“APOYO DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA DE ESTRUCTURAS
ISOSTÁTICAS”
“
TEXTO ESTUDIANTE”
TRABAJO DIRIJIDO, POR ADSCRIPCIÓN, PARA OPTAR AL
DIPLOMA ACADÉMICO DE LICENCIATURA EN
INGENIERÍA CIVIL
PRESENTADO POR:
¾
DENNIS BERNARDO TORRICO ARAUCO
¾
RAUL LIENDO UDAETA
TUTOR:
Ing. Oscar Antezana Mendoza
COCHABAMBA – BOLIVIA
MARZO DE 2006
A:
Oscar Torrico
mi padre…quién me dio los consejos más sabios y duros a
lo largo de mi vida, pero gracias a ellos, soy la persona
que sigue luchando por sus metas.
Teresa Arauco
mi madre…que siempre estuvo detrás de mí,
ayudándome y apoyándome sin condiciones, pero sobre
todo por estar ahí cuando más la necesitaba.
Julia
mi abuelita, mi mamita Julia…quién fue la única
persona que tenia el sueño de verme profesional desde que
tenia apenas 11 años, ella me ayudo siempre que pudo,
ahora si puedo concederle ese deseo, y con mucha alegría.
Magaly
mi amiga, mi compañera…el pilar que me sostiene en
momentos de debilidad, junto a mi hija son la luz al final
de la oscuridad y sobre todo gracias por ayudarme a darle
un nuevo rumbo a mi vida.
Adrianita
mi hija….la inspiración para la conclusión de mis
estudios y la elaboración de este documento.
AGRADECIMIENTOS
AGRADECEMOS A DIOS Y A NUESTRAS FAMILIAS, SIN
CUYO APOYO Y CONFIANZA EL LOGRO HOY
ALCANZADO HUBIERA SIDO MUY DIFICIL.
AGRADECEMOS A NUESTRO TUTOR, TRIBUNALES Y
DEMAS DOCENTES QUE FUERON LOS QUE
ENCAMINARON NUESTRA LABOR POR UN BUEN
CAMINO.
“EN LA VIDA SOLO SE TOMAN EN CUENTA DOS COSAS,
LOS PRETEXTOS Y LOS RESULTADOS…
Y LOS PRETEXTOS NO VALEN”
PREFACIO
Este trabajo tiene por objetivo el brindar al estudiante una INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS, el contenido esta adecuado de acuerdo al contenido programático de la asignatura ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.
Su contenido se limita a la teoría fundamental de las estructuras simples con el propósito de que el estudiante se interese en este campo y abra las puertas a la mente en cursos posteriores. Las matemáticas empleadas son de un nivel medio garantizando la comprensión de la misma.
El presente documento esta organizado en dos textos básicos, uno para la lectura y aprendizaje del estudiante y el otro una propuesta de enseñanza para el docente.
El texto guía estudiante esta organizado en 7 capítulos, mismos que se desarrollaran en 1 semestre académico normal, o sea un semestre de 20 semanas o 120 periodos académicos (cada uno de 45 minutos).
El CAPITULO 1 recuerda al estudiante los conceptos fundamentales de la estática en torno a un enfoque vectorial.
El CAPITULO 2 muestra los conceptos básicos de la estática de estructuras y se dan los pasos para la determinación de las reacciones de apoyo.
El CAPITULO 3 enseña al estudiante los procedimientos múltiples para el análisis de las estructuras y los distintos métodos para la determinación de esfuerzos internos.
El CAPITULO 4 enseña al estudiante los procedimientos de análisis para cerchas en el plano y en el espacio.
El CAPITULO 5 brinda los conceptos de líneas de influencia y la importancia de este concepto.
El CAPITULO 6 brinda al estudiante los conceptos de cables flexibles. El CAPITULO 7 ofrece al estudiante tutoriales de programas computacionales aplicables a una calculadora sencilla la HEWLETT PACKARD.
Este documento contiene problemas propuestos y resueltos para que el estudiante tenga mayor facilidad de comprensión, y una propuesta pedagógica de enseñanza para cada capitulo.
Un gran agradecimiento al MSc. Ing. Oscar Antezana M. por la gran colaboración en la realización de estas publicaciones.
Egr.Ing. Dennis Torrico A. & Egr.Ing. Raul Liendo U.
TEMAS PG
CAPITULO 0 - OBJETIVOS GENERALES Y PLAN GLOBAL
CAPITULO 1 - FUNDAMENTOS DE LA ESTÁTICA Y ENFOQUE VECTORIAL
1.1 Objetivo General ………... 1
1.2 Objetivos Específicos ……… 1
1.3 Fuerza ………. 1
1.4 Vector Posición ………. 4
1.5 Vector Desplazamiento ……….... 5
1.6 Momento de una fuerza respecto a un punto ……….. 8
1.7 Momento de una fuerza con respecto a un eje ………. 10
1.8 Teorema de Varignon ………... 12
1.9 Par de fuerzas – Momento del par ………. 13
1.10 Traslación de una fuerza a una posición paralela ……… 15
1.11 Resultante de fuerzas y momentos ………. 17
1.12 Problemas propuestos ………. 31
1.13 Evaluación diagnostico del capitulo ……….. 35
CAPITULO 2 - INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 2.1 Objetivos Generales ………. 36
2.2 Objetivos Específicos ……….... 36
2.3 Introducción ……….. 36
2.4 Conceptos básicos y definiciones ………..………. 37
2.5 Tipos de estructuras ………..………..……….. 38
2.5.1 Estructuras planas ………..………..……… 38
2.5.2 Estructuras en el espacio ………..………..………. 38
2.6 Clasificación de las estructuras ………..………..………... 39
2.7 Por su forma geométrica ………..………..………..………… 39
2.7.1 Viga horizontal ………..………..………..……… 39 2.7.2 Viga inclinada ………..………..……… 39 2.7.3 Columnas ………..………..………..………. 39 2.7.4 Marcos o Pórticos ………..………..………... 40 2.7.5 Armaduras ………..………..………..……… 40 2.7.6 Arcos ………..………..………..………. 41 2.7.7 Cables ………..………..………..……… 41
2.8 Por su sistema de apoyos ………..………..……….. 41
2.9 Por su sistema de cargas ………..………..………..…………. 43
2.9.1 Por el tipo de cargas ………..………..……….. 43
2.9.1.1 Cargas concentradas ………..………..………. 43
2.9.1.2 Cargas axiales ………..………..……… 43
2.9.1.3 Cargas no axiales ………..………..……….……... 43
2.9.2.3 Cargas accidentales ………..………..……… 44
2.9.3 Por la forma en la que actúan ………..………..……… 45
2.9.3.1 Cargas activas ………..………..……….. 45 2.9.3.2 Cargas reactivas ………..………..……….. 45 2.9.3.3 Cargas internas ………..………..……… 45 2.10 Condiciones de equilibrio ………..………..……… 45 2.11 Grado de isostaticidad ………..………..………..……..……… 46 2.12 Caracterización de cargas ………..………..………..……… 47
2.13 Resultante de cargas distribuidas linealmente ………..………..……….. 47
2.14 Determinación de reacciones de apoyos ………..……….………..…… 48
2.15 Ejercicios resueltos ………..………..………..……… 49
2.16 Ejercicios propuestos ………..………..………..……… 67
2.17 Evaluación diagnostico del capitulo ………..………..……… 73
CAPITULO 3 - ESFUERZOS INTERNOS EN LAS ESTRUCTURAS 3.1 Objetivo General ………..………..………..……… 75
3.2 Objetivos Específicos ………..………..………..……… 75
3.3 Introducción ………..………..………..……….. 76
3.4 Definición y análisis de los elementos mecánicos internos ………..……… 76
3.5 Convención de signos de esfuerzos internos ………..………..………….. 79
3.5.1 Fuerza normal ………..………..………..……… 82 3.5.2 Fuerza cortante ………..………..………..……….. 82 3.5.3 Momento flexionante ………..………..………..……… 83 3.6 Análisis de estructuras ………..………..………..………. 83 3.7 Análisis de vigas ………..………..………..……… 84 3.7.1 Procedimiento de análisis ………..………..……….. 84
3.7.1.1 Método de las secciones ………..………..……… 84
3.7.1.2 Análisis relacional ………..………..……….. 86
3.8 Análisis de pórticos ………..………..………..……… 111
3.8.1 Procedimiento de análisis ………..………..……….. 112
3.8.2 Diagrama de cuerpo libre ………..………..……….. 112
3.9 Análisis de arcos ………..………..………..……… 136
3.9.1 Procedimiento de análisis ………..………..……….. 136
3.10 Teoría general de arcos parabólicos ………..………..……….. 150
3.11 Análisis de estructuras mixtas ………..………..……… 163
3.12 Ejercicios propuestos ………..………..………..………. 173
3.13 Evaluación diagnostico del capitulo ………..………..……… 180
CAPITULO 4 - ARMADURAS (CERCHAS) 4.1 Objetivo general ………..………..………..……… 182
4.2 Objetivos específicos ………..………..………..……… 182
4.3 Armaduras ………..………..………..………. 182
4.4 Grado de isostaticidad ………..………..………..………. 183
4.5 Determinación de esfuerzos ………..………..………. 186
4.6.2 Armadura para techos ………..………..……… 199
4.6.3 Armaduras para puentes ………..………..………...…… 201
4.7 Problemas resueltos ………..………..………..……….. 203
4.8 Problemas propuestos ………..………..………..……….. 228
4.9 Evaluación diagnostico del capitulo ………..………..………..……… 232
CAPITULO 5 - LINEAS DE INFLUENCIA 5.1 Objetivo general ………..………..………..……… 233
5.2 Objetivos específicos ………..………..………..……… 233
5.3 Planteamiento del problema ………..………..……… 233
5.4 Líneas de influencia ………..………..………..………. 234
5.5 Procedimiento de análisis de líneas de influencia ………..……….. 237
5.6 Líneas de influencia de esfuerzo cortante ………..………..……….. 238
5.7 Líneas de influencia de momento flector ………..………..……… 241
5.8 Línea de influencia de carga rectangular ………..………..……… 245
5.9 Problemas propuestos ………..………..………..………. 266
5.10 Evaluación diagnostico del capitulo ………..………..……… 271
CAPITULO 6 - CABLES 6.1 Objetivo general ………..………..………..……… 272
6.2 Objetivos específicos ………..………..………..……… 272
6.3 Introducción ………..………..………..……….. 272
6.4 Análisis de tipos de cables ………..………..………..……….. 274
6.4.1 Cables sometidos a cargas uniformemente distribuidas ………..……… 274
6.4.2 Cables sometidos a su peso propio ………..………..………. 280
6.4.3 Cables sometidos a cargas concentradas ………..……….. 283
6.5 Ejercicios propuestos ………. 287
6.6 Evaluación diagnostico del capitulo ………..………..……… 289
CAPITULO 7 - TUTORIALES DE PROGRAMAS 7.1 Objetivo general ………..………..………..……… 290
7.2 Objetivos específicos ………..………..………..………. 290
7.3 Introducción al programa VIGA-G ……… 290
7.4 Introducción al programa CERCHAS ……… 297
INDICE DE TABLAS 2.1 Sistema de apoyos ..………..………..………..……… 42
2.2 Grados de libertad en apoyos …..………..……….………..………..………. 42
2.3 Grados de isostaticidad de una estructura……..……… 47
CAPITULO 2 ..……….…..………..………..………. A-1 CAPITULO 3 …..………..……….………..………..……….. A-8 CAPITULO 4 ……..……….… A-14 CAPITULO 5 ……….………..………… A-16 CAPITULO 6 ……….………..……… A-32 CAPITULO 7 ……….………..……… A-33
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”
CAPITULO 0
OBJETIVOS GENERALES Y
PLANGLOBAL
OBJETIVO GENERAL.
Elaborar un texto guía para un mejor desenvolvimiento académico de docentes y estudiantes basado en nuevos métodos de enseñanza y un corregido temario acerca de la introducción de los ELEMENTOS ESTRUCTURALES y primordialmente la presentación de tutoriales de manejo de paquetes estructurales que servirán para que los estudiantes sean capaces de comprender de una mejor manera el análisis de las ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.
OBJETIVOS ESPECIFICOS DEL TEMA
• Elaborar un texto académico (guía) que ayude al estudiante a una mejor comprensión acerca de la introducción del análisis de los elementos estructurales y lo enfoque al análisis de las ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.
• Elaborar dentro del texto académico para el estudiante una actualización teórica amplia de cada uno de los capítulos correspondientes al plan global existente y al final de cada capitulo complementarlos con una serie de ejercicios prácticos (propuestos y resueltos) para una mejor practica en la materia.
• Presentar el tutoríal de enseñanza del manejo de algunos softwares existentes de uso especialmente universitarios que colaboren en la actualización de nuevos modelos de enseñanza como el aprendizaje de los mismos.
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS”
• Presentar un apartado de ejercicios resueltos y propuestos en cada capitulo usando los softwares propuestos para hacer la verificación de los ejercicios propuestos por el método de resolución manual.
• Buscar una actualización del método clásico de enseñanza para darle un enfoque más real al estudiante dentro de la introducción al ANALISIS DE LAS ESTRUCTURAS ISOSTATICAS.
A continuación presentamos una propuesta de contenido global de la asignatura, acompañado del contenido del mismo, las propuestas de enseñanza para cada uno de los capítulos, como también la propuesta de evaluación de la materia, cumpliendo con los 120 periodos académicos (20 semanas académicas de clase).
PLAN GLOBAL
I. IDENTIFICACIONASIGNATURA: ESTRUCTURA ISOSTATICAS
SIGLA: CIV 201 COD SIS: 2012004 NIVEL(AÑO/SEMESTRE): 4º (Cuarto)
PRE-REQUISITOS:
1. Análisis Vectorial y Tensorial
ÁREAS DE COORDINACIÓN CURRICULAR DIA HORARIO AULA
VERTICAL HORIZONTAL Lunes 6:45 – 8:15 654
Física Básica Calculo
Resistencia de Materiales
Martes 18:00 – 20:15 654
Jueves 6:45 – 8:15 654
NOMBRE DEL DOCENTE: Oscar Alfredo Antezana Mendoza DIRECCION: Potosí S/N Norte
TELEFONO: 42290079 E-MAIL: oantezana@fcyt.umss.edu.bo
PROPUESTA DE LOS UNIVERSITARIOS:
DENNIS BERNARDO TORRICO ARAUCO RAUL LIENDO UDAETA
II. JUSTIVICACION GENERAL
El plan de desarrollo de la UMSS, establece la necesidad de modernizar los métodos de enseñanza y aprendizaje en la universidad, implementando modelos centrados en el estudiante, que además desarrollen actitudes y hábitos de comportamiento que permitan un mejor desenvolvimiento en el futuro ámbito profesional. Se busca alcanzar un equilibrio entre la educación orientada a la formación de valores y actitudes acordes a los requerimientos sociales de la época y el acumulo de conocimientos y aptitudes que respondan a nuevas exigencias científico tecnológicas del contexto internacional.
El empleo creciente de la informática educativa ha generado un sin número de recursos pedagógicos y didácticos a todo nivel de formación, particularmente en la educación superior, donde por tratarse esencialmente de una educación de adultos, existe un importante componente autodidacta, que esta transformando las funciones docente y de estudio. Muchas cátedras se están transformando en discos ópticos interactivos que contienen el texto de un curso, la bibliografía completa, ejercicios teóricos y prácticos, exámenes simulados en varios niveles de complejidad y muchas más opciones multimedia con alto contenido pedagógico y didáctico. Con este recurso las tareas de docentes y estudiantes se transforman, pasando de la transferencia y recepción mecánica e ineficiente de datos e información al estudio y trabajo sobre los problemas reales.
La carrera de licenciatura en ingeniería civil, empeñadas en modernizar sus sistemas de enseñanza y aprendizaje establecen como prioridad la aplicación de nuevas metodologías en los que el estudiante sea el elemento central del proceso, de manera que se puedan mejorar sus actitudes respecto a la resolución de problemas reales específicos. Es decir cambiar el enfoque tradicional de enseñanza-aprendizaje a un enfoque interactivo. En tal sentido establece como estrategia el Desarrollo de Instrumentos Académicos (textos, programas, información de internet, redes de información, etc.) que serán preparados por estudiantes egresados de la carrera de Ingeniería Civil dentro del programa de Titulación por Adscripción, para ser implementadas en las distintas asignaturas.
1. Formar profesionales capaces de resolver técnicamente los problemas de Estructuras Isostáticas en los campos típicos en los que se desenvuelve el ingeniero civil.
2. Formar profesionales con conocimientos actualizados.
3. Brindar al estudiante todos los conocimientos necesarios acerca de ESTRUCTURAS ISOSTATICAS. IV. OBJETIVOS GENRALES.
Al final de este curso el alumno será capaz de:
1. Comprender el funcionamiento de las estructuras ante la presencia de cargas externas y las reacciones de sus apoyos.
2. Determinar la variación de los esfuerzos internos en las estructuras ante la acción de cargas externas en vigas, pórticos, arcos.
3. Realizar el calculo de esfuerzos en armaduras, reconocerá las mejores alternativas de análisis. 4. Realizara el calculo de valores críticos en vigas mediante el análisis por líneas de influencia 5. Determinara tensiones admisibles en cables y la mejor aplicación estructural para estos.
V. ESTRUCTURACIÓN EN UNIDADES DIDACTICAS Y SU DESCRIPCIÓN
1. NOMBRE DE LA UNIDAD (1): FUNDAMENTOS DE ESTATICA Y ENFOQUE VECTORIAL
DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 10
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de:
1. Recordar los conocimientos anteriores referidos a momentos, traslación de fuerzas, resultantes de fuerzas utilizando el procedimiento vectorial.
2. Describir una fuerza en términos de su modulo, dirección, y sentido.
3. Calcular el momento con relación a un punto y un eje, y el efecto que implica.
4. El estudiante adquiere destreza para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas en el espacio y de momentos
CONTENIDO:
- Momento de una fuerza respecto de un punto – respecto de un eje – Traslación de una fuerza a una posición paralela Condiciones de equilibrio – Fuerza equilibrante – Procedimiento vectorial.
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD 1. Clase Magistral
2. lectura de libros
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. Diagnostica
2. Presentación de ejercicios propuestos en clase
BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD: 1. Estática vectorial - Schawn
2. Ingeniería Mecánica Estática, Shames, AID 3. Ingeniería Mecánica Estática – R.C. HIBBELER
NOMBRE DE LA UNIDAD (2): INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 16
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de: 1. Reconocer los diferentes tipos de apoyo.
2. Determinar la estabilidad geométrica y el grado de isostaticidad de las estructuras.
3. clasificar las estructuras por su forma geométrica, por su sistema de cargas, por su sistema de apoyos y por sus condiciones de isostaticidad.
4. Determinar las resultantes de cargas distribuidas y la posición en la que esta actúa.
5. Determinar las reacciones de apoyo de distintos tipos de estructuras (vigas, pórticos, arcos, estructuras mixtas).
CONTENIDO:
- Introducción – Conceptos básicos y definiciones – Tipos de estructuras – Clasificaciones de las estructuras – Por su forma geométrica – Por su sistema de apoyos – Por su sistema de cargas – Condiciones de equilibrio – Grado de Isostaticidad – Caracterización de las cargas – Resultante de cargas distribuidas linealmente – Determinación de reacciones de apoyo – Ejercicios resueltos – Ejercicios Propuestos – Evaluación diagnostico del capitulo.
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD 1. Método Deductivo
2. Exposición dialogada
3. Estudio de casos (problemas resueltos en clase) EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
1. Diagnostica 2. Formativa
BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD: 1. estructuras isostáticas – O, Antezana
2. Análisis Estructural, Juan J. Tuma, Mc. Graw Hill, 1974. 3. Teoría de las Estructuras – YUAN YIU SEI
4. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostáticas a. www.solocursos.com
b. www.emagister.com
NOMBRE DE LA UNIDAD (3): ESFUERZOS INTERNOS EN LA ESTRUCTURAS DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 34
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de:
1. Determinar el valor y la lineal de acción de la resultante de un sistema de cargas puntuales, uniformemente distribuidas y distribuidas de intensidad variable.
2. Aprenderá cuales son los esfuerzos internos de una estructura y sabrá en que dirección actúan estas (normal, cortante y momento).
3. Aplicara una convención de signos apropiada para aplicar al cálculo de los elementos ya mencionados.
CONTENIDO:
- Introducción – definición y análisis de los elementos mecánicos internos – Convención de signos de esfuerzos internos – Análisis de las estructuras – Análisis de vigas – Análisis de pórticos – Análisis de arcos – Teoría General de arcos parabólicos – Análisis de estructuras mixtas – Ejercicios Propuestos – Evaluación diagnostico del capitulo.
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD 1. Interactivo
2. Exposición dialogada 3. Estudio de casos(problemas) EVALUACIÓN DE LA UNIDAD
1. Presentación de ejercicios propuestos en clase 2. Diagnostica
BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD: 1. Estructuras isostáticas – O, Antezana
2. Teoría elemental de las Estructuras – YUAN YU HSIEH 3. Teoría de las Estructuras, S. Timoshenko – D.H. Young 4. Análisis de estructuras – R.C. HIBBELER
5. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostáticas
c. www.solocursos.com
d. www.emagister.com
NOMBRE DE LA UNIDAD (4): ARMADURAS (CERCHAS) DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 16
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de:
1. Determinar el valor de las reacciones de apoyo en las estructuras isostáticas. 2. Identificar armaduras isostáticas e hiperestaticas.
3. Tener habilidades para aplicar diversos métodos para determinar los esfuerzos internos y externos en los miembros.
4. Recordar un tipo de armadura para cada caso.
CONTENIDO:
- Armaduras – Grado de isostaticidad – determinación de esfuerzos – utilización de las armaduras – Ejercicios resueltos – Ejercicios Propuestos – Evaluación diagnostico del capitulo.
METODOLOGIA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD 1. Exposición dialogada
2. Discusión dirigida
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. Diagnostica
3. Ingeniería mecánica estática – Andrei Pitel Jaan, Kiusalas 4. Ingeniería Mecánica Estática, Shames, AID
5. Estructuras Isostáticas - O. Antezana NOMBRE DE LA UNIDAD (5): LINEAS DE INFLUENCIA
DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 16
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de:
1. Determinar las ecuaciones de esfuerzos u dibujar los diferentes diagramas en las estructuras isostáticas. 2. Dibujar las líneas de influencia
3. Conocerá como un tren móvil se desplaza a lo largo de una viga y su efecto 4. Podrá construir la envolvente de Q y M
5. Podrá reconocer las secciones críticas de Q y M. CONTENIDO:
- Planteamiento del problema – Líneas de influencia – Procedimiento de análisis de líneas de influencia – líneas de influencia de esfuerzo cortante – Líneas de influencia de momento flector – Línea de influencia de carga rectangular - Ejercicios Propuestos – Evaluación diagnostico del capitulo.
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD 1. Estudio de casos
2. Exposición dialogada
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. Diagnostica
2. Presentación de ejercicios propuestos en clase
BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD: 1. Teoría de las Estructuras - S. Timoshenko – D.H. Young 2. Mecánica de estructuras – R.C.HIBBELER
3. Ingeniería Mecánica Estática, Shames, AID, México, 1969 4. Estructuras Isostáticas. O. Antezana, Bolivia, 1998.
NOMBRE DE LA UNIDAD (6): CABLES
DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 8
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de:
1. Determinar la ecuación de la curva que representa a un cable sometido a carga distribuida, a peso propio y cargas puntuales.
2. Determinar la tensión máxima y la longitud del cable.
3. Reconocerá el uso del los distintos tipos de cables existentes sabrá a que tipo de estructuras son aplicables. 4. Recordara brevemente el cálculo numérico (integración, límites, derivación).
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD 1. Estudio de casos
2. Exposición dialogada
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1. Diagnostica
2. Presentación de ejercicios propuestos en clase
BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD: 1. Estructuras isostáticas – O, Antezana
2. Análisis de estructuras – R.C. HIBBELER
3. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostáticas e. www.solocursos.com/cables
f. www.emagister.com/
NOMBRE DE LA UNIDAD (7): TUTORIALES DE PROGRAMAS DURACIÓN DE LA UNIDAD EN PERIODOS ACADÉMICOS: 2
OBJETIVOS DE LA UNIDAD: al finalizar la unidad el estudiante será capaz de:
1. Resolver vigas isostáticas mediante el programa de análisis estructural viga-G para calculadora HP 48G, G+, GX, 49G.
2. Resolver cerchas por el método matricial mediante el programa de análisis estructural CERCHAS para calculadora HP 48G, G+, GX, 49G.
CONTENIDO:
- Introducción al programa VIGA-G – Introducción al programa CERCHAS.
METODOLOGIA DE LA ENSEÑANZA
TÉCNICAS PREDOMINANTES PROPUESTAS PARA LA UNIDAD: 1. Interactiva
2. Exposición o conferencia
EVALUACIÓN DE LA UNIDAD:
1. Presentación de ejercicios propuestos en clase
BIBLIOGRAFIA ESPECIFICA DE LA UNIDAD:
1. Manual del usuario de la calculadora HEWLETT PACKARD 2. Tutoriales presentados en el texto estudiante
VI. EVALUACIÓN
La evaluación será diagnosticada formativa y final. Al final del semestre los estudiantes presentarán pruebas escritas para aprobar la materia, bajo la siguiente modalidad:
Primer Examen (unidades 2 y 3) Segundo Examen (unidad 4)
VIII. DISPOSICIONES GENERALES
- La evaluación diagnostica por capitulo será revisada por el docente de la materia pudiendo añadirse muchas otras preguntas.
- La calificación de las 3 pruebas se realizara de forma sumativa.
- El alumno que registre un promedio mayor o igual a 51 en las tres primeras pruebas, habrá aprobado la materia. - Los alumnos que no tengan un promedio mayor o igual a 51, procederán a dar el examen final.
- Los alumnos que hayan reprobado el examen final y tengan un promedio mayor a 26 en los tres primeros exámenes, tendrán derecho a tomar el examen de segunda instancia.
IX. BIBLIOGRAFÍA GENERAL 1. Estructuras isostáticas – O, Antezana 2. Análisis de estructuras – R.C. HIBBELER
3. Análisis Estructural, Juan J. Tuma, Mc. Graw Hill, 1974.
4. Teoría de las Estucturas, S. Timoshenko – D.H. Young, Mc. Graw Hill, 1945 5. Teoría elemental de las Estructuras – YUAN YU HSIEH
6. Paginas de Internet con cursos sobre estructuras isostáticas 7. Ingeniería mecánica estática – Arthur Borréis
8. Ingeniería mecánica estática – Richard Schnids
9. Ingeniería mecánica estática – Andrei Pitel Jaan, Kiusalas 10. Estática vectorial - Schawn
11. Ingeniería Mecánica Estática, Shames, AID 12. Ingeniería Mecánica Estática – R.C. HIBBELER 13. Estática – Russel Jonson Jr
14. Estática – Ferdinard P. Vier
15. Teoría de la estructuras – Chu Kia Wang 16. Paginas de internet
a. www.emagister.com/
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 1
-CAPITULO 1
FUNDAMENTOS DE LA ESTATICA Y
ENFOQUE VECTORIAL
1.1 OBJETIVO GENERAL.
El objetivo fundamental de este capitulo es que el estudiante conozca los fundamentos de la estática con un enfoque vectorial, y este desarrolle destrezas para el cálculo del equilibrio estático.
1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS.
Al finalizar este capitulo el estudiante podrá:
Describir una fuerza en términos de su modulo, dirección, y sentido.
Comprender y calcular el concepto de momento con relación a un punto y un eje, además el efecto que este implica.
Adquirir destrezas para hallar la resultante de un conjunto de fuerzas y momentos en el espacio y de momentos.
1.3 FUERZA.
La fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro, que produce en este último una modificación en su estado de reposo o de movimiento.
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 2
Un vector fuerza es un segmento orientado en el espacio, se puede caracterizar por tener: Origen a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector.
Dirección o línea de acción coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela.
Sentido viene determinado por la punta de flecha localizada en el extremo del vector. Módulo es la distancia entre el origen y el extremo del vector.
Introduciendo los vectores unitarios i, j, k orientados en las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente, (figura 1.1), podemos expresar F en la forma:
F =FrXiˆ+FrYˆj+FrZkˆ Expresión vectorial de la fuerza
Figura 1.1
Donde definiremos cada término:
Componentes escalares de Fr están definidas por las relaciones: FX, FY, FZ a largo de los tres ejes de coordenadas.
Vectores unitarios en dirección de los cartesianos: ir;rj;kr Componentes vectoriales de F =FrXiˆ+FrYˆj+FrZkˆ.
Relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares
Z Y X F F F F = 2 + 2 + 2 ⇔ r
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 3
- Vector unitario en la dirección de F
[
FX FY FZ]
F e
Fr: rr = 1r , ,
Los tres ángulos αx, βy, γz definen la dirección de la fuerza F
r
, los cósenos de αx, βy, γz se
conocen como los cósenos directores de la fuerza Fr :
F F F F F F Z Y X r r r = = =
γ
β
α
cos cos cosPara la mejor concepción del anterior concepto, proponemos a continuación el siguiente ejercicio.
Ejercicio #1
Dada la fuerza F = [ 2, -3, 5 ] en toneladas, determinar la magnitud y dirección de la fuerza Solución.-
- Se tiene los componentes escalares (2t, -3t, 5t) - Se tiene los componentes vectoriales (2 i, -3 j, 5 k) La magnitud de Frserá:
( ) ( ) ( )
ton Fr = 2 2+ −32+ 5 2 = 6.16 Entonces: cos α 2 6 16, 0 32, cos β −3 6 16, − 490, cos γ 5 6 16, 0 81,La dirección del vector es:
[
2; 3;5]
16 . 6 1 − = F err[
0.32;−0.49;0.81]
= ⇒ erFrADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 4
-1.4 VECTOR DE POSICION.
Si tenemos un punto cualquiera P1 se define el vector de posición del punto P1 como el
segmento orientado que determina el origen de coordenadas O y el punto P1.
Es el segmento rectilíneo orientado dirigido del origen al punto como vemos en la fig1.2.
Figura 1.2
Consideramos el sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en los puntos X1, Y1,
Z1, definidos por los vectores posiciónr1
r
.
P1 = (X1, Y1, Z1)
r =r1
[
X1;Y1;Z1]
es la magnitud, y representa la distancia entre O y P1Si se desea encontrar la magnitud y dirección de la Fuerza rr puede calcularse de las componentes rx, ry, rz como se explica a continuación.
Fácilmente podemos verificar que los vectores de posición obedecen la ley de suma para vectores. Consideremos, por ejemplo, los vectores de posición r y r’ con respecto a los puntos de referencia O y O’ y el vector de posición de s y O con respecto a O’ de la figura 1.3 verificamos que el vector de posición r’ = O’A puede obtenerse de los vectores de posición s = O’O y r = OA aplicando la regla del triangulo para la suma de vectores.
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 5 -O A r r' s Figura 1.3
Como siempre es posible trazar un segmento rectilíneo, entre el origen y un punto arbitrario dado, entonces, siempre es posible asociar a dicho punto, su respectivo vector de posición.
1.5 VECTOR DE DEZSPLAZAMIENTO.
Vamos a empezar por la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que no es más que el cambio de posición de un punto a otro (Atención, este punto puede ser un modelo que representa una partícula o un pequeño cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a qué distancia se movió sino en qué dirección. No es lo mismo salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El desplazamiento no es el mismo.
El desplazamiento a menudo lo representamos por una sola letra mayúscula que aquí la mostraremos en negrita P, pero hay muchas otras maneras.
En la fig 1.4 mostramos que el desplazamiento para ir de A hasta B es una línea recta que une estos puntos, empieza en A y termina en B dirigida hacia B. Cuando el cuerpo se mueve de manera que vaya y vuelva al punto inicial, el desplazamiento es cero. Es importante darse cuenta que el desplazamiento no está relacionado con la distancia recorrida.
A
B
P
A
B
P
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 6
-Vamos a representar la magnitud de un vector (la longitud en el caso del desplazamiento) por la misma letra del vector pero no en negrita o bien:
(Magnitud o módulo de P) =Pr = Pr
Por definición el módulo de P es un escalar (un número) y siempre es positivo.
Suponemos ahora que una partícula tiene un desplazamiento P, seguido por un desplazamiento Q. El resultado es el mismo que si se hubiera considerado partiendo del mismo punto inicial un único desplazamiento R como podemos ver en la figura.
Figura 1.5
Lo que en símbolos podemos expresar R = P + Q, a este vector se lo llama suma o resultante. Poner atención que aquí estamos sumando vectores y no es la simple suma algebraica de sus módulos sino que debemos tomar en cuenta sus direcciones.
Figura 1.6
Viendo la fig 1.6 se deduce que:
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 7
δ
12r
Llamado vector de desplazamiento entre P1 y P2
Siempre se puede asociar a un punto su respectivo vector de posición
[
1 1 1]
2[
2 2 2]
1 X ;Y;Z ; r X ;Y ;Z rr = r =[
2 2 2] [
1 1 1]
12 = X ;Y ;Z − X ;Y;Zδ
r[
2 1 2 1 2 1]
12 = X −X ;Y −Y;Z −Zδ
r(
) (
) (
)
2 1 2 2 1 2 2 1 2 X Y Y Z Z X − + − + − ⇔δ
rδ
r Es la fórmula de distancia entre dos puntos P1 y P2Ejercicio #2
Dados los puntos P1 de coordenadas (2,-3,0) metros, P2 de coordenadas (0,1,3) metros, P3 de
coordenadas (-1,0,3) metros.
a) Hallar el vector de posición entre P2 y P3
b) Hallar el vector de desplazamiento entre P2 y P3
c) Hallar la distancia entre P1 y P2
Solución.- Z a) → → → → r1 ⇔ [2,-3, 0] ⇔ 2 i -3 j + 0 k → o P1 → → → → δ23 r2 ⇔ [0, 1, 3] ⇔ 0 i + 1 j +3 k P3 O O P2 → → → → Y r3 ⇔ [-1, 0, 3] ⇔ -1 i +0 j + 3 k b) → → → δ23 ⇔ r3 – r2 ⇔[-1, 0, 3] - [0, 1, 3] → X δ23 = [-1,-1, 0] c) → → → δ12 ⇔ r2 – r1 ⇔ [0, 1, 3] - [2,-3, 0] → δ12 ⇔ [-2, 4, 3] δ12 → =
( )
−2 2+42+32 = 5, 38 (m) de distanciaADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 8
-1.6 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO.
Consideremos una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido como se muestra en la figura 1.7. Como sabemos la fuerza F se representa por un vector que define su magnitud y dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido depende también de su punto de aplicación P. La posición de P se define convenientemente por el vector r que une el punto de referencia fijo O con el punto P; este vector se conoce como vector de posición de P. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 1.7
Figura 1.7
Definiremos el momento de F con respecto a O como el producto vectorial de r y F.
Mo = r * F → r ⇔ Vector de posición de P →→→ →→ →→ →→ →→ → M P1 = δδδδ * F1 →→→ →
δ ⇔ Vector de desplazamiento entre P1 y P2
El momento Mo debe ser perpendicular al plano que contiene a O y a F. El sentido de Mo se
define por el sentido de rotación que podría llevar el vector r a ser colineal con el vector F; pero esta rotación es la rotación que F tiende a imprimir al cuerpo. Así, el sentido del momento Mo
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 9
-caracteriza el sentido de la rotación que F tiende a imprimir al cuerpo rígido; esta rotación será observada como contraria a la de las agujas del reloj por un observador situado en el extremo de Mo.
Otra manera de establecer la relación entre el sentido de Mo y el sentido de la rotación del cuerpo
rígido es el suministrado por la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha manteniendo el dedo pulgar extendido, sosténgala de tal modo que sus dedos indiquen el sentido de rotación que la fuerza F tiende a impartirle al cuerpo rígido; su dedo pulgar indicara el sentido del momento Mo.
Finalmente, llamando θ al Angulo comprendido entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F hallamos que el momento de F con respecto a O es:
Mo = r F. sen θθθθ = F d
Ejercicio #3
Dada la fuerza [1, 2,-2] toneladas, que pasa por el punto P1 (2,1,3) metros. Determinar el
momento de la fuerza respecto el punto P2 (0, 2,-1).
Solución.- → Z → δ21 r1⇔ [2,1,3] P2 o o P1 → r3 ⇔ [0, 2,-1] Y → → → → δ21 ⇔ r1 – r2 ⇔ [2, 1,3]-[0, 2,-1] F → → δ21 ⇔ [2,-1,4] vector desplazamiento F X → → → M2 = δ21 * F → → → 2 -1 4 M2 = δ21 * F = 1 2 -2 = -6 i + 8 j + 5 k = [-6, 8,5 ] i j k → M2 = √ (-6)2 + (8)2 + (5)2 → M2 = 11, 86 ton_m
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 10
-1.7 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE.
Ahora que se han aumentado nuestros conocimientos de algebra vectorial, introduciremos un
nuevo concepto, el concepto del momento de una fuerza con respecto a un eje. Consideraremos nuevamente una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento Mo de esa fuerza con
respecto a la (fig 1.8).
Figura 1.8
a) En el grafico se puede observar que el eje es perpendicular al plano II b) El punto P pertenece al plano II
c) El punto a es la traza del eje en el plano d)
1
Fr es la componente de Fr contenida en el plano II e)
2
Fr es la componente de Fr paralela al eje donde:
Ma = Momento de fuerza, respecto de a o cualquier punto de ese eje. eE
r
= Es el vector unitario en la dirección del eje.
Donde este momento se lo expresa como:
E E M e
M = ra *r
Se concluye de la definición de momento de una fuerza con respecto a un eje, que el momento de F con respecto a un eje coordenado es igual ala componente Ma con respecto a dicho
eje. Sustituyendo sucesivamente cada uno de los vectores unitarios i, j, k, por eE, comprobamos que
las expresiones asi obtenidas de los momentos de F con respecto a los ejes coordenados son, respectivamente, iguales a las expresiones de las componentes del momento Ma de F con respecto a
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 11
-Ejercicio #4
→ Los Puntos P1 (0,-2,1) metros y P2 (3,-2,1) definen un eje en el espacio, cierta fuerza F [2, 3,1]
Kg. pasa por el punto P0 (-1,-2,0). Determinar el momento de la fuerza respecto del eje.
Solución.- → P2P1 ⇔ [-3, 0,1] P1 o → E → e P2P1 = 10 = 3,2 ⇔ = [-0,94; 0; 0,31] P1P2 → P1P2 ⇔ [3, 0, -1] o P2 → P1P2 = 10 = 3,2 ⇔ e = [0,94; 0; -0,31] P1P2 → δ10 = [-1, 0, -2] → → → MP1 = δ10 * F = [-1, 0,-2] * [2, 3, 1] i j k = -1 0 -2 = 6i – 3j -3k 2 3 1 → → ME = Mp1 * e p2p1 * E = [6, -3, -3] * [-0.94; 0; -0.31] = [-5.64 + 0.93] = 6.54 Kg_m ME ⇔ [6, -3, -3] * [0.94; 0; -0.31] = 0.54 Kg_m → → Mp2 ⇔ δ2 0 * F = [-4, 0, 1] * [2, 3, 1] - 4 0 1 = 2 3 1 = 3 i + 2 j – 12 k i j k ME ⇔ [3, 2,-12] * [-0.94; 0; 0.31] = -2.82 + 0 + (-3.72)
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 12 = -6.54 Kg_m. ME ⇔[3, 2, -12] * [0.94; 0; -0.31] = 2.82 + 3.72 = 6.54 Kg_m. 1.8 TEOREMA DE VARIGNON.
La propiedad distributiva de los productos vectoriales puede utilizarse para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si varias fuerzas F1, F2,……….se aplican al
mismo punto P, y si llamamos r al vector de posición de P, se concluye inmediatamente que: r * (F1 + F2 + …….) = r * F1 + r * F2 + ………
Figura 1.9
En palabras, el momento con respecto a un punto dado O de la misma resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto O. La relación de la grafica hace posible la determinación del momento de una fuerza F por el calculo de los momentos de dos o mas fuerzas componentes.
La fuerza F se descompone en F = F1 + F2 +F3
→ → → → → →
⇒ ME = M * e = [r * (F1 + F2 + F3)] * e
Donde: →→→ →→ →→ →→ →→→ →→→→ →→ →→→ →→→ →→→→ →→→ →→ →→→
ME = (r * F1).e + (r * F2).e + (r * F3). e
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 13
-1.9 PAR DE FUERZAS – MOMENTO DEL PAR.
Se dice que dos fuerzas F y –F forman un par si tienen la misma magnitud, dirección pero sentido contrario, ver figura 1.10
Figura 1.10
Es evidente que la suma de los componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las fuerzas no desplazan al cuerpo sobre el que actúan ellas tienden a imprimirle un movimiento de rotación
Figura 1.11
Representando por rA y rB los vectores de posición de los puntos de aplicación de F Y – F de
la figura 1.11 encontramos que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es: rA * F + rB * (-F) = (rA – rB) * F
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 14
-Remplazando rA – rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos
fuerzas, concluimos que la suma de los momentos de F y –F con respecto a O se representan por el vector:
Mo = r * F (1)
El vector Mo se le llama momento del par; es un vector perpendicular al plano que contiene
las dos fuerzas y su magnitud es:
Mo = r.F.senθθθθ = Fd (2)
Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y –F, y el sentido de Mo
se encuentra mediante la regla de la mano derecha del grafico.
Como el vector rr en (1) es independiente de la elección del origen O de los ejes coordenados, se obtendría el mismo resultado si los momentos de F Y – F se hubieran calculado con
respecto a un punto diferente O′. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede aplicarse en cualquier punto como se ve en la grafica.
Figura 1.12
De la definición del momento de un par, se concluye que dos pares, uno formado por las fuerzas F1 y -F1, y el otro por las fuerzas F2 y -F2 como se ve en la figura 1.13 (a) y (b),tendrán
momentos iguales si y solo si; los dos pares están en planos paralelos o en el mismo plano y tienen el mismo sentido:
F1d1 = F2d2
-F1 F2
d1 d
F1 -F2
Figura 1.13 (a) Figura 1.13 (b)
→→→ →→ →→ →→ →→→
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 15
-Ejercicio #5
Dados los pares de la figura 1.14 se pide determinar la suma de los momentos pares. Donde: C1 y C3 pertenecen al plano YZ, C2 pertenece al plano α paralelo XZ.
Figura 1.14
Se tiene:
→ →
a) Momento de los pares Mc1 = 6 i = [6, 0, 0] t.m
→ →
Mc2 = - 8 j = [0, -8, 0] t.m
→ →
Mc3 = 20 i = [20, 0, 0] t.m
b) Suma de los pares
→ → → →
S = Mc1 + Mc2 + Mc3 = [26, -8, 0] t.m
Es decir: para sumar pares se debe sumar los momentos de los pares 1.10 TRASLACION DE UNA FUERZA A UNA POSICION PARALELA.
Se muestra una fuerza y se desea trasladarla a una posición paralela que pasa por el punto P. Como se ve en la figura 1.15
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 16
El procedimiento para trasladar una fuerza a cierta posición paralela dada consiste en los siguientes pasos:
1) Se traslada la fuerza a la nueva posición manteniendo su dirección, magnitud, y sentido. 2) Se añade la fuerza simétrica en la dirección de traslado
3) Se incluye el momento del par ocasionado por la fuerza y su simétrica.
→ →
c = es el par formado por F y -F
figura 1.16
Con estos pasos se origina un nuevo sistema, constituido por Fr en la posición paralela y el par c formado por Fr y – Fr como se ve en la fig 1.16.
Cuando se traslada una fuerza a una posición paralela dada, debe además de la fuerza, tomarse en cuenta el par.
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienen a producir el mismo efecto sobre un cuerpo. Se ha visto que une fuerza se puede desplazar sobre su línea de acción y el efecto sobre el cuerpo no se modifica tanto para traslación como para rotación. Así mismo se ha dicho que un Par, por ser un vector libre, se puede trasladar a cualquier posición sin que se cambie el efecto que produce sobre el cuerpo.
Ejercicio #6
Dada la fuerza Fr = [2, 1, 0] toneladas que pasa por el punto P1 (3, 2, -1) metros y el punto
P2 (4, 0, 2) metros, se pide trasladar la fuerza a una posición paralela que pasa por P2:
a) traslación de Fr a la posición paralela que pasa por P2
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 17 → → P2P1 =δ =[-1, 2, -3] t → → → -1 2 -3 MP2 = δ = F = 2 1 0 = [3, -6, -5] t.m i j k →
Por lo tanto, el nuevo sistema queda constituido por F = [2, 1, 0] ton trasladada a la →
posición paralela que pasa por P2 y el momento del Par MP2 = [3, -6, -5].
1.11 RESULTANTE DE FUERZAS Y MOMENTOS.
Figura 1.17 (a) Figura 1.17 (b)
En la figura 1.17 (a) se observa un sistema general de fuerzas, constituido por fuerzas y momentos de pares.
Mediante el procedimiento descrito en el anterior titulo. Siempre es posible trasladar las fuerzas a una posición paralela que pasa por el origen, obviamente teniendo en cuenta los momentos correspondientes y recordando que los momentos de los pares son vectores libres.
En la figura 1.17 (b) se tiene:
→ → → →
FR = F1 + F2 + F3
→ → → → → → → → →
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 18
-Claramente, los sistemas de las figuras 1.17 (a) y (b) son EQUIVALENTES PARA CIERTA CAPACIDAD.
Sin importar la complejidad de un sistema de fuerzas y momentos, este siempre puede
→ →
ser reducido a una sola fuerza FR y a un solo momento MR.
→
FR = se denomina Resultante de fuerzas →
MR = se denomina Resultante de momentos
Entonces: La resultante de un sistema es la EQUIVALENCIA más simple. Ejercicio #7
Dado el sistema de la figura 1.18 determinar la resultante de momentos.
Figura 1.18
→ →
Donde: F1 = [3, 2,1] t y F2 =[-4, 1,3] m; P2 (4, 5,6) m y el Par C se encuentra en el plano xy; se pide:
a) Resultante de fuerzas en el origen:
→ → →
FR = F1 + F2 = [-1, 3,4] t
b) Resultante de momentos en el origen:
→ →
r1 = [2,-2,1] ; r2 = [4, 5,6]
Por tanto:
→
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 19
→
MR = [5,-35,40] ton_m
c) Resultante del sistema:
Figura 1.19
Obviamente; el sistema de la figura 1.19 es EQUIVALENTE al sistema de la figura 1.18 para cierta capacidad.
Ejercicio #8
2 -3 Verificar la igualdad de los desplazamientos entre los puntos P1 0 (m) y P2 4 (m)
3 1 Solución.- → a) δ12 vector de desplazamiento → → → δ12 ⇒ r1 = [2, 0,3] ; r2 = [-3, 4,1] → → → δ12 ⇔ r2 + (- r1) ⇔ [-3, 4,1] + (-)[2, 0,3] → δ12 ⇔ [-5, 4,-2] b) → → → δ21 ⇔ r1 + (-r2) ⇔ [5,-4,2] → δ21 = [5,-4,2] → → δ1 2 ≠ δ 2 1
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 20
-Ejercicio #9
→ -1 →
La fuerza F⇔ [0, 3, -2 ] t. pasa por el punto P2 2 (m) determinar el momento de F
3
Solución.-
a) Respecto del origen (0,0,0) m
⇒ rr2 ⇔
[
−1,2,3]
k j i F r MO 0 3 2 3 2 1 * 2 − − = = r( )
i( )
j( )
k MO =−9+ −4 *ˆ+ −2 *ˆ+ −3 *ˆ k j i MO =−13ˆ−2ˆ−3ˆ[
]
ton m MO = −13,−2,−3 _ b) Respecto de P1 (-4, 2,0) m F MP1 =δ
r12*[
4, 2,0]
; 2[
1,2,3]
1 = − − r = − rr r[
3,0,3]
12 ⇔δ
r 3 0 3 2 3 0 1= − k j i Mp =[-9,6,9] ton_mADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 21
-Ejercicio #10
Dada la fuerza Fr⇔[-1, 2, 3 ] t que pasa por el punto
3 2 1 − P m Determinar el momento de Fr Solución.-
a) Respecto del origen (0, 0,0) m.
→ F O• → → r2 r2 ⇔ [-1, 2, 3] • P2 → → -1 2 3 MO = r * F = 0 3 -2 i j k = -9 + (-4) i + (-2) j + (-3) k = -13 i – 2 j -3 k → ⇒ MO = [-13, -2, -3] ton_m b) Respecto de P1 (-4, 2, 0) M 0 P1 → → r1 F → → → 0 δ Mp1 = δ12 * F → r2 → → 0 r1 = [-4, 2, 0] ; r2 = [-1, 2, 3] P2 → δ12 ⇔ [3, 0, 3] → i j k Mp1 = 0 3 -2 = [-9, 6, 9] ton_m 3 0 3
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 22
-Ejercicio #11
2 -3 Cierto eje esta definido por los puntos P1 3 (m) y P2 2
0 1 → 4
F ⇔[4, 0, 1] Kg que pasa por el punto Po -2
-1
Determinar el momento de la fuerza respecto del eje. Solución.- → F → 0 P2 P1P2 ⇔ [-5, -1, 1] PO → → δ P1P2 = 5 * 19 0 P1 → 1
e
E = * [-5, -1, 1] ⇔ [-0.96, -0.19, 0.19] 5 .19 → δ20 ⇔ [7, -4, -2] → → 7 -4 -2 Mp2 ⇔ δ20 * F ⇔ 4 0 1 i j k Mp2 = [-4, -15, 16] → → ∴ ME = Mp2 *e
E ⇒ ME = [(-4) (-0.96) + (-15) (-0.19) + (16) (0.19)] ∴ME = 9.73 Kg.m Ejercicio #12Se pide determinar la resultante más simple del sistema a) definido en forma coplanar F1 ⇔ [3, -2, 0] ; P1 (2, 4, 0)
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 23 -Solución.- → r1 ⇔ [2, 4, 0] → r2 ⇔ [-1, 3, 0] →→→ → MR ⇔ → → i j k r1 * F1 = 2 4 0 = [0, 0, -16] ton_m 3 -2 0 → → i j k r2 * F2 = -1 3 0 = [0, 0, 4.5] ton_m -1 -1.5 0 → Par = [0, 0, 4.5] ton_m → → → → → → MR = r1 * F1 + r2 * F2 + Par → MR = [0, 0, -16] + [0, 0, 4.5] + [0, 0, -5] → MR = [0, 0, -16.5] ton_m →
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 24 y → → → rR * FR ⇔ MR → MR x →→→ → FR → Sea P de coordenadas (x, y, o) m un punto de la línea de acción de FR
P (x, y, o) m ⇒ rR ⇔ [x, y, o] → → → x y o
⇒ rR * FR ⇔ MR ⇒ -2 -3.5 0 = [0, 0, -16.5]
i j k ⇔ [0, 0, -3.5 x -2 y] *
La expresión * representa la ecuación de una recta que define la línea de acción de la resultante. 3.5 x + 2 y = 16.5 8.25 • → Si x = 0 ⇒ y = 8.25 FR Si y = 0 ⇒ x = 5.7 • 5.7 SISTEMA MÁS REDUCIDO Ejercicio #13 → -1
La fuerza F ⇔ [2, 3, -3 ]t pasa por el punto P2 -2 (m); Determinar el momento
-3 0
de dicha fuerza respecto del punto P1 -2 (m).
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 25 -Solución.- O P1 → → → δ12 = r2 – r1 → → → → r1 δ12 F r2 = [X2, Y2, Z2] ⇔ [-1, -2, 3] → r1 = [X1, Y1, Z1] ⇔ [0, -2, 2] O O O → P2 r2 → → → → δ12 = [-1, 0, 1] ; Mp1 = δ12 * F → -1 0 1 ⇒ Mp1 = 2 3 -3 = [-3, -1, -3] ton_m i j k → → → → → → → MP = r * F ⇔ r * (FX + FY + FZ) → →→ → →→→→ →→→→ →→ →→→ →→ →→ →→→ →→→→ MP = r * FX + r * FY + r * FZ TEOREMA DE VARIGNON Ejercicio #14 0 -3 →
Los puntos P1 2 (m) y P2 1 (m) definen un eje en el espacio, una fuerza F
1 0
→
en Kg. pasa por el punto P (3, 2, -4). Se pide determinar el momento de F
respecto del eje.
Solución.-
0 -3 → 3
P1 2 y P2 1 ; F ⇔ [2, 3, 1] kg ; P 2 (m)
1 0 -4
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 26 -E → → P1P2 ⇔ [(-3-0), (1-2), (0-1)] ⇔ [-3, -1, -1] m P2 F 0 → P1P2 ⇔ √32 + 12 + 12 = 3.32 m → δ o P → P1o UE = 1/3.32 = [-3, -1, 1] = [-0.90, -0.30, -0.30] → δP1 P ⇔ [3, 0, -5] → → → 3 0 -5 ⇒ MP1 ⇔ δP1 P * F ⇔ 2 3 1 ⇔ [15, -13, 9] i j k ∴ ME ⇔ [15, -13, 9] * [-0.90, -0.30, -0.30] ⇔ [15*(-0.90) + (-13)*(-0.30) + 9*(-0.30)] = [-13.5 + 3.9 -2.7] ME = -12.3 kg_m
EL TEOREMA DE VARIGNON DEMOSTRADO EN EL EJERCICIO ANTERIOR ES TAMBIEN VALIDO EN EL CASO DE MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE (SE DEJA AL ESTUDIANTE SU DEMOSTRACION).
Ejercicio #15
Dado el sistema (a) constituido por dos fuerzas y un par; Se pide determinar un sistema resultante constituido por una sola fuerza en el origen y un solo momento.
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 27 -Solución.- → C1 Pertenece al Plano XY → → → FR = F1 + F2 ⇔ [1, 4, 1] → → r1 ⇔ [-3, -1, 2] ; r2 ⇔ [5, 3, 1] → → → → → → → → MR ⇔ r1 * F1 + r2 * F2 + C1 ; C1 = F * d = 2 * 3 = 6 ton_m Z → → FR MR → → -3 -1 -2 ⇒ r1 * F1 = 4 2 0 = [4, -8, -2] i j k Y → → 5 3 1 (b) r2 * F2 = -3 2 1 = [1, -8, 19] i j k X → C1 = [0, 0, -6] → MR = [5, -16, 11] ton_m Ejercicio #16
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 28 -→ -3 F1 ⇔ [2, 0, 4] t; P1 -1 (m) -2 → 2 F2 ⇔ [5, -1, 1] t; P2 -1 (m) 2 → 5 F3 ⇔ [2, 4, -1] t; P3 3 (m) 1 Solucion.- → C1 Pertenece al plano YZ → C2 Pertenece al plano XY → → → → FR ⇔ F1 + F2 + F3 ⇔ [9, 3, 4] t → → → r1 ⇔ [-3, -1, -2]; r2 ⇔ [2, -1, 2]; r3 ⇔ [5, 3, 1] → → -3 -1 -2 r1 * F1 = 2 0 4 = [-4, -8, 2] i j k → → 2 -1 2 r2 * F2 = 5 -1 1 = [1, 8, 3] i j k → → 5 3 1 r3 * F3 = 2 4 -1 = [-7, 7, 14] i j k → → → → → → → → → MR = r1 * F1 + r2 * F2 + r3 * F3 + C1 + C2 → → ⇒ C1 = 5 * 4 = 20 ; C1 = [20, 0, 0] → → ⇒ C2 = 4 * 2 = 8 ; C2 = [0, 0, -8] → ∴ MR = [10, 7, 11] ton_m Ejercicio #17
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 29 -Solución.- a) Componentes escalares ⇔ 3 t, -2 t, 4 t → → → b) Componentes vectoriales ⇔ 3 i , - 2 j , 4 k → c) Magnitud de F = 32 +
( )
−2 2+42 = 5.38 t → → →d) Vector unitario en la dirección de F ⇔
e
F→ →
e
F = 1 * [3, -2, 4] = [0.55, -0.37, 0.74] 5.38 e) Cósenos directores: 3 -2 4cos α = = 0.55 cos β = = - 0.37 cos γ = = 0.74 5.38 5.38 5.38
Ejercicio #18
Dados los puntos P1 (2, -3, -4) y P2 (0, 5, -1), en metros, se pide:
Solución.-
a) Vectores de posición de P1 y P2 → →
r1 = [2, -3, -4] m; r2 = [0, 5, -1]
b) Vector de desplazamiento entre P1 y P2
→ → → δ = r2 – r1 = [0 – 2.5 – (-3), -1 – (- 4)] = [-2, 8, 3] m → c) Distancia entre P1 y P2 ⇔ δ → δ =
( )
−2 2 +82 +32 = 8.77 m Ejercicio #19Dado el punto (2, 3, -5) m, y la fuerza F1 = [0, -4, 3] t, que pasa por el punto P2 (6, -4, 2) m,
se pide: Solución.-
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 30
-a) Momento de F1 respecto del origen O (0, 0, 0)
→ → OP2 = [6, -4, 2] ⇔ r ⇔ vector de posición de P2 → → → 6 - 4 2 MO = r * F1 = 0 - 4 3 = [- 4, - 18, - 24] ton_m i j k → Magnitud de MO ⇔ MO = 30.26 ton_m → b) Momento de F1 respecto de P1 → → P1P2 = [4, -7, 7] ⇔ δ ⇔ vector de desplazamiento de P1 a P2 4 - 7 7 MP1 = δ * F1 = 0 - 4 3 = [7, - 12, - 16] ton_m i j k Donde: → → MX = 7 i → → → MY = 12 j Componentes vectoriales de Mp1 → → MZ = - 16 k
Además: Magnitud de Mp1 = Mp1 = 21.19 ton_m
Ejercicio #20
Dados los puntos P1 (2, 0, 3) m y P2 (-4, 5, 0) m que definen un eje y la fuerza F
r
= [5, 6, -2] t que pasa por P3 (0, -2, 1) m, se pide:
Solución.-
→
a) Momento de F respecto del eje ⇔ ME
→ → P1P3 = δ = [-2, -2, -2] m → → P2P3 = δ1 = [4, -7, 1] m entonces: → → → - 2 - 2 - 2 Mp1 = δ * F = 5 6 -2 = [16, - 14, - 2] ton_m i j k
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 31
→ → → 4 - 7 1
Mp2 = δ * F = 5 6 -2 = [8, 13, 59] ton_m
i j k
→ → →
Además: P1P2 = [-6, 5, -3] ⇒ P1P2 = 8.37 m, por tanto;
e
E = [-0.72, 0.6, -0.36]entonces: → → → → ME = Mp1 *
e
E o bien ME = Mp2 *e
E Es decir: ME = [16, -14, -2] * [-0.72, 0.6, -0.36] = - 19.2 ton_m o bien ME = [8, 13, 59] * [-0.72, 0.6, 0.36] = - 19.2 ton_m Ejercicio #21Con los datos del anterior ejemplo se pide: Solución.-
a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y a los ejes cartesianos
⇔ MEJES → Mp1 = [16, - 14, -2]
MEJE X = [16, 0, 0] * [i, 0, 0] = 16 ton_m
MEJE Y = [0, -14, 0] * [0, j, 0] = -14 ton_m
MEJE Z = [0, 0, -2] * [0, 0, k] = - 2 ton_m
Se nota además; que el momento de una fuerza respecto de un punto, es igual a la suma de los momentos de dicha fuerza, respecto de tres ejes ortogonales que pasan por el punto; es decir: → → → →
MP1 = MEJE X + MEJE Y + MEJE Z = [16, - 14, - 2] ton_m
1.12 PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema #1
→ →
F = [3, 4, -2] t y P (4, 0, -3) m un punto de la línea de acción de F, además un punto arbitrario P1 (5, -3, -1) m Se pide:
→
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 32
→
b) Momento de F respecto de P1
Respuesta: a) MO = [12, -1, 16] ton_m, b) Mp1 = 2 i – 8 j – 13 k ton_m
Problema #2
Los del ejercicio 1.1 y el punto arbitrario P2 (0, 4, -2) m Se pide: →
a) Momento de F respecto del eje P1 P2.
Respuesta: a) ME = - 621 ton_m
Problema #3
→ →
F = [-3, 5, 0] t y P (0, 2, 4) m un punto de la línea de acción de F, además un punto arbitrario P1 (2, 3, -1) m Se pide:
a) Momento de F respecto a tres ejes ortogonales concurrentes en P1 y paralelos a los ejes
cartesianos.
Respuesta: a) Mx = -25 ton_m; My = -15 ton_m; Mz = -13 ton_m
Problema #4
Demostrar el teorema de Varignon, para el caso del momento de una fuerza respecto de un punto.
Problema #5
Para la siguiente figura se pide determinar:
a) Los momentos de los pares C1, C2 y C3.
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 33
→ → → → → →
Respuesta: a) M1 = 6 j; M2 = -7.5 i; M3 = 4 k en ton_m, b) M1 + M2 + M3 = [-7.5, 6, 4] ton_m
Problema #6
Con los datos del problema 3 se pide: →
a) Trasladar F a una posición paralela que pase por P1.
b) Indicar la composición del nuevo sistema.
→ →
Respuesta: a) F traslada a P1 en forma paralela, b) F en P1 mas Mp1= [-25, -15, -13] ton_m
Problema #7
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 34
-Se pide: a) Resultante de fuerzas en el origen. b) Resultante de momentos.
Respuesta: a) FR = [4, 7, 9] t, b) MR = [-6, 6, 14] ton_m
Problema #8
En el sistema coplanar de la figura
Se pide:
a) Resultante del sistema.
b) Línea de acción de la resultante. →
Respuesta: a) FR = [3, 7, 0] t, b) según la recta 7x – 3y = 8
Problema #9
El sistema coplanar de la figura
ADSCRIPCION DE ESTRUCTURAS “ISOSTATICAS” Pag 35
-Se pide:
a) Resultante del sistema.
→
Respuesta: a) el par MO = [0, 0, 1] ton_m
1.13 EVALUACION DIAGNOSTICO DEL CAPITULO.
En este apartado se propone que el estudiante realice una evaluación de todo lo aprendido en este capitulo, para lo cual se necesita que responda las siguientes preguntas sin revisar el contenido del presente capitulo.
Como se encuentra el desplazamiento de un punto respecto del origen? Que es la magnitud de un vector?
Definiendo la magnitud, como se encuentra la distancia entre el origen y un punto? Como se define el momento de una fuerza con respecto a un punto?
Demostrar el teorema de VARIGNON respecto de un eje. Definir que es un par de fuerzas.
Para concluir este diagnostico se pide hallar la resultante del siguiente sistema de fuerzas.