Taller Modelo Transporte[1]

(1)

1 1

Problemas del

transporte

Taller 5 Taller 5 2 2

PROBL

PROBLEMA 8.2-1

EMA 8.2-10

0 Es

Es necesario planear el

necesario planear el sistema de energía

sistema de energía

de un

de un nuevo

nuevo edificio.

edificio. Las

Las tres

tres fuentes

fuentes

posibles de energía son electricidad, gas

natural, y una unidad de celdas solares.

Los requerimientos diarios de energía

(todos medidos en las mismas unidades) en

el edificio en cuanto a luz eléctrica,

calefactores de agua y calefactores de

ambiente son:

3 3

E

Elleeccttrriicciiddaadd 220 0 uunniiddaaddeess C

Caalleeffaaccttoorrees s dde e aagguuaa 110 0 uunniiddaaddeess Cale

Calefactfactoreores de s de ambambienientete 30 30 uniunidaddadeses

El tamaño del techo limita la unidad de celdas El tamaño del techo limita la unidad de celdas solares a 30

solares a 30 unidades unidades pero no hay pero no hay limite en lalimite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer sólo necesidades de luz se pueden satisfacer sólo comprando la energía eléctrica ( a un costo de comprando la energía eléctrica ( a un costo de $50 por

$50 por unidad). unidad). Las otras Las otras dos nedos necesidadescesidades energéticas se pueden cumplir mediante energéticas se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes. cualquier fuente o combinación de fuentes.

4 4

Electricidad

Electricidad Gas Gas natnaturalural CeldCeldas as solasolaresres

Calefactores Calefactores de agua de agua Calefactores Calefactores de ambiente de ambiente $ $ 9900 $ $ 6600 $ $ 3300 $ 80 $ 80 $ $ 5500 $ $ 9900 5 5

El objetivo es minimizar el costo total de cumplir El objetivo es minimizar el costo total de cumplir

con las necesidades de energía. con las necesidades de energía.

•• _{Formule este problema como un problema de}_{Formule este problema como un problema de}

transporte construyendo la tabla de costos y transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada.

requerimientos apropiada.

•• Utilice el método de aproximación de VogelUtilice el método de aproximación de Vogel para obtener una soluc

para obtener una solución ión BF inicial para esteBF inicial para este problema.

problema.

•• _{A partir}_{A partir de la solución}_{de la solución inicial BF, aplique en}_{inicial BF, aplique en}

forma interactiva el método simplex de forma interactiva el método simplex de transporte para obtener una solución óptima. transporte para obtener una solución óptima.

6 6 Demanda Demanda Oferta Oferta 50 50 8080 ? ? 5050 ? ? 4040 2 200 3300 ∝ ∝ ∝ ∝ ∝ ∝ ∝ ∝ 30 30 90 90 60 60 30 30 10 10 Electricidad Electricidad Gas natural Gas natural Celdas solares Celdas solares Ilumi-nación nación Calefac-tores tores agua agua Aire Aire Acondi Acondi -cionado -cionado

(2)

7

Para construir la tabla de costos y requerimientos apropiada, debemos restringir la oferta de electricidad y gas natural.

Electricidad Lo máximo que estarían

dispuestos a comprar sería 60

Gas Natural Lo máximo que estarían

dispuestos a comprar sería 40

8 Demanda Oferta 50 80 ? 50 ? 40 20 30 60 40 30 90 60 30 10 Electricidad Gas natural Celdas solares Ilumi-nación Calefac-tores agua Aire Acondi -cionado

Vemos que la oferta es mayor que la demanda y por ello debemos crear un nodo ficticio de demanda 4(F)

9

El nodo ficticio de demanda debe absorber las unidades que no se asignan.

(60+40+30) - (20+30+10) = 70 Demanda Oferta 50 80 ? ? 50 ? ? 40 ? 20 30 70 60 40 30 90 60 30 10 Electricidad Gas natural Celdas solares Ilumi-nación 4(F) Calefac-tores agua Aire Acondi -cionado 10

Es imposible obtener iluminación a partir de gas natural y celdas solares, por lo que este costo debe ser M.

Demanda Oferta 50 80 0 M 50 0 M 40 0 20 30 70 60 40 30 90 60 30 10 Electricidad Gas natural Celdas solares Ilumi-nación 4(F) Calefac-tores agua Aire Acondi -cionado

El no asignar unidades no debe costar nada.

11

Debemos obtener una

S.B.F inicial mediante el

método de Vogel

12 Diferencia por columna Demanda Oferta 50 80 0 M 50 0 M 40 0 20 30 70 60 40 30 90 60 30 10 Electricidad Gas natural Celdas solares Ilumi-nación 4(F) Calefac-tores agua Diferencia por renglón Aire Acondi -cionado M-50 30 10 0 50 50 30 M -50 20 ₄₀ Seleccionar X₁₁

=

20 Eliminar columna 1

(3)

13 Diferencia por columna Demanda Oferta 80 0 50 0 40 0 30 70 40 40 30 90 60 30 10 Electricidad Gas natural Celdas solares 4(F) Calefac-tores agua Diferencia por renglón Aire Acondi -cionado 10 0 30 80 50 30 Seleccionar X₁₄

=

40 Eliminar renglón 1 80 40 30 14 Diferencia por columna Demanda Oferta 50 0 40 0 30 30 40 30 60 30 10 Gas natural Celdas solares 4(F) Calefac-tores agua Diferencia por renglón Aire Acondi -cionado 10 0 30 50 30 Seleccionar X₂₄

=

30 Eliminar Columna 4 50 30 ₁₀ 15 Diferencia por columna Demanda Oferta 50 40 30 10 30 60 30 10 Gas natural Celdas solares Calefac-tores agua Diferencia por renglón Aire Acondi -cionado 10 30 10 10 Seleccionar X₃₂

=

10 Eliminar Columna 2 30 10 20 16 Diferencia por columna Demanda Oferta 50 40 30 10 20 Gas natural Celdas solares Diferencia por renglón Aire Acondi -cionado 10 Seleccionar X₂₃

=

10 Seleccionar X₃₃

=

20 10 20 20 17

Veamos como quedó la S.B.F Inicial

Demanda Recur-sos 50 80 0 M 50 0 M 40 0 20 30 70 60 40 30 90 60 30 10 4(F) V_j U_i Ilumi-nación Calefac-tores agua Aire Acondi -cionado Electricidad Gas natural Celdas solares 20 40 30 10 10 20 Z= 2600 18

Después de obtener una

S.B.F inicial, se verifica si

es óptima mediante la

prueba de optimalidad.

(4)

19

PRUEBA DE OPTIMALIDAD.

•_{Una S.B.F es óptima si y sólo si}

C

ij

- U

i

- V

j≥≥0 para toda i,j tal que

X

_{ij es V.N.B en la iteración}

actual

.

•_{Como el valor de}

C

_ij

- U

_i

- V

_{j debe ser cero si}

X

_{ij es}

V.B,

U

_{i y}

V

_{j satisfacen el conjunto de ecuaciones}

C

_ij

= U

_i

+ V

_{j para cada (i,j) tal que}

X

_{ij es básica.}

20 Miremos los U_i y V_j 0 50 40 0 0 50 -10 Demanda Recur-sos 50 80 0 M 50 0 M 40 0 20 30 70 60 40 30 90 60 30 10 4(F) V_j U_i Ilumi-nación Calefac-tores agua Aire Acondi -cionado Electricidad Gas natural Celdas solares 20 40 30 10 10 20 Z= 2600 21

Una S.B.F es óptima si y sólo si C_ij- U_i- V_j≥≥0 para toda i,j tal que X_{ij es V.N.B en la iteración actual}.

0 50 40 0 0 50 -10 Demanda Recur-sos 50 80 0 M 50 0 M 40 0 20 30 70 60 40 30 90 60 30 10 4(F) V_j U_i Ilumi-nación Calefac-tores agua Aire Acondi -cionado Electricidad Gas natural Celdas solares 20 40 30 10 10 20 Z= 2600 50 M-50 M-40 20 30 10 22

Cómo todos los C_ij- U_i- V_j≥≥0esta es la solución

óptima, y la mejor manera de asignar las fuentes sería:

20 unidades Iluminación Electricidad

40 unidades sin asignar

Gas Natural 10 unidades Aire acondiconado

30 unidades sin asignar

Celdas solares

10 unidades Calefactores agua 20 unidades Aire acondiconado

23

EL PROBLEMA DE LA RUTA

MINIMA

Un camión debe viajar de Nueva York a los

Angeles. Se debe formular un problema de

transporte balanceado, que pueda usarse

para encontrar la ruta de Nueva York a

Los Angeles que utiliza el mínimo costo.

Veamos 24 Nueva York 3 1 3 1 St. Louis 2 Cleveland 4 Dallas 2 2 Los Angeles 1

(5)

25

MATRIZ DE COSTOS

N.Y CL D St. L L.A Destinos

0 2 3 1 M 1+1 M M M M 0 ₄ 1 3 1 Origen M 0 1 2 1 M M 0 2 ₁ M M M 0 1 1 1 1 1 1+1 N.Y CL D St. L L.A 26 S.B.F inicial obtenida mediante el método de la esq. nor.

Origen Destino 0 3 1 M M 4 1 3 M 0 1 2 M M 0 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i 1 1 0 1 0 2 3 0 1 -1 M M M M 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A 27

Iteraciones.

Paso 1:

Se determina C

_ij

- U

_i

- V

_j

para seleccionar la

variable que entra a la base.

C

_ij

- U

_i

- V

_j

representa la tasa a la cual cambia

la función objetivo si se incrementa la V.N.B

X

_ij

.

La que entra debe tener un C

_ij

- U

_i

- V

_j

negativo (se elige el más negativo).

Veamos 28 0 3 1 M M 4 1 3 M 0 1 2 M M 0 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i M M M M 0 Origen Destino V_j N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A

En este caso entra

X

₃₃

1 1 0 1 0 1 1 1 0 -3 M-1 1 1 0 1 0 2 3 0 1 -1 M-1 M-1 M+1 M-3 M-3 M-1 -4 -1 1 1 M-4 M-2 M-1 M+1 29

Iteraciones.

Paso 2:

Al incrementar el valor de una variable

(entrarla a la base) , se genera una reacción en

cadena, de forma tal que se sigan satisfaciendo

las restricciones.

La primera V.B que disminuya su valor hasta

cero será la variable que sale.

sigue 30

Solamente existe una reacción en cadena que

incluye a la V.B entrante, y algunas V.B

actuales.

Existen celdas donadoras y celdas receptoras.

Luego para saber en cuanto se puede

incrementar la V.B entrante, se escoge el

menor valor entre las celdas donadoras y esta

es la que sale de la base (en caso de empates se

elige arbitrariamente).

(6)

(7)

37 0 3 1 M M 4 1 3 M 0 1 2 M M 0 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 0 M M 1 V_j U_i M M M M 0 1 0 0 1 1 0 M+2 -3 -2 0 -3 0 2 3 1 5 -5 Origen Destino V_j N.Y CL D St. L L.A N.Y CL D St. L L.A M+3 M+3 M+5 M+1 M+1 M+3 2 0 M M+2 M-5 M+4 1 ₃ 1 3 1 2

Solución óptima

Z=3 38

La ruta será :

St. Louis