1
1 FFununcicionones es ReRealaleses
1.
1. Al Al evevalualuar ar la la funfuncióción n linelinealal f f ((xx) ) ==
2 2 3 3xx ++ 1 1 2 2 enen xx == 3 3 4
4 se obtiene quese obtiene que
f f ((xx)) es.es. a a)) 11 2 2 bb) ) 11 cc)) 7 7 6 6 dd) ) 00 Solutio Solution n 11 Sustituimos el valor de
Sustituimos el valor de xx en la función dada:en la función dada: f f ((33 44) ) == 22 33(( 33 44) +) + 11 22 = = 11 22 ++ 11 22 = = 11 R. R. bb)) 2.
2. Los interceptos de la función linealLos interceptos de la función lineal f f ((xx) = ) = 22xx
66 con el ejecon el eje xx y con el ejey con el eje y;y; 1.
1. respecrespectivtivamenamente, son te, son los puntos:los puntos:
a
a) ) (0(0;;6)6) yy(3(3;;0)0) bb) ) (0(0;;6)6) yy ((33;;0)0) cc) ) (0(0;;0)0) yy (3(3;;6)6) dd) ) (3(3;;0)0) yy (0(0;;6)6)
Solutio Solution n 22
Para los interceptos con el eje
Para los interceptos con el eje xx, hacemos, hacemos yy = 0= 0;; en la función dadaen la función dada:: 0 0 = = 22xx 66 22xx = = 66 x x == 66 22 x x = = 33 Así el punto es Así el punto es (3(3;;0)0)
Para los interceptos con el eje
Para los interceptos con el eje y;y; hacemoshacemos xx= 0= 0;; en la función dada:en la función dada: y y = = 22((00)) 66 y y = = 00 66 y y == 66 El punto es El punto es (0(0;;6)6)
Los puntos de intercepción son:
Los puntos de intercepción son: (3(3;;0)0) yy (0(0;;6)6) R.
3.
3. La preimagen deLa preimagen de yy ==
33, bajo la función, bajo la función f f ((xx) = ) = 77 33xx es:es: a a)) xx== 1010 3 3 bb)) xx== 3 3 10 10 cc)) xx== 10 10 3 3 dd)) xx= 0= 0 Solutio Solution n 33 Sustituimos el valor de
Sustituimos el valor de yy en la ecuación dada:en la ecuación dada: 3 3 = = 77 33xx 33xx = = 7 7 + + 33 33xx = = 1010 x x == 1010 33 R. R. aa)) 4.
4. La regla de La regla de asignasignación de la ación de la funciófunción que n que pasa por los pasa por los puntpuntosos ((
11;;3)3)yy(2(2;;8)8) es: es: a a)) f f ((xx) =) = 22 3 3xx 11 11 3 3 bb)) f f ((xx) =) = 11 11 3 3 xx++ 2 2 3 3 cc)) f f ((xx) = ) = 22xx 1111 dd)) f f ((xx) =) = 11 11 3 3 xx++ 2 2 3 3 Solutio Solution n 44
La regla de asignación es dada por:
La regla de asignación es dada por: f f ((xx) =) = mxmx++b;b;dondedonde mmes la pendiente,es la pendiente, así: así: m m == yy22yy11 x x22xx11 m m == 88 ((3)3) 22 ((1)1) m m == 8 + 38 + 3 2 + 1 2 + 1 m m == 1111 33 Ahora hallamos el valor de
Ahora hallamos el valor de bb, utilizando el punto, utilizando el punto (2(2;;8)8), así:, así: f f ((xx) ) == mxmx++bb 8 8 == 1111 33 (2) +(2) +bb bb = = 88 22 22 33 bb == 2424 2222 33 22
La regla de asignación es:
La regla de asignación es: f f ((xx) =) = 1111 3 3 xx++ 2 2 3 3 R. R. dd)) 5.
5. En cálculo de interés simple, la cantidad devengadaEn cálculo de interés simple, la cantidad devengada S S es una función lineales una función lineal
de tiempo medido en años
de tiempo medido en años S S ==P P (1(1 ++rtrt)):: Si el capital esSi el capital es P P == C C $1000$1000y y lala tasa anual de interés es
tasa anual de interés es rr= 4%= 4%;; entonces la cantidad devengadaentonces la cantidad devengada S S pasadopasado 15
15 años es:años es: a
a) $61000) $61000 bb) $1600) $1600 cc) $7000) $7000 dd) $16000) $16000
Solutio Solution n 55
Sustituimos los valores dados en la función:
Sustituimos los valores dados en la función: S S ==P P (1 +(1 +rtrt)) S S = = 101000[1 00[1 + + (0(0::04)(15)]04)(15)] S S = = 10100000(1 (1 + + 00::6)6) S S = = (1(100000)0)(1(1::6)6) S S = = 11660000 R. R. bb)) 6.
6. SeaSea hh una función lineal tal queuna función lineal tal que hh((
2) = 52) = 5yy hh(6) = 3(6) = 3;; la funciónla función hh((xx));; dondedonde x
x es cualquier número real está de…nida por:es cualquier número real está de…nida por:
a a)) hh((xx) = ) = 55xx+ 3+ 3 bb)) hh((xx) =) = 99 2 2xx++ 1 1 4 4 cc)) hh((xx) =) = 22xx+ 6+ 6 dd)) hh((xx) =) = 1 1 4 4xx++ 9 9 2 2 Solutio Solution n 66 Según los
Según los datosdatos, , tenemtenemos os dos puntos:dos puntos: AA((22;;5)5) yy BB(6(6;;3)3);;la función buscadala función buscada es del tipo
es del tipo f f ((xx) =) = mxmx++b:b: Hallamos el valor deHallamos el valor de mm::
m m == 33 55 66 ((2)2) m m == 22 6 + 2 6 + 2 m m == 22 88 m m == 11 44
Ahora hallamos el valor de
Ahora hallamos el valor de bb, usando el punto:, usando el punto: BB(6(6;;3) :3) : bb == f f ((xx))mxmx bb = = 33((11 44)(6))(6) bb = = 3 +3 + 33 22 bb == 6 + 36 + 3 22 bb == 99 22 La función es de…nida por:
La función es de…nida por: f f ((xx) =) = 11 4 4xx++ 9 9 2 2 R. R. dd)) 7.
7. SeSe f f una función de números tal queuna función de números tal que f f (2) = 3(2) = 3;;yy f f ((aa++bb) =) = f f ((aa)) ++f f ((bb)) ++ab;ab;
8
8a;b:a;b:Entonces,Entonces, f f (11)(11)es igual a:es igual a: a
a) ) 2222 bb) ) 3333 cc) ) 4444 dd) ) 6666
Solutio Solution n 77
Utilizando los datos dados, hallamos el valor de Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f f (4)(4)::
f f ((44) ) == f f (2 + 2)(2 + 2) f f ((44) ) == f f (2) +(2) +f f (2) + (2)(2)(2) + (2)(2) f f ((44) ) = = 3 3 + + 3 3 + + 44 f f ((44) ) = = 1100 Ahora hallamos el valor de
Ahora hallamos el valor de f f (6) :(6) : f f ((66) ) == f f (4 + 2)(4 + 2) f f ((66) ) == f f (4) +(4) +f f (2) + (4)(2)(2) + (4)(2) f f ((66) ) = = 110 0 + + 3 3 + + 88 f f ((66) ) = = 2211 Ahora hallamos el valor de
Ahora hallamos el valor de f f (10) :(10) : f f ((1100) ) == f f (6 + 4)(6 + 4) f f ((1100) ) == f f (6) +(6) +f f (4) + (6)(4)(4) + (6)(4) f f (1(10) 0) = = 221 1 + + 10 10 + + 2424 f f ((1100) ) = = 5555 Para hallar
f f ((22) ) == f f (1) +(1) +f f (1) + (1)(1)(1) + (1)(1) 3 3 = = 22f f (1) + 1(1) + 1 33 1 1 = = 22f f (1)(1) 2 2 = = 22f f (1)(1) f f ((11) ) == 22 22 f f ((11) ) = = 11 Así: Así: f f ((1111) ) == f f (10) +(10) +f f (1) + (10)(1)(1) + (10)(1) f f ((1111) ) = = 55 55 + + 1 1 + + 1100 f f ((1111) ) = = 6666 R. R. dd)) 8.
8. Para niños entrePara niños entre 66 yy 1010 años de edad, la estaturaaños de edad, la estatura yy (en pulgadas) es fre-(en pulgadas) es
fre-cuentemente una función lineal de la edad
cuentemente una función lineal de la edad tt (en años). (en años). Si la estatSi la estatura deura de cierto infante es de
cierto infante es de 4848 pulgapulgadas a das a loslos 66 años de edad yaños de edad y 5050::55 pulgadas a lospulgadas a los 77;; entonces al expresarentonces al expresar yy como función decomo función de t;t;se obtiene:se obtiene:
a
a)) yy((tt) = 33) = 33 22::55t t bb)) yy((tt) = ) = 22::55tt+ 33+ 33 cc)) yy((tt) = 33) = 33tt 22::55 dd)) yy((tt) = ) = 22::55tt 3333
Solutio Solution n 88
Por los datos dados, la función buscada es del tipo:
Por los datos dados, la función buscada es del tipo: yy((tt) =) = mxmx++b;b;y ademásy además nos dan dos puntos:
nos dan dos puntos: AA(6(6;;48)48) yy BB(7(7;;5050::5)5):: Hallamos el valor deHallamos el valor de mm::
m m == 5050::55 4848 77 66 m m = = 22::55 Usamos el punto
Usamos el punto AA(6(6;;48)48), para hallar el valor de, para hallar el valor de bb:: y y((tt) ) == mxmx++bb 448 8 = = ((22::5)(6) +5)(6) +bb 448 8 = = 115 5 ++bb bb = = 4848 1515 bb = = 3333 La función buscada es La función buscada es yy((tt) = ) = 22::55tt+ 33+ 33 R. R. bb))
9.
9. Sabiendo queSabiendo que f f (0) = 1(0) = 1 yy f f (1) = 0(1) = 0;; determine la función linealdetermine la función lineal f f ((xx)) y el áreay el área
acotada por dicha función y los ejes acotada por dicha función y los ejes X;Y:X;Y:
a
a)) f f ((xx) =) = xx 11;; 22uu22 bb)) f f ((xx) =) = xx 11;; 00::2525uu22 cc)) f f ((xx) =) = xx+ 1+ 1;; 00::55uu22 dd)) f f ((xx) =) = xx+ 1+ 1;; 22uu22
Solutio Solution n 99
La función buscada es del tipo:
La función buscada es del tipo: f f ((xx) =) = mxmx++b;b; según los datos tenemos lossegún los datos tenemos los puntos:
puntos: AA(0(0;;1)1) yy BB(1(1;;0)0);; hallandohallando mm::
m m == 00 11 11 00 m m == 11 11 m m == 11 Hallando el valor de
Hallando el valor de bb usando el punto:usando el punto: AA(0(0;;1) :1) : y y == mxmx++bb 1 1 = = ((1)(0) +1)(0) +bb 1 1 == bb La función buscada es:
La función buscada es: f f ((xx) =) = xx+ 1+ 1
Los puntos de intersección de la recta con los ejes son:
Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: AA(0(0;;1)1) yy BB(1(1;;0)0);; formando un triángulo de base
formando un triángulo de base 11u:u: Así: Así: A A == 11 22bxhbxh A A == 11 22(1)(1)(1)(1) A A == 11 22uu 2 2 R. R. cc))
10.
10. Al evaluar la función cuadráticaAl evaluar la función cuadrática f f ((xx) ) == 22 3 3xx 2 2 + + 11 2 2 enen xx == 3 3 4 4 se obtienese obtiene
que su imagen vale: que su imagen vale: a a)) 11 2 2 bb) ) 11 cc)) 1 1 8 8 dd)) 1 1 4 4 Solutio Solution n 1010 Sustituimos el valor de
Sustituimos el valor de xx en la función dada:en la función dada: f f (( 33 44) ) == 22 33
33 44
22 + + 11 22 f f (( 33 44) ) == 22 33
99 16 16
+ + 11 22 f f (( 33 44) ) == 33 88 ++ 11 22 f f (( 33 44) ) == 3 + 43 + 4 88 f f (( 33 44) ) == 11 88 R. R. cc)) 11.11. Los interceptos de la función cuadráticaLos interceptos de la función cuadrática gg((xx) ) == xx22
66xx55 con el ejecon el eje xx
y con el eje
y con el eje y;y; respectivamente, son los puntos:respectivamente, son los puntos:
a
a) ) ((11;;0)0) yy((55;;0)0) bb) ) (1(1;;0)0) yy (5(5;;0)0) cc) ) (0(0;;0)0) yy ((11;;5)5) dd) ) (3(3;;0)0) yy (1(1;;5)5)
Solutio Solution n 1111
Interceptos con el eje
Interceptos con el eje xx, hacemos, hacemos yy= 0= 0 0 0 == xx2266xx55 x x22 + 6+ 6xx+ + 5 5 = = 00 ((xx+ 5)(+ 5)(xx+ + 11) ) = = 00 x x+ + 5 5 = = 00!!xx== 55 x x+ + 1 1 = = 00!!xx== 11
Los interceptos en el eje
Los interceptos en el eje xx son:son: ((11;;0)0) yy ((55;;0)0)
Interceptos con el eje
Interceptos con el eje yy, hacemos, hacemos xx= 0= 0:: y y == (0)(0) 2 2 6(0)6(0)55 y y = = 000055 y y == 55
El intercepto con el eje
12.
12. El dominio y el rango de la función cuadráticaEl dominio y el rango de la función cuadrática f f ((xx) =) = 22xx22++ 66son respec-son
respec-tivamente: tivamente: a a)) R R yy ((22;;6)6) bb)) R R yy ((11;;6]6] cc) ) ((22;;0)0) yy ((11;;++11)) dd) ) [[66;;++11)) yy [[2 2 ++11)) Solutio Solution n 1212 La grá…ca de la función
La grá…ca de la función f f ((xx) =) = 22xx22+ 6+ 6;; es como se muestra:es como se muestra:
--5 5 --4 4 --3 3 --2 2 --1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 55 -10 -10 -5 -5 5 5 10 10
x
x
y
y
Vemos que su dominio es todo R. Vemos que su dominio es todo R. Para el rango debemos hallar el valor de
Para el rango debemos hallar el valor de kk==f f ((xx));;el cual tiene como abscisael cual tiene como abscisa x
x= 0= 0;; por lo cual:por lo cual:
y y == 2(0)2(0)22 + 6+ 6 y y = = 0 0 + + 66 y y = = 66 Así, el rango es:
Así, el rango es: ((11;;6]6]
R.
13.
13. Dada la funciónDada la función f f ((xx) =) = axax22++bxbx++c;c; el valor deel valor de f f ((
b b 2 2aa)) es:es: a a)) cc 44bb22aa bb)) cc22 b b22 4 4aa cc)) cc b b22 4 4aa dd)) cc++ b b22 4 4aa Solutio Solution n 1313 Evaluamos
Evaluamos 22bbaa en la función dada:en la función dada:
f f ((xx) ) == axax22++bxbx++cc f f
bb 22aa
= = aa
bb 22aa
22 + +bb
bb 22aa
+ +cc f f
bb 22aa
= = aa
bb 2 2 44aa22
bb22 22aa++cc f f
bb 22aa
= = bb 2 2 44aa bb22 22aa ++cc f f
bb 22aa
= = bb 2 2 22bb22 + 4+ 4acac 44aa f f
bb 22aa
= = bb 2 2+ 4+ 4acac 44aa f f
bb 22aa
= = bb 2 2 44aa ++ 44acac 44aa f f
bb 22aa
= = cc bb 2 2 44aa R. R. cc)) 14.14. Dada las parábolasDada las parábolas xx22
33xx+ 1+ 1 yy xx22+ 2+ 2xx+ 7+ 7;; la distancia entre el puntola distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas es:
mínimo y máximo de dichas curvas es: a
a) ) 88::23452345 bb) ) 99::26352635 cc) ) 77::26352635 dd) ) 88::26352635
Solutio Solution n 1414
Los puntos pedidos en las
Los puntos pedidos en las curvcurvas son as son los vérticlos vértices. es. Las coordenaLas coordenadas de das de éstoséstos están dadas por
están dadas por hh==
b b 2 2aa yy kk ==f f ((hh)):: Así para Así para xx22 33xx+ 1+ 1; ; hh11 yy kk11 valen:valen: h h11 == ((3) 3) 2(1) 2(1) == 33 22 k k11 ==
33 22
22 33
33 22
+ 1 + 1 k k11 == 99 44 99 22 + 1+ 1 k k11 == 99 18 + 4 18 + 4 44 k k11 == 55 44El vértice de esta función es: El vértice de esta función es: V V 11((
3 3 2 2;; 5 5 4 4)) Ahora hallamos
Ahora hallamos hh22 yy kk22 paraparaxx 2 2 + 2 + 2xx+ 7 :+ 7 : h h22 == 22 2( 2(1)1) = 1= 1 k k22 == (1)(1)22+ 2(1) + 7+ 2(1) + 7 k k22 == 1 + 2 + 71 + 2 + 7 k k22 = = 88
El vértice de esta función es:
El vértice de esta función es: V V 22(1(1;;8)8)
Hallamos la distancia entre éstos dos puntos: Hallamos la distancia entre éstos dos puntos:
d d((V V 11;; V V 22) =) =
p
p
((xx22xx11))22+ (+ (yy22 yy11))22 d d((V V 11;; V V 22) ) ==s
s
(1 (133 22)) 2 2++
88 ((55 44))
22 d d((V V 11;; V V 22) ) ==s
s
2233 22
22++
32 + 532 + 5 44
22 d d((V V 11;; V V 22) ) ==s
s
11 22
22 ++
3737 44
22 d d((V V 11;; V V 22) ) ==r
r
11 44 ++ 1369 1369 16 16 d d((V V 11;; V V 22) ) ==r
r
4 + 13694 + 1369 16 16 d d((V V 11;; V V 22) ) ==r
r
13731373 16 16 d d((V V 11;; V V 22)) 99::26352635 R. R. bb)) 15.15. Las funciones lineales de…nidaLas funciones lineales de…nidas s porpor f f 11(1) = 0(1) = 0; ; f f 11(0) = 1(0) = 1 yy f f 22((1) = 01) = 0;;
f
f 22(0) = 1(0) = 1;; forman un triángulo isósceles con el ejeforman un triángulo isósceles con el eje X:X: El área de dichoEl área de dicho
triángulo es: triángulo es: a a) ) 11::2525uu22 bb) ) 00::7575uu22 cc) ) 11uu22 d d) ) 11::55uu22 Solutio Solution n 1515
Las coordenadas según
Las coordenadas según f f 11(1) = 0(1) = 0; ; f f 11(0) = 1(0) = 1 yy f f 22((1) = 01) = 0; ; f f 22(0) = 1(0) = 1:: SonSon
los puntos:
los puntos: AA(1(1;;0)0); ; BB(0(0;;1)1) y C y C ((11;;0)0);;(0(0;;1)1)
El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje
El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X X , tiene como base, tiene como base 22uu y alturay altura 11u:u:
Entonces: Entonces: A A == bb
hh 22 A A == (2(2uu)(1)(1uu)) 22 A A = = 11uu22 R. R. cc)) 16.16. Las preimágenes deLas preimágenes de yy = 5= 5 bajo la funciónbajo la función f f ((xx) =) = xx22
44xx
11 son:son: a a)) xx= 8= 8
p
p
1010 bb)) xx= 4= 4
p
p
1010 cc)) xx= 2= 2
p
p
1010 dd)) xx= 1= 1
p
p
1010 Solutio Solution n 1616 EvaluamosEvaluamos yy= 5= 5 en la función:en la función: yy ==xx22
44xx
11 5 5 == xx22
44xx
11 x x22
44xx
6 6 = = 00 x x11;;22 ==
((
4)4)
p
p
((
4)4)22
4(1)(4(1)(
6)6) 2(1) 2(1) x x11;;22 == 44
p
p
16 + 2416 + 24 22 x x11;;22 == 44
p
p
4040 22 x x11;;22 == 44
22p
p
1010 22 x x11;;22 = = 22
p
p
1010 R. R. cc)) 17.17. La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntosLa expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos((
33;;20);(20);(
11;;4)4)y y(2(2;;
5)5) es:es: a a)) f f ((xx) =) =
33xx22
xx+ 5+ 5 bb)) f f ((xx) = ) = 33xx22 + 5 + 5xx
11 cc)) f f ((xx) =) = xx22
44xx
11 dd)) f f ((xx) = ) = 44xx22 + + 22 3 3Solutio Solution n 1717
La expresión funcional de una parábola es de la forma:
La expresión funcional de una parábola es de la forma: yy == axax22
+
+bxbx++cc Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
tres incógnitas. ResolvemResolvemos:os:
8
8
<
<
:
:
99aa 33bb++cc= = 220 0 ((11)) a abb++cc= = 4 4 ((22)) 44aa+ 2+ 2bb++cc== 5 5 ((33))8
8
<
<
:
:
99aa 33bb++cc= 20= 20 a abb++cc= 4= 4 66bb 33cc== 2121 Eliminando Eliminando aa8
8
<
<
:
:
a abb++cc= 4= 4 99aa 33bb++cc= 20= 20 66bb 33cc== 2121 Ordenando Ordenando8
8
<
<
:
:
a abb++cc= 4= 4 66bb 88cc== 1616 66bb 33cc== 2121 Eliminando Eliminando aa8
8
<
<
:
:
a abb++cc= 4= 4 66bb 88cc== 1616 55cc== 55 Eliminando Eliminando bbDe lo anterior se puede ver que
De lo anterior se puede ver que cc == 55
5 5 == 11, , yy 66bb 88cc == 1616 66bb 8(8(1) 1) == 1616 66bb+ 8 + 8 == 1616 66bb == 1616 88 66bb == 2424 bb == 2424 66 == 44 a abb++cc = = 44 a a ((4) + (4) + (11) ) = = 44 a a+ 4+ 4 1 1 = = 44 a a+ + 3 3 = = 44 a a = = 44 33 a a = = 11 La expresión buscada es:
La expresión buscada es: y
y = = ((11))xx22+ (+ (4)4)xx+ (+ (1)1) y
18.
18. El El vévértirtice ce y y el el ranrango go de la de la funfuncióción n cuacuadrádrátictica a que pasa por que pasa por los puntlos puntosos
((22;;53)53);;(0(0;;5)5) yy(2(2;;29)29)es:es: a a) ) ((22;;3)3) yy((11;;55 bb) ) ((22;;3)3) yy ((11;;33 cc) ) ((11 3 3;;4)4) yy [4[4;;11)) dd) ) (2(2;;3)3) yy [2[2;;11)) Solutio Solution n 1818
Encontramos la ecuación de la parábola en la forma:
Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: yy == axax22
+
+bxbx++cc Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos:
tres incógnitas. Resolvemos:
8
8
<
<
:
:
44aa22bb++cc= = 553 3 ((11)) cc= = 5 5 ((22)) 44aa+ 2+ 2bb++cc= = 229 9 ((33))8
8
<
<
:
:
44aa22bb++cc= 53= 53 cc= 5= 5 44bb== 2424 Eliminando Eliminando aa yy ccDe lo anterior se puede ver que
De lo anterior se puede ver que cc = 5= 5 yy bb==66:: Así:Así:
44aa22bb++cc = = 5353 44aa2(2(66) ) + + 5 5 = = 5533 44aa+ + 112 2 + + 5 5 = = 5533 44aa+ + 117 7 = = 5533 44aa = = 53531717 44aa = = 3636 a a == 3636 44 a a = = 99 La ecuación de la parábola buscada es:
La ecuación de la parábola buscada es: yy= 9= 9xx22
66xx+ 5+ 5::
El vértice de esta función es dado por
El vértice de esta función es dado por V V ((h;h; kk));; dondedonde hh == bb 2 2aa yy kk == f f ((hh));; entonces: entonces: h h == 66 2(9) 2(9) h h == 11 33 k k == f f ((hh) = 9() = 9(11 33)) 2 2 6(6(11 33) + 5) + 5 k k = = 112 + 52 + 5 k k = = 44 Por lo que el vértice
Por lo que el vértice V V es:es: V V ((11 3 3;;4)4)
Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es
Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es [4[4;;11))
R.
19.
19. Al expresar la función cuadráticaAl expresar la función cuadrática f f ((xx) = ) = 33xx22+ 24+24xx++ 5050 en la formaen la forma f f ((xx) =) =
a a((xxhh))22++k;k; resulta:resulta: a a)) f f ((xx) = 5() = 5(xx+ 3)+ 3)2277 bb)) f f ((xx) = 3() = 3(xx+ 4)+ 4)22+ 2+ 2 cc)) f f ((xx) = 3() = 3(xx+ 3)+ 3)22+ 3+ 3 dd)) f f ((xx) =) = 3(3(xx4)4)2222 Solutio Solution n 1919
Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada
Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada f f ((xx) = ) = 33xx22++
24 24xx+ 50+ 50 a cero:a cero: 33xx22+ 24+ 24xx+ + 550 0 = = 00 33xx22+ 24+ 24xx == 5050 99xx22+ 72+ 72xx == 150150 99xx22+ 72+ 72xx+ + 11444 4 == 150 + 144150 + 144 9( 9(xx22+ 8+ 8xx+ + 1166) ) == 66 9( 9(xx+ 4)+ 4)22 == 66 3( 3(xx+ 4)+ 4)22 == 22 3( 3(xx+ 4)+ 4)22 + + 2 2 = = 00 f f ((xx) ) = = 33((xx+ 4)+ 4)22 + 2+ 2 R. R. bb)) 20.
20. La rapidez de crecimientoLa rapidez de crecimiento yy (en libras por mes) de un infante está rela-(en libras por mes) de un infante está
rela-cionada con el peso actual
cionada con el peso actual xx (en libras) por la fórmula(en libras) por la fórmula yy == cxcx(21(21xx));;
donde
donde cc es una constante positiva yes una constante positiva y 00 < < x x << 2121:: El peso con el que seEl peso con el que se presenta la máxima rapidez es:
presenta la máxima rapidez es: a
a) ) 1212 libraslibras bb) ) 1111 libraslibras cc) 11) 11::55 libraslibras dd) ) 1010::55 libraslibras
Solutio Solution n 2020
La fórmula
La fórmula yy == cxcx(21(21xx)) !!yy = = 2121cxcxcxcx22:: Aquí:Aquí: aa== cc yy bb = = 2121c:c: LaLa
máxima rapidez se presenta en
máxima rapidez se presenta en kk ==f f ((hh));; o sea eno sea en f f ((
b b 2 2aa));; así:así: bb 22aa == 21 21cc 2( 2(cc)) = = 2121 22 f f ((2121 22 ) ) == f f (10(10::5)5) De lo anterior se puede ver que
De lo anterior se puede ver que xx= 10= 10::55 R.
21.
21. El número de millasEl número de millas M M que cierto automóvil puede recorrer con un galónque cierto automóvil puede recorrer con un galón
de gasolina, a una velocidad de
de gasolina, a una velocidad de vv millas por horas, está dado pormillas por horas, está dado por M M == 1 1 30 30vv 2 2 + + 55 2
2v;v; parapara 00< < v v << 7070:: El valor máximo deEl valor máximo de M M es:es:
a
a) 40) 40 millasmillas bb) ) 4646::875875millasmillas cc) ) 5050 millasmillas dd) ) 6060 millasmillas
Solutio Solution n 2121
El valor máximo de
El valor máximo de M M se da ense da en kk==f f ((hh));; o sea eno sea en f f ((22bbaa));; siendosiendo aa==
1 1 30 30 y y bb== 55 2 2;; entonces:entonces: bb 22aa == 5 5 2 2 2211 30 30 bb 22aa == 5 5 2 2 1 1 15 15 bb 22aa == 55 22 15 15 11 bb 22aa == 75 75 22 f f (( bb 22aa) ) == 11 30 30(( 75 75 22 )) 2 2 + + 55 22(( 75 75 22 )) f f (( bb 22aa) ) == 11 30 30 5625 5625 44 ++ 375 375 44 f f (( bb 22aa) ) == 187 187::55 44 ++ 375 375 44 f f (( bb 22aa) ) == 187 187::55 44 f f (( bb 22aa) ) = = 4466::875875 R. R. bb)) 22.
22. Sabiendo queSabiendo que f f ((xx)) es una función cuadrática yes una función cuadrática y f f (2) = 5(2) = 5; ; f f ((2 ) = 52) = 5;; yy
f
f (0) = 1(0) = 1;; determine dicha función:determine dicha función:
a a)) f f ((xx) =) = xx22 22xx+ 1+ 1 bb)) f f ((xx) =) = xx22+ 1+ 1 cc)) f f ((xx) =) = xx22 22xx 11 dd)) f f ((xx) =) = xx22 11 Solutio Solution n 2222
De los valores dados, tenemos los puntos:
De los valores dados, tenemos los puntos: AA(2(2;;5)5);; BB((22;;5)5) yy C C (0(0;;1)1):: Uti- Uti-lizando la forma general de la función cuadrática:
lizando la forma general de la función cuadrática: yy==axax22
+
+bxbx++c:c: FormamosFormamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resolvemos:
8
8
<
<
:
:
44aa+ 2+ 2bb++cc= = 5 5 ((11)) 44aa 22bb++cc= = 5 5 ((22)) cc= = 1 1 ((33))8
8
<
<
:
:
44aa+ 2+ 2bb++cc= 5= 5 44bb= 0= 0 cc= 1= 1 Eliminando Eliminando aa yy cc ComoComo 44bb= 0= 0;; entoncesentonces bb= 0= 0;; así:así:
44aa+ + 22((00) ) + + 1 1 = = 55 44aa+ + 1 1 = = 55 44aa = = 55 11 44aa = = 44 a a == 44 44 a a = = 11 La ecuación buscada es:
La ecuación buscada es: yy ==xx22+ 1+ 1::
R.
R. bb))
23.
23. Dadas las parábolasDadas las parábolas f f ((xx) =) = xx22 11y f yf ((xx) =) = xx22++ 11;; determine los valoresdetermine los valores
de
de xx que pertenecen a la región limitada por la intersección de dichasque pertenecen a la región limitada por la intersección de dichas grá…cas. grá…cas. a a)) ff11< < x x <<11gg bb)) ff11 xx 11gg cc)) ff22< < x x <<22gg dd)) ff22 xx 22gg Solutio Solution n 2323
Gra…camos ambas parábolas: Gra…camos ambas parábolas: La grá…ca de
La grá…ca de yy == xx22 11;; es:es:
--22 --11 11 22 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 x x y y
--22 --11 11 22 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 x x y y
Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son:
Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son: ((11;;0)0) y
y(1(1;;0)0):: Así, los valores deAsí, los valores de xx pertenpertenecienecientes tes a a esta región esta región son:son: ff11 xx 11gg R.
R. bb))
24.
24. Al evaluar la función valor absolutoAl evaluar la función valor absoluto f f ((xx) ) == jjxx 33jj enen xx == 77 se obtienese obtiene
que su imagen vale: que su imagen vale: a a)) 1010 bb)) 44 cc) ) 1010 dd) ) 44 Solutio Solution n 2424 Evaluamos Evaluamos f f ((xx) =) = jjxx 33jj enen xx == 7 :7 : f f ((xx) ) == jjxx 33jj f f ((7) 7) == jj((7)7) 33jj f f ((7) 7) == jj77 33jj f f ((7) 7) == jj1010jj f f ((77) ) = = 1100 R. R. cc)) 25.
25. Los intersectos de la función cuadráticaLos intersectos de la función cuadrática gg((xx) ) == jjxxj jj jxx 33jj con el ejecon el eje xx yy
con el eje
con el eje y;y; respectivamente, son los puntos:respectivamente, son los puntos:
a a) ) ((33 2 2;;0)0) yy (0(0;;3)3) bb) (1) (1::55;;0)0) yy ((33;;0)0) cc) ) (0(0;;2)2) yy(0(0;;3)3) dd) ) (3(3;;0)0) yy(0(0;;2)2) Solutio Solution n 2525
Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad:
Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad: jjaajj == bb $$ aa== bb óó a
a== b:b: Haciendo
0 0 == jjxxj jj jxx 33jj jjxxjj == jjxx 33jj x x == jjxx 33jj x
x == xx 33 óó xx== xx+ 3+ 3 Aplicando propiedadAplicando propiedad De De xx == xx+ 3+ 3;; se tienese tiene x x++xx = = 33 22xx = = 33 x x == 33 22
Así, el punto de intersección con el eje
Así, el punto de intersección con el eje xx es:es: ((33 2 2;;0)0)
Haciendo
Haciendo xx = 0= 0 en la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección conen la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección con el eje el eje yy :: y y == jj00j jj j00 33jj y y = = 00 j j00 33jj y y == j j33jj y y == (3)(3) y y == 33 El punto de intersección con el eje
El punto de intersección con el eje yy es:es: (0(0;;3)3) Los puntos buscados son:
Los puntos buscados son: ((33 2
2;;0)0) yy (0(0;;3)3)::
R.
R. aa))
26.
26. Las Las preimápreimágenes degenes de yy = 2= 2 bajo la funciónbajo la función f f ((xx) =) = jj33xx 1111j j 55 son:son:
a a)) xx = 4= 4;; xx= 8= 8 bb)) xx== 44 3 3;; xx== 66 cc)) xx == 4 4 3 3;; xx= 6= 6 dd)) xx= 4= 4;; xx= 6= 6 Solutio Solution n 2626 Evaluamos
Evaluamos f f ((xx) =) = yy = 2= 2 en la función dada:en la función dada: 2 2 == jj33xx 1111j j 55 2 2 + + 5 5 == jj33xx 1111jj 7 7 == jj33xx 1111jj 7
7 = = 33xx 1111 óó 7 = 7 = (3(3xx 11)11)Aplicando propiedad de ejercicio 25Aplicando propiedad de ejercicio 25 7 7 + + 111 1 = = 33xx 7 =7 = 33xx+ 11+ 11 33xx = = 118 8 77 11 =11 = 33xx x x == 1818 33 33xx== 44 x x = = 66 xx== 44 33 == 44 33 Las preimágenes buscadas son:
27.
27. El dominio y el rango de la función valor absolutoEl dominio y el rango de la función valor absoluto f f ((xx) =) = jjxxjj jjxx+ 3+ 3jj sonson
respectivamente: respectivamente: a a)()(11;; 3]3] yy ((11;;3]3] bb)) [[11;;++11]] yy((33;;3]3] cc)()(11;;++11))yy ((33;;3)3) dd)()(11;;++11)) yy [[33;;3]3] Solutio Solution n 2727 Gra…cando la función
Gra…cando la función yy == jjxxjj jjxx+ 3+ 3jj;; se tiene:se tiene:
--44 --22 22 44 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 x x y y
De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. Pa
Para ra el el cálcálculculo o del rango del rango usausamos mos la la propropiepiedaddad:: jjaajj == bb $$ aa == bb óó a a== b;b; y hacemosy hacemos yy = 0 = 0 :: 0 0 == jjxxjj jjxx+ 3+ 3jj jjxx+ 3+ 3jj == jjxxjj xx == xx+ 3+ 3 xxxx = = 33 22xx = = 33 x x == 33 22 Evaluamos algunos valores de
Evaluamos algunos valores de xx :: Para Para xx = = 11 !! yy == jj11jj jj1 + 31 + 3jj = 1= 1 4 =4 = 33 Para Para xx == 11 !!yy == jj11j j j j 1 + 31 + 3jj = 1= 1 2 =2 = 11 Para Para xx == 44 !!yy == jj44j j j j 4 + 34 + 3jj = 4= 4 1 = 1 = 33 Para Para xx = = 44 !! yy == jj44jj jj4 + 34 + 3jj = 4= 4 7 =7 = 33 Consideramos entonces los números
Consideramos entonces los números yy= 3= 3 yy yy == 33:: Así:
Así:
ii))xx 33 !! jjxxjj jjxx+ 3+ 3jj == xx ((xx+ 3) =+ 3) =xxxx 3 =3 = 33 ii
Así, se puede ver que el rango es:
Así, se puede ver que el rango es: [3[3;;3]3] Por lo cual, lo que se pide es:
Por lo cual, lo que se pide es: ((11;;++11)) yy [[33;;3]3]:: R.
R. dd))
28.
28. El vértice y el rango de la función valor absolutoEl vértice y el rango de la función valor absoluto f f ((xx) = ) = jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3 son:son:
a
a)(1)(1;;1)1) yy((11;;4]4] bb)()(11;;3)3) yy((11;;3]3] cc)()(11;;3)3) yy [[33 ;;++11)) dd)()(11;;3)3) yy [3[3;;++11))
Solutio Solution n 2828
Presentamos a continuación la grá…ca de la función
Presentamos a continuación la grá…ca de la función yy == jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3
--5 5 -4 -4 --3 3 --2 2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 55 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4
x
x
y
y
De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en
De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en yy = = 33;; así: así: y y == jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3 3 3 == jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3 33 3 3 == jjxx+ 1+ 1jj 0 0 == jjxx+ 1+ 1jj 0 0 == xx+ 1+ 1 x x == 11 El vértice de la función es
El vértice de la función es V V ((11;;3)3);; también puede verse que el rango es:también puede verse que el rango es: ((11;;3]3]
R.
29.
29. Si expresamos la funciónSi expresamos la función f f ((xx) =) = jjjjxxjj 22jj sin el símbolo de valor absoluto,sin el símbolo de valor absoluto,
resulta: resulta: a a)) f f ((xx) =) =
xx 22; si x; si x 22 22 x; si <x; si <22 bb)) f f ((xx) =) =
jjxxjj 22; ; sisi jjxxjj 22 22 jjxxjj; ; sisi jjxxjj<<00 cc)) f f ((xx) =) =8
8
>
>
>
>
<
<
>
>
>
>
:
:
x x 22; si x; si x 22 xx 22; si x; si x 22 22 x; six; si 00 x x <<22 2 + 2 +x; six; si 22 < < x x <<00 cc)) f f ((xx) =) =
xx+ 2+ 2; si x; si x 00 2 + 2 +x; si x <x; si x <00 Solutio Solution n 2929Probamos por casos: Probamos por casos:
ii))xx 22 !!f f ((xx) =) = xx 22:: Por ejemplo: Por ejemplo: xx = 3= 3 !! 33 2 = 2 = 11 yy jjjj33jj 22jj == jj11jj = 1= 1 ii ii)0)0 x x <<22 !! f f ((xx) = ) = 22 xx Por ejemplo: Por ejemplo: xx = 1= 1 !! 22 1 = 1 = 11 yy jjjj11jj 22jj == jj11jj = 1= 1 iii iii)) 22 < < x x <<00 !! f f ((xx) = 2 +) = 2 +xx P
Por or ejejememplplo o :: xx == 11 !! 2 + (2 + (1) = 11) = 1 yy jjjj11jj 22jj == jj11 22jj = 1= 1 iv
iv))xx 22 !!f f ((xx) =) = xx 22 Por ejemplo:
Por ejemplo: xx == 33 !! ((3)3) 2 = 2 = 11 yy jjjj33jj 22jj == jj33 22jj = 1= 1
Así, puede verse que:
Así, puede verse que: f f ((xx) =) =
8
8
>
>
>
>
<
<
>
>
>
>
:
:
x x 22; si x; si x 22 xx 22; si x; si x 22 22 x; six; si00 x x <<22 2 + 2 +x; six; si 22 < < x x <<00 R. R. cc))30.
30. Al expresar la funciónAl expresar la función f f ((xx) =) = jjxxjj ++ jjxx 55jjsin el símbolo de valor absoluto,sin el símbolo de valor absoluto,
resulta: resulta: a a)) f f ((xx) =) =
8
8
<
<
:
:
22xx 55; si x; si x 55 55; ; sisi00 x x <<55 22xx+ 5+ 5; ; si si x <x <00 bb)) f f ((xx) =) =
22xx 55; si x; si x 55 22xx+ 5+ 5; ; ssi x <i x <55 cc)) f f ((xx) =) =8
8
<
<
:
:
22xx 55; si x; si x 55 55; ; sisi 00 x x <<55 22xx+ 5+ 5; ; x x <<00 cc)) f f ((xx) =) =
22xx 55; si x; si x 55 55; ; ssi x <i x <55 Solutio Solution n 3030Probamos por casos como en el ejercicio anterior: Probamos por casos como en el ejercicio anterior:
ii))xx 55 !!f f ((xx) =) = xx++xx 5 = 5 = 22xx 55:: Por ejemplo: Por ejemplo: xx= 6= 6 !! 2(6)2(6) 5 = 5 = 77 yy jj66jj ++ jj66 55jj = 6 + 1 = 7= 6 + 1 = 7 ii ii)0)0 x <x <55 !!f f ((xx) = ) = 55 Por ejemplo: Por ejemplo: xx= 1= 1 !!f f (1) = 5(1) = 5 yy jj11jj ++ jj11 55jj = 1 + 4 = 5= 1 + 4 = 5 iii iii))x x << 00 !!f f ((xx) =) = 22xx+ 5+ 5 P
Por or ejejememplplo o :: xx== 11 !! 2(2(1) + 5 = 71) + 5 = 7 yy jj11jj ++ jj11 55jj = 7= 7
Así puede verse que:
Así puede verse que: f f ((xx) =) =