en todo lo que estuvo en su mano.

Muchas son las cosas que han cambiado en el tiempo en el que he realizado este trabajo, sin embargo, he contado siempre con el apoyo de mi familia en momentos buenos y no tan buenos. Esto constituye una de las lecciones m´as importantes de estos a˜nos.

A Lourdes por su ´animo constante para terminar la Tesis, por su confi-anza y apoyo, y a la recien llegada Irene que me ha cambiado la perspectiva de las cosas y me ha permitido ver la belleza de los primeros pasos de la vida.

A Nicol´as, amigo desde hace muchos a˜nos, por esta amistad y por la ayuda prestada en todo momento que la he necesitado.

(5)

´Indice general

I La reducción simpléctica y la ecuación de Hamilton–

Jacobi 7

1. Introducci´on 9

1.1. Reducci´on simpl´ectica . . . 9

1.2. La ecuaci´on de Hamilton–Jacobi . . . 14

1.3. Separaci´on de variables en la ecuaci´on de H–J . . . 19

1.4. Sub´algebras abelianas maximales de su(p, q) . . . 22

II Sistemas superintegrables en dimensión uno y dos 27 2. Sistemas superintegrables en dimensión uno 29 2.1. Reducción por simetr´ıa en SU (2) . . . 29

2.2. Ecuaci´on de Hamilton–Jacobi . . . 36

2.3. Reducci´on por simetr´ıa en SU (1, 1) . . . 39

2.3.1. Sub´algebra de Cartan compacta . . . 39

2.3.2. Sub´algebra de Cartan no compacta . . . 43

2.3.3. Sub´algebra nilpotente . . . 49

3. Sistemas superintegrables en dimensi´on dos 55 3.1. Sistemas superintegrables en SU (3) . . . 55

3.2. Sistemas superintegrables tipo SU (2 , 1) . . . 60

3.2.3. Sub´algebra ortogonalmente descomponible . . . 71

3.2.4. Sub´algebra nilpotente . . . 75 1

(6)

2 ´INDICE GENERAL

III La sub´algebra de Cartan compacta 81

4. La sub´algebra de Cartan compacta 83

4.1. La geometr´ıa del espacio de configuraci´on. . . 84

4.1.1. Grupos de Cayley–Klein pseudo-ortogonales. . . 84

4.1.2. Los espacios homog´eneos SOκ(n + 1)/SOκ0(n). . . . 85

4.1.3. Grupos de Cayley–Klein pseudo–unitarios. . . 86

4.1.4. Coordenadas afines . . . 88

4.1.5. Hamiltonianos libres en Cn+1 κ yCκn . . . 90

4.2. Reducci´on por simetr´ıa . . . 90

4.4. Proyecci´on de flujos geod´esicos . . . 98

4.5. Representaci´on de Lax . . . 99 4.5.1. Ejemplo: su(1, 1) . . . 101 4.5.2. su(2) . . . 102 4.5.3. su(3) . . . 102 4.5.4. su(2, 1) . . . 103 4.5.5. su(2, 2) . . . 104

5. Contracciones de sistemas superintegrables 107 5.1. Contracci´on de los sistemas de coordenadas . . . 109

5.2. Hamiltonianos suκ(n + 1) . . . 111

5.3. Reducci´on de la sub´algebra de Cartan compacta . . . 113

5.3.1. Reducci´on del espacio de fase en _Hn κ . . . 114

5.3.2. Contracci´on y reducci´on . . . 115

5.4. Integrales del movimiento . . . 116

5.6. Ejemplos de contracci´on de sistemas integrables . . . 124

5.6.1. Sistemas con n = 4 . . . 124

5.6.2. Contracci´on de los sistemas de su(1, 1) . . . 125

6. Sistemas superintegrables cu´anticos 129 6.1. Sistemas cu´anticos asociados a su(2) . . . 129

6.2. Sistemas cu´anticos asociados a su(1, 1). . . 144

6.2.3. Sub´agebra nilpotente . . . 160

6.3. Sub´algebra de Cartan compacta . . . 164

6.3.1. Caso n = 1 . . . 166

(7)

´_{INDICE GENERAL} ₃

6.3.3. Caso general . . . 169

IV Ap´endice 173 A. Sistemas integrables en su(2, 2) 175 A.1. Sub´algebra de Cartan compacta_M1 . . . 175

A.2. Sub´algebra de Cartan no compacta_M2 . . . 176

A.3. Sub´algebra de Cartan no compactaM3 . . . 176

A.4. Sub´algebra ortogonalmente descomponible M4 . . . 177

A.5. Sub´algebra ortogonalmente descomponible _M5 . . . 177

A.8. Sub´algebra ortogonalmente descomponible _M8 . . . 179

A.9. Sub´algebra ortogonalmente indescomponible pero descom-ponible M9 . . . 179

A.10.Sub´algebra nilpotente_M10 . . . 180

A.11.Sub´algebra nilpotente_M11 . . . 181

V Conclusiones 183

(8)

´Indice de figuras

2.1. Espacio de fase . . . 36 2.2. Superficie de energ´ıa . . . 37 2.3. Coordenada φ y momento pφ . . . 39 2.4. Espacio de fase . . . 41 2.5. Superficie de energ´ıa . . . 41

2.6. Representaci´on del potencial . . . 45

2.7. Espacio de fase . . . 47

2.8. Superficie de energ´ıa . . . 47

2.9. Potencial . . . 51

2.10. Espacio de fase y superficie de energ´ıa . . . 52

3.1. Potencial para la sub´algebra de Cartan compacta de su(3) . 58 3.2. Potencial . . . 64 3.3. Potencial . . . 69 3.4. Potencial . . . 73 3.5. Potencial . . . 77 6.1. Puntos en el espacio kn i . . . 133 6.2. Estados fundamentales . . . 135 6.3. Estados propios de_H0 . . . 136

6.4. Estados fundamentales (a, b) . . . 138

6.5. Estados propios de_H0 . . . 139

6.6. Estados fundamentales (b, a) . . . 140

6.7. Estados propios de_H0. Factorizaci´on (b ,a) . . . 141

6.8. Valores propios . . . 142

6.9. Puntos en el espacio kn i . . . 148

6.10. Estados fundamentales . . . 149

6.11. Estados propios de_H0 . . . 150

6.12. Estados fundamentales para_Hn= A−n+1A+n+1+ λn+1 . . . 152

(9)

6 ´INDICE DE FIGURAS

6.13. Estados propios deH0 . . . 152

6.14. Estados propios de_H0. Factorizaci´on (b,a) . . . 154

6.15. Valores propios. Sub´algebra de Cartan compacta . . . 155

6.16. Estados fundamentales para k0= 1 y k1=−6 . . . 158

6.17. Estados propios de_H0. Sub´algebra de Cartan no compacta 159 6.18. Estados fundamentales para k0= 9 y k1= 1 . . . 163

(10)

I

Introducci´

on

La presente memoria trata sobre sistemas superintegrables, los cuales juegan un papel especial dentro de los sistemas integrables.

Diremos que un sistema hamiltoniano con n grados de libertad y hamil-tonianoH es completamente integrable ([1], [41], [97], [137]) si tiene n − 1 integrales del movimiento Qj(s , p) y el conjunto{H , Qj} , j = 1 . . . n − 1 es

funcionalmente independiente, bien definido en el espacio de fase y est´a en involuci´on.

En aquellos casos en los que existen más de n−1 integrales del movimien-to, no todas ellas en involución, el sistema es llamado superintegrable. Se denomina máximamente superintegrable el sistema para el cual el número de las integrales es 2 n− 1.

Ejemplos de este tipo de sistemas ([32], [33], [34]) los encontramos en el oscilador armónico [87], el problema de Kepler ([138] y los sistemas de Calogero–Moser ([42], [77], [115], [117], [141]), de Smorodinski–Winternitz ([37], [88]) y de Drach ([116], [119], [134]). En las últimas décadas se ha desarrollado un intenso trabajo para comprender las propiedades de los mismos como, por ejemplo, el que en el problema de Kepler y en el os-cilador armónico las trayectorias clásicas acotadas sean cerradas [78] y a nivel cuántico que el espectro de energ´ıa esté degenerado [80].

Estos potenciales separables fueron de gran importancia en la mecánica hamiltoniana antes de la aparición de los nuevos métodos geométricos de las ecuaciones diferenciales. Problemas tales como el estudio, por parte de Jacobi, de las geodésicas de un elipsoide [5] o el de Neumann sobre una part´ıcula que se mueve sobre una esfera sometida a una fuerza lineal uti-lizaron la separación de la ecuación de Hamilton–Jacobi. En fechas más re-cientes encontramos estas técnicas aplicadas a diferentes ramas de la f´ısica resolviendo problemas como el cálculo de la órbita de un satélite artificial orbitando un planeta oblato, la dinámica de galaxias el´ıpticas y la determi-nación de las funciones de onda del átomo de hidrógeno, por ejemplo.

Desde un primer momento se vió que exist´ıa relación entre estas propiedades y la separación de la ecuación de Hamilton–Jacobi para estos potenciales en más de un sistema de coordenadas [32]. Sommerfeld [130] destacó que si un potencial es separable en más de un sistema de coordenadas entonces posee

(11)

II

las suficientes constantes del movimiento funcionalmente independientes y en involuci´on que lo convierten en superintegrable.

El estudio de las condiciones de separabilidad de la ecuación de Ha-milton–Jacobi se remonta a los trabajos de Stäckel [131] en 1891, donde proporcionó un método para calcular la forma de las cantidades _Hi en la

ecuaci´on de Hamilton–Jacobi X i 1 H2 i ∂φ ∂xi 2 + k2(E− V ) φ = 0 ,

de tal forma que las variables fueran separables, siendo la solución de la ecuación expresable como suma de términos dependientes cada uno de una ´

unica variable.

En 1927 Robertson [124] encontr´o que para que la ecuaci´on X i 1 H∂xi H H2 i ∂φ ∂xi + k2(E_{− V ) φ = 0 ,}

con_{H = H}1× · · · × Hntenga una soluci´on de la formaQiXi, donde cada

funci´on Xi depende ´unicamente de la variable xi, las funciones Hi deb´ıan

ser de la forma indicada por St¨ackel y el potencial

V =X i f (xi) H2 i ,

siendo f (xi) es una funci´on arbitraria dependiente de la variable xi.

Tam-bién demostró que el determinante φ de las funciones de Stäckel debe cumplir la ecuación

φ =Y Hi ψ(xi)

, (1)

siendo ψ(xi) una funci´on dependiente ´unicamente de xi.

Igualmente encontró que la ecuación de Schrödinger presenta una solu-ción separable si la tiene la de Hamilton–Jacobi y si además el tensor de Ricci es diagonal.

En 1934 Eisenhart ([29], [30]) encontr´o la forma de las funciones_H1,H2

yH3 tal que el espacio con la forma fundamental

(12)

III

sea eucl´ıdeo y las funciones φ satisfagan (1). Obtuvo todos los sistemas or-togonales para los cuales las ecuaciones de Hamilton–Jacobi y de Schr¨odinger en el espacio plano tridimensional son separables.

En este sentido Winternitz et al. en 1965 iniciaron una búsqueda de los potenciales separables en más de un sistema de coordenadas. El resultado fue que todo potencial con dos grados de libertad es separable en más de un sistema coordenado [37], para ello buscaron los potenciales V (x1, x2)

con simetr´ıas que no sean de origen geom´etrico mediante el c´alculo de op-eradores diferenciales de orden no superior a dos, encontrando que existen dos operadores de este tipo funcionalmente independientes y que conmu-tan con el hamiltoniano H = −1

2∇ + V (x1, x2) si el potencial admite la

separaci´on de variables en dos sistemas coordenados de diferente tipo, o igual pero trasladado o rotado, para los cuales la ecuaci´on de Helmholtz (∇2 _{+ k}2_{) ψ = 0 en dimensi´}_{on dos es separable. Las coordenadas eran}

las cartesianas, polares, parabólicas y el´ıpticas. En este trabajo no se hizo hipótesis alguna sobre la ecuación de Hamilton–Jacobi.

Posteriormente extendieron el estudio a sistemas con tres grados de lib-ertad encontrando todos los potenciales separables en coordenadas esféricas y en al menos otro sistema de coordenadas. Evans [32] en 1989 completó la clasificación para tres grados de libertad, probando que los sistemas con in-variantes cuadráticos en los momentos canónicos deben admitir soluciones separables para la ecuación de Hamilton–Jacobi en al menos dos sistemas de coordenadas.

En una serie de art´ıculos Kalnins et al. estudiaron varios problemas de separabilidad asociados a diferentes ecuaciones y espacios ([63]–[76]). Por ejemplo, en 1975, Kalnins [64] clasificó todos los sistemas de coordenadas en el espacio de Minkowski en dimensión dos para los cuales la ecuación ∇ψ + k2ψ = 0 es separable y también los sistemas ortogonales separables para el caso de dimensión tres. En [65] junto a Miller Jr. encontraron 71 sistemas de coordenadas ortogonales y 3 no ortogonales que hac´ıan sepa-rable el problema de valores propios para el operador de Laplace-Beltrami sobre un hiperboloide de la forma z2

1+ z22− z32− z42 = 1.

En 1978 Boyer, Kalnins y Miller Jr. [19] obtuvieron todas las métricas y los sistemas separables para una variedad riemanniana en dimensión cua-tro. Los sistemas de coordenadas fueron clasificados en función del número de variables ignorables que tuviesen. Los sistemas listados en este trabajo eran tanto ortogonales, coincidiendo con los dados por Stäckel, como no ortogonales.

(13)

IV

Posteriormente Boyer, Kalnins y Winternitz [20] en 1983 trabajaron con HH(2), espacio de curvatura no constante definido, para n arbitrario, como sigue: consideremos la base est´andar de Cn+1 _{y sea la forma herm´ıtica}

F (x, y) =_−¯x0y0+ n X k=1 ¯ xkyk,

esta forma es invariante bajo la acci´on del grupo U (n, 1), el cual act´ua transitivamente en la superficie de Cn+1 dada por

F (y, y) =₋₁

El grupo U (1) = {ei θ_{} act´ua libremente en esta variedad mediante y →}

ei θy. El espacio de las ´orbitas es _HH(n).

Encontraron doce sistemas de coordenadas para los cuales la ecuación de Hamilton–Jacobi y la de Laplace–Beltrami son separables. Cada uno de los sistemas obtenidos contiene dos variables ignorables y dos esenciales. Mediante la reducción del hamiltoniano trivial enHH(2) mediante un sub-grupo abeliano maximal de SU (2, 1), sub-grupo de isometr´ıas de _{HH(2), se} obtiene un hamiltoniano reducido sobre O(2, 1), con un potencial no triv-ial. En este espacio existen nueve sistemas de coordenadas separables. Las coordenadas no ignorables en los sistemas de _{HH(2) son introducidas de} forma que exista separación de variables en el hiperboloide de O(2, 1).

En 1985 los mismos autores [21] extendieron el estudio de la separaci´on de variables para la ecuaci´on de Hamilton–Jacobi y Laplace–Beltrami a los espacios proyectivos CP (n).

Otra aproximación a la superintegrabilidad ha sido la realizada por Rañada al obtener los sistemas reales y varios complejos en el plano eucl´ıdeo ([116], [119]), partiendo de varios potenciales de Drach con una constante del movimiento cúbica en los momentos.

También Rañada et al. ([118], [121], [122]) estudiaron sistemas super-integrables de una manera unificada para dimensión dos sobre la esfera S2 _{y sobre el plano hiperb´}_olico _H2_{, recuperando como caso particular los}

resultados para el plano eucl´ıdeo obtenidos en [116].

El interés en el estudio de la separación de variables en la ecuación de Hamilton–Jacobi decayó substancialmente con la introducción de los nuevos métodos de estudio en mecánica clásica, los cuales hac´ıan más énfasis en los aspectos cualitativos que en los cuantitativos. Sin embargo, con la investi-gación de Carter [26] en relatividad general dicho interés volvió a resurgir.

(14)

V

Su principal resultado fue el encontrar que la ecuación de Hamilton–Jacobi para las geodésicas en la solución de Kerr pod´ıa ser resuelta mediante sep-aración de variables.

En 1993 Winternitz et al. [140] y en 1996 del Olmo et al. ([106], [108]) estudiaron la construcción de sistemas superintegrables en hiperboloides mediante la proyección del movimiento libre en espacios homogéneos de SU (p, q). El trabajo se puede encuadrar dentro de un amplio contexto, por una parte la clasificación de las subálgebras abelianas maximales de las álgebras de Lie, las cuales son utilizadas en la reducción por simetr´ıa para obtener los sistemas integrables. Por otra, parte en la obtención sis-temática de sistemas maximalmente superintegrables y, finalmente, dentro de la interpretación grupo–teórica de la separación de variables en ecua-ciones diferenciales en derivadas parciales.

En la literatura también existen referencias que estudian la superinte-grabilidad en sistemas cuánticos como por ejemplo Bonatsos et al. ([17], [18]) estudiaron el oscilador armónico isótropo y la versión cuántica del po-tencial de Holt como un oscilador deformado. Más recientemente Kalnins et al. ([72], [69]) en 1998 han estudiado los potenciales para los cuales la ecuación de Schrödinger es maximalmente superintegrable en el espacio eu-cl´ıdeo de dimensión tres y en el hiperboloide en dimensión dos. También citamos a Daskaloyannis [27], que aborda el estudio de los sistemas super-integrables cuánticos mediante la deformación del álgebra de Poisson en un ´

algebra cuántica asociativa, a Kibler et al. con el estudio del sistema de Kepler [79] y, finalmente, a Sheftel et al. [128] que relacionan las simetr´ıas de Lie de segundo orden de la ecuación de Schrödinger en el plano con la superintegrabilidad, en el sentido de que las simetr´ıas existen si y sólo si la ecuación de Schrödinger admite la separación de variables.

La construcción de sistemas superintegrales, que será estudiada en es-ta memoria, se basa en la reducción, aplicando el método de Marsden– Weinstein [90], de un sistema hamiltoniano con potencial nulo para obtener otro sistema con un potencial asociado superintegrable.

La memoria está organizada en cinco cap´ıtulos. En el primero se reunen resultados ya disponibles en la literatura y que serán de interés para este trabajo con la pretensión de que resulte autocontenido. Veremos aqu´ı de manera escueta los fundamentos de la teor´ıa de la reducción que será uti-lizada en los cap´ıtulos 2 y 3 para obtener los sistemas superintegrables. El planteamiento de la ecuación de Hamilton–Jacobi y su posterior resolución será el método elegido para integrar las ecuaciones del movimiento de los

(15)

VI

sistemas. Veremos en qué consiste esta ecuación y la importancia que posee la separación de variables para integrar las ecuaciones, as´ı como los resulta-dos disponibles relacionaresulta-dos con esta separación. Por último comentaremos los principales resultados relacionados con las subálgebras abelianas maxi-males que serán utilizadas en la reducción.

En el cap´ıtulo 2 estudiaremos los sistemas superintegrables en dimensi´on uno asociados a las sub´algebras de su(2) y su(1, 1). En el primer caso existe ´

unicamente la subálgebra de Cartan compacta y para su(1, 1) encontramos tres: la Cartan compacta, la Cartan no compacta y una nilpotente. Se estudiarán los espacios de fase y se resolverá la ecuación de Hamilton– Jacobi asociada a cada uno de ellos.

El cap´ıtulo 3 se ocupa de los sistemas en dimensión dos asociados a las subálgebras abelianas maximales de su(3) y su(2, 1). Encontramos uno y cuatro casos, respectivamente. Al igual que en el cap´ıtulo anterior se estudiará la ecuación de Hamilton–Jacobi y también las integrales primeras que les caracterizan como superintegrables.

Una visión unificada en cualquier dimensión para la subálgebra de Car-tan compacta de su(p, q) será el objeto del cap´ıtulo 4. Para ello introducire-mos el formalismo de las álgebras de Cayley-Klein [9], [51] que permite un tratamiento unificado de los hamiltonianos reducidos asociados a esta subálgebra de su(p, q).

A continuación analizaremos la aplicación de las contracciones de tipo Inönü–Wigner ([58], [59]) a la obtención de nuevos sistemas superinte-grables. Lo veremos en el cap´ıtulo 5 aplicado a la subálgebra de Cartan compacta.

En el cap´ıtulo 6, estudiaremos la versión cuántica de estos sistemas clásicos. Definiremos el operador hamiltoniano como la restricción a un determinado espacio de funciones del operador Casimir correspondiente. Reduciremos el problema de valores propios para este hamiltoniano al que encontrar´ıamos al aplicar la cuantización canónica sin más que expresar la ecuación diferencial resultante en su forma normal. El método que se uti-lizaremos para calcular los valores y vectores propios es el de factorización de Infeld y Hull [57]. Obtendremos familias de hamiltonianos dependientes de un parámetro n, con la condición de que para n = 0 recuperemos el sistema inicial _{H. Gracias a la factorización podremos conocer de manera} inmediata un estado propio para cada uno de sus componentes de la familia y como utilizarlo para construir un estado propio para el sistema H y su valor propio asociado.

(16)

VII

Finaliza la memoria con un ap´endice en el que, a modo de resumen vemos los sistemas superintegrables asociados a las sub´algebras abelianas maximales de su(2, 2).

(17)

Parte I

La reducci´

on simpl´

ectica y la

ecuaci´

on de Hamilton–Jacobi

(18)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

En este cap´ıtulo vamos a reunir los conceptos que iremos utilizando a lo largo de la memoria. En los dos cap´ıtulos 2 y 3 trataremos la obten-ción de los sistemas superintegrables mediante la reducción simpléctica de Marsden–Weinstein [90] utilizando subálgebras abelianas maximales [56], [107]. Comentaremos en primer lugar las definiciones más relevantes para el trabajo.

A continuación veremos los fundamentos de la ecuación de Hamilton– Jacobi y de la separación de variables en la misma, como método para integrar la ecuación en derivadas parciales. Estas ideas serán aplicadas para integrar las ecuaciones del movimiento de los sistemas que trataremos en los cap´ıtulos 2 y 3.

Finalizaremos con una breve descripción de las subálgebras abelianas maximales de su(p, q). Veremos en este punto las diferentes subálgebras que serán utilizadas en la memoria.

1.1. Reducci´

on simpl´

ectica

La reducción por simetr´ıa ([90], [1], [40], [44]) ha sido aplicada a nu-merosos problemas en las últimas décadas. Arnold [6] en el año 1966 dio una visión unificada del problema del cuerpo r´ıgido en ausencia de fuerzas externas. Las ecuaciones de Euler para el mismo son ([84],[41])

I1Ω˙1 = (I2−I1) Ω2Ω3, I2 ˙Ω2= (I3−I1) Ω3Ω1, I3 ˙Ω3 = (I1−I2) Ω1Ω2,

donde hemos llamado Ii, i = 1, 2, 3, a los momentos de inercia y Ωi a las

componetes del vector velocidad angular. Podemos encontrar una estruc-9

(19)

10 Introducci´on tura hamiltoniana para las ecuaciones del s´olido r´ıgido introduciendo el momento angular

Πi= IiΩi, i = 1, 2, 3 ,

con lo que las ecuaciones de Euler se transforman en ˙ Π1 = I2− I3 I2I3 Π2Π3, Π˙2 = I3− I1 I3I1 Π3Π1, Π˙3 = I1− I2 I1I2 Π1Π2, (1.1)

es decir ˙Π = Π× Ω. Si consideramos el corchete de Poisson sobre las fun-ciones que act´uan sobre Π como el dado por

{F, G}(Π) = −Π · (∇ F × ∇G) , y el hamiltoniano H = 1₂ Π 2 1 I1 + Π 2 2 I2 + Π 2 3 I3 , (1.2)

entonces las ecuaciones de Euler son equivalentes a ˙F =_{{F, H}.}

Desde otro punto de vista las ecuaciones (1.1) pueden ser entendidas como la evoluci´on del punto con coordenadas (Π1, Π2, Π3) en un espacio

tridimensional. Una constante del movimiento es la dada por el m´odulo del momento angular total _||Π||2 _{= Π}2

1 + Π22 + Π23, luego la evoluci´on de

cualquier punto est´a restringido a la esfera ||Π||2 _{= cte. Esta esfera es el}

espacio de fase reducido para las ecuaciones del cuerpo r´ıgido y sobre ´el tenemos definido el hamiltoniano (1.2).

Las soluciones a (1.1) est´an restringidas a las curvas de nivel de _H, las cuales son en general elipsoides, as´ı como a las esferas ||Π|| = cte, las intersecci´on de las dos superficies son las trayectorias del cuerpo r´ıgido.

En el problema de la rotaci´on libre del s´olido r´ıgido el espacio de fase es T?_{SO(3) que tiene dimensi´}_{on seis y puede ser parametrizado por los tres}

´

angulos de Euler y sus momentos conjugados. Podemos pasar de dimensi´on seis a dimensi´on dos aprovechando

1. la invariancia rotacional del hamiltoniano y

2. la existencia de una cantidad que se conserva, µ, que es el momento angular.

Estas dos condiciones se pueden generalizar a sistemas mecánicos arbitrar-ios que presenten simetr´ıa siendo ésta la base de la reducción de Marsden– Weinstein [90]. Veamos como ser´ıa esta generalización, sea _{P el espacio}

(20)

1.1 Reducción simpléctica 11 de fase del sistema y supongamos que existe un grupo G de simetr´ıa que transforma _{P en si mismo mediante una transformación canónica. La} gen-eralización de la condición 2 se realiza definiendo una cantidad conservada denominada aplicación momentoJ .

De manera similar a como en el ejemplo del sólido r´ıgido considerábamos el conjunto en el que el momento angular total tiene un valor fijo ahora tomaremos el conjunto de todos los puntos del espacio de fase para los cuales la aplicación momentoJ tiene un determinado valor µ, es decir las µ–curvas de nivel para J .

Finalmente, el análogo a la esfera invariante será el espacio de fase reducido _Pµ. Para su construcción consideremos el µ–conjunto de nivel

para_{J en el cual dos puntos, que pueden ser transformados uno en el otro} mediante una transformaci´on del grupo de simetr´ıa, est´an identificados.

El teorema de la reducci´on nos dice que _Pµ hereda la estructura

sim-pl´ectica (o el corchete de Poisson) de la de P y puede ser utilizado como nuevo espacio de fase. Las trayectorias dadas por el hamiltoniano _{H en P} determinan las correspondientes trayectorias en el espacio de fase reducido. El sistema din´amico nuevo, que obtenemos mediante este procedimiento, se llama el sistema reducido.

Dentro de este proceso es de gran importancia la obtención de la apli-cación momento. Veamos a continuación como definir esta cantidad conser-vada.

Sea G un grupo de Lie, g su álgebra de Lie asociada y_{P una variedad} de Poisson sobre la que actúa G mediante aplicaciones de Poisson ([91], [92]), es decir mediante una aplicación f : P1→ P2 entre dos variedades de

Poisson (P1,{ , }1) y (P2,{ , }2) tal que f?{F, G}2 ={f?F, f?G}1. Tenemos

dos acciones definidas sobre P, por una parte la del grupo G definida para todo g ∈ G sobre z ∈ P, denotada g.z, y por otra la acci´on infinitesimal de g sobre _{P dada por la aplicaci´on}

g_{−→ X(P)} ξ _{−→ ξ}_P

donde el campo vectorial ξ_P en z es obtenido diferenciando g · z en la direcci´on ξ para g = e, es decir

ξ_P(z) = d dt

h et ξ _{· z}i

t=0 ,

(21)

12 Introducción Definición 1. Diremos que una aplicación J : P → g? _{es una aplicaci´}_on

momento si el campo vectorial asociado a _{hJ , ξi = hJ (z), ξi coincide con} el campo ξ_P_{∀ ξ ∈ g, es decir}

XhJ ,ξi= ξP

La aplicaci´on momento ser´a una cantidad conservada si se cumple el siguiente resultado

Teorema 1. (Noether) Si _{H es un hamiltoniano G–invariante sobre P} entoncesJ se conserva sobre las trayectorias del campo vectorial XH.

Para los sistemas que estudiaremos en esta memoria ser´a importante definir las aplicaciones momento sobre los fibrados cotangentes.

Sea _{P una variedad sobre la que actúa G. Esta acción induce a su vez} una acción de G sobre T?P mediante el levantamiento cotangente, la cual es siempre simpléctica y por tanto Poisson. Se verifica que

Teorema 2. Una aplicaci´on momento para un levantamiento cotangente est´a dada por

J : T?P _{−→ g}?

pq−→ hJ , ξi(pq) =hpq, ξP(q)i

Si utilizamos coordenadas can´onicas entonces pq = (qi, pj) y si

defini-mos las funciones de acci´on Ai_α mediante (ξ_Q)i= Ai_α(q)ξα entonces

hJ , ξi(pq) = piAiα(q) ξα,

y por consiguiente

Jα = piAiα(q)

Veamos un poco más en detalle la reducción. Podemos considerar tres casos de reducción según el nivel de generalidad, la reducción de Poisson, la simpléctica y la reducción del fibrado cotangente, siendo el más general el primero y el menos el último.

En la reducci´on de Poisson consideremos una variedad de PoissonP y un grupo de Lie G que act´ua sobre ella mediante aplicaciones de Pois-son. Suponiendo que P/G sea una variedad C∞ _{diferenciable podemos}

dotarla de una estructura de Poisson única tal que la proyección canónica π :_{P → P/G sea una aplicación de Poisson. Para construir esta estructura}

(22)

1.1 Reducci´on simpl´ectica 13 consideremos dos aplicaciones f, k :P/G → R y sean F = f ◦π y K = k ◦π, entonces

{f, k}P/G◦ π = {F, K}P.

Para el caso particular _{P = T}?_{G tenemos el siguiente resultado}

Teorema 3. (Reducci´on de Lie–Poisson). Sea _{P = T}?G y supong-amos que G act´ua sobre _{P mediante el levantamiento cotangente de las} translaciones por la izquierda. Si se dota a g?con el corchete de Lie–Poisson, con signo negativo, entonces _{P/G w g}?.

En el contexto de la reducción simpléctica consideremos una variedad simpléctica (P, Ω) y un grupo de Lie que actúa sobre P mediante apli-caciones simplécticas, es decir mediante una acción simpléctica. Sea _J una aplicación momento equivariante y _{H un hamiltoniano G–invariante} definido sobreP. Llamemos Gµal subgrupo de isotrop´ıa de µ∈ g?, es decir

al conjunto _{{g ∈ G | g · µ = µ}. Debido a la equivariancia G}µ deja

invari-ante a _J−1_{(µ). Supongamos que µ es un valor regular de} _{J , de forma que}

J−1_{(µ) es una variedad suave, y que G}_µ _act´_{ua de manera libre y propia}

sobre _J_µ−1, de forma que

Pµ:=J−1(µ)/Gµ

sea una variedad suave. Consideremos la aplicaci´on inclusi´on dada por iµ:

J−1_(µ)_{→ P y la proyecci´on π}_µ_:_J−1_(µ)_{→ P}_µ_{. Tenemos que}

dim _Pµ= dimP − dim G − dim Gµ,

y finalmente

Teorema 4. Marsden–Weinstein([90]). Existe una ´unica estructura simpl´ectica Ωµ enPµ cumpliendo

i?_µΩ = π?_µΩµ.

A partir del hamiltoniano G–invarianteH definimos el hamiltoniano re-ducido_Hµ:Pµ→ R mediante H = Hµ◦πµ. En la reducci´on las trayectorias

de _X_H se proyectan en las trayectorias de _X_Hµ. El proceso contrario es la

reconstrucci´onde las trayectorias de X_H a partir de las de X_Hµ.

Corolario 1. Representemos por Oµ la ´orbita coadjunta a trav´es de µ.

Como caso particular de la reducci´on simpl´ectica tenemos (T?G)µwOµ

(23)

14 Introducci´on La estructura simpl´ectica que hereda Oµ es llamada la estructura

sim-pl´ectica de la ´orbita.

Por ´ultimo Kazhdan, Kostant y Stenberg [77] en 1978 establecieron el siguiente teorema

Teorema 5. (Reducci´on de la ´orbita). La variedad Pµpuede ser

con-struida de forma alternativa como

POµ =J−1(Oµ)/G ,

donde_Oµ∈ g? es la ´orbita coadjunta a trav´es de µ. Los espaciosPµ yPOµ

son isomorfos.

1.2. La ecuaci´

on de Hamilton–Jacobi

Una vez obtenidos los sistemas mediante la reducción simpléctica pro-cederemos a integrar las ecuaciones del movimiento. Para tal fin utilizare-mos el formalismo de Hamilton–Jacobi, lo cual no es necesario para los sistemas con un grado de libertad, pero s´ı es conveniente para los de dos y más. Describiremos en lo que sigue los fundamentos de esta teor´ıa para lo cual nos hemos basado en [5], [41] y [84].

Consideremos la acci´on definida a trav´es de la integral S =

Z t₂

t1

L dt ,

a lo largo de una trayectoria entre las posiciones q1 y q2 en los que se

encuentra el sistema en los instantes t1 y t2. Veamos aS como la magnitud

que caracteriza movimientos reales, los que verdaderamente sigue el sistema, entre un origen com´un q(t1) = q1 y un punto arbitrario alcanzado por el

sistema en t2.

Para un grado de libertad la variaci´on de la acci´on cuando pasamos de una trayectoria a otra viene dada por

δ_{S =} ∂L ∂ ˙q δq t2 t1 + Z t₂ t1 ∂L ∂q − ∂t ∂L ∂ ˙q δq dt .

Puesto que las trayectorias reales satisfacen las ecuaciones de Lagrange la integral vale cero y en el primer sumando hacemos δq(t1) = 0 y δq(t2) = δq

(24)

1.2 La ecuaci´on de Hamilton–Jacobi 15 con lo que δS = p δq. Extendiendo el mismo resultado para varios grados de libertad

δ_{S =}X

i

piδqi,

lo que implica que

∂_S ∂qi

= pi (1.3)

De la definici´on de acci´on tenemos que d_S

dt = L

y si consideramos S como una funci´on de las coordenadas d_S dt = ∂_S ∂t + X i ∂_S ∂qi ˙qi = ∂_S ∂t + X i pi ˙qi con lo que ∂_S ∂t = L− X i pi ˙qi, es decir ∂S ∂t +H(q, p, t) = 0 , (1.4)

sustituyendo (1.3) encontramos la ecuaci´on de Hamilton–Jacobi ([1], [41], [114]). ∂S ∂t +H q1, . . . , qn, ∂S ∂q1 , . . . , ∂S ∂qn , t = 0 (1.5)

ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden que debe ser satisfecha por la funci´on S(q, t).

Como toda ecuación en derivadas parciales de primer orden tiene una solución dependiente de una función arbitraria, es la integral general de la ecuación. La ecuación de Hamilton–Jacobi será la base de un método que permitirá integrar las ecuaciones del movimiento.

En las aplicaciones es de uso más frecuente la integral completa o función principal de Hamilton, es decir una solución a la ecuación que contiene tan-tas constantes como variables independientes. En la ecuación de Hamilton– Jacobi las variables independientes son las coordenadas y el tiempo, por tanto, si tenemos n grados de libertad la integral completa debe contener n + 1 constantes. Ahora bien, la función _{S sólo interviene a través de sus}

(25)

16 Introducci´on derivadas parciales lo que hace que una de estas constantes sea aditiva con lo que una integral completa ser´a de la forma

S = f(q1, . . . , qn, α1, . . . , αn, t) + A , (1.6)

donde α1, . . . , αn y A son las constantes anteriormente mencionadas.

Si el hamiltoniano no depende del tiempo, como será nuestro caso, la ecuación de Hamilton–Jacobi se simplifica ya que la acción se escribe como S = S0(q)− E t y la ecuación resultante es H q1, . . . , qn, ∂S0 ∂q1 , . . . ,∂S0 ∂qn = E

Veamos cual es la relación entre la integral completa y la solución a las ecuaciones del movimiento, para lo cual necesitaremos la idea de la trans-formación canónica. Cuando resolvemos un problema mecánico la elección de las coordenadas generalizadas qi la realizamos pidiendo únicamente n

magnitudes arbitrarias que definan un´ıvocamente la posición del sistema en el espacio. El aspecto formal de las ecuaciones de Lagrange no depende de esta elección, son invariantes frente a un cambio, una transformación, de las coordenadas q1, . . . , qn a Q1, . . . , Qn mediante Qi = Qi(q, t).

Respecto a las ecuaciones de Hamilton tambi´en son invariantes pero debido a la igualdad de categor´ıa entre coordenadas y momentos la trans-formaci´on incluye a ambos

Qi = Qi(p, q, t) Pi= Pi(p, q, t) .

Sin embargo, las ecuaciones del movimiento no conservan la forma can´onica para cualquier transformaci´on de este tipo, cuando lo hacen, es decir cuando tenemos que ˙ Qi = ∂H 0 ∂Pi ˙ Pi=−∂H 0 ∂Qi ,

para el nuevo hamiltoniano _H0(P, Q) decimos que estamos ante una trans-formaci´on can´onica.

Veamos cuando obtendremos tales transformaciones. Las ecuaciones de Hamilton son equivalentes a escribir el principio de la m´ınima acci´on como

δ Z X i pidqi− H dt ! = 0 , (1.7)

(26)

1.2 La ecuaci´on de Hamilton–Jacobi 17 donde la variaci´on se extiende independientemente a todas las coordenadas y momentos. Este extremal es llamado la caracter´ıstica del problema de Cauchy S(q, t0) = S0(q), ∂S ∂t +H ∂S ∂q, q, t = 0 , (1.8)

que parte del punto q0. Si el valor t1 est´a suficientemente pr´oximo a t0

entonces las caracter´ısticas que parten de puntos pr´oximos a q0no se cortan

para t0 ≤ t ≤ t1,|q − q0| < R. Gracias a esto q0 y t pueden ser tomados

como coordenadas en la regi´on _{|q − q}0| < R , t0 ≤ t ≤ t1. Si construimos la

función de acción con condición inicial S0

S(A) = S0(q0) +

Z A

q0,t0

L(q, ˙q, t) dt , entonces esta funci´on es una soluci´on del problema (1.8).

Si queremos que las nuevas coordenadas Pi y Qi cumplan las ecuaciones

de Hamilton entonces δ Z X i PidQi− H0dt = 0 . (1.9)

Las ecuaciones (1.7) y (1.9) serán equivalentes si sus integrandos difieren en la diferencial total de una función F de las coordenadas y del tiempo llamada función generatriz de la transformación. Tenemos entonces que

X i pidqi− H dt = X i PidQi− H0dt + dF , o lo que es lo mismo dF =X i pidqi− X i PidQi+ (H0− H)dt , (1.10) con lo que pi= ∂F ∂qi , Pi=− ∂F ∂Qi , _H0 = _{H +} ∂F ∂t ,

estas expresiones proporcionan, una vez conocida F , la relaci´on entre las antiguas variables (p, q) y las nuevas (P , Q) y el nuevo hamiltoniano, que coincidir´a con el antiguo en el caso de que F no dependa expl´ıcitamente del tiempo.

(27)

18 Introducción Si nos interesa expresar la función generatriz no en función de las co-ordenadas y el tiempo F = F (q, Q, t), como hab´ıamos hecho, sino como F = F (q, P, t) entonces realizamos una transformación de Legendre en (1.10) y la escribimos como d(F +X i PiQi) = X i pidqi+ X i QidPi+ (H0− H) dt .

La nueva funci´on generatriz ser´a Φ(q, P, t) = F +P

iPiQi y encontramos que pi = ∂Φ ∂qi , Qi= ∂Φ ∂Pi , _H0 = _{H +}∂Φ ∂t . (1.11)

De un modo similar se pueden encontrar las funciones generatrices para las variables (p, Q) y (p, P ).

Recordemos que estamos viendo la relación entre una integral comple-ta de la ecuación de Hamilton–Jacobi y la solución de las ecuaciones del movimiento. Hagamos una transformación canónica de las variables (p, q) a las nuevas que serán β1, . . . , βn para las coordenadas y α1, . . . , αn para

los momentos. Consideremos como función generatriz a f (q, α, t) dada por (1.6). Puesto que la función generatriz depende de las coordenadas antiguas y de los nuevos momentos las fórmulas de la transformación son las dadas por (1.11), es decir pi = ∂f ∂qi , βi= ∂f ∂αi , _H0 = _{H +} ∂f ∂t ,

pero como f (q, α, t) satisface la ecuaci´on de Hamilton–Jacobi el nuevo hamiltoniano es nulo

H0= _{H +} ∂f ∂t = 0 ,

con lo que las ecuaciones can´onicas en las nuevas variables son αi = cte , βi= cte ,

y las n ecuaciones _∂α∂f

i = βi nos dan las n coordenadas q en funci´on de las

2 n constantes α y β y del tiempo. Tenemos, por tanto, la integral de las ecuaciones del movimiento.

Resumiendo el m´etodo de Hamilton–Jacobi parte del hamiltoniano del sistema a estudiar, se considera la ecuaci´on de Hamilton–Jacobi y se calcula la integral completa (1.6). Derivando respecto a las constantes α e igualando las derivadas a las constantes β formamos un sistema de n ecuaciones

∂S ∂αi

(28)

1.3 Separación de variables en la ecuación de H–J 19 cuya solución nos da las coordenadas q en función del tiempo y de las 2 n constantes arbitrarias. Para calcular los momentos utilizamos

pi = ∂S

∂qi

1.3. Separaci´

on de variables en la ecuaci´

on de

Ha-milton–Jacobi

La separación de variables en los sistemas hamiltonianos ha sido am-pliamente estudiada en la literatura ([82], [83], [89], [93], [95]). Mediante la aplicación del método de Hamilton–Jacobi para calcular la solución de las ecuaciones de movimiento pasamos de tener que resolver las 2 n ecuaciones diferenciales ordinarias que son las ecuaciones canónicas a tener que cal-cular la solución a una ecuación en derivadas parciales, lo cual en general supone una gran complicación.

A pesar de ella el método de Hamilton–Jacobi ha demostrado ser eficaz en la resolución de problemas en donde otros métodos no proporcionan re-sultados. Existen ciertos casos en los que esta dificultad puede ser subsana-da. Nos referimos a aquellos sistemas para los cuales es posible encontrar uno o varios sistemas de coordenadas que hacen separable la ecuación de Hamilton–Jacobi [142]. En esta situación la solución siempre se puede re-ducir a cuadraturas. Veamos cual ser´ıa el procedimiento (nos hemos basado en [5], [41] y [84]).

Supongamos que para un sistema adecuado de coordenadas una de el-las, q1 y la derivada _∂q∂S₁ aparecen en la ecuaci´on de Hamilton–Jacobi como

una combinaci´on φ(q1,_∂q∂S₁) en la cual no aparecen las restantes

coorde-nadas, derivadas o el tiempo. En este caso decimos que la coordenada q1 es

separable. La ecuación de Hamilton–Jacobi presentará una forma de Φ qi, ∂_S ∂qi , t,∂S ∂t, φ(q1, ∂S ∂q1 ) = 0 i = 2,_{· · · , n} (1.13) La solución que buscaremos será de la forma

S = S0(qi, t) +S1(q1) , (1.14)

que sustituida en (1.13) hace que Φ qi, ∂S0 ∂qi , t,∂S0 ∂t , φ(q1, dS1 dq1 ) = 0 . (1.15)

(29)

20 Introducci´on Supongamos que hemos calculado la soluci´on (1.14) si variamos q1 dicha

variación sólo se reflejará en la función φ. Para que (1.15) sea una identidad la función φ debe ser una constante y obtenemos dos ecuaciones

φ(q1, dS1 dq1 ) = α1, Φ qi, ∂S0 ∂qi , t,∂S0 ∂t , α1 = 0 ,

donde α1 es una constante arbitraria. La primera ecuaci´on es una ecuaci´on

diferencial ordinaria que nos proporciona S1(q1) mediante integraci´on. La

segunda es de nuevo una ecuaci´on en derivadas parciales pero con una variable menos.

Si se puede extender este procedimiento a todas las variables decimos que estamos ante unas variables completamente separables y entonces la integral de la ecuación de Hamilton–Jacobi queda reducida a cuadraturas. Podemos ver la aplicación del método de Hamilton–Jacobi a sistemas separables en [5] donde se estudia el problema de la atracción por dos centros fijos con igual masa y las geodésicas en un elipsoide y un listado de sistemas con ecuaciones separables en coordenadas esféricas, parabólicas y el´ıpticas en [84].

Si el sistema que estudiamos fuera conservativo la integral es de la forma

S =X

i

Si(qi, α1, . . . , αn)− E(α1, . . . , αs) t

La dificultad mayor para llevar a cabo este desarrollo consiste en encon-trar las coordenadas que hagan separable la ecuación de Hamilton–Jacobi. Como ya hemos mencionado los primeros resultados sobre la separación de variables en la ecuación de Hamilton–Jacobi fueron los dados por Stackel para sistemas ortogonales [41], donde se daban condiciones necesarias y suficientes para la separabilidad en determinadas situaciones. El estudio se aplicaba a los sistemas que cumpliesen las siguientes restricciones

1. El hamiltoniano es una cantidad conservada.

2. El Lagrangiano es una funci´on cuadr´atica de las velocidades general-izadas, con lo que puede escribirse formalmente como

H = 1

2(p− a) T

(30)

1.3 Separaci´on de variables en la ecuaci´on de H–J 21 3. El sistema de coordenadas generalizadas qi es ortogonal con lo que la

matriz T es diagonal. La matriz inversa T−1 es diagonal a su vez y tiene elementos no nulos.

(T−1)i i =

1 Ti i

Para estos sistemas las condiciones de Stackel son:

1. El vector a tiene elementos ai = ai(qi) funci´on ´unicamente de las

coordenadas.

2. El potencial V (q) puede escribirse como V (q) =X

i

Vi(qi)

Ti i

3. Existe una matriz φ∈ Mn×n con elementos φi j = φi j(qi) tal que

(φ−1)1 j=

1 Tj j

.

Cumpliéndose las mismas aseguramos que la ecuación de Hamilton– Jacobi será totalmente separable. La función caracter´ıstica de Hamilton será

W (q) =X

i

Wi(qi) ,

verificando las funciones Wi ecuaciones de la forma

∂Wi

∂qi − ai

2

=_{−2 V}i(qi) + 2 φi jγj,

siendo γj constantes de integraci´on. Podemos citar trabajos posteriores en

la separación de la ecuación de Hamilton–Jacobi como los de Benenti ([12]– [15]), en los que se utilizan argumentos geométricos para la separación de variables y los de Havas en 1975 ([49], [50]) en donde se dan condiciones su-ficientes sobre los sistemas de coordenadas que hacen separable la ecuación de Hamilton–Jacobi, de Schrödinger, de Helmoltz y de Laplace. También citamos a Huaux [55].

(31)

22 Introducci´on

1.4. Sub´

algebras abelianas maximales de su(p, q)

La obtención de los sistemas superintegrables que realizaremos en los cap´ıtulos 2 y 3 de la memoria se basa en la utilización sistemática de subálgebras abelianas maximales. Vamos a ver las principales definiciones y resultados en relación con este tema, para ello hemos utilizado [107] y [140].

Consideremos un álgebra de Lie _{A que en nuestro caso será su(p, q) y} también su grupo de Lie correspondiente G SU (p, q).

Definimos una sub´algebra abeliana maximalM deA como toda ´algebra de Lie que cumpla

1. M ⊂ A , [M , M] = 0, 2. _C_AM = M ,

donde_C_AM representa el centralizador de M en su(p, q) el cual est´a definido como

CAM ≡ {x ∈ A/ [x , y] = 0 , ∀ y ∈ M} .

Una sub´algebra de Cartan M de _{A es aquella cuyo normalizador es la} propia sub´algebra, es decir

NAM = M NAM ={x ∈ A/ [x , y] ∈ M , ∀ y ∈ M}

Las subálgebras de Cartan de todas las álgebras de Lie reales simples fueron clasificadas por Kostant y Sugiura. Kravchuk proporcionó el funda-mento para clasificar las subálgebras maximales abelianas nilpotentes, las cuales consisten en elementos nilpotentes en_{A, los cuales están} representa-dos por matrices nilpotentes en cualquier representación finito dimensional de _A.

La clasificación de las subálgebras abelianas maximales se ha extendidos a las álgebras simplécticas [111], pseudo–ortogonales [56] y pseudo–unitarias [107].

A continuación vamos a ver algunos resultados sobre las subálgebras maximales de su(p, q) y su clasificación. Realizaremos la subálgebra y el correspondiente grupo de Lie mediante matrices complejas

su(p , q)_{∼ {X ∈ C}n×n/ X K + K X†= 0 , TrX = 0_} SU (p , q)_{∼ {G ∈ C}n×n/ G K G†= K , det G = 1_{} ,}

(32)

1.4 Sub´algebras abelianas maximales de su(p, q) 23 donde K = K†∈ Cn×n_, _{n = p + q,} _{sig(K) = (p , q).}

Una subálgebra abeliana maximal de su(p , q) estará representada por {M , K} y diremos que dos subálgebras {M, K} y {M0, K0_{} son equivalentes} si existe una matriz H _{∈ GL(n , C) fija tal que}

H X0H−1= X H K0H†= K ,

para todo X0 _{∈ M}0_{, de esta forma s´olo fijamos la signatura del tensor}

m´etrico K.

En su(p , q) existen tres tipos de sub´algebras abelianas maximales: 1. Ortogonalmente descomponibles.

2. Ortogonalmente indescomponibles pero descomponibles. 3. Ortogonalmente indescomponibles e indescomponibles.

Citamos a continuaci´on unos teoremas que permiten construir cada uno de los tres tipos de sub´algebras que acabamos de citar.

Teorema 6. Las sub´algebras abelianas maximales ortogonalmente de-scomponibles de su(p , q) se obtienen al considerar todas las particiones de (p , q) tales que (p , q) = (p1, q1) +· · · + (pr, qr), p = r X i=1 pi, q = r X i=1 qi, r≥ 2 , donde p1 + q1 ≥ p2+ q2 ≥ · · · ≥ pr+ qr ≥ 1 , qi = 0→ pi = 1 , pi = 0 →

qi= 1. Para cada una de las anteriores particiones construimos el conjunto

de matrices formado por

M =    M1 . .. Mr   , K =    K1 . .. Kr   

tal que (Mi, Ki) es una sub´algebra abeliana maximal ortogonalmente

in-descomponible del ´algebra u(pi, qi).

Respecto de la segunda clase de sub´algebras abelianas maximales citada anteriormente tenemos el siguiente teorema

(33)

24 Introducción Teorema 7. Una subálgebra maximal abeliana ortogonalmente indescom-ponible pero descomindescom-ponible de su(p , q) existe si y sólo si p = q_{≥ 1. Están} representadas por el conjunto de matrices

X =A 0 0 −A† K = 0 Ip Ip 0

donde A es una subálgebra abeliana maximal indescomponible de gl (p , C) . Finalmente para el tercer tipo de subálgebras de su(p, q) tenemos que Teorema 8. Una subálgebra maximal abeliana ortogonalmente indescom-ponible e indescomindescom-ponible de su(p, q) es una subálgebra abeliana maximal nilpotente y está caracterizada por la signatura de Kravchuk

(λ, µ, λ), 2 λ + µ = p + q, 1_{≤ λ ≤ q, λ, µ ∈ Z .}

Una sub´algebra nilpotente con signatura (λ, µ, λ) admite la forma nor-mal de Kravchuk y es representada por las siguientes matrices

X =   0 A Y 0 S −H A† 0 0 0  , K =   Iλ H Iλ  ,

con las condiciones

H = H†∈ Cµ×µ, sig H = (p− λ, q − λ), Y = −Y†∈ Cλ×λ A_{∈ C}λ×µ, S H =_{−H S}†_{∈ C}µ×µ

La matriz S es nilpotente. Debido a la conmutatividad se tiene que cumplir

A H A0†= A0H A†, A S0 = A0S, [S S0] = 0 ,

donde X ∈ M y X0 _{∈ M. La matriz antiherm´ıtica es libre y S depende}

linealmente de A.

Existen dos tipos de sub´algebras abelianas nilpotentes en su(p, q): 1. Aquellas en las que la primera fila de A es elegida real y las restantes

filas dependen linealmente de la primera, al igual que S. 2. Existen restricciones en la elecci´on de la primera fila de A.

(34)

1.4 Subálgebras abelianas maximales de su(p, q) 25 Las subálgebras de Cartan de su(p, q), salvo en el caso de su(1, 1) son ortogonalmente descomponibles con un descomposición dada por

(p, q) = r (1, 1) + (p− s) (1, 0) + (q − r) (0, 1), 0 ≤ r ≤ q

La sub´algebra de Cartan Mr tiene una sub´algebra compacta maximal de

dimensi´on p_{− s que est´a representada por las matrices}

Mr=           i c0 . .. i c_{n−2 r} Q1 . .. Qr           , K =Ip−q Iq× K0 , donde K0 =1 0 0 −1 , Qj = i aj i bj −i bj i aj , aj, bj ∈ R, 1 ≤ j ≤ r ≤ q n−2 r X µ=0 cµ+ 2 r X j=1 aj = 0, n = p + q− 1 .

(35)

Parte II

Sistemas superintegrables en

dimensi´

on uno y dos

(36)

Cap´ıtulo 2

Sistemas superintegrables en

dimensi´

on uno

Comenzamos en este cap´ıtulo a estudiar sistemas en dimensión uno. To-dos son maximalmente integrables y serán obtenidos mediante la reducción partiendo de variedades de tipo SU (p, q), en este caso SU (2) y SU (1, 1).

2.1. Reducci´

on por simetr´ıa en SU (2)

Consideremos la variedad C2 y sobre ella definida una acci´on mediante la multiplicaci´on matricial

Φ : U (2)_×C2 _{−→ C}2 (g , x) _{−→ g · x}

Sea una base de la sub´algebra de Cartan compacta de u(2) la dada por el conjunto de matrices E0 = i 0_{0 0} , _E1=0 0_{0 i} ,

y llamemos _E0,_E1 a la correspondiente base dual. Un elemento genérico de la subálgebra será de la forma _{E = α}0_E

0 + α1E1, αi ∈ R , i = 0, 1. El

generador infinitesimal de la acción Φ asociado a E es el campo vectorial que obtenemos al definir la función Φ_e−t E según

Φ_e−t E : C2−→ C2 y0 y1 −→ ei α 0_t ei α1t ! y0 y1 = y 0_ei α0_t y1ei α1t ! , 29

(37)

30 Sistemas superintegrables en dimensi´on uno y derivando ξ ≡ d dtΦet ξ t=0 =−i α 0_y0_∂ y0 − i α1y1∂_y1.

Consideremos el campo vectorial real asociado a este generador infinites-imal, es decir, el campo que acabamos de obtener al que le sumamos su complejo conjugado

ξC2 =−i α0y0∂_y0− i α1y1∂_y1 + c. c.

Para calcular el levantamiento cotangente de la acci´on al fibrado cotan-gente T?C2 _{necesitamos definir la funci´}_{on momento} _{[91] de un campo} vec-torial P : X(P ) −→ F(T?P ) X −→ P(X )(αq) =< αq,X (q) > , donde q _{∈ P ≡ C}2_{y α} q= p0dy0+p1dy1+q0d¯y0+q1d¯y1 ∈ T?C2. Aplicado a ξC2 nos queda P(ξC2)(α_q) =< α_q, ξC2(α_q) >=−i α0y0p₀− i α1y1p₁+ c. c.

N´otese que hemos utilizado que qµ = ¯pµ, µ = 0, 1, ya que de esta manera

αq es una 1–forma real. El levantamiento cotangente de ξC2, al que

rep-resentaremos por ξL

C2, es el campo vectorial asociado mediante la 2–forma

simpl´ectica a la funci´on momento, es decir la que se obtiene al aplicar i_ξL

C2

ω = d_P(ξC2) .

Consideremos en el fibrado contangente T?C2 _{la 1–forma de Liouville en} coordenadas (yµ, pµ) , µ = 0, 1,

Θ = pµdyµ+ ¯pµd¯yµ,

la 2–forma cerrada que utilizaremos ser´a ω =_{−dθ y est´a dada por}

ω = dyµ_{∧ dp}µ+ d¯yµ∧ d¯pµ. (2.1)

Encontramos por una parte que d_P(ξC2) = ∂_P(ξC2) ∂y0 dy 0₊ ∂P(ξC2) ∂y1 dy 1₊∂P(ξC2) ∂p0 dp0 +∂P(ξC2) ∂p1 dp1+ c. c. = _{− i α}0p0dy0− i α1p1dy1− i α0y0dp0− i α1y1dp1+ c. c. ,

(38)

2.1 Reducci´on por simetr´ıa en SU (2) 31 y por otro lado que

i_ξL C2

ω = i_ξL C2

(dy0∧ dp0+ dy1∧ dp1+ c. c.) ,

igualando ambas ecuaciones encontramos que

dyµ(ξCL2) =−i αµyµ, dpµ(ξCL2) = i αµpµ µ = 0, 1

y las respectivas relaciones con los complejos conjugados. Con ello obten-emos que el levantamiento cotangente de la acci´on resulta ser

ξCL2 =−i α0y0∂_y0 − i α1y1∂_y1 + i α0p₀∂_p₀ + i α1p₁∂_p₁ + c. c.

Pasamos a calcular la aplicaci´on momento para lo cual utilizaremos los resultados que expusimos en el cap´ıtulo 1.

La aplicaci´on momento tendr´a como forma general _{J (α}q) = β0ξ0 +

β1ξ1, donde β0 y β1 depender´an del punto αq considerado, con lo que

P(ξC2)(α_q) =−i α0y0p₀− i α1y1p₁+ c. c. ,

y tambi´en

< J(αq) , ξ >=< β0E0+ β1E1, α0E0+ α1E1 >= β0α0+ β1α1,

Igualando ambos t´erminos tenemos que

(β0+ i y0p0− i ¯y0p¯0) α0+ (β1+ i y1p1− i ¯y1p¯1) α1 = 0 ,

luego β0 = −i y0p0 + c. c. y β1 = −i y1p1 + c. c. con lo que la aplicaci´on

momento resultante la podemos escribir como

J (αq) = (−i y0p0+ i ¯y0p¯0)E0+ (−i y1p1+ i ¯y1p¯1)E1.

Pasamos a continuaci´on a calcular el hamiltoniano reducido para este sistema, para lo cual utilizaremos el teorema 4.

Sea r = r0E0 + r1E1 un punto regular de la imagen de la aplicaci´on

momento y (s , p)_{∈ T}?C2 _{con s = (s}0_{, s}1₎_{∈ R}2 _{un punto de}_J−1_{(r) con lo} que J (p0ds0+ p1ds1+ ¯p0ds0+ ¯p1ds1) = r entonces

−i s0p0+ i ¯p0s0 = r0−→ −i s0(p0− ¯p0) = r0

(39)

32 Sistemas superintegrables en dimensi´on uno lo que supone una condici´on sobre la parte imaginaria de los momentos p0

y p1 Im(p0) = r0 2 s0, Im(p1) = r1 2 s1 (2.2)

Veamos que relaci´on existe entre la parte real e imaginaria de los mo-mentos. Si tenemos que

y0 = s0+ i t0 y1 = s1+ i t1 p0 = pr0+ i pi0 p1 = pr1+ i pi1,

entonces podemos ver como pr₀ y pi₀ no son los momentos reales conjugados a las variables s0 y t0, lo mismo ocurre para y1 y p1, ya que si escribimos

la 2–forma ω dada por (2.1) en estas coordenadas obtenemos que ω = dy0_{∧ dp}0+ d¯y0∧ d¯p0+ dy1∧ dp1+ d¯y1∧ d¯p1

= (ds0+ i dt0)∧ (dpr0+ i dpi0) + (ds1+ i dt1)∧ (dpr1+ i dpi1) + c. c.

= 2 ds0_{∧ dp}r₀_{− 2 dt}0_{∧ dp}i₀+ 2 ds1_{∧ dp}r₁_{− 2 dt}1_{∧ dp}i₁, con lo que los momentos conjugados a sµ _{y a t}µ_{, µ = 0, 1, son}

psµ = 2 pr

µ ptµ =−2 pi

µ. (2.3)

Reuniendo todo esto, el hamiltoniano reducido puede escribirse de la siguiente forma Hr = c_|p0|2+|p1|2 = c (pr0)2+ (pi0)2+ (pr1)2+ (pi1)2 =c 4 p2_s0+ p2_s1+ r2₀ (s0₎2 + r2₁ (s1₎2

Equivalentemente el hamiltoniano reducido se puede obtener mediante la acci´on Φ : U (2)_{× T}?C2_{−→ T}?C2 A(α0, α1), (y, p) −→ ( y0 = A(α0, α1)y p0= pA(_−α0,_−α1) Teniendo en cuenta la forma gen´erica de un elemento

A_{∈ U(2)|}Cartan Comp.= eα

0_ξ 0+α1ξ1_,

(40)

2.1 Reducci´on por simetr´ıa en SU (2) 33 encontramos que

y0j = ei αjyj p0_j = pje−i α

j

j = 0 , 1. (2.4)

El hamiltoniano de partida est´a definido sobre T?C2 _{de la forma} sigu-iente H : T?C2 _{−→ R} (y , p)−→ H(y , p) = 1 4c g ¯ µν_p_¯ µpν = 1 4c |p0| 2₊_|p 1|2

La proyección canónica será πr:J−1(r)−→ Pr x = (s, p)−→ Orb(x) = ( s0j _{= e}i αj sj p0_j = pje−i α j j = 0, 1

y la inclusi´on ir: J−1(r)→ T?C2( (s, p)→ (s, p) ). El hamiltoniano

reduci-do que estamos buscanreduci-do es el que verifica la expresi´on _Hr_{◦ π}r = H ◦ ir

donde H ◦ ir:J−1(r)−→ T?C2−→ R (s , p)−→ (s , p) −→ 1 4c |p0| 2 ₊_|p 1|2 ,

aplicando (2.2) y (2.3) encontramos que Hr(s , p) = 1 4c p2_s0 + p2_s1 + r₀2 (s0₎2 + r2₁ (s1₎2 , Por otra parte tenemos que

Hr◦ πr :J−1(r)−→ Pr −→ R x = (s , p)−→ [x] −→ Hr[x] , con lo que Hr_{◦ π} r(s , p) =H ◦ ir(s , p) implica que Hr[x] = 1 4c p2_s0 + p2_s1 + r2 0 (s0₎2 + r2 1 (s1₎2 .

Mediante las coordenadas yµ_{, µ = 0, 1, dadas por (2.4) calculamos s}0 _y

s1 obteni´endose | yµ(t)_|2 =(sµ)2=_{| y}µ(0)_|2 cos2(√λ c t) + c λ| pµ(0)| 2 _sen2₍√_{λ c t)} +2 √ λ c λ Re( pµ(0 ) y µ_{(0)) sen (}√_{λ c t) cos(}√_{λ c t) .}

(41)

34 Sistemas superintegrables en dimensión uno Por tanto, la suma de los módulos al cuadrado se transforma en la siguiente condición sobre las coordenadas reales (s0)2+(s1)2 = 1. Esta circunferencia es el espacio de configuración de nuestro hamiltoniano reducido.

Vamos a estudiar el hamiltoniano que hemos obtenido considerando, por simplicidad, en las expresiones que c = 2 y m2

i = r2

i

2 , i = 0, 1. Adem´as

tomaremos la parametrización habitual de la circunferencia de radio r en términos del ángulo φ, s0 = r cos(φ) y s1 = r sen (φ). De esta forma se tiene que

ps0 =− sen φ p_φ p_s1 = cos φ p_φ.

Reuniendo todas estas condiciones y reescribiendo el hamiltoniano ten-emos que Hr = 1 2p 2 φ+ m2 0 cos2_φ+ m2 1 sen2_φ (2.5)

Vamos a estudiar de manera cualitativa el espacio de fases de este sistema din´amico. Mediante las ecuaciones de Hamilton obtenemos el siguiente sis-tema din´amico

˙ φ = ∂H r ∂pφ = pφ ˙pφ=− ∂_Hr ∂φ = 2 m2 1 cos φ sen3_φ − 2 m2 0 sen φ cos3_φ

los puntos de equilibrio (¯pφ, ¯φ) (primer cuadrante) vienen dados por los

ceros simult´aneos de los segundos miembros del anterior sistema de ecua-ciones φ = tan−1 r −m_m1 0 pφ=0 si sgn(m0)6= sgn(m1) (2.6) φ = tan−1r m1 m0 pφ=0 si sgn(m0) = sgn(m1) (2.7)

Para conocer el car´acter de los puntos cr´ıticos vamos a estudiar la lin-ealizaci´on de cada uno de los puntos fijos [139]. En este caso las matrices que resultan son

A1 = 0 1 −8 (m0− m1)2 0 A2 = 0 1 −8 (m0+ m1)2 0

(42)

2.1 Reducción por simetr´ıa en SU (2) 35 Los valores propios de la matriz asociada a la linealización nos proporcionan información sobre los puntos cr´ıticos. Para A1 obtenemos±2

√

2 i_|m0−m1|

mientras que para A2 los valores propios resultan ser ±2

√

2 i_|m0+ m1|.

La clasificaci´on de los puntos fijos es como sigue [139], [102]

Punto fijo hiperb´olico. Este caso se presenta cuando ninguno de los valores propios de la matriz asociada a la linealizaci´on tiene parte real nula. As´ı se distinguen

• Punto de silla. Alguno, pero no todos los valores propios de la linealizaci´on tienen parte real mayor que cero y el resto parte real menor que cero.

• Nodo estable o sumidero. Todos los valores propios tienen parte real negativa.

• Nodo inestable o fuente. Todos los valores propios tienen parte real positiva.

Punto fijo no hiperb´olico.

• Centro. Se da cuando los valores propios son imaginarios puros y no nulos.

A la vista de esto podemos concluir que (2.6)–(2.7) representan un cen-tro para el sistema linealizado. En cuanto al sistema no linealizado el punto fijo mantiene el car´acter de centro. Para verlo basta aplicar el siguiente resultado

Teorema 9 ([35]). Supongamos que el sistema no lineal x0 = f (x , y) y0= g(x , y) ,

est´a definido y es de clase _C1 _{en un entorno del origen y que es sim´etrico}

respecto al eje x ó y. Entonces si el origen es un punto de equilibrio que es un centro para la aproximación lineal, también es un centro para el sistema no lineal.

Se dice que el sistema es simétrico respecto del eje x si se cumple que f (x ,_{−y) = −f(x , y), g(x , −y) = g(x, y) siendo esto precisamente lo que} ocurre con nuestro sistema, luego aplicando el teorema aseguramos que el punto fijo del sistema no linealizado es un centro. Una representación gráfica con valores m0 = 1 y m1 = 2 la podemos ver en la figura 2.1.

(43)

36 Sistemas superintegrables en dimensi´on uno 0.7 0.8 0.9 1.1 1.2 -3 -2 -1 1 2 3 pφ φ

Figura 2.1: Espacio de fase

Una superposici´on de las curvas del espacio de fase sobre la superficie de energ´ıa dada por_Hr _{para los mismos valores num´ericos es la representada}

en la figura 2.2.

2.2. Ecuaci´

on de Hamilton–Jacobi

Apliquemos el esquema general de la teor´ıa de la ecuaci´on de Hamilton– Jacobi que hemos visto en el cap´ıtulo 1 al caso de la sub´algebra de Cartan compacta.

Para el hamiltoniano_Hr _{de (2.5) la ecuaci´}_{on de Hamilton–Jacobi (1.5)}

resulta ser 1 2 ∂S ∂φ 2 + m 2 0 cos2_φ+ m2₁ sen2_φ + ∂S ∂t = 0 . (2.8)

Supongamos que la función principal de Hamilton, S, admite una descom-posición según

S(φ, α, t) = W (φ, α)_{− α t ,} que sustituida en (2.8) nos proporciona

1 2 ∂W ∂φ 2 + m 2 0 cos2_φ+ m2₁ sen2_φ = α . (2.9)

(44)

2.2 Ecuaci´on de Hamilton–Jacobi 37 0.6 0.8 1 1.2 -2 0 2 5 7.5 10 12.5 15 0.8 1 1.2 -2 0 2 pφ pφ φ φ

Figura 2.2: Superficie de energ´ıa

La constante α es la energ´ıa del sistema como podemos ver al aplicar la condici´on (1.4)

Hr+ ∂S

∂t = 0→ H

r _{= α .}

El momento pφ se obtiene mediante (1.3) y (2.9)

pφ= ∂S ∂φ = ∂W ∂φ =± s 2 α− m 2 0 cos2_φ − m2₁ sen2_φ . (2.10)

Para calcular la nueva coordenada tenemos que aplicar (1.12) β = Q = ∂S

∂α = ∂W

∂α − t , (2.11)

donde la derivada puede obtenerse integrando (2.9) W =_±√2 Z s α₋ m 2 0 cos2_φ− m2 1 sen2_φdφ ,

y derivando dentro del signo integral ∂W ∂α =± 1 √ 2 Z _{sen φ cos φ dφ} pα cos2_{φ sen}2_φ_{− m}2 0sen2φ− m21cos2φ ,

habiendo tenido en cuenta que debido a las singularidades de Hr_{, la}

(45)

38 Sistemas superintegrables en dimensi´on uno p´erdida de generalidad que sea el primero. Si cambiamos a la variable z definida en el primer cuadrante mediante

z = sen2φ , (2.12)

entonces la integral puede escribirse como ∂W ∂α =± 1 2√2 Z dz p−α z2_{+ (α}_{− m}2 0+ m21) z− m21 .

Para resolver la integral ([16], [38]) tendremos en cuenta que α es siempre positiva con lo que

∂W ∂α =∓ 1 2√2 sen −1 −2 α z + α − m20+ m21 p(α − m2 0+ m21)2− 4 α m21 ! .

Con todo esto estamos en disposici´on de calcular φ(t) y pφ(t). El proceso

ser´ıa el siguiente:

1. Partimos de m0 y m1 que son datos del problema.

2. Elegimos las condiciones iniciales (t = 0) de la trayectoria a calcular, las denotaremos por φ0 y p0.

3. La ecuaci´on (2.10) nos da pφ en cualquier instante t. Si

particular-izamos para t = 0 podemos obtener α despejando de p0=± s 2 α₋ m 2 0 cos2_φ 0 − m2 1 sen2_φ 0

4. La nueva coordenada, que es constante por construcci´on, la obtenemos a partir de (2.11). Si consideramos de nuevo t = 0 podemos calcular β β =∓ 1 2√2 αsen −1 −2 α sen2φ0+ α− m20+ m21 p(α − m2 0+ m21)2− 4 α m21 ! .

Una vez que es conocido el valor de β podemos invertir (2.11) para despejar z y deshacer el cambio de variable (2.12)

z =α− m 2 0+ m21±p(α − m20+ m21)2− 4 α m21 sen [2 √ 2 α(β + t)] 2 α φ = sen−1 √z .

Una representación gráfica de φ y de su momento conjugado para el ejemplo numérico que estamos considerando es la dada en la figura 2.3.

(46)

2.3 Reducci´on por simetr´ıa en SU (1, 1) 39 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 ψ t 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 -5 5 10 pφ t

Figura 2.3: Coordenada φ y momento pφ

2.3. Reducci´

on por simetr´ıa en SU (1, 1)

Vamos a continuar el desarrollo tomando como base las diferentes sub´alge-bras abelianas maximales de su(1, 1). Existen tres, que a saber son dos sub´algebras de Cartan –compacta y no compacta– y una nilpotente.

2.3.1. Sub´algebra de Cartan compacta

La mayor parte de los resultados obtenidos en la secci´on anterior son transportables a este caso, cambiando la m´etrica a diag(1 ,_{−1). El} hamil-toniano que se obtiene es

Hr[x] = c 4 p2_s0 − p2_s1 + r2 0 4 (s0₎2 − r2 1 4 (s1₎2 .

La condici´on que deben cumplir las coordenadas reales sµ _{es que (s}0₎2₋

(s1₎2_{= 1, lo que quiere decir que el espacio de configuraci´on es una}

hip´erbo-la, la cual ser´a parametrizada por φ mediante

s0 = cosh φ, s1 = senh φ . (2.13)

Los momentos can´onicamente conjugados a estas coordenadas se calculan como se hizo en la secci´on anterior resultando ser

ps0 =− senh φ p_φ, p_s1 = cosh φ p_φ. (2.14)

El hamiltoniano reescrito en estas nuevas coordenadas es Hr = c 4 −p2φ+ r2 0 4 cosh2φ− r2 1 4 senh2φ ,