Guia Practica Promedio Movil

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN

Y TURISMO

GUÍA PARA PRÁCTICA

Promedio móvil 0 5 10 15 20 25 30 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Punto de datos Va lo r Real Pronóstico

Lic. Adm. RICARDO TOLEDO QUIÑONES

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y TURISMO

© Serie de Técnicas de Estudio: Ricardo Toledo Quiñones

Noviembre – 2 006

Publicación para los estudiantes de la Facultad de Administración y Turismo. – Departamento Académico de Administración.

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₁

-PRONÓSTICOS: PROMEDIO MÓVIL

1. OBJETIVO

Efectuar pronósticos sobre valores futuros mediante el modelo del Promedio Móvil Simple y el Promedio Móvil Ponderado, llamados también Media Móvil.

2. CARACTERÍSTICAS

a) Se utiliza para poder estimar valores futuros en base a datos históricos. b) Se requiere que la información esté ordenada cronológicamente, todos los

periodos deben ser de la misma duración (meses, días, etc.), deben haber sido obtenidos por períodos uniformes de observación (“todas las semanas de lunes a viernes”), la información faltante debe ser suplida con información adecuada. c) Existen multiplicidad de técnicas, las empresas deciden por lo general por

alguna de ellas luego de haber experimentado su bondad para el pronóstico, luego de haberlos aplicado a casos concretos.

d) Proyecta valores en el período de pronósticos, basándose en el valor promedio de la variable calculada durante un número específico de períodos anteriores. Una media móvil proporciona información de tendencias que se vería enmascarada por una simple media de todos los datos históricos.

e) Cuanto menor el número de períodos utilizados para el promedio móvil, el pronóstico responde en forma más rápida a los cambios que tienen los datos históricos y viceversa.

3. PROCEDIMIENTO

a) Tener la información histórica adecuada y confiable.

b) El método de promedios más sencillo es el denominado Promedio Móvil Simple

(PMS) de N períodos. Se selecciona un número de períodos N para realizar los cálculos. Después se calcula el promedio At de los datos Dt observados, de los N últimos períodos en el tiempo t. Esto se hace de la siguiente manera:

N D D D PMS t t t N t 1 1 ... − + − + + + =

Dado que se supone que la serie de tiempo es suave o lisa, el mejor pronóstico para el período t + 1 es simplemente una prolongación de la demanda que se ha observado a lo largo del período t. Entonces se tiene que el pronóstico de la demanda para el período t + 1 es: F t + 1 = At

c) Una variante de este método se conoce como del Promedio Móvil Ponderado

de n periodos, que asigna a cada valor observado una ponderación deferente de acuerdo con la antigüedad de la información. La suma de las ponderaciones debe ser igual a 1 y se asignan de manera decreciente, siendo los pesos para los valores más antiguos menores o iguales que el período más reciente. La fórmula general es la siguiente:

1 1 1 0 1 ^

...

_{− +} − +

=

t

+

t

+

+

t n t

y

y

y

α

α

α

Donde:

=

^

y

Valor pronosticado, y = valores históricos para poder pronosticar y los

α

son los coeficientes de ponderación de los promedios móviles, con suma igual a uno.

Si se desea compararlo con el Promedio Móvil Simple se tendría las siguientes consideraciones:

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₂

-PROMEDIO MOVIL SIMPLE (PMS):

Sean por ejemplo 3 valores históricos (N= 3) que forman parte de la serie que se desea pronosticar (V1, V2 y V3), siendo el primero el más antiguo, como Promedio Móvil Simple (PMS) se podría expresar del modo siguiente:

3 2 1 1 1 1 V N V N V N PMS t = + +

Como se puede notar 1/N es una constante, si dicho valor fuera igual a

α

, se tendría: 3 2 1 V V V PMS t =α +α +α

Es decir si N = 3 y 1/N = 0,33333, la sumatoria de las 1/N o de los

α

= 1. Es posible optimizar el pronóstico, en el Excel, con la combinación de las funciones: =SUMA y =DESREF, se busca que variando N, el error sea mínimo1_.

PROMEDIO MOVIL PONDERADO (PMP):

Para el caso anterior los valores

α

, pueden tomar valores que den un “peso” o ponderación determinado a cada valor V, por lo cual

α

ya no sería una constante, y la expresión sería:

3 3 2 2 1 1V V V PMP t =α +α +α

Sujeto a las restricciones siguientes: 1 3 2 1+

α

+

α

=

α

2 1

α

α <=

3 2

α

α

<=

Como el valor de

α

está entre Cero (0) y uno es decir:

0

≤

α

≤

1

, tenemos: 0 , , _{2 3} 1

α

α

>=

α

1 , , 2 3 1

α

α

<=

α

Para la optimización de los valores

α

, el modelo con todas las restricciones o condiciones necesarias señaladas, se puede hallar con el Solver del Excel. La Función objetivo del modelo sería: 2

(MIN) RECM = Celda donde se halla RECM.

Es posible utilizar sin embargo otro indicador para la optimización, tal como el Error Típico o el Error Absoluto.

1 _{Una aplicación se puede encontrar en: WINSTON Wayne, Investigación de}

Operaciones, aplicaciones y algoritmos, pp. 1276 – 1279.

2

_{SAPAG CHAÍN, Nassir Evaluación de Proyectos de Inversión en la Empresa,} pp. 63 – 66.

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₃ -d) Proceder a procesar la información.

e) Decidir si se toma el pronóstico o se busca otra metodología.

4. VENTAJAS

a) Permite aproximar el futuro, facilitando la toma de decisiones.

b) Los pronósticos planeados, son más valiosos y exactos que los intuitivos.

5. DESVENTAJAS

a) No existe un método de pronóstico universal, capaz de adaptarse a todas las situaciones y circunstancias, éste debe seleccionarse cuidadosamente, dependiendo del uso específico que se le pretenda dar, del producto y las características cualitativas que podría tenerse.

b) Son simplificaciones de la realidad y no se asegura que todas las variables que influyen sobre el futuro a pronosticar estén incluidas en el modelo de pronóstico.

c) Sólo pronostica un período más.

d) Un cuestionamiento al Promedio Móvil Simple se basa en que asigna el mismo peso relativo a las N observaciones incluidas en el análisis.

e) Se requiere gran cantidad de información cuando existe una gran cantidad de productos con distintos comportamientos de ventas.

6. UTILIZACIÓN DEL EXCEL

En el Excel, se puede resolver mediante: Herramientas/Análisis de Datos/Media Móvil, aparecerá una ventana en la que se debe ingresar los datos que correspondan bajo las siguientes pautas:

Rango de entrada: Introduzca la referencia de celda correspondiente al rango de datos que desee analizar. El rango deberá contener una única columna o fila con cuatro o más celdas de datos.

Rótulos en la primera fila: Active esta casilla si la primera fila y la primera columna

del rango de entrada contienen rótulos. Esta casilla de verificación estará desactivada si el rango de entrada carece de rótulos; Microsoft Excel generará los rótulos de datos correspondientes para la tabla de resultados.

Intervalo: Introduzca el número de valores que desee incluir en la media móvil. El intervalo predeterminado es 3.

Rango de salida: Introduzca la referencia correspondiente a la celda superior izquierda de la tabla de resultados. Si ha activado la casilla de verificación Error típico, Excel generará una tabla de resultados de dos columnas y presentará los valores de error típico en la columna de la derecha. Si no existen valores históricos para proyectar ni para calcular un error típico, Excel dará como respuesta el valor de error #N/A. El rango de salida debe estar en la misma hoja de cálculo que los datos empleados en el rango de entrada. Por este motivo, las opciones En una nueva hoja y En un nuevo libro no están disponibles.

Crear gráfico: Active esta casilla para generar un gráfico de histograma incrustado con la tabla de resultados.

Error típico: Active esta casilla si desea incluir una columna que contenga valores de error típico en la tabla de resultados. Desactívela si desea una tabla de resultados en una sola columna y sin valores de error típicos.

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₄

-OBSERVACIÓNES:

Para que el Promedio Móvil resultante sea debidamente interpretado se debe considerar que el Excel asocia de manera no adecuada el pronóstico con un dato histórico, para lo cual se debe proceder a lo siguiente:

a) Mover los resultados una línea.

b) Corregir el gráfico de la serie del Promedio Móvil, que debe hacer referencia a la celda inicial que estará en blanco hasta el último Promedio Móvil, quedando así el pronóstico en la posición que corresponde.

7. INTERVALOS DE CONFIANZA

Un pronóstico es recomendable que no sea puntual y más bien se fundamente en un % de probabilidad o confianza que se pueda producir, para lo cual se tiene las alternativas siguientes para la generación de los intervalos de confianza:

Aplicado a Fórmula genera Donde:

−

X

= Media de la Población o Muestra.

Población

-X

v

σ

−

±

X

_{V = Proporción en unidades desde la}

media (*)

=

−

X

σ

Desviación estándar de la población

Muestra -X

vs

−

±

X

=

− X

s

Desviación estándar de la muestra.

(*) Ver Cuadro que se muestra con valores más usuales, así al 95% para la desigualdad Chebyshev, t y Z son 4.4721, ver tabla y 1,96 respectivamente.

SI CARACTERÍSTICA REGLA TABLA O CÁLCULO

N < 30 No está normalmente _distribuida Desigualdad de _Chebyshev Calcular: _{(1/(1-Nivel Confianza))}(1/2) _(*) N < 30 Está normalmente _distribuida Distribución t de _Student Distribución t

N >= 30 Está normalmente _distribuida Distribución _normal Distr. Normal Estándar Ejemplo para un 95% de confianza sería: _1/0,05

Considerando que los niveles de confianza más usuales son 90%, 95% y 99%, se tiene los valores siguientes:

Nivel de Desigualdad Valor Valor

Confianza Chebyshev t (*) Z

90% 3.1623 Ver Tabla 1.6449

95% 4.4721 Ver Tabla 1.9600

99.0% 10.0000 Ver Tabla 2.9678

(*) Para el caso de la Distribución t es necesario buscar en la tabla de Porciones de Área para las distribuciones t con gl = n – 1. Es decir si se tienen por ejemplo 22 datos históricos gl = 22 – 1 = 21 y el valor t estará en la columna de acuerdo a los niveles de confianza definidos.

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₅

-En el Anexo se consignan las Tablas de Distribución Normal y Distribución t de Student.

8. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Una empresa desea pronosticar la producción del período 23 del Artículo XX (en miles de unidades). Ha obtenido información histórica. Se solicita: a) Hallar el pronóstico mediante el Promedio Móvil Simple (N = 3), y Graficar. b) Calcular el Error Típico: del período 23 y promedio. c) Calcular la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) d) Hallar la Estadística Descriptiva, tanto para los datos históricos como los pronosticados (NOTA: Utilizar la opción del Excel: Herramientas/Análisis de datos/Estadística descriptiva). e) Interpretar los resultados antes obtenidos. f) Efectuar un pronóstico, pero esta vez basados en la Estadística Descriptiva de los datos históricos.

Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Producción 593 570 486 854 797 362 594 271 45 254 433

Período 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Producción 529 994 319 610 748 832 193 720 415 536 850

a) Utilizando el Excel se obtiene el resultado siguiente: (NOTA: se han efectuado las correcciones indicadas como observaciones en el ítem anterior).

Promedio Error Error Error

Período Producción _{(Miles UU) Móvil Típico Absoluto Cuadrático}

1 593 2 570 #N/A #N/A 3 486 #N/A #N/A 4 854 550 #N/A 304.33 92,618.78 5 797 637 #N/A 160.33 25,706.78 6 362 712 139.59 350.33 122,733.44 7 594 671 223.52 77.00 5,929.00 8 271 584 185.06 313.33 98,177.78 9 450 409 195.46 41.00 1,681.00 10 254 438 80.15 184.33 33,978.78 11 433 325 89.85 108.00 11,664.00 12 529 379 51.94 150.00 22,500.00 13 994 405 88.03 588.67 346,528.44 14 319 652 212.27 333.00 110,889.00 15 610 614 270.36 4.00 16.00 16 748 641 261.37 107.00 11,449.00 17 832 559 203.07 273.00 74,529.00 18 193 730 125.28 537.00 288,369.00 19 720 591 261.11 129.00 16,641.00 20 415 582 250.30 166.67 27,777.78 21 536 443 243.79 93.33 8,711.11 22 850 557 82.35 293.00 85,849.00 23 600 145.53

Error Típico Promedio 172.72

Error Absoluto Promedio

221.75

RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio = (*) 270.06

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₆ -b) Para el período 23 el Error Típico sería:

A Histórico Dato 415 536 850 B Pronosticado Dato 442,67 557,00 600,33 C Diferencias A – B -27,67 -21,00 249,67 D Diferencias^2 C^2 765,44 441,00 62 333,44 E Acum. de D ∑ D 63 539,89 F Promedio E E / 3 21 179,96 G Raíz Raíz F 145,53

El Error Típico para el período 23 es 145,53 y el Error Típico Promedio para los datos pronosticados o modelo es 172,72.

c) Para el período 22 la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM), es igual a 270,06 (Notar que no es posible calcular el error cuadrático del período 23, ya que no ha sucedido aún, por lo que se tiene sólo el valor pronosticado):

A Histórico Dato 850

B Pronosticado Dato 557

C Diferencias A – B 293

D Diferencias^2 C^2 85 849

La RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio en el modelo de pronóstico es de 270,06.

d) La Estadística Descriptiva es:

DATOS HISTÓRICOS MODELO DE PRONÓSTICO

Media 564.0909091 Media 553.9666667

Error típico 46.98401262 Error típico 25.88242534

Mediana 553 Mediana 583

Moda #N/A Moda #N/A

Desviación estándar 220.3745533 Desviación estándar 115.749725

Varianza de la muestra 48564.94372 Varianza de la muestra 13397.99883

Curtosis -0.803785335 Curtosis -0.745574831

Coeficiente de asimetría 0.159306345 Coeficiente de asimetría -0.490298098

Rango 801 Rango 405

Mínimo 193 Mínimo 325

Máximo 994 Máximo 730

Suma 12410 Suma 11079.33333

Cuenta 22 Cuenta 20

e) El pronóstico para el período 23 es 600 mil unidades. El Error Típico del Período Pronosticado (23) es 145,53 que como medida del valor de variación de la media es menor que la que del Error Típico Promedio = 172,72, la menor variación la tiene el Pronóstico efectuado para el período 12 con 51,94 y la mayor la del período 15 con 270,36, este error puede ser utilizado para comparar varios pronósticos cambiando el “N” (número de períodos que se tomen para calcular la el promedio móvil), prefiriendo la que tenga el menor Error Típico.

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₇

-El Error Absoluto Promedio es de 221,75, indicándonos que entre el valor histórico de la producción y su valor pronosticado en promedio existe una diferencia o error de 221,75 mil unidades.

La Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) es de 270,06, que es un indicador que al igual que el Error Típico Promedio y el Error Absoluto Promedio son medidas estadísticas que indican la variación entre los datos históricos y el pronóstico, con fines comparativos para poder buscar un modelo de pronóstico que minimice dicha variación o error.

La variabilidad es mayor en los datos históricos que con el modelo, sus coeficientes de variación son 0,39 (220,37/564,09) y 0,20 (115,74/553,97) respectivamente. El rango es mayor en los datos históricos que van de 193 mil a 994 mil unidades, en el modelo esta variación va de 325 mil a 730 mil. En la gráfica que se muestra a continuación, se puede notar la gran variación histórica del período 13 que llega a 994 mil no llega a ser captada por el modelo (el pronóstico es de 405 mil, nótese que esta diferencia es captada por el error absoluto), el valor promedio de los Pronósticos efectuados es de 553,97 mil unidades, en tanto los datos históricos tienen una media de 564,09 mil unidades. Promedio móvil 0 200 400 600 800 1000 1200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Punto de datos Va lo r Real Pronóstico

A partir del Error Típico aplicado al Pronóstico del período 23, se puede fijar los parámetros de confianza, asumiendo que se acondiciona a una distribución normal y con N= 3, gl = 3 – 1 = 2, utilizando la Distribución t por ser el número de datos (3) utilizados para el cálculo de la media < 30. Pudiendo afirmar tal como se muestra en el Cuadro siguiente que el nivel promedio de la Producción pronosticado para el período 23 con un 95% de confianza estará entre 0 y 1227 mil unidades, que nos indica la alta variabilidad para el pronóstico.

Nivel de Valor t Promedio Error Típico Intervalos (*)

Confianza Gl = n - 1 (*) Móvil Valor Inferior Valor Superior

90% 2.920 600 145.5334 175 1,025

95% 4.303 600 145.5334 0 1,227

99.7% 9.925 600 145.5334 0 2,045

(*) Promedio Movil ± Valor t * Error Típico (no pudiendo adoptar valores negativos, en tanto la producción no puede ser negativa).

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₈ -f) A partir de la estadística descriptiva de los DATOS HISTÓRICOS, puede

considerarse que la producción a distintos niveles, considerando que n < 30 y asumiendo que se acondiciona a una distribución normal, utilizando la Distribución t de Student, con gl= 22 – 1 = 21, los parámetros de confianza son:

Nivel de Valor t Media Error Típico Intervalos (*)

Confianza gl = n - 1 (*) Valor Inferior Valor Superior

90% 1.721 564.09 46.9840 483 645

95% 2.080 564.09 46.9840 466 662

99.0% 2.831 564.09 46.9840 431 697

(*) Promedio Movil ± Valor t * Error Típico

La Empresa podría utilizar esta metodología en vez del Promedio Móvil, en tanto demuestre en la Práctica que sus pronósticos son mejores a partir de la práctica, es decir de la comparación en varios períodos cual fue el resultado entre lo pronosticado y la producción realmente generada.

2. Si tendría que decidir entre pronósticos alternativos con números de períodos N = 3, 4 o 5 para el Promedio Móvil Simple. Cuál escogería, ¿Por qué? (NOTA: Para poder dar una respuesta debe previamente estimar el promedio móvil con N = 4 y N = 5). Y siempre prefiera aquel pronóstico que tenga el menor Error Típico Promedio o la menor RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio. Para uniformizar los criterios en el curso se preferirá el RECM.

RESPUESTAS:

N = 3 N = 4 N = 5

Error Típico Promedio 172.72 199.12 202.77

Error Absoluto Promedio 221.75 202.38 220.19

RECM 270.06 254.68 268.29

Si se eligiera por el Error Típico Promedio se escogería N=3, si es por el Error Absoluto Promedio se elegiría N=4, con la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio (RECM) N=4 sería la elegida. Bajo la recomendación teórica se escoge el pronóstico efectuado con N=4 basado en la RECM.

3. Para el caso anterior, efectuar el análisis considerando lo siguiente: a) El PROMEDIO MOVIL PONDERADO con 4 períodos (NOTA: Para la optimización considere que la RECM = Raíz cuadrada del Error Cuadrático Medio, sea la mínima) y coméntelo. b) Cuál sería el resultado del análisis anterior si los valores históricos de los últimos períodos son:

Período 18 19 20 21 22

Producción 810 750 620 700 820

RESPUESTAS: a) El valor de los cuatro valores ponderados sería el mismo = 0,25, que lo hace equivalente al Promedio Móvil Simple, lo cual demuestra que el Promedio Móvil Ponderado es Equivalente al Promedio Móvil Simple si cada valor ponderado es igual a 1/N, además que el valor asignado de 1/N = 0,25 a cada factor ponderado

α

, ya se encuentra optimizado. b) El mejor pronóstico es 734 mil unidades, los valores ponderados son:

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₉

-α0 = 0.1952

α1 = 0.1952

α2 = 0.2809

α3 = 0.3287

Suma coef. pond. 1.00

4. Considere la información del Cuadro que aparece a continuación, sobre ventas mensuales del año anterior (2XX0) en una empresa. a) Se debe aplicar el PROMEDIO MÓVIL PONDERADO de 4 meses para pronosticar su nivel de ventas para el mes de Enero del año 2XX1. Con la hoja de cálculo Excel, debe utilizar la herramienta Solver para determinar los coeficientes más adecuados sobre bases históricas, optimizar con . b) Escoger la ponderación más adecuada.(Nassir Sapag Chaín: Evaluación de Proyectos de Inversión en la Empresa - Pág. 63). MES VENTAS REALES $ Enero 305 657 Febrero 314 827 Marzo 324 272 Abril 334 000 Mayo 308 002 Junio 316 626 Julio 325 492 Agosto 334 605 Septiembre 327 066 Octubre 333 607 Noviembre 340 279 Diciembre 347 085

RESPUESTAS: (se dan dos optimizaciones, para no confundirse utilizar siempre la RECM) Optimizando con Error Absoluto Optimizando con RECM α0 = 0.1756 0.2001 α1 = 0.1756 0.2001 α2 = 0.1756 0.2001 α3 = 0.4731 0.3996

Suma coef. pond. 1.0000 1.0000

PRONÓSTICO: Ventas período Enero: $ 339 019 (optimizando la RECM), con error típico de 4 987,39. Los indicadores del error de pronóstico, para toda la serie de datos, son: Error Típico Promedio = 6 410,50, Error Absoluto = 8247.81 y RECM = 215,53.

9. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Para el siguiente cuadro hallar el Promedio Móvil Simple con N = 5, comentar el pronóstico obtenido.

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₁₀ -Período 1 2 3 4 5 6 7 8

Demanda 10 18 29 15 30 12 16 8

Período 9 10 11 12 13 14 15

Demanda 22 14 15 27 30 23 15 2. La empresa ZZ desea conocer la tendencia que tendrá para el siguiente período

(período 11), la demanda del Artículo NN. Se solicita: a) Hallar el pronóstico mediante el Promedio Móvil Ponderado (N = 3). b) Calcular la Raíz Cuadrada del Error Cuadrático Medio. c) Hallar la Estadística Descriptiva, tanto para los datos históricos como los pronosticados (NOTA: Utilizar la opción del Excel: Herramientas/Análisis de datos/Estadística descriptiva). d) Interpretar los resultados.

Período Demanda Período Demanda

01 26 11 26 02 22 12 48 03 29 13 52 04 34 14 61 05 23 15 47 06 38 16 35 07 54 17 59 08 42 18 31 09 25 19 63 10 64 20 65

3. Para la siguiente serie de datos: a) Hallar el pronóstico para el período 48, con el método de Promedio Móvil Simple con N = 3, establecer la RECM y comentar sus resultados. b) Hallar el pronóstico para el período 48, con el método de Promedio Móvil Ponderado con N = 3, establecer la RECM y comentar sus resultados. Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Demanda (miles) 21 20 16 18 16 18 12 12 13 13 17 24 Período 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Demanda (miles) 11 10 17 14 14 14 20 12 11 10 10 16 Período 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Demanda (miles) 17 17 17 15 17 21 23 22 21 24 37 21 Período 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 Demanda (miles) 28 29 23 32 26 28 21 22 34 29 17 11

Elaboración: Ricardo Toledo Q. ₁₁

-10. BIBLIOGRAFÍA

BIEGEL, John Control de Producción. México, Editorial Herrero Hnos,

1971, 276 pág,

CARLBERG, Conrad Análisis de los Negocios con Excel. México, 1996,

Prentice Hispanoamericana S.A., 569 pág.

KAZMIER, Leonard Estadística Aplicada a la Administración y la Economía. México, 1979, McGraw Hill, 374 pág.

SAPAG CHAÍN, Nassir Evaluación de Proyectos de Inversión en la Empresa, Chile 2001, Pearson Education S.A., 412 pág.

SCHROEDER, Roger Administración de Operaciones. México, McGraw Hill,

1 990, 734 pág.

SPIEGEL, Murray Estadística. Colombia, 1977, McGraw Hill, 357 pág.

WINSTON, Wayne Investigación de Operaciones, aplicaciones y

algoritmos. México, 2005, International Thomson Editores S.A., 1418 pág.

Áreas bajo la curva normal Desv. normal 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 x 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 Ejemplo: Z X 2 8 P [Z > 1] = 0.1587 P [Z > 1.96] = 0.0250

D r 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 24 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689 28 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460 120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,290 Ejemplo Para = 10 grados de libertad: P[ t > 1.812] = 0.05 P[ t < -1.812] = 0.05