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Funciones Reales

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Academic year: 2021

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(1)

1

1 FFununcicionones es ReRealaleses

1.

1. Al Al evevalualuar ar la la funfuncióción n linelinealal f f ((xx) ) == 

2 2 3 3xx ++ 1 1 2 2 enen xx ==  3 3 4

4 se obtiene quese obtiene que

f  f ((xx)) es.es. a a)) 11 2 2 bb) ) 11 cc)) 7 7 6 6 dd) ) 00 Solutio Solution n 11 Sustituimos el valor de

Sustituimos el valor de xx en la función dada:en la función dada: f  f ((33 44) ) ==  22 33(( 33 44) +) + 11 22 = = 11 22 ++ 11 22 = = 11 R. R. bb)) 2.

2. Los interceptos de la función linealLos interceptos de la función lineal f ((xx) = ) = 22xx

 66 con el ejecon el eje xx y con el ejey con el eje y;y; 1.

1. respecrespectivtivamenamente, son te, son los puntos:los puntos:

a

a) ) (0(0;;6)6) yy(3(3;;0)0) bb) ) (0(0;;6)6) yy ((33;;0)0) cc) ) (0(0;;0)0) yy (3(3;;6)6) dd) ) (3(3;;0)0) yy (0(0;;6)6)

Solutio Solution n 22

Para los interceptos con el eje

Para los interceptos con el eje xx, hacemos, hacemos yy = 0= 0;; en la función dadaen la función dada:: 0 0 = = 22xx 66 22xx = = 66 x x == 66 22 x x = = 33 Así el punto es Así el punto es (3(3;;0)0)

Para los interceptos con el eje

Para los interceptos con el eje y;y; hacemoshacemos xx= 0= 0;; en la función dada:en la función dada: y y = = 22((00))  66 y y = = 00  66 y y == 66 El punto es El punto es (0(0;;6)6)

Los puntos de intercepción son:

Los puntos de intercepción son: (3(3;;0)0) yy (0(0;;6)6) R.

(2)

3.

3. La preimagen deLa preimagen de yy == 

33, bajo la función, bajo la función f f ((xx) = ) = 77  33xx es:es: a a)) xx== 1010 3 3 bb)) xx==  3 3 10 10 cc)) xx==  10 10 3 3 dd)) xx= 0= 0 Solutio Solution n 33 Sustituimos el valor de

Sustituimos el valor de yy en la ecuación dada:en la ecuación dada:  3 3 = = 77  33xx 33xx = = 7 7 + + 33 33xx = = 1010 x x == 1010 33 R. R. aa)) 4.

4. La regla de La regla de asignasignación de la ación de la funciófunción que n que pasa por los pasa por los puntpuntosos ((

11;;3)3)yy(2(2;;8)8) es: es: a a)) f f ((xx) =) = 22 3 3xx 11 11 3 3 bb)) f f ((xx) =) =  11 11 3 3 xx++ 2 2 3 3 cc)) f f ((xx) = ) = 22xx 1111 dd)) f f ((xx) =) = 11 11 3 3 xx++ 2 2 3 3 Solutio Solution n 44

La regla de asignación es dada por:

La regla de asignación es dada por: f f ((xx) =) = mxmx++b;b;dondedonde mmes la pendiente,es la pendiente, así: así: m m == yy22yy11 x x22xx11 m m == 88  ((3)3) 22  ((1)1) m m == 8 + 38 + 3 2 + 1 2 + 1 m m == 1111 33 Ahora hallamos el valor de

Ahora hallamos el valor de bb, utilizando el punto, utilizando el punto (2(2;;8)8), así:, así: f  f ((xx) ) == mxmx++bb 8 8 == 1111 33 (2) +(2) +bb bb = = 88  22 22 33 bb == 2424  2222 33 22

(3)

La regla de asignación es:

La regla de asignación es: f f ((xx) =) = 1111 3 3 xx++ 2 2 3 3 R. R. dd)) 5.

5. En cálculo de interés simple, la cantidad devengadaEn cálculo de interés simple, la cantidad devengada S S  es una función lineales una función lineal

de tiempo medido en años

de tiempo medido en años S S ==P P (1(1 ++rtrt)):: Si el capital esSi el capital es P P == C C $1000$1000y y lala tasa anual de interés es

tasa anual de interés es rr= 4%= 4%;; entonces la cantidad devengadaentonces la cantidad devengada S S  pasadopasado 15

15 años es:años es: a

a) $61000) $61000 bb) $1600) $1600 cc) $7000) $7000 dd) $16000) $16000

Solutio Solution n 55

Sustituimos los valores dados en la función:

Sustituimos los valores dados en la función: S S ==P P (1 +(1 +rtrt)) S  S  = = 101000[1 00[1 + + (0(0::04)(15)]04)(15)] S  S  = = 10100000(1 (1 + + 00::6)6) S  S  = = (1(100000)0)(1(1::6)6) S  S  = = 11660000 R. R. bb)) 6.

6. SeaSea hh una función lineal tal queuna función lineal tal que hh((

2) = 52) = 5yy hh(6) = 3(6) = 3;; la funciónla función hh((xx));; dondedonde x

x es cualquier número real está de…nida por:es cualquier número real está de…nida por:

a a)) hh((xx) = ) = 55xx+ 3+ 3 bb)) hh((xx) =) = 99 2 2xx++ 1 1 4 4 cc)) hh((xx) =) = 22xx+ 6+ 6 dd)) hh((xx) =) =  1 1 4 4xx++ 9 9 2 2 Solutio Solution n 66 Según los

Según los datosdatos, , tenemtenemos os dos puntos:dos puntos: AA((22;;5)5) yy BB(6(6;;3)3);;la función buscadala función buscada es del tipo

es del tipo f f ((xx) =) = mxmx++b:b: Hallamos el valor deHallamos el valor de mm::

m m == 33  55 66  ((2)2) m m == 22 6 + 2 6 + 2 m m == 22 88 m m ==  11 44

(4)

Ahora hallamos el valor de

Ahora hallamos el valor de bb, usando el punto:, usando el punto: BB(6(6;;3) :3) : bb == f f ((xx))mxmx bb = = 33((11 44)(6))(6) bb = = 3 +3 + 33 22 bb == 6 + 36 + 3 22 bb == 99 22 La función es de…nida por:

La función es de…nida por: f f ((xx) =) = 11 4 4xx++ 9 9 2 2 R. R. dd)) 7.

7. SeSe f una función de números tal queuna función de números tal que f (2) = 3(2) = 3;;yy f ((aa++bb) =) = ((aa)) ++((bb)) ++ab;ab;

8

8a;b:a;b:Entonces,Entonces, f f (11)(11)es igual a:es igual a: a

a) ) 2222 bb) ) 3333 cc) ) 4444 dd) ) 6666

Solutio Solution n 77

Utilizando los datos dados, hallamos el valor de Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f f (4)(4)::

f  f ((44) ) == f f (2 + 2)(2 + 2) f  f ((44) ) == f f (2) +(2) +f f (2) + (2)(2)(2) + (2)(2) f  f ((44) ) = = 3 3 + + 3 3 + + 44 f  f ((44) ) = = 1100 Ahora hallamos el valor de

Ahora hallamos el valor de f f (6) :(6) : f  f ((66) ) == f f (4 + 2)(4 + 2) f  f ((66) ) == f f (4) +(4) +f f (2) + (4)(2)(2) + (4)(2) f  f ((66) ) = = 110 0 + + 3 3 + + 88 f  f ((66) ) = = 2211 Ahora hallamos el valor de

Ahora hallamos el valor de f f (10) :(10) : f  f ((1100) ) == f f (6 + 4)(6 + 4) f  f ((1100) ) == f f (6) +(6) +f f (4) + (6)(4)(4) + (6)(4) f  f (1(10) 0) = = 221 1 + + 10 10 + + 2424 f  f ((1100) ) = = 5555 Para hallar

(5)

f  f ((22) ) == f f (1) +(1) +f f (1) + (1)(1)(1) + (1)(1) 3 3 = = 22f f (1) + 1(1) + 1 33  1 1 = = 22f f (1)(1) 2 2 = = 22f f (1)(1) f  f ((11) ) == 22 22 f  f ((11) ) = = 11 Así: Así: f  f ((1111) ) == f f (10) +(10) +f f (1) + (10)(1)(1) + (10)(1) f  f ((1111) ) = = 55 55 + + 1 1 + + 1100 f  f ((1111) ) = = 6666 R. R. dd)) 8.

8. Para niños entrePara niños entre 66 yy 1010 años de edad, la estaturaaños de edad, la estatura yy (en pulgadas) es fre-(en pulgadas) es

fre-cuentemente una función lineal de la edad

cuentemente una función lineal de la edad tt (en años). (en años). Si la estatSi la estatura deura de cierto infante es de

cierto infante es de 4848 pulgapulgadas a das a loslos 66 años de edad yaños de edad y 5050::55 pulgadas a lospulgadas a los 77;; entonces al expresarentonces al expresar yy como función decomo función de t;t;se obtiene:se obtiene:

a

a)) yy((tt) = 33) = 33  22::55t t bb)) yy((tt) = ) = 22::55tt+ 33+ 33 cc)) yy((tt) = 33) = 33tt 22::55 dd)) yy((tt) = ) = 22::55tt 3333

Solutio Solution n 88

Por los datos dados, la función buscada es del tipo:

Por los datos dados, la función buscada es del tipo: yy((tt) =) = mxmx++b;b;y ademásy además nos dan dos puntos:

nos dan dos puntos: AA(6(6;;48)48) yy BB(7(7;;5050::5)5):: Hallamos el valor deHallamos el valor de mm::

m m == 5050::55  4848 77  66 m m = = 22::55 Usamos el punto

Usamos el punto AA(6(6;;48)48), para hallar el valor de, para hallar el valor de bb:: y y((tt) ) == mxmx++bb 448 8 = = ((22::5)(6) +5)(6) +bb 448 8 = = 115 5 ++bb bb = = 4848  1515 bb = = 3333 La función buscada es La función buscada es yy((tt) = ) = 22::55tt+ 33+ 33 R. R. bb))

(6)

9.

9. Sabiendo queSabiendo que f (0) = 1(0) = 1 yy f (1) = 0(1) = 0;; determine la función linealdetermine la función lineal f ((xx)) y el áreay el área

acotada por dicha función y los ejes acotada por dicha función y los ejes X;Y:X;Y:

a

a)) f f ((xx) =) = xx 11;; 22uu22 bb)) f f ((xx) =) = xx 11;; 00::2525uu22 cc)) f f ((xx) =) = xx+ 1+ 1;; 00::55uu22 dd)) f f ((xx) =) = xx+ 1+ 1;; 22uu22

Solutio Solution n 99

La función buscada es del tipo:

La función buscada es del tipo: f f ((xx) =) = mxmx++b;b; según los datos tenemos lossegún los datos tenemos los puntos:

puntos: AA(0(0;;1)1) yy BB(1(1;;0)0);; hallandohallando mm::

m m == 00  11 11  00 m m == 11 11 m m == 11 Hallando el valor de

Hallando el valor de bb usando el punto:usando el punto: AA(0(0;;1) :1) : y y == mxmx++bb 1 1 = = ((1)(0) +1)(0) +bb 1 1 == bb La función buscada es:

La función buscada es: f f ((xx) =) = xx+ 1+ 1

Los puntos de intersección de la recta con los ejes son:

Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: AA(0(0;;1)1) yy BB(1(1;;0)0);; formando un triángulo de base

formando un triángulo de base 11u:u: Así: Así: A A == 11 22bxhbxh A A == 11 22(1)(1)(1)(1) A A == 11 22uu 2 2 R. R. cc))

(7)

10.

10. Al evaluar la función cuadráticaAl evaluar la función cuadrática f ((xx) ) == 22 3 3xx 2 2 + + 11 2 2 enen xx ==  3 3 4 4 se obtienese obtiene

que su imagen vale: que su imagen vale: a a)) 11 2 2 bb) ) 11 cc)) 1 1 8 8 dd))  1 1 4 4 Solutio Solution n 1010 Sustituimos el valor de

Sustituimos el valor de xx en la función dada:en la función dada: f  f (( 33 44) ) ==  22 33

  33 44

22 + + 11 22 f  f (( 33 44) ) ==  22 33

99 16 16

+ + 11 22 f  f (( 33 44) ) ==  33 88 ++ 11 22 f  f (( 33 44) ) ==  3 + 43 + 4 88 f  f (( 33 44) ) == 11 88 R. R. cc)) 11.

11. Los interceptos de la función cuadráticaLos interceptos de la función cuadrática gg((xx) ) == xx22

66xx55 con el ejecon el eje xx

y con el eje

y con el eje y;y; respectivamente, son los puntos:respectivamente, son los puntos:

a

a) ) ((11;;0)0) yy((55;;0)0) bb) ) (1(1;;0)0) yy (5(5;;0)0) cc) ) (0(0;;0)0) yy ((11;;5)5) dd) ) (3(3;;0)0) yy (1(1;;5)5)

Solutio Solution n 1111

Interceptos con el eje

Interceptos con el eje xx, hacemos, hacemos yy= 0= 0 0 0 == xx2266xx55 x x22 + 6+ 6xx+ + 5 5 = = 00 ((xx+ 5)(+ 5)(xx+ + 11) ) = = 00 x x+ + 5 5 = = 00!!xx== 55 x x+ + 1 1 = = 00!!xx== 11

Los interceptos en el eje

Los interceptos en el eje xx son:son: ((11;;0)0) yy ((55;;0)0)

Interceptos con el eje

Interceptos con el eje yy, hacemos, hacemos xx= 0= 0:: y y == (0)(0) 2 2  6(0)6(0)55 y y = = 000055 y y == 55

El intercepto con el eje

(8)

12.

12. El dominio y el rango de la función cuadráticaEl dominio y el rango de la función cuadrática f ((xx) =) = 22xx22++ 66son respec-son

respec-tivamente: tivamente: a a)) R R yy ((22;;6)6) bb)) R R yy ((11;;6]6] cc) ) ((22;;0)0) yy ((11;;++11)) dd) ) [[66;;++11)) yy [[2 2 ++11)) Solutio Solution n 1212 La grá…ca de la función

La grá…ca de la función f f ((xx) =) = 22xx22+ 6+ 6;; es como se muestra:es como se muestra:

--5 5 --4 4 --3 3 --2 2 --1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 55 -10 -10 -5 -5 5 5 10 10

x

x

y

y

Vemos que su dominio es todo R. Vemos que su dominio es todo R. Para el rango debemos hallar el valor de

Para el rango debemos hallar el valor de kk==f f ((xx));;el cual tiene como abscisael cual tiene como abscisa x

x= 0= 0;; por lo cual:por lo cual:

y y == 2(0)2(0)22 + 6+ 6 y y = = 0 0 + + 66 y y = = 66 Así, el rango es:

Así, el rango es: ((11;;6]6]

R.

(9)

13.

13. Dada la funciónDada la función f ((xx) =) = axax22++bxbx++c;c; el valor deel valor de f ((

 b b 2 2aa)) es:es: a a)) cc 44bb22aa bb)) cc22 b b22 4 4aa cc)) cc b b22 4 4aa dd)) cc++ b b22 4 4aa Solutio Solution n 1313 Evaluamos

Evaluamos 22bbaa en la función dada:en la función dada:

f  f ((xx) ) == axax22++bxbx++cc f  f 

bb 22aa

= = aa

bb 22aa

22 + +bb

bb 22aa

+ +cc f  f 

bb 22aa

= = aa

bb 2 2 44aa22

  bb22 22aa++cc f  f 

bb 22aa

= = bb 2 2 44aa  bb22 22aa ++cc f  f 

bb 22aa

= = bb 2 2   22bb22 + 4+ 4acac 44aa f  f 

bb 22aa

= = bb 2 2+ 4+ 4acac 44aa f  f 

bb 22aa

= = bb 2 2 44aa ++ 44acac 44aa f  f 

bb 22aa

= = cc bb 2 2 44aa R. R. cc)) 14.

14. Dada las parábolasDada las parábolas xx22

 33xx+ 1+ 1 yy xx22+ 2+ 2xx+ 7+ 7;; la distancia entre el puntola distancia entre el punto mínimo y máximo de dichas curvas es:

mínimo y máximo de dichas curvas es: a

a) ) 88::23452345 bb) ) 99::26352635 cc) ) 77::26352635 dd) ) 88::26352635

Solutio Solution n 1414

Los puntos pedidos en las

Los puntos pedidos en las curvcurvas son as son los vérticlos vértices. es. Las coordenaLas coordenadas de das de éstoséstos están dadas por

están dadas por hh== 

b b 2 2aa yy kk ==f f ((hh)):: Así para Así para xx22   33xx+ 1+ 1; ; hh11 yy kk11 valen:valen: h h11 == ((3) 3) 2(1) 2(1) == 33 22 k k11 ==

33 22

22   33

33 22

+ 1 + 1 k k11 == 99 44  99 22 + 1+ 1 k k11 == 99  18 + 4 18 + 4 44 k k11 ==  55 44

(10)

El vértice de esta función es: El vértice de esta función es: V  V  11((

3 3 2 2;; 5 5 4 4)) Ahora hallamos

Ahora hallamos hh22 yy kk22 paraparaxx 2 2 + 2 + 2xx+ 7 :+ 7 : h h22 ==  22 2( 2(1)1) = 1= 1 k k22 == (1)(1)22+ 2(1) + 7+ 2(1) + 7 k k22 == 1 + 2 + 71 + 2 + 7 k k22 = = 88

El vértice de esta función es:

El vértice de esta función es: V  V  22(1(1;;8)8)

Hallamos la distancia entre éstos dos puntos: Hallamos la distancia entre éstos dos puntos:

d d((V  V  11;; V  V  22) =) =

((xx22xx11))22+ (+ (yy22 yy11))22 d d((V  V  11;; V  V  22) ) ==

(1 (133 22)) 2 2++



88  ((55 44))



22 d d((V  V  11;; V  V  22) ) ==

s 

2233 22

22++



32 + 532 + 5 44



22 d d((V  V  11;; V  V  22) ) ==

s 

11 22

22 ++



3737 44



22 d d((V  V  11;; V  V  22) ) ==

11 44 ++ 1369 1369 16 16 d d((V  V  11;; V  V  22) ) ==

4 + 13694 + 1369 16 16 d d((V  V  11;; V  V  22) ) ==

13731373 16 16 d d((V  V  11;; V  V  22))  99::26352635 R. R. bb)) 15.

15. Las funciones lineales de…nidaLas funciones lineales de…nidas s porpor f 11(1) = 0(1) = 0; ; f 11(0) = 1(0) = 1 yy f 22((1) = 01) = 0;;

f 22(0) = 1(0) = 1;; forman un triángulo isósceles con el ejeforman un triángulo isósceles con el eje X:X: El área de dichoEl área de dicho

triángulo es: triángulo es: a a) ) 11::2525uu22 bb) ) 00::7575uu22 cc) ) 11uu22 d d) ) 11::55uu22 Solutio Solution n 1515

Las coordenadas según

Las coordenadas según f f 11(1) = 0(1) = 0; ; f f 11(0) = 1(0) = 1 yy f f 22((1) = 01) = 0; ; f f 22(0) = 1(0) = 1:: SonSon

los puntos:

los puntos: AA(1(1;;0)0); ; BB(0(0;;1)1) y C y C ((11;;0)0);;(0(0;;1)1)

El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje

El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X X , tiene como base, tiene como base 22uu y alturay altura 11u:u:

(11)

Entonces: Entonces: A A == bb



hh 22 A A == (2(2uu)(1)(1uu)) 22 A A = = 11uu22 R. R. cc)) 16.

16. Las preimágenes deLas preimágenes de yy = 5= 5 bajo la funciónbajo la función f ((xx) =) = xx22

44xx

11 son:son: a a)) xx= 8= 8

1010 bb)) xx= 4= 4

1010 cc)) xx= 2= 2

1010 dd)) xx= 1= 1

1010 Solutio Solution n 1616 Evaluamos

Evaluamos yy= 5= 5 en la función:en la función: yy ==xx22

44xx

11 5 5 == xx22

44xx

11 x x22

44xx

6 6 = = 00 x x11;;22 ==

((

4)4)

((

4)4)22

4(1)(4(1)(

6)6) 2(1) 2(1) x x11;;22 == 44

16 + 2416 + 24 22 x x11;;22 == 44

4040 22 x x11;;22 == 44

22

1010 22 x x11;;22 = = 22

1010 R. R. cc)) 17.

17. La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntosLa expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos((

33;;20);(20);(

11;;4)4)

y y(2(2;;

5)5) es:es: a a)) f f ((xx) =) =

33xx22

xx+ 5+ 5 bb)) f f ((xx) = ) = 33xx22 + 5 + 5xx

11 cc)) f f ((xx) =) = xx22

44xx

11 dd)) f f ((xx) = ) = 44xx22 + + 22 3 3

(12)

Solutio Solution n 1717

La expresión funcional de una parábola es de la forma:

La expresión funcional de una parábola es de la forma: yy == axax22

+

+bxbx++cc Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

tres incógnitas. ResolvemResolvemos:os:

8

8

<

<

:

:

99aa 33bb++cc= = 220 0 ((11)) a abb++cc= = 4 4 ((22)) 44aa+ 2+ 2bb++cc== 5 5 ((33))

8

8

<

<

:

:

99aa 33bb++cc= 20= 20 a abb++cc= 4= 4 66bb 33cc== 2121 Eliminando Eliminando aa

8

8

<

<

:

:

a abb++cc= 4= 4 99aa 33bb++cc= 20= 20 66bb 33cc== 2121 Ordenando Ordenando

8

8

<

<

:

:

a abb++cc= 4= 4 66bb 88cc== 1616 66bb 33cc== 2121 Eliminando Eliminando aa

8

8

<

<

:

:

a abb++cc= 4= 4 66bb 88cc== 1616 55cc== 55 Eliminando Eliminando bb

De lo anterior se puede ver que

De lo anterior se puede ver que cc == 55

5 5 == 11, , yy 66bb 88cc == 1616 66bb 8(8(1) 1) == 1616 66bb+ 8 + 8 == 1616 66bb == 1616  88 66bb == 2424 bb == 2424 66 == 44 a abb++cc = = 44 a a ((4) + (4) + (11) ) = = 44 a a+ 4+ 4  1 1 = = 44 a a+ + 3 3 = = 44 a a = = 44  33 a a = = 11 La expresión buscada es:

La expresión buscada es: y

y = = ((11))xx22+ (+ (4)4)xx+ (+ (1)1) y

(13)

18.

18. El El vévértirtice ce y y el el ranrango go de la de la funfuncióción n cuacuadrádrátictica a que pasa por que pasa por los puntlos puntosos

((22;;53)53);;(0(0;;5)5) yy(2(2;;29)29)es:es: a a) ) ((22;;3)3) yy((11;;55 bb) ) ((22;;3)3) yy ((11;;33 cc) ) ((11 3 3;;4)4) yy [4[4;;11)) dd) ) (2(2;;3)3) yy [2[2;;11)) Solutio Solution n 1818

Encontramos la ecuación de la parábola en la forma:

Encontramos la ecuación de la parábola en la forma: yy == axax22

+

+bxbx++cc Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Resolvemos:

tres incógnitas. Resolvemos:

8

8

<

<

:

:

44aa22bb++cc= = 553 3 ((11)) cc= = 5 5 ((22)) 44aa+ 2+ 2bb++cc= = 229 9 ((33))

8

8

<

<

:

:

44aa22bb++cc= 53= 53 cc= 5= 5 44bb== 2424 Eliminando Eliminando aa yy cc

De lo anterior se puede ver que

De lo anterior se puede ver que cc = 5= 5 yy bb==66:: Así:Así:

44aa22bb++cc = = 5353 44aa2(2(66) ) + + 5 5 = = 5533 44aa+ + 112 2 + + 5 5 = = 5533 44aa+ + 117 7 = = 5533 44aa = = 53531717 44aa = = 3636 a a == 3636 44 a a = = 99 La ecuación de la parábola buscada es:

La ecuación de la parábola buscada es: yy= 9= 9xx22 

66xx+ 5+ 5::

El vértice de esta función es dado por

El vértice de esta función es dado por V  V  ((h;h; kk));; dondedonde hh ==  bb 2 2aa yy kk == f f ((hh));; entonces: entonces: h h ==   66 2(9) 2(9) h h == 11 33 k k == f f ((hh) = 9() = 9(11 33)) 2 2  6(6(11 33) + 5) + 5 k k = = 112 + 52 + 5 k k = = 44 Por lo que el vértice

Por lo que el vértice V  V  es:es: V  V  ((11 3 3;;4)4)

Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es

Esta parábola abre hacia arriba, por lo cual el rango es [4[4;;11))

R.

(14)

19.

19. Al expresar la función cuadráticaAl expresar la función cuadrática ((xx) = ) = 33xx22+ 24+24xx++ 5050 en la formaen la forma ((xx) =) =

a a((xxhh))22++k;k; resulta:resulta: a a)) f f ((xx) = 5() = 5(xx+ 3)+ 3)2277 bb)) ((xx) = 3() = 3(xx+ 4)+ 4)22+ 2+ 2 cc)) f f ((xx) = 3() = 3(xx+ 3)+ 3)22+ 3+ 3 dd)) ((xx) =) =  3(3(xx4)4)2222 Solutio Solution n 1919

Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada

Resolvemos completando cuadrado, igualamos la función dada f f ((xx) = ) = 33xx22++

24 24xx+ 50+ 50 a cero:a cero: 33xx22+ 24+ 24xx+ + 550 0 = = 00 33xx22+ 24+ 24xx == 5050 99xx22+ 72+ 72xx == 150150 99xx22+ 72+ 72xx+ + 11444 4 == 150 + 144150 + 144 9( 9(xx22+ 8+ 8xx+ + 1166) ) == 66 9( 9(xx+ 4)+ 4)22 ==  66 3( 3(xx+ 4)+ 4)22 ==  22 3( 3(xx+ 4)+ 4)22 + + 2 2 = = 00 f  f ((xx) ) = = 33((xx+ 4)+ 4)22 + 2+ 2 R. R. bb)) 20.

20. La rapidez de crecimientoLa rapidez de crecimiento yy (en libras por mes) de un infante está rela-(en libras por mes) de un infante está

rela-cionada con el peso actual

cionada con el peso actual xx (en libras) por la fórmula(en libras) por la fórmula yy == cxcx(21(21xx));;

donde

donde cc es una constante positiva yes una constante positiva y 00 < < x x << 2121:: El peso con el que seEl peso con el que se presenta la máxima rapidez es:

presenta la máxima rapidez es: a

a) ) 1212 libraslibras bb) ) 1111 libraslibras cc) 11) 11::55 libraslibras dd) ) 1010::55 libraslibras

Solutio Solution n 2020

La fórmula

La fórmula yy == cxcx(21(21xx)) !!yy = = 2121cxcxcxcx22:: Aquí:Aquí: aa== cc yy bb = = 2121c:c: LaLa

máxima rapidez se presenta en

máxima rapidez se presenta en kk ==f f ((hh));; o sea eno sea en f f ((

b b 2 2aa));; así:así:   bb 22aa ==  21 21cc 2( 2(cc)) = = 2121 22 f  f ((2121 22 ) ) == f f (10(10::5)5) De lo anterior se puede ver que

De lo anterior se puede ver que xx= 10= 10::55 R.

(15)

21.

21. El número de millasEl número de millas M M  que cierto automóvil puede recorrer con un galónque cierto automóvil puede recorrer con un galón

de gasolina, a una velocidad de

de gasolina, a una velocidad de vv millas por horas, está dado pormillas por horas, está dado por M M  ==   1 1 30 30vv 2 2 + + 55 2

2v;v; parapara 00< < v v << 7070:: El valor máximo deEl valor máximo de M M  es:es:

a

a) 40) 40 millasmillas bb) ) 4646::875875millasmillas cc) ) 5050 millasmillas dd) ) 6060 millasmillas

Solutio Solution n 2121

El valor máximo de

El valor máximo de M M  se da ense da en kk==f f ((hh));; o sea eno sea en f f ((22bbaa));; siendosiendo aa== 

1 1 30 30 y y bb== 55 2 2;; entonces:entonces:   bb 22aa ==  5 5 2 2 2211 30 30   bb 22aa == 5 5 2 2 1 1 15 15   bb 22aa == 55 22  15 15 11   bb 22aa == 75 75 22 f  f (( bb 22aa) ) ==  11 30 30(( 75 75 22 )) 2 2 + + 55 22(( 75 75 22 )) f  f (( bb 22aa) ) ==  11 30 30  5625 5625 44 ++ 375 375 44 f  f (( bb 22aa) ) ==  187 187::55 44 ++ 375 375 44 f  f (( bb 22aa) ) == 187 187::55 44 f  f (( bb 22aa) ) = = 4466::875875 R. R. bb)) 22.

22. Sabiendo queSabiendo que f ((xx)) es una función cuadrática yes una función cuadrática y f (2) = 5(2) = 5; ; f ((2 ) = 52) = 5;; yy

f (0) = 1(0) = 1;; determine dicha función:determine dicha función:

a a)) f f ((xx) =) = xx22   22xx+ 1+ 1 bb)) f f ((xx) =) = xx22+ 1+ 1 cc)) f f ((xx) =) = xx22 22xx 11 dd)) f f ((xx) =) = xx22 11 Solutio Solution n 2222

De los valores dados, tenemos los puntos:

De los valores dados, tenemos los puntos: AA(2(2;;5)5);; BB((22;;5)5) yy C C (0(0;;1)1):: Uti- Uti-lizando la forma general de la función cuadrática:

lizando la forma general de la función cuadrática: yy==axax22

+

+bxbx++c:c: FormamosFormamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resolvemos:

(16)

8

8

<

<

:

:

44aa+ 2+ 2bb++cc= = 5 5 ((11)) 44aa 22bb++cc= = 5 5 ((22)) cc= = 1 1 ((33))

8

8

<

<

:

:

44aa+ 2+ 2bb++cc= 5= 5 44bb= 0= 0 cc= 1= 1 Eliminando Eliminando aa yy cc Como

Como 44bb= 0= 0;; entoncesentonces bb= 0= 0;; así:así:

44aa+ + 22((00) ) + + 1 1 = = 55 44aa+ + 1 1 = = 55 44aa = = 55  11 44aa = = 44 a a == 44 44 a a = = 11 La ecuación buscada es:

La ecuación buscada es: yy ==xx22+ 1+ 1::

R.

R. bb))

23.

23. Dadas las parábolasDadas las parábolas f ((xx) =) = xx22 11y f y((xx) =) = xx22++ 11;; determine los valoresdetermine los valores

de

de xx que pertenecen a la región limitada por la intersección de dichasque pertenecen a la región limitada por la intersección de dichas grá…cas. grá…cas. a a)) ff11< < x x <<11gg bb)) ff11 xx  11gg cc)) ff22< < x x <<22gg dd)) ff22 xx  22gg Solutio Solution n 2323

Gra…camos ambas parábolas: Gra…camos ambas parábolas: La grá…ca de

La grá…ca de yy == xx22 11;; es:es:

--22 --11 11 22 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 x x y y

(17)

--22 --11 11 22 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 x x y y

Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son:

Según las grá…cas, los puntos de intersección de ambas parábolas son: ((11;;0)0) y

y(1(1;;0)0):: Así, los valores deAsí, los valores de xx pertenpertenecienecientes tes a a esta región esta región son:son: ff11  xx 11gg R.

R. bb))

24.

24. Al evaluar la función valor absolutoAl evaluar la función valor absoluto f ((xx) ) == jjxx 33jj enen xx == 77 se obtienese obtiene

que su imagen vale: que su imagen vale: a a))  1010 bb)) 44 cc) ) 1010 dd) ) 44 Solutio Solution n 2424 Evaluamos Evaluamos f f ((xx) =) = jjxx 33jj enen xx == 7 :7 : f  f ((xx) ) == jjxx 33jj f  f ((7) 7) == jj((7)7)  33jj f  f ((7) 7) == jj77  33jj f  f ((7) 7) == jj1010jj f  f ((77) ) = = 1100 R. R. cc)) 25.

25. Los intersectos de la función cuadráticaLos intersectos de la función cuadrática gg((xx) ) == jjxxj  jj  jxx 33jj con el ejecon el eje xx yy

con el eje

con el eje y;y; respectivamente, son los puntos:respectivamente, son los puntos:

a a) ) ((33 2 2;;0)0) yy (0(0;;3)3) bb) (1) (1::55;;0)0) yy ((33;;0)0) cc) ) (0(0;;2)2) yy(0(0;;3)3) dd) ) (3(3;;0)0) yy(0(0;;2)2) Solutio Solution n 2525

Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad:

Para resolver este ejercicio, utilizamos la propiedad: jjaajj == bb $$ aa== bb óó a

a== b:b: Haciendo

(18)

0 0 == jjxxj  jj  jxx 33jj jjxxjj == jjxx 33jj x x == jjxx 33jj x

x == xx 33 óó xx== xx+ 3+ 3 Aplicando propiedadAplicando propiedad De De xx == xx+ 3+ 3;; se tienese tiene x x++xx = = 33 22xx = = 33 x x == 33 22

Así, el punto de intersección con el eje

Así, el punto de intersección con el eje xx es:es: ((33 2 2;;0)0)

Haciendo

Haciendo xx = 0= 0 en la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección conen la ecuación dada, obtenemos el punto de intersección con el eje el eje yy :: y y == jj00j  jj  j00  33jj y y = = 00  j j00  33jj y y ==  j j33jj y y == (3)(3) y y == 33 El punto de intersección con el eje

El punto de intersección con el eje yy es:es: (0(0;;3)3) Los puntos buscados son:

Los puntos buscados son: ((33 2

2;;0)0) yy (0(0;;3)3)::

R.

R. aa))

26.

26. Las Las preimápreimágenes degenes de yy = 2= 2 bajo la funciónbajo la función f ((xx) =) = jj33xx 1111j j  55 son:son:

a a)) xx = 4= 4;; xx= 8= 8 bb)) xx== 44 3 3;; xx== 66 cc)) xx == 4 4 3 3;; xx= 6= 6 dd)) xx= 4= 4;; xx= 6= 6 Solutio Solution n 2626 Evaluamos

Evaluamos f f ((xx) =) = yy = 2= 2 en la función dada:en la función dada: 2 2 == jj33xx 1111j j  55 2 2 + + 5 5 == jj33xx 1111jj 7 7 == jj33xx 1111jj 7

7 = = 33xx 1111 óó 7 = 7 = (3(3xx 11)11)Aplicando propiedad de ejercicio 25Aplicando propiedad de ejercicio 25 7 7 + + 111 1 = = 33xx 7 =7 = 33xx+ 11+ 11 33xx = = 118 8 77  11 =11 = 33xx x x == 1818 33  33xx== 44 x x = = 66 xx== 44  33 == 44 33 Las preimágenes buscadas son:

(19)

27.

27. El dominio y el rango de la función valor absolutoEl dominio y el rango de la función valor absoluto f ((xx) =) = jjxxjj  jjxx+ 3+ 3jj sonson

respectivamente: respectivamente: a a)()(11;; 3]3] yy ((11;;3]3] bb)) [[11;;++11]] yy((33;;3]3] cc)()(11;;++11))yy ((33;;3)3) dd)()(11;;++11)) yy [[33;;3]3] Solutio Solution n 2727 Gra…cando la función

Gra…cando la función yy == jjxxjj  jjxx+ 3+ 3jj;; se tiene:se tiene:

--44 --22 22 44 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 x x y y

De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. De la grá…ca anterior puede verse que el dominio es todo R. Pa

Para ra el el cálcálculculo o del rango del rango usausamos mos la la propropiepiedaddad:: jjaajj == bb $$ aa == bb óó a a== b;b; y hacemosy hacemos yy = 0 = 0 :: 0 0 == jjxxjj  jjxx+ 3+ 3jj jjxx+ 3+ 3jj == jjxxjj  xx == xx+ 3+ 3  xxxx = = 33  22xx = = 33 x x == 33 22 Evaluamos algunos valores de

Evaluamos algunos valores de xx :: Para Para xx = = 11 !! yy == jj11jj  jj1 + 31 + 3jj = 1= 1  4 =4 = 33 Para Para xx == 11 !!yy == jj11j  j j  j 1 + 31 + 3jj = 1= 1  2 =2 = 11 Para Para xx == 44 !!yy == jj44j  j j  j 4 + 34 + 3jj = 4= 4  1 = 1 = 33 Para Para xx = = 44 !! yy == jj44jj  jj4 + 34 + 3jj = 4= 4  7 =7 = 33 Consideramos entonces los números

Consideramos entonces los números yy= 3= 3 yy yy == 33:: Así:

Así:

ii))xx   33 !! jjxxjj  jjxx+ 3+ 3jj == xx ((xx+ 3) =+ 3) =xxxx 3 =3 = 33 ii

(20)

Así, se puede ver que el rango es:

Así, se puede ver que el rango es: [3[3;;3]3] Por lo cual, lo que se pide es:

Por lo cual, lo que se pide es: ((11;;++11)) yy [[33;;3]3]:: R.

R. dd))

28.

28. El vértice y el rango de la función valor absolutoEl vértice y el rango de la función valor absoluto f ((xx) = ) =  jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3 son:son:

a

a)(1)(1;;1)1) yy((11;;4]4] bb)()(11;;3)3) yy((11;;3]3] cc)()(11;;3)3) yy [[33 ;;++11)) dd)()(11;;3)3) yy [3[3;;++11))

Solutio Solution n 2828

Presentamos a continuación la grá…ca de la función

Presentamos a continuación la grá…ca de la función yy ==  jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3

--5 5 -4 -4 --3 3 --2 2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 55 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4

x

x

y

y

De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en

De la grá…ca vemos que el mayor valor que toma la función está en yy = = 33;; así: así: y y ==  jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3 3 3 ==  jjxx+ 1+ 1jj + 3+ 3 33  3 3 ==  jjxx+ 1+ 1jj 0 0 ==  jjxx+ 1+ 1jj 0 0 == xx+ 1+ 1 x x == 11 El vértice de la función es

El vértice de la función es V  V  ((11;;3)3);; también puede verse que el rango es:también puede verse que el rango es: ((11;;3]3]

R.

(21)

29.

29. Si expresamos la funciónSi expresamos la función f ((xx) =) = jjjjxxjj  22jj sin el símbolo de valor absoluto,sin el símbolo de valor absoluto,

resulta: resulta: a a)) f f ((xx) =) =

xx 22; si x; si x 22 22 x; si <x; si <22 bb)) f f ((xx) =) =

jjxxjj  22; ; sisi jjxxjj  22 22  jjxxjj; ; sisi jjxxjj<<00 cc)) f f ((xx) =) =

8

8

>

>

>

>

<

<

>

>

>

>

:

:

x x 22; si x; si x 22  xx 22; si x; si x 22 22 x; six; si 00 x x <<22 2 + 2 +x; six; si  22 < < x x <<00 cc)) f f ((xx) =) =

xx+ 2+ 2; si x; si x 00 2 + 2 +x; si x <x; si x <00 Solutio Solution n 2929

Probamos por casos: Probamos por casos:

ii))xx  22 !!f f ((xx) =) = xx 22:: Por ejemplo: Por ejemplo: xx = 3= 3 !! 33  2 = 2 = 11 yy jjjj33jj  22jj == jj11jj = 1= 1 ii ii)0)0  x x <<22 !! f f ((xx) = ) = 22 xx Por ejemplo: Por ejemplo: xx = 1= 1 !! 22  1 = 1 = 11 yy jjjj11jj  22jj == jj11jj = 1= 1 iii iii))  22 < < x x <<00 !! f f ((xx) = 2 +) = 2 +xx P

Por or ejejememplplo o :: xx == 11 !! 2 + (2 + (1) = 11) = 1 yy jjjj11jj  22jj == jj11  22jj = 1= 1 iv

iv))xx  22 !!f f ((xx) =) = xx 22 Por ejemplo:

Por ejemplo: xx == 33 !! ((3)3)  2 = 2 = 11 yy jjjj33jj  22jj == jj33  22jj = 1= 1

Así, puede verse que:

Así, puede verse que: f f ((xx) =) =

8

8

>

>

>

>

<

<

>

>

>

>

:

:

x x 22; si x; si x 22  xx 22; si x; si x 22 22 x; six; si00 x x <<22 2 + 2 +x; six; si  22 < < x x <<00 R. R. cc))

(22)

30.

30. Al expresar la funciónAl expresar la función f ((xx) =) = jjxxjj ++ jjxx 55jjsin el símbolo de valor absoluto,sin el símbolo de valor absoluto,

resulta: resulta: a a)) f f ((xx) =) =

8

8

<

<

:

:

22xx 55; si x; si x 55 55; ; sisi00 x x <<55  22xx+ 5+ 5; ; si si x <x <00 bb)) f f ((xx) =) =

22xx 55; si x; si x 55  22xx+ 5+ 5; ; ssi x <i x <55 cc)) f f ((xx) =) =

8

8

<

<

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 22xx 55; si x; si x 55 55; ; sisi 00 x x <<55 22xx+ 5+ 5; ; x x <<00 cc)) f f ((xx) =) =

22xx 55; si x; si x 55 55; ; ssi x <i x <55 Solutio Solution n 3030

Probamos por casos como en el ejercicio anterior: Probamos por casos como en el ejercicio anterior:

ii))xx  55 !!f f ((xx) =) = xx++xx 5 = 5 = 22xx 55:: Por ejemplo: Por ejemplo: xx= 6= 6 !! 2(6)2(6)  5 = 5 = 77 yy jj66jj ++ jj66  55jj = 6 + 1 = 7= 6 + 1 = 7 ii ii)0)0  x <x <55 !!f f ((xx) = ) = 55 Por ejemplo: Por ejemplo: xx= 1= 1 !!f f (1) = 5(1) = 5 yy jj11jj ++ jj11  55jj = 1 + 4 = 5= 1 + 4 = 5 iii iii))x x << 00 !!f f ((xx) =) = 22xx+ 5+ 5 P

Por or ejejememplplo o :: xx== 11 !! 2(2(1) + 5 = 71) + 5 = 7 yy jj11jj ++ jj11  55jj = 7= 7

Así puede verse que:

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Referencias

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