JOSE LUIS ZUÑIGA NAVARRO
ALVARO DAVID RODRIGUEZ
PRESION
Y
ESTATICA
DE
PRESION Y ESTATICA DE FLUIDOS
Los fluidos describen distintos comportamientos, sea que se encuentre en reposo o en movimiento. En el caso de los fluidos que se encuentran en reposo o movimientos a velocidad constante se analizan ciertas propiedades relacionadas con la presión que ejercen estos como, presión manométrica, presión en un punto, variación de la presión con la profundidad, además de los mecanismos necesarios para calcular estas presiones dependiendo del fenómeno en que se presente.
PRESIÓN
La presión es la fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de área. El término presión solo se aplica en los gases o líquidos, para los sólidos esta fuerza se denomina esfuerzo normal. La presión tiene como unidad el Newton por metro cuadrado 𝑚𝑁2 , siendo estas las unidades del Pascal; es decir:
1𝑃𝑎 = 𝑁 𝑚2
En la práctica se usan frecuentemente los múltiplos del pascal como el kilopascal 1𝐾𝑃𝑎 = 103𝑃𝑎 y el megapascal 1𝑀𝑃𝑎 = 106𝑃𝑎 . A parte de estas unidades se
utilizan otras unidades de presión como la atmosfera, el bar y el kilogramo-fuerza por centímetro cuadrado:
1𝑏𝑎𝑟 = 105𝑃𝑎 = 0.1𝑀𝑃𝑎 = 100𝐾𝑃𝑎
1𝑎𝑡𝑚 = 101325𝑃𝑎 = 101.325𝐾𝑃𝑎 = 1.01325𝑏𝑎𝑟
1𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚2 = 9.807 𝑁 𝑐𝑚2 =9.807 × 104𝑁 𝑚2 = 9.807 × 104𝑃𝑎 = 0.9807𝑏𝑎𝑟
Cabe resaltar que la unidad de presión en el sistema inglés es la libra-fuerza por pulgada cuadrada 𝐿𝑏𝑓𝑖𝑛2 y una atmósfera equivale a 14.696 psi.
Como se mencionó líneas arriba el esfuerzo normal es la presión que se usa para los sólidos y es la fuerza que actúa perpendicular a la superficie por unidad de área. Por ejemplo, una persona que pesa 120𝑙𝑏 con un área de impresión de los pies de 40𝑖𝑛2 ejerce una presión de 120𝑙𝑏𝑓 40𝑖𝑛2 = 3.0 psi sobre el suelo. Si la
La presión absoluta se denomina a la presión real que se encuentra en una posición dada. Los instrumentos que se usan para medir la presión están calibrados para que den una lectura de cero en la atmosfera.
La presión manométrica es la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. También está la presión de vacío que es la presión que se encuentra por debajo de la presión atmosférica. La presión manométrica y la presión de vacío se indican así:
𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 𝑃𝑣𝑎𝑐 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 − 𝑃𝑎𝑏𝑠
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
EJEMPLO
Un medidor de vacío conectado a una cámara da como lectura 6.1psi en un lugar donde la presión atmosférica es 14psi. Determine la presión absoluta en la cámara Solución:
PRESIÓN EN UN PUNTO
Se sabe que la presión es la fuerza que ejerce un fluido por unidad de área y que la presión en cualquier punto de un fluido es la misma en todas las direcciones, con la misma magnitud, tomándose como una cantidad escalar. Esto se puede demostrar cuando se toma un elemento de fluido en forma de cubo y se le aplican presiones en su superficie tal como se muestra en la figura:
𝑃1 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑃3 𝑃4 𝑑𝑥 𝑊 𝑃2 𝑑𝑤 = 𝜌𝑔𝑑∀
Por la segunda ley de Newton: Para 𝑃3 𝑌 𝑃4
→ ∑ 𝐹𝑦 = 0
0 = 𝑃3𝑑𝑥𝑑𝑧 – 𝑃4𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑃3 = 𝑃4 = 𝑃′
↑ ∑ 𝐹𝑧 = 0
0 = 𝑃2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦
0 = 𝑃2 – 𝜌𝑔𝑑𝑧 – 𝑃1 = 0
𝑃2 = 𝑃1 = 𝑃′′
Variación de la presión con la profundidad
La presión en un fluido en reposo no cambia en la dirección horizontal. Esto se verifica al considerar una delgada capa horizontal del un fluido y se realiza un balance de fuerzas en cualquier dirección horizontal. Para la dirección vertical no ocurre lo mismo, la presión en un fluido aumenta con la profundidad debido a que descansa mas fluido sobre las capas mas profundas y la consecuencia de este peso adicional sobre la capa mas profunda se equilibra por un aumento de presión.
𝑃𝑚𝑎𝑛
Para entender mejor la variación de la presión con la profundidad considérese un elemento rectangular de fluido en equilibrio con densidad 𝜌, como se muestra en la figura:
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Aplicando la segunda ley de Newton ↑ ∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 = 0
0 = 𝑃2𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑊 – 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦
Teniendo en cuenta que el peso 𝑊 = 𝑚𝑔 y la masa es igual a 𝜌𝑑𝑣 entonces 𝑑𝑊 = 𝜌𝑑𝑣𝑔, reemplazando se obtiene:
0 = 𝑃2𝑑𝑥𝑑𝑦 – 𝜌𝑑𝑣𝑔 – 𝑃1𝑑𝑥𝑑𝑦
Se toma la presión 1 en la superficie, abierta a la atmosfera, donde la presión es la atmosférica, entonces:
𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔
Esto demuestra que la variación de la densidad con respecto a la profundidad no es muy grande y se desprecia. No se puede decir lo mismo cuando la densidad varia con respecto a la temperatura o grandes profundidades; por ejemplo, a grandes profundidades como las de los océanos donde la variación de la densidad
es grande debido a la compresión que ejerce gran cantidad de peso líquido sobre un cuerpo sumergido.
Se puede decir que la aceleración de la gravedad varía con la altura; desde el nivel del mar hasta grandes alturas la gravedad tiende a cambiar un poco, pero el cambio es tan pequeño que suele despreciarse y no se toma en cuenta.
MANOMETRO
El manómetro es un instrumento usado para medir presiones pequeñas, consta de un tubo en U que puede contener variedad de fluidos como agua, aceite, alcohol, mercurio, etc.
El manómetro de la figura mide la presión en un tanque con un líquido en el manómetro de densidad 𝜌, una altura y la columna del mismo abierta a la atmosfera, aquí la presión contenida en el tanque se calcula con la siguiente ecuación:
𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔
EJEMPLO
Se usa un manómetro para medir la presión en un tanque. El fluido que se utiliza es mercurio cuya densidad específica es 13.6 y la elevación de la columna del manómetro es de 60𝑐𝑚, tal como se muestra en la figura. Si la columna del manómetro está abierta a la atmósfera, determine la presión absoluta del tanque.
Solución: : 60𝑐𝑚 = 0.6𝑚 𝐺𝐸 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 = 13.6 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠: 𝜌: 13600𝑘𝑔 𝑚3 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 = 1000 kg m3
La densidad de un fluido se obtiene cuando se multiplica la densidad específica del fluido por la densidad del agua.
𝑃𝑎𝑡𝑚: Como la columna del manómetro eta abierta a la atmósfera, entonces la presión atmosférica en ese punto es cero.
Luego: 𝑃: 𝑃0+ 𝜌𝑔 𝑃: 0 + 13600𝑘𝑔 𝑚3 (9.807 𝑚 𝑠2) (0.6𝑚) 𝑃 = 80025 𝑃𝑎 = 80.25 𝑘𝑃𝑎
Pero no solo se pueden resolver problemas donde intervenga un solo fluido, en la ingeniería se trabajan con manómetros que pueden contener varios fluidos con densidades diferentes. Básicamente estos problemas son fáciles de resolver si se tiene en cuenta que la presión es positiva hacia abajo y negativa hacia arriba, dos puntos a la misma altura en un fluido en reposo están a la misma presión y que el cambio de presión a una altura h es ∆𝑃: 𝜌𝑔
Con esto se puede decir que:
𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌1𝑔1 + 𝜌2𝑔2 + ⋯ + 𝜌𝑛𝑔𝑛 = 𝑃1
EJEMPLO
Basándose en los datos de la figura siguiente determinar la presión del aire contenida en el tanque.
Solución: 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎: 1000 𝑘𝑔/ 𝑚³ 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 = 850 𝑘𝑔/ 𝑚³ 𝜌𝑚𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜 : 13600 𝑘𝑔/ 𝑚³ 𝜌𝑎𝑡𝑚: 0 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝐻𝑔𝑔4 – 𝜌𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒𝑔3 + 𝜌𝐻𝑔𝑔2− 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎𝑔1 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1000𝑘𝑔 𝑚3 × 9.807𝑚/𝑠² × (13.6 × 7𝑚 – 0.85 × 1𝑚 + 13.6 × 6 sin 45 − 1 × 8𝑚) 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1000𝑘𝑔 𝑚3 × 9.807𝑚/𝑠² × (143.04𝑚) 𝑃𝑎𝑖𝑟𝑒 = 1402793.28 𝑃𝑎 = 1402.79𝑘𝑃𝑎 = 1.402𝑀𝑃𝑎.
BAROMETRO Y LA PRESION ATMOSFERICA
El barómetro es el instrumento con el que se mide la presión atmosférica, también llamada presión barométrica. Evangelista Torricelli, científico italiano que probó que se puede medir la presión atmosférica en un tubo invertido con mercurio sumergido en un recipiente con el mismo liquido, tal como se muestra en la figura.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
La medida del tubo es de 800𝑚𝑚 y al sumergirlo en el recipiente, el nivel de mercurio bajó hasta 760𝑚𝑚 de mercurio a 0°𝐶. Por ello:
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔
𝜌: Densidad del mercurio 𝑔: Aceleración de la gravedad : Altura de la columna de mercurio
En diferentes sistemas de unidades los 760𝑚𝑚𝐻𝑔 equivalen a 760 𝑡𝑜𝑟𝑟 (unidad llamada asi en honor a Torricelli) y que también es igual a 29.92 𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑔 o 101325 𝑃𝑎. La altura es uno de los factores mas importantes que afectan la presión atmosférica, debido que a mayor altitud, la presión disminuye.
EJEMPLO
Determinar la presión atmosférica en un lugar donde la lectura barométrica es de 700𝑚𝑚𝐻𝑔 y la aceleración de la gravedad es de 9,807𝑚/𝑠². suponga que la temperatura del mercurio es de 0°𝐶 a la cual su densidad es de 13600𝑘𝑔/𝑚³. Solución:
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔
𝑃𝑎𝑡𝑚 = (13600𝑘𝑔/𝑚³) (9.807𝑚/𝑠²) (0.7𝑚)
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 93362.64𝑃𝑎 = 93.362𝑘𝑃𝑎
INTRODUCCION A LA ESTATICA DE FLUIDOS
La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. A diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto el estudio de ambos filudos presentan algunas características diferentes; el estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases se llama aerostática. Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes la estática de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten de deformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa de forma perpendicular al cuerpo.
La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcción de muchas obras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.
FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
SUMERGIDAS
Una compuerta de un observatorio marino o una pared de un tanque de almacenamiento de líquidos, son ejemplos de superficies sumergidas. Estas superficies quedan sometidas a presiones constantes ∫ 𝑃𝑑𝐴 = 𝑃∫ 𝑑𝐴 = 𝑃𝐴 que se distribuyen a lo largo de su superficie como fuerzas paralelas que aumentan conforme a su profundidad, por lo que es necesario hallar su centro de presión, que es la magnitud de la fuerza aplicada a dicha superficie. El otro lado de estas superficies, por lo general, está expuesto a la atmosfera, por lo que la ecuación de la presión dentro del fluido es:
𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔 → 𝑃 = 𝜌𝑔
Se considera una placa sumergida totalmente en un líquido como se muestra en la figura.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Partiendo de este gráfico, se halla un método de solución para calcular la magnitud y la ubicación de la fuerza resultante que produce la presión hidrostática sobre una superficie plana sumergida.
1. Determinar el área y el centroide de la compuerta que se encuentra sumergida a partir de un marco de referencia. (𝐴, 𝑥, 𝑦 ).
2. Evaluar a que profundidad se encuentra el centroide de la superficie, medir desde el punto centroidal en forma totalmente ortogonal a la superficie libre del fluido 𝑐 .
3. Calcular el valor de la presión promedio sobre la superficie sumergida, teniendo presente que “la presión promedio sobe una superficie sumergida es equivalente a la presión en el centroide de esta”, 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 .
Recordar que 𝑃 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔 𝑦 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑐
4. Hallar la magnitud de la fuerza resultante de la presión hidrostática sobre la superficie plana sumergida 𝐹𝑅 . Recordar que 𝐹𝑅 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 × 𝐴 (la fuerza resultante
sobre la superficie equivale a la presión).
5. Transformar la profundidad del centroide por la distancia inclinada de la superficie del centroide a la superficie libre, tener presente que este paso corresponde solo a superficies inclinadas 𝑦𝑐 .
Teniendo presente el ángulo de inclinación la relación existente es 𝑦𝑐 = 𝑐
sin 𝜃 .
6. Calcular la ubicación de la fuerza sobre la superficie 𝑦𝑝 .
El valor de la distancia para superficies con ancho constante, se calcula como el centroide de prismas de presión pero en forma general, para cualquier clase de formas geométricas y con ancho variables se tiene que 𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 +𝑦𝐼𝑥𝑥
𝑐∗𝐴, donde 𝐼𝑥𝑥
corresponde al valor del momento de inercia del área centroidal de la compuerta. Para aéreas compuestas es imprescindible utilizar el teorema de los ejes paralelos, teniendo presente que la distancia de separación vertical para cada área del compuesto se mide desde cada centro de las partes hasta el centro de la compuerta. 𝐼𝑥𝑥 = ∑𝑛 𝐼𝑥𝑥 −1
EJEMPLO
Para el caso mostrado en la figura determinar la fuerza hidrostática resultante y el punto exacto donde se ejerce dicha fuerza sobre la superficie.
Solución:
El área de la superficie triangular es: 𝐴 = (𝑏 × 𝑎)/2 = (4 × 9)/2 = 18
El centroide del triángulo es: 13𝑏 =139 = 3
𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜌𝑔 = 1025𝑘𝑔 𝑚3× 9.807 𝑚 𝑠2 × 13 = 130664 𝑁 𝑚2 𝐹𝑅= 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 × 𝐴 𝐹𝑅= 130664.9 𝑁 𝑚2× 18𝑚2 = 2351969.1𝑁 𝐼𝑥𝑥 =𝑎𝑏3 36 = 4 × 93 36 = 81𝑚4 𝑦𝑐 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 30° = 26𝑚 𝑦𝑝 = 𝑦𝑐 + 𝐼𝑥𝑥 𝑦𝑐× 𝐴 = 26𝑚 + 81𝑚4 26𝑚 × 18𝑚2 = 26.173𝑚
FUERZAS HIDROSTATICAS SOBRE CURVAS SUMERGIDAS
La manera mas fácil de obtener la fuerza hidrostática resultante 𝐹𝑅 para
superficies curvas sumergidas es determinar la fuerza horizontal 𝐹 y la fuerza
vertical 𝐹𝑣 cada una por separado.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
En la figura se muestran todas las fuerzas que intervienen sobre la superficie curva sumergida. El cuerpo sumergido proyecta dos superficies planas (una horizontal y otra vertical), para las cuales se les hace el análisis de fuerzas hidrostáticas, además del peso del propio cuerpo. Es decir, la superficie vertical es la proyección de la superficie curva en un plano vertical. Lo mismo es para la proyección horizontal. A esto se le aplica la tercera ley de newton (acción fuerza). 𝐹 = 𝐹𝑥
𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 + 𝑤
Se tiene en cuenta que en la fuerza vertical 𝐹𝑣, 𝐹𝑦 + 𝑤 se suman si actúan en la misma dirección, pero se restan si ejercen su fuerza en sentido contrario.
La magnitud de la fuerza hidrostática resultante es: 𝐹𝑅 = 𝐹2+ 𝐹𝑣2
El ángulo que forma con la horizontal es: 𝜃 = tan−1𝐹𝑣
𝐹
Se localiza el punto de acción de la 𝐹𝑅 cuando la proyección de 𝐹 𝑦 𝐹𝑣 se interceptan.
La solución de ejercicios de esta índole se hace más fácil si se consideran los siguientes pasos:
1. Cálculo de la fuerza horizontal:
Determinar el área proyectada horizontalmente A.
Determinar la distancia desde el centroide hasta la superficie libre 𝑐.
Calcular la presión promedio en el centroide 𝑃𝑝𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑐
Calcular fuerza horizontal, 𝐹 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝐴
Calcular 𝑦𝑐, 𝑦𝑐 = 𝑦𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝜃
2. Cálculo de fuerza vertical. 𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 + 𝑤
𝐹𝑦 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 ∗ 𝐴𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
3. Cálculo de la fuerza resultante. 𝐹𝑅 = 𝐹2+ 𝐹𝑣2
4. Calcular el ángulo de inclinación. 𝜃 = tan−1𝐹𝑣
𝐹
EJEMPLO
La superficie sumergida en agua es la cuarta parte de un círculo con un radio de 15 𝑚 y una longitud de 150𝑚. Calcular la fuerza hidrostática que se ejerce sobre la superficie curva y determinar su línea de acción.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala Solución: 𝐴 = 150𝑚 × 10𝑚 = 1500𝑚2 𝑐 = 7.5𝑚 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝜌𝑔𝑐 = 1000𝑚𝐾𝑔3× 9.81𝑠𝑚2× 7.5𝑚 = 73575𝑃𝑎 𝐹 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 × 𝐴 = 110.3625 × 106𝑁 𝑦𝑐 = 7.5𝑚 𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 + 𝑤 = 0 + 𝑤 𝑤 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔𝑉 = 1000𝐾𝑔 𝑚3× 9.81 𝑚 𝑠2× 150𝑚 × 𝜋 4× 15𝑚 2 𝑤 = 260.0355 × 106𝑁 𝐹𝑣 = 0 + 260.0355 × 106𝑁 = 260.0355 × 106𝑁 𝐹𝑅 = 𝐹2+ 𝐹𝑣2 = 282.486 × 106 𝜃 = tan−1 𝐹𝑣 𝐹 = tan −1 260.0355×106𝑁 110.3625×106𝑁 = 67°
FLOTACION Y ESTABILIDAD
Principio de Arquímedes
Desde hace más de 2200 años el principio de Arquímedes es utilizado por el hombre. Cuando un cuerpo es introducido (sin importar su geometría) completamente en un fluido de densidad conocida se le puede conocer su volumen midiendo la perdida aparente en peso de este. En conclusión Arquímedes planteó:
¨todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje ascensional igual al peso del líquido que desaloja¨.
Con este principio surgen los conceptos de flotabilidad y flotación.
Flotabilidad: es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobre
un cuerpo colocado en el.
Estabilidad: se conoce como la propiedad que tiene un cuerpo para regresar a su
posición original luego de haber sido inclinado con respecto a su eje.
Al observar la flotabilidad de varios objetos cuyo material de constitución son diferentes, cada uno presenta características diferentes. Como es el caso de los objetos constituidos por madera, plástico u otros materiales ligeros, que flotan en el agua. Esto permite apreciar que el fluido donde se encuentran inmersos ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo. Esta fuerza que tiende a empujar el cuerpo hacia la superficie se denomina fuerza de flotación 𝐹𝐵. La fuerza de flotación esta asociada a la presión de un fluido y esta a su profundidad. Para el caso se considera una placa sumergida en un fluido con una densidad 𝜌𝑓 , un espesor h, una distancia s y un área A.
La placa se encuentra paralela a la superficie libre. Ambos lados de la placa tienen un área A y las presiones en la superficie superior como la inferior son:
Presión superior: 𝜌𝑓𝑔𝑠 fuerza hidrostática superior, 𝐹𝑠𝑢𝑝 = 𝜌𝑓𝑔𝑠𝐴
Presión inferior: 𝜌𝑓𝑔(𝑠 + ) fuerza hidrostática inferior, 𝐹𝑖𝑛𝑓 = 𝜌𝑓𝑔(𝑠 + )𝐴 𝐹𝑠𝑢𝑝 actúa hacia debajo de la placa y es menor en comparación con la 𝐹𝑖𝑛𝑓 que actúa hacia arriba desde la parte inferior de la placa. De estas dos fuerzas surge la fuerza de flotación. 𝐹𝐵 = 𝐹𝑖𝑛𝑓 − 𝐹𝑠𝑢𝑝 𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔 (𝑠 + )𝐴 − 𝜌𝑓𝑔𝑠𝐴 𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔𝐴 𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔∀ ∀= 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎.
Por lo anterior se deduce que 𝐹𝐵 = 𝜌𝑓𝑔∀ es el peso del líquido cuyo volumen es igual al peso de la placa. Es decir, la fuerza de flotación ejercida sobre la placa es igual al peso del líquido desplazado por la misma placa. Además es notorio que la distancia que separa al cuerpo de la superficie libre como la densidad del cuerpo no tiene relación con la fuerza de flotabilidad o fuerza boyante.
La ecuación anterior es valida para cualquier forma geométrica que presente un cuerpo. Esto se ve partiendo del argumento de que la fuerza de flotación que actúa sobre un cuerpo sumergido es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo y actúa hacia arriba pasando por el centroide de dicho volumen. Cuando se tienen cuerpos flotantes, el peso completo del cuerpo debe ser igual a la fuerza de flotación. Esto indica lo siguiente:
𝐹𝐵 = 𝑤 𝜌𝑓𝑔∀𝑠𝑢𝑚= 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜𝑔∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜌𝑓∀𝑠𝑢𝑚= 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∀𝑠𝑢𝑚 ∀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜌𝑝𝑟𝑜𝑚 .𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 𝜌𝑓
𝜌𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 < 𝜌𝑓 = el cuerpo flota
𝜌𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 > 𝜌𝑓 = el cuerpo se hunde hasta el fondo.
𝜌𝑐𝑢𝑒𝑝𝑜 = 𝜌𝑓 = el cuerpo se suspende, permaneciendo en reposo en cualquier
punto del fluido donde se deje.
EL HIDROMETRO
Para determinar las densidades relativas de los líquidos se usa el hidrómetro, instrumento que usa el principio de flotación.
Fuente: Mecánica de los fluidos. Víctor L. Streeter, Benjamín Wylie
Como el líquido de la figura (a) es agua el hidrómetro flota en equilibrio: 𝑊 = 𝜌𝑓 𝑔∀𝑠𝑢𝑚
𝑊 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑑𝑟ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝜌𝑓 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑
En la imagen a el hidrómetro marca 1 en la parte superior que coincide con la superficie del agua. Esto indica la unidad de la gravedad específica del fluido, en este caso es 1.
Cuando el hidrómetro flota en otro líquido, la ecuación de equilibrio se transforma en:
(∀𝑠𝑢𝑚 − ∆∀𝑠𝑢𝑚)𝑠𝑔𝜌𝑓 = 𝑊 ∆𝑉𝑠𝑢𝑚 = 𝑎∆
Como se tienen dos ecuaciones para 𝑊, se igualan y se despeja ∆: 𝜌𝑓𝑔∀𝑠𝑢𝑚 = (∀𝑠𝑢𝑚 − ∆∀𝑠𝑢𝑚)𝑠𝑔𝜌𝑓 ∀𝑠𝑢𝑚= (∀𝑠𝑢𝑚 − 𝑎∆)𝑠 ∀𝑠𝑢𝑚 𝑠 = ∀𝑠𝑢𝑚 − 𝑎∆ 𝑎∆ = ∀𝑠𝑢𝑚 −∀𝑠𝑢𝑚 𝑠 ∆ =∀𝑠𝑢𝑚 𝑎 − ∀𝑠𝑢𝑚 𝑎𝑠 ∆ = ∀𝑠𝑢𝑚 (𝑠 − 1) 𝑎𝑠
Con esta diferencia de alturas se puede determinar densidades relativas para diferentes fluidos.
EJEMPLO
Se desea calcular la densidad de un fluido, para ello se utiliza un hidrómetro que previamente se sumerge en agua y marca un altura de 15 cm desde el fondo del tubo hasta la superficie del liquido, indicando el nivel, el cual se marca. Luego se introduce el liquido de densidad desconocida y se observa que la marca a ascendido 0.8 cm por arriba de la superficie libre. Determinar la densidad del fluido. El hidrómetro es de forma cilíndrica, tiene 1 cm de diámetro y no posee marcas de división a su costado.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Solución:
En agua, 𝑊 = 𝜌𝑤𝑔𝑤𝐴
En el líquido desconocido, 𝑊 = 𝜌𝑙𝑔𝑙𝐴
Se igualan los dos pesos: 𝜌𝑤𝑔𝑤𝐴 = 𝜌𝑙𝑔𝑙𝐴 𝜌𝑤𝑤 = 𝜌𝑙𝑙 𝜌𝑙 =𝜌𝑤𝑤 𝑙 𝜌𝑙 =1000 𝑘𝑚 𝑚3 × 0.15𝑚 0.15𝑚 − 0.008𝑚 𝜌𝑙 = 1056.338𝑘𝑔 𝑚3
ESTABILIDAD DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS Y DE LOS
FLOTANTES
En un fluido un cuerpo se considera estable si regresa a su posición original luego de haberse girado un poco alrededor de su eje horizontal. La estabilidad es diferente dependiendo si el cuerpo esta sumergido o se encuentra flotando.
ESTABILIDAD DE CUERPOS SUMERGIDOS
Ejemplos de cuerpos que se encuentran sumergidos son los submarinos. Estos cuerpos necesitan que el centro de gravedad del mismo deba estar por debajo del centro de flotabilidad para que se presente estabilidad.
El centro de estabilidad de un cuerpo se ubica en el centroide del volumen de fluido desplazado y es a través de este punto como actúa la fuerza de empuje en dirección vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de gravedad.
Las figuras a continuación muestran la estabilidad de cuerpos sumergidos:
Para el submarino mostrado los puntos 𝑐𝑏 y 𝑐𝑔 son los centros de flotabilidad y de gravedad, respectivamente. La figura (b) muestra el efecto de la fuerza boyante 𝐹𝐵 y el peso 𝑊 que suministra un par que tiende a girar el submarino de regreso a su posición original luego de haber sido desplazado ligeramente. Lo que origina que el cuerpo sea estable. Por otro lado en la figura (c) se ve lo que sucedería si la configuración estuviera al contrario de lo que se presenta en la figura (a). Cuando se gira el cuerpo de la figura (c), la fuerza boyante 𝐹𝐵 y el peso 𝑊
producen un par que tiende a voltear el submarino. Esta orientación es inestable. Si el centro de gravedad y el centro de flotabilidad de un cuerpo coinciden, como sucede con un cuerpo solido, la fuerza boyante 𝐹𝐵 y el peso 𝑊 actúan a través del
mismo punto sin que se produzca el par. Esto le confiere una estabilidad neutral al cuerpo y permanecerá en cualquier orientación en la que se coloque, con respecto a un eje vertical.
ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES
La condición de estabilidad para cuerpos flotantes se da si su centro de gravedad está por debajo del metacentro. Ver figura.
Fuente: Mecánica de fluidos aplicada. Robert L. Mott
El casco de un barco, mostrado en la figura (a), está en su orientación de equilibrio y el centro de gravedad (𝑐𝑔) se encuentra por encima del centro de flotabilidad (𝑐𝑏). En la figura (b) se ve que al girar el casco respecto a su eje horizontal, el centro de flotabilidad se desplaza en una nueva posición debido que la forma o geometría del volumen que ha sido desplazado se ha modificado. En este caso 𝐹𝐵
Y 𝑊 producen un par de rectificación que hace al cuerpo regresar a su orientación original. De esta manera el cuerpo es estable.
El metacentro (𝑚𝑐) es el punto de intersección del eje vertical de un cuerpo cuando se encuentra en su posición de equilibrio y la recta vertical que pasa por la nueva posición del centro de flotabilidad cuando el casco, en este caso, está girado ligeramente.
Para saber si un cuerpo flotante es estable se calcula la posición de su metacentro. La distancia del metacentro al centro de flotabilidad, se denota con (𝑀𝐵), calculándose a partir de la siguiente ecuación:
𝑀𝐵 = 𝐼 𝑉𝑑 𝐼 = Volumen desplazado del fluido.
𝑉𝑑 = Mínimo momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo, tomada en la superficie del fluido.
Si la distancia 𝑀𝐵 coloca al metacentro por encima del centro de gravedad el cuerpo es estable.
FLUIDOS EN EL MOVIMIENTO DEL CUERPO RÍGIDO
Cuando los fluidos son transportados, por ejemplo en contenedores, la aceleración hace que el fluido se mueva hacia la parte posterior, formándose una nueva superficie libre que no es horizontal. Cada partícula del fluido adquiere la misma aceleración y la masa del fluido se comporta como un cuerpo rígido. Al fluido no tener deformación no se presenta ningún esfuerzo cortante.
Para analizar lo que sucede dentro del fluido, este se analiza por medio de un elemento rectangular diferencial del fluido con lados 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Se aplica la segunda ley de newton del movimiento al elemento: 𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎
𝛿𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝛿𝐹 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Sobre el cuerpo actúa la gravedad (𝑔) y las fuerzas superficiales, como las fuerzas de presión, actuando sobre la superficie del elemento y proporcionales al área superficial. Otras fuerzas como la eléctrica, magnética, esfuerzo cortante, no se tienen en cuenta, debido a que las posiciones relativas de los elementos de fluido permanecen inalteradas.
La presión (𝑃) se toma en el centro del elemento: Presión en la superficie superior: 𝑃 + 𝜕𝑃𝜕𝑧 𝑑𝑧2 Presión en la superficie inferior: 𝑃 − 𝜕𝑃𝜕𝑧 𝑑𝑧2
La fuerza neta superficial que actúa sobre el elemento en la dirección 𝑍 es la diferencia entre las fuerzas de presión que actúan sobre las caras superior e inferior. 𝛿𝐹𝑠,𝑧 = 𝑃 − 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑃 − 𝜕𝑃 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛿𝐹𝑠,𝑧 = − 𝜕𝑃 𝜕𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Lo mismo ocurre en las direcciones 𝑋 𝑦 𝑌. 𝛿𝐹𝑠,𝑥 = −𝜕𝑃
𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛿𝐹𝑠,𝑦 = −𝜕𝑃
𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
La fuerza superficial neta que actúa sobre el elemento es: 𝛿𝐹𝑠 = 𝛿𝐹𝑠,𝑥𝑖 + 𝛿𝐹𝑠,𝑦𝑗 + 𝛿𝐹𝑠,𝑧𝑘 𝛿𝐹𝑠 = −𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑖 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑗 − 𝜕𝑃 𝜕𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘 𝛿𝐹𝑠 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑖 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦𝑗 − 𝜕𝑃 𝜕𝑧𝑘 𝛿𝐹𝑠 = − 𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦𝑗 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝛿𝐹𝑠 = −∇ 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∇ 𝑃 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛.
Sobre el elemento de fluido actúa su propio peso en dirección 𝑍 negativa, se denota con 𝛿𝐹𝐵,𝑍:
𝛿𝐹𝐵,𝑍 = −𝑔𝛿𝑚 = −𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝛿𝐹 𝐵,𝑍 = −𝑔𝛿𝑚𝑘 = −𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘
La fuerza total que actúa sobre el elemento es: 𝛿𝐹 = 𝛿𝐹 𝑠+ 𝛿𝐹 𝐵 = −∇ 𝑃𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑔𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑘 𝛿𝐹 = − ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Como 𝛿𝐹 = 𝛿𝑚 ∙ 𝑎 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎 , se sustituye en la segunda ley de newton; − ∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ∙ 𝑎
∇ 𝑃 + 𝜌𝑔𝑘 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −𝑎 𝐸𝑐. 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 Se puede expresar en forma vectorial como:
𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦𝑗 + 𝜕𝑃 𝜕𝑧𝑘 + 𝜌𝑔𝑘 = −𝜌 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
Al igualar cada vector unitario se obtienen las ecuaciones de fluidos en aceleración: 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = −𝜌𝑎𝑥 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = −𝜌𝑎𝑦 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧
CASO ESPECIAL 1. FLUIDOS EN REPOSO
Cuando los fluidos se mueven en una trayectoria recta a velocidad constante o están en reposo, la aceleración es cero en cualquier componente por lo que las ecuaciones quedan así:
𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −𝜌𝑔
La expresión queda de la siguiente manera: 𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧
Se integra entre dos puntos: 𝑝0 y 𝑝. 𝑝 = 𝑝0− 𝜌𝑔𝑧 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
CASO ESPECIAL 2. CAIDA LIBRE DE UN CUERPO DE FLUIDO
Cuando se deja caer un cuerpo este acelera bajo la influencia de la gravedad. Si despreciamos la resistencia que ofrece el aire, la aceleración del cuerpo es igual a la gravedad y en dirección horizontal la aceleración es cero. Las ecuaciones quedan así: 𝑎𝑥 = 0 𝑎𝑦 = 0 𝑎𝑧 = −𝑔 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −𝜌 𝑔 − 𝑔 = 0
Si por el contrario se invierte la dirección del movimiento acelerando en dirección vertical, pero hacia arriba, entonces 𝑎𝑧 = +𝑔 , entonces:
𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −𝜌 𝑔 + 𝑔 = −2𝜌𝑔 𝑝 = 𝑝0− 2𝜌𝑔𝑧
ACELERACION SOBRE UNA TRAYECTORIA RECTA
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Al considerar el gráfico se observa que cuando un fluido contenido en un recipiente se somete a una aceleración el fluido se desplaza hacia la parte posterior formando una superficie libre diferente. Al no existir movimiento en la dirección 𝑦 entonces 𝑎𝑦 = 0 . Las ecuaciones para el movimiento se reducen a: 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = −𝜌𝑎𝑥 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧
Estas ecuaciones indican que la presión es independiente de 𝑦. La presión diferencial total de 𝑃 = 𝑃 𝑥, 𝑧 es:
𝑑𝑃 = 𝜕𝑃
𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑃
𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑑𝑧 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Para una densidad constante, la diferencia de presiones entre dos puntos 1 y 2 en el fluido: 𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 𝑃2 𝑃1 − −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧2 𝑧 𝑑𝑧 𝑧1 𝑃2−𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2− 𝑥1 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2 − 𝑧1
Al tomar 𝑃1 = origen, entonces 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, donde la presión es 𝑃0 y el punto 𝑃2 como cualquier punto en el fluido.
La variación de la presión se expresa: 𝑃2 = 𝑃1− 𝜌𝑎𝑥𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧
𝑃 = 𝑃0− 𝜌𝑎𝑥𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧 𝑃0 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑃 = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
El ascenso o descenso de las superficie libre se calcula al hacer tanto 1 como 2 sobre la superficie libre.
𝑃2 = 𝑃1, entonces: 𝑃2− 𝑃1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2− 𝑥1 − −𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2− 𝑧1 0 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2− 𝑥1 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2− 𝑧1 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑧2− 𝑧1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1 𝑧2− 𝑧1 = ∆𝑧𝑠 = − 𝑎𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑥2+𝑥1
Aquí 𝑧𝑠 es la proyección vertical de la superficie libre del fluido. Las superficies de presión constantes, isobaras, se obtienen al hacer 𝑑𝑃 = 0.
𝑑𝑃 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑥 = − 𝑎𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑧 = 𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎
Las pendientes de las isobaras son: 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑥 = − 𝑎𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 = −𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑎𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 EJEMPLO
Un recipiente que contiene agua es transportado en dirección horizontal, la superficie libre forma un ángulo de 17° con respecto a la horizontal. Calcular la aceleración del recipiente y cual es la altura sobre el nivel en reposo que se levanta el fluido cuando este se somete a una aceleración.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 = 𝑎𝑥 𝑔 + 𝑎𝑧 𝑎𝑧 = 0 𝑡𝑎𝑛𝑔 17° 𝑔 = 𝑎𝑥 𝑎𝑥 = 2.999 𝑚𝑠2 Luego: 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃 = ∆𝑧𝑠 2.5𝑚
∆𝑧𝑠 = 2.5𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑔𝜃
∆𝑧𝑠 = 0.7643𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎.
ROTACION EN UN RECIPIENTE CILINDRICO
Cuando un fluido contenido en un recipiente se hace girar respecto a un eje la superficie libre es cóncava, generando a la vez un movimiento de vértice forzado.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
Al considerar el recipiente de la figura este contiene un fluido que se hace girar alrededor de su eje a una velocidad constante angular 𝜔. Luego de iniciar el movimiento el fluido se comporta como un cuerpo rígido junto con el recipiente. Aquí tampoco existe deformación, ni esfuerzo cortante y al igual que en los casos anteriores las partículas que componen el fluido se moverán a la misma velocidad angular.
Para buscar las ecuaciones en este tipo de movimiento se consideran todas las componentes mostrada en la figura.
Al ser un cilindro y tener movimiento rotacional se usan coordenadas cilíndricas (𝑟, 𝜃, 𝑧). Se conoce que la velocidad angular del fluido es 𝜔, por lo tanto la eceleracion centrípeta es 𝑟𝜔2, siendo 𝑟 la distancia hacia el eje de rotación, dirección negativa, por lo tanto se denomina aceleración radial 𝑎𝑟 = −𝑟𝜔2 . aquí
no existe relación con el ángulo 𝜃, por lo que se desprecia; por ello la presión depende del radio y de altura z. Además, la aceleración tangencial 𝑎𝜃 es igual a
cero y 𝑎𝑧 tambien es cero.
Considerando lo anterior las ecuaciones del movimiento rotacional son: 𝜕𝑃 𝜕𝑟 = −𝜌𝑟𝜔2 𝜕𝑃 𝜕𝜃 = 0 𝜕𝑃 𝜕𝑧 = −𝜌𝑔 La diferencial de presión es:
𝑑𝑃 =𝜕𝑃 𝜕𝑟𝑑𝑟 +
𝜕𝑃 𝜕𝑧𝑑𝑧
𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧
Para obtener la ecuación de las superficies de presión constante (isobara), se procede igual que en el caso anterior.
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
A saber 𝑑𝑃 = 0 𝑦 𝑧 = 𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧 0 = 𝜌𝑟𝜔2𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧 𝑔𝑑𝑧 = 𝑟𝜔2𝑑𝑟 𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑟 = 𝑟𝜔2 𝑔
Integrando se obtiene la ecuación para las superficies de presión constante. 𝑑𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝑧2 𝑧1 𝑟𝜔2 𝑔 𝑑𝑟 𝑟2 𝑟1 𝑧2 − 𝑧1 𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝜔2 2𝑔 𝑟2−𝑟1 2+ 𝑐1 𝑟2−𝑟1 = 𝑟 𝑧2− 𝑧1=𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 = 𝜔2𝑟2 2𝑔 + 𝑐1
Por la ecuación anterior se deduce que las superficies de presión constante son paraboloides. Al hacer 𝑟 = 0,
𝑧𝑖𝑠𝑜𝑏𝑎𝑟𝑎 0 = 𝑐1 = 𝑐
𝑐 es la distancia que hay desde la superficie libre al fondo del recipiente, como
siempre va a existir liquido 𝑧𝑠 nunca va a ser igual a cero a menos que no exista
líquido. La ecuación para la superficie libre se transforma en: 𝑧𝑠 = 𝜔2𝑟2
2𝑔 + 𝑐
Aquí 𝑧𝑠 es la distancia desde la superficie libre hasta el fondo del tanque a lo largo del eje de rotación.
El volumen formado por la superficie libre se puede determinar conociendo un elemento de cascaron cilíndrico de radio 𝑟, altura 𝑧𝑠 y espesor 𝑑𝑟.
𝑑𝑣 = 2𝜋𝑟𝑧𝑠 𝑑𝑟 𝑣 = 2𝜋𝑟𝑧𝑠 𝑑𝑟 𝑟=𝑅 𝑟=0 𝑣 = 2𝜋 𝜔 2𝑟3 2𝑔 + 𝑟𝑐 𝑑𝑟 𝑟=𝑅 𝑟=0 𝑣 = 2𝜋 𝜔2𝑅4 8𝑔 + 𝑅2 2 𝑐 𝑣 = 𝜋 𝜔2𝑅4 4𝑔 + 𝑅2𝑐 𝑣 = 𝜋𝑅2 𝜔2𝑅2 4𝑔 + 𝑐 𝑣 = 𝜋𝑅2 0
Fuente: Mecánica de fluidos, fundamentos y aplicaciones. Yunus A. Cengel, John M. Cimbala De la gráfica se obtiene: 𝑐 = 0− 𝜔2𝑅2 4𝑔 𝑧𝑠−𝜔2𝑟2 2𝑔 = 0− 𝜔2𝑅2 4𝑔 𝑧𝑠 = 0 −𝜔2𝑅2 4𝑔 + 𝜔2𝑟2 2𝑔 𝑧𝑠 = 0 −𝜔2𝑅2+ 2𝜔2𝑟2 4𝑔 𝑧𝑠 = 0 −𝜔2 4𝑔 𝑅2− 2𝑟2
La altura máxima vertical se da en el borde cuando 𝑟 = 𝑅 y la diferencia máxima en las alturas entre el borde y el centro de la superficie se obtiene al evaluar 𝑧𝑠 en
𝑟 = 𝑅 y 𝑟 = 0 y se calcula la diferencia. La altura máxima es igual a: 𝑧𝑠 = 0 −𝜔2
4𝑔 𝑅2− 2𝑟2 𝑧𝑠 = 0 −𝜔2
𝑧𝑠 = 0 −
𝜔2
4𝑔 −𝑅2 𝑧𝑠 = 0 +𝜔2𝑅2
4𝑔
La diferencia máxima en las alturas es 𝑧𝑠 𝑅 = 𝑧𝑠 0
𝑧𝑠 𝑅 = 0 − 𝜔2 4𝑔 𝑅2− 2𝑟2 𝑧𝑠 𝑅 = 0 + 𝜔2𝑅2 4𝑔 𝑧𝑠 0 = 0 − 𝜔2 4𝑔 𝑅2− 2 0 2 𝑧𝑠 0 = 0 − 𝜔2𝑅2 4𝑔 Luego: 𝑧𝑠 𝑅 = 𝑧𝑠 0 = 0 + 𝜔2𝑅2 4𝑔 − 0− 𝜔2𝑅2 4𝑔 ∆𝑧𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝑅2 4𝑔 + 𝜔2𝑅2 4𝑔 ∆𝑧𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝑅2+ 𝜔2𝑅2 4𝑔 ∆𝑧𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 2𝜔2𝑅2 4𝑔 ∆𝑧𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝜔2𝑅2 2𝑔
Para obtener la diferencia de presión entre dos puntos 𝑃1 y 𝑃2 se integra. 𝑑𝑃 = 𝜌𝑟𝜔2𝑑𝑟 − 𝜌𝑔𝑑𝑧 𝑑𝑃 = −𝜌𝑟𝜔𝑟2 2𝑑𝑟 𝑟1 𝑃2 𝑃1 − −𝜌𝑔𝑑𝑧𝑧2 𝑧1
𝑃2−𝑃1 =
𝜌𝜔2
2 𝑟22− 𝑟12 − 𝜌𝑔 𝑧2− 𝑧1
Al tomar 𝑃1como el origen, 𝑟 = 0 y 𝑧 = 0 ;𝑃1 = 𝑃0 ; 𝑃2se toma como cualquier punto en el fluido.
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑃 = 𝑃0 +𝜌𝜔2
2 𝑟2− 𝜌𝑔𝑧
EJEMPLO
Se hace girar un tanque cilíndrico de diámetro 2.5 𝑚 con agua a 15 𝑟𝑝𝑚. La presión en el centro de la superficie del fondo es de 100 𝑘𝑃𝑎. Calcular la presión en el borde de la superficie del fondo.
𝑤 = 2𝜋𝑛 = 2𝜋 15𝑅𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛 1 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 𝑤 = 1.571𝑅𝑒𝑣 𝑚𝑖𝑛 𝑃 = 𝑃0+ 𝜌𝜔2 2 𝑟2− 𝜌𝑔𝑧 𝑃 = 100000𝑘𝑃𝑎 +1000 𝑘𝑔 𝑚3× 1.571𝑟𝑎𝑑𝑠 2 2 1.25𝑚 2− 1000 𝑘𝑔 𝑚3× 9.81 𝑚 𝑠2× 0 𝑃𝐵𝑜𝑟𝑑𝑒 = 101.928𝑘𝑃𝑎.
