Capitulo 5. Soluciones analíticas para problemas de flujo

(1)

Capitulo 5

Soluciones anal

í

ticas para

problemas de flujo

(2)

¾

¾ Se escriben ecuaciones gobernantes para describir Se escriben ecuaciones gobernantes para describir sistemas de flujo subterr

sistemas de flujo subterráneo porque las soluciones a áneo porque las soluciones a esas ecuaciones dicen como se comportan los sistemas esas ecuaciones dicen como se comportan los sistemas

de aguas subterr

de aguas subterráneas. Es decir, si se resuelve la áneas. Es decir, si se resuelve la ecuaci

ecuación de flujo de agua subterrón de flujo de agua subterráánea, para la carga nea, para la carga hidr

hidráulica, podemos predecir el comportamiento del áulica, podemos predecir el comportamiento del

sistema en cualquier punto del espacio, y para cualquier sistema en cualquier punto del espacio, y para cualquier

tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes

substituciones en la ley de Darcy nos permiten calcular substituciones en la ley de Darcy nos permiten calcular

la raz

la razóón de flujo en combinacin de flujo en combinacióón con la porosidad, la n con la porosidad, la velocidad del campo de flujo. Esto nos puede decir velocidad del campo de flujo. Esto nos puede decir

cuanta agua se puede extraer de alg

cuanta agua se puede extraer de algúún suministro de n suministro de agua. Tambi

agua. Tambiéén nos dice como se movern nos dice como se moverán los án los contaminantes en este sistema hidr

(3)

Se aplica a fin de calcular Simple

parametros. Ecuación gobernante (ecuación diferencial)

Metodos númericos Compleja

(elemento finito, diferencias finitas)

⎧ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ _⎨ ⎪ _⎩ ⎩

(4)

¾

Cuando se escriben ecuaciones

_{Cuando se escriben ecuaciones}

gobernantes para sistemas de flujo

subterr

á

neo, el resultado a menudo es

una ecuaci

ó

n diferencial parcial que tiene

como variables independientes, una, dos

o tres coordenadas espaciales y el tiempo

.

(5)

¾

Para alguna de estas ecuaciones el dominio en

_{Para alguna de estas ecuaciones el dominio en}

que se aplica debe ser definido, las condiciones

de frontera y las condiciones iniciales deben ser

especificadas. Debido a que la ecuaci

ó

n de flujo

subterr

á

neo envuelve segundas derivadas en el

espacio, los requerimientos para las condiciones

de frontera debe ser especificada y una

ecuaci

ó

n de frontera debe ser proporcionada en

cada punto a lo largo de toda la frontera.

(6)

¾

Para problemas transitorios, una condici

_{Para problemas transitorios, una condici}

ó

n

inicial debe ser especificada para todos

los puntos dentro del dominio. Los

problemas estacionarios no envuelven

cambios en el tiempo y por tanto no

requieren condiciones iniciales.

(7)

solo pueden ser derivadas para sistemas

Regla general para obtener con fronteras que se alineen con los ejes coordenados y para ecuaciones que tengan coeficientes constantes. una solución analítica

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ¾

¾

estas condiciones hay que tomarlas en cuenta

_{estas condiciones hay que tomarlas en cuenta}

cuando se planea obtener una soluci

(8)

Problemas de flujo

unidimensional

Secci

ó

n 5.1

(9)

Flujo unidimensional

¾

_{La consideraci}

_ó

_{n de problemas}

unidimensionales tiene

implicaciones importantes.

(10)

Flujo unidimensional

¾

Tambi

_Tambi

é

n se introducen las asunciones de

Dupuit.

(11)

Flujo unidimensional

¾

Tambi

_Tambi

é

n se introducen ideas respecto a la

recarga del nivel hidr

á

ulico y fugas a

trav

é

s de acuitardos, as

í

como tambi

é

n

una introducci

ó

n del flujo radial hacia

pozos de bombeo.

(12)

Experimento de Darcy

(13)

Experimento de Darcy

¾

¾ ConsidConsidéérese la ecuacirese la ecuacióón de flujo simple, estado n de flujo simple, estado

estacionario, flujo unidimensional en un medio poroso estacionario, flujo unidimensional en un medio poroso

homog

homogéneo de longitud finita con condiciones de carga éneo de longitud finita con condiciones de carga especificada en cada extremo del dominio. La ecuaci especificada en cada extremo del dominio. La ecuación ón

diferencial gobernante se deriva de la ecuaci

diferencial gobernante se deriva de la ecuación siguiente ón siguiente

(

( , )

)

s

(

( )

,

)

0

zz

K

h z t

S

h z t

z

t

∂

_⎛

∂

_⎞

∂

−

_⎜

_⎟

+

=

∂

_⎝

∂

_⎠

∂

(14)

Experimento de Darcy

¾

la cual para un medio homog

_{la cual para un medio homog}

é

neo sin flujo

lateral se reduce a:

2 2

0 , 0

( 0 , )

( ) ,

( , )

( ) .

L R

h

K

x

l

x

h

t

h

t

h l t

h

t

⎛

_∂

⎞

−

_⎜

_⎟

=

<

∂

⎝

⎠

=

(15)

¾

En esta ecuaci

_{En esta ecuaci}

ó

n

h

_L_L

y h

_R_R

son valores de la

carga hidr

á

ulica en las fronteras izquierda

y derecha respectivamente. Si estos

valores no cambian en el tiempo,

entonces la soluci

ó

n h solo es funci

ó

n de

x

, por tanto, la parcial en la ecuaci

ó

n ser

á

una derivada total. La ecuaci

ó

n es

entonces una ecuaci

ó

n diferencial

ordinaria. En otra forma h seria una

ecuaci

(16)

¾

En cualquier caso la soluci

_{En cualquier caso la soluci}

ó

n es una l

í

nea recta

en el espacio los dos valores de frontera.

(

( )

( ))

( , )

_L

( )

h t

R

h t

L

h x t

h t

x

l

−

=

+

(17)

Experimento de Darcy

¾

N

_N

ó

tese que esta ecuaci

ó

n con condiciones de

frontera invariantes en el tiempo corresponden

al experimento de Darcy donde el flujo

unidimensional en una columna de dimensi

ó

n

finita fue dada para valores de carga hidr

á

ulica

fija en las fronteras inferior y superior. En efecto,

el conocimiento de esta soluci

ó

n anal

í

tica nos

permite implementar experimentos destinados a

la estimaci

ó

n de par

á

metros. En este caso el

desarrollo de la prueba en la columna nos

permite el calculo de la conductividad.

(18)

Experimento de Darcy

¾

Dada la soluci

_{Dada la soluci}

ó

n apara la carga, se deriva y se

inserta en la ecuaci

ó

n de Darcy donde basados

en la raz

ó

n de flujo, la conductividad puede ser

determinada de la ecuaci

ó

n de Darcy puesta en

forma distinta

.

(

_R

_L

)

Q

Ql

K

h

_{A h}

_h

A

x

=

∂

₋

∂

(19)

Experimento de Darcy

¾

¾ Dado que la soluciDado que la solución para el estado estacionario ón para el estado estacionario asociado a al experimento de Darcy resulta

asociado a al experimento de Darcy resulta úútil, es til, es deseable saber como se llega a este estado.

deseable saber como se llega a este estado. Consid

Considéérese una columna de suelo en la cual no haya rese una columna de suelo en la cual no haya flujo inicialmente( implica n es constante en el espacio). flujo inicialmente( implica n es constante en el espacio).

Entonces en alg

Entonces en algún momento se le imponen condiciones ún momento se le imponen condiciones de frontera las cuales inducen un flujo a trav

de frontera las cuales inducen un flujo a travéés de la s de la columna. Si deseamos escribir la respuesta transitoria columna. Si deseamos escribir la respuesta transitoria

de este sistema a las condiciones de frontera impuestas, de este sistema a las condiciones de frontera impuestas,

es necesario resolver la versi

es necesario resolver la versióón transitoria de la n transitoria de la ecuaci

(20)

Experimento de Darcy

¾

¾ Asumiendo homogeneidad espacial de los parAsumiendo homogeneidad espacial de los paráámetros, metros, una columna unidimensional sin flujo en las fronteras en una columna unidimensional sin flujo en las fronteras en

los lados, una condici

los lados, una condición de frontera e carga en dos ón de frontera e carga en dos extremos de la columna, el sistema de ecuaciones extremos de la columna, el sistema de ecuaciones

gobernantes toman la forma gobernantes toman la forma

2 2 0 , 0 , 0 ( 0 , ) ( ) , ( , ) ( ) , ( , 0 ) ( ) s L R i n i h h S K x l t t x h t h t h l t h t h x h x ∂ ₋ ∂ ₌ _< _< _> ∂ ∂ = = =

(21)

Experimento de Darcy

¾

¾ Considere un flujo transitorio ocasionado por un cambio Considere un flujo transitorio ocasionado por un cambio instant

instantáneo de la carga en una de las fronteras, lo cual áneo de la carga en una de las fronteras, lo cual sirve para perturbar el estado estacionario inicial de la sirve para perturbar el estado estacionario inicial de la

columna. Si la condici

columna. Si la condicióón inicial esta dada por h=0, n inicial esta dada por h=0,

podemos cambiar una de las condiciones de frontera en podemos cambiar una de las condiciones de frontera en

el tiempo t=0 para inducir el flujo. el tiempo t=0 para inducir el flujo.

2 2 2 1 (0 , ) . ( 0 ), ( , ) 0 ( , 0 ) 0 2 ( , ) ( )[1 s ] L L R in i kn t S l L n h t h cte h h L t h h x h h n x h x t S en o e n l π π π +∞ = = = > = = = = =

∑

−

(22)

Experimento de Darcy

¾

La figura 5.1 muestra

_{La figura 5.1 muestra}

la carga hidr

á

ulica

como funci

ó

n de su

localizaci

ó

n espacial

para tres tiempos

distintos.

¾

usando los

_{usando los}

par

á

metros

h

_L_L

=1.0,

h

_R_R

=in=0, l=1 y

K/S

(23)

Experimento de Darcy

¾

¾ El primer tiempo corresponde a un tiempo inicial, donde El primer tiempo corresponde a un tiempo inicial, donde la presi

la presión ha comenzado a dirigirse hacia el dominio ón ha comenzado a dirigirse hacia el dominio pero permanece lejos de la frontera derecha.

pero permanece lejos de la frontera derecha.

¾

¾ El segundo tiempo al cual nos referiremos como tiempo El segundo tiempo al cual nos referiremos como tiempo intermedio, muestra la influencia de ambas condiciones intermedio, muestra la influencia de ambas condiciones

de frontera s en la soluci

de frontera s en la solución, pero la solución, pero la solucióón aun esta n aun esta cambiando con el tiempo.

cambiando con el tiempo.

¾

¾ el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo final, en el el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo final, en el cual estaremos llegando a estado estacionario. Para cual estaremos llegando a estado estacionario. Para

este problema, el estado estacionario es una l

este problema, el estado estacionario es una líínea recta nea recta en el espacio conectando los dos valores de frontera.

(24)

Experimento de Darcy

¾

¾ Para la soluciPara la solución en el tiempo final, se tiene una ón en el tiempo final, se tiene una situaci

situación de estado estacionario que reduce a la ón de estado estacionario que reduce a la ecuaci

ecuación gobernante a una simple ecuación gobernante a una simple ecuacióón diferencial n diferencial ordinaria Para la soluci

ordinaria Para la solucióón para en el tiempo inicial, n para en el tiempo inicial, tambi

tambiéén podrn podrííamos usar una simplificaciamos usar una simplificacióón que envuelve n que envuelve la observaci

la observación que la condición que la condicióón de frontera en el lado n de frontera en el lado derecho no tiene injerencia alguna en la soluci

derecho no tiene injerencia alguna en la solución. para ón. para tales casos a menudo se trata al dominio como si la tales casos a menudo se trata al dominio como si la

frontera derecha estuviera infinitamente lejos, de donde frontera derecha estuviera infinitamente lejos, de donde

se dice que el dominio es semi

se dice que el dominio es semi--infinito, lo que significa infinito, lo que significa que solo se tiene una frontera bien definida, y la

que solo se tiene una frontera bien definida, y la segunda esta muy lejos y no influye en la soluci

segunda esta muy lejos y no influye en la solucióón. En n. En este caso la soluci

(25)

Experimento de Darcy

¾

En el caso de la aproximaci

_{En el caso de la aproximaci}

ó

n semi

-

infinita al

dominio, la ecuaci

ó

n gobernante toma la forma:

2 2 0 , 0 , 0 ( 0 , ) , li m ( , ) , li m 0 , ( , 0 ) s L i n i x x i n i h h S K x t t x h t h h x t h h x h x h → + ∞ → + ∞ ∂ ₋ ∂ ₌ _< _{< + ∞} _> ∂ ∂ = = ∂ ₌ ∂ =

(26)

Experimento de Darcy

¾

Nuevamente se puede derivar una soluci

_{Nuevamente se puede derivar una soluci}

ó

n

anal

í

tica para este caso. Para el caso especifico

que se esta considerando, se encuentra que la

soluci

ó

n para la propagaci

ó

n de la carga en un

dominio semi

-

infinito esta dada por:

( , )

(

)

(

)

4(

/

)

ini L ini s

x

h x t

h

erf

K S t

−

=

−

(27)

Experimento de Darcy

¾

donde erfc es la funci

_{donde erfc es la funci}

ó

n complementaria de

error, se define por

:

2

2 ( )

z

x

erfc x

e

dz

π

+∞ −

=

∫

(28)

Experimento de Darcy

(29)

Flujo regional unidimensional

¾

Como segundo ejemplo considere el flujo

_{Como segundo ejemplo considere el flujo}

en el nivel

freatico

un acu

í

fero, sujeto a

recarga por encima. Consideraremos una

secci

ó

n vertical transversal bidimensional

y apl

í

quese un promedio vertical. Para

obtener una ecuaci

ó

n gobernante

unidimensional.

(30)

Flujo regional unidimensional

¾

¾ En la figura se muestra En la figura se muestra un esquema del sistema, un esquema del sistema,

el cual muestra una el cual muestra una

secci

sección transversal ón transversal vertical con variables vertical con variables

independientes x y z. las independientes x y z. las fronteras se ubican en fronteras se ubican en x=0 y en x= l, por x=0 y en x= l, por simplicidad asumimos simplicidad asumimos que el acu

que el acuífero esta ífero esta debido de una formaci debido de una formacióón n

impermeable (en z=0). impermeable (en z=0).

(31)

Flujo regional unidimensional

¾

La frontera superior corresponde a al nivel

_{La frontera superior corresponde a al nivel}

fre

á

tico, cuya ubicaci

ó

n necesita ser

determinada como parte de la soluci

ó

n. La

condici

ó

n de frontera apropiada para el

nivel fre

á

tico se mostr

ó

en la secci

ó

n 4.4

debido a la complejidad de esa condici

ó

n

de frontera, buscaremos simplificaciones

que permitan obtener una soluci

ó

n

anal

(32)

Flujo regional unidimensional

¾

¾ ConsidConsidérese que la razérese que la razóón de infiltracin de infiltracióón es conocida y n es conocida y sup

supóngase constante tanto en espacio como en tiempo, óngase constante tanto en espacio como en tiempo, que corresponde a la raz

que corresponde a la razóón n de infiltracin n de infiltracióón promedio ( n promedio ( basado en la precipitaci

basado en la precipitacióón anual promedio). Dado que n anual promedio). Dado que este sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos este sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos

promedio vertical para reemplazar la ecuaci promedio vertical para reemplazar la ecuación ón

gobernante bidimensional con una ecuaci gobernante bidimensional con una ecuación ón

unidimensional que ubique el nivel hidr

unidimensional que ubique el nivel hidráulico dada la áulico dada la introducci

introduccióón apropiada de la produccin apropiada de la produccióón especifica, n especifica, modificaci

modificacióón de la transmisividad que incluya el grosor n de la transmisividad que incluya el grosor saturado, y la inclusi

saturado, y la inclusión de la recarga como termino ( ón de la recarga como termino ( fuente) en la ecuaci

(33)

Flujo regional unidimensional

¾

bajo la suposici

_{bajo la suposici}

ó

n de flujo horizontal y estado

estacionario la ecuaci

ó

n gobernante toma la

forma

. , 0 , (0, ) , ( , ) L R d d h d d h T K h N x l d x d x d x d x h t h h l t h ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − _⎜ _⎟ = − _⎜ _⎟ = < < ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =

(34)

Flujo regional unidimensional

¾

en esta ecuaci

_{en esta ecuaci}

ó

n la barra encima significa

cantidad verticalmente promediada, la raz

ó

n de

recarga esta dada por N, y las condiciones de

frontera izquierda y derecha se toman como

valores de carga fijos que son constantes en el

tiempo. N

ó

tese que la transmisividad es una

funci

ó

n de la carga hidr

á

ulica. Dado que el

grosor del acu

í

fero depende de la localizaci

ó

n

del nivel hidr

á

ulico, y esa localizaci

ó

n depende

de la carga hidr

(35)

Flujo regional unidimensional

¾

¾ Esta dependencia de la transmitividad sobre la variable Esta dependencia de la transmitividad sobre la variable dependiente (carga) hace que la ecuaci

dependiente (carga) hace que la ecuación sea noón sea no--lineal. lineal. Muchas ecuaciones no

Muchas ecuaciones no--lineales no tienen solucilineales no tienen solucióón n anal

analítica, pero en este caso la soluciítica, pero en este caso la solucióón pede ser n pede ser

obtenida, para hacerlo, observe que el lado izquierdo de obtenida, para hacerlo, observe que el lado izquierdo de

la ecuaci

la ecuación anterior se puede reón anterior se puede re--escribir (quitando las escribir (quitando las barras y considerando K constante) como

barras y considerando K constante) como

2

2 .

2 d

dh

K d h

K

h

dx

⎛

⎞

−

_⎜

_⎟

= −

⎝

⎠

(36)

Flujo regional unidimensional

¾

¾ por lo tanto, la ecuacipor lo tanto, la ecuación gobernante nos dice que el ón gobernante nos dice que el cuadrado de la carga hidr

cuadrado de la carga hidrááulica tiene una segunda ulica tiene una segunda derivada constante en el espacio, proporcional a la derivada constante en el espacio, proporcional a la

raz

razóón de infiltracin de infiltracióón N por tanto la solucin N por tanto la solucióón para h(x) es n para h(x) es un polinomio cuadr

un polinomio cuadráático en x. La forma de la solucitico en x. La forma de la solucióón es n es f

fáácilmente determinada y es:cilmente determinada y es:

2

2 ( )

N

(

)

(

_R

_L

)

x

_L

h x

x l

x

h

K

l

(37)

Flujo regional unidimensional

¾

¾ como ejemplo considcomo ejemplo considéérese el caso de una isla extensa y rese el caso de una isla extensa y esta limitada a la derecha y a la izquierda por las

esta limitada a la derecha y a la izquierda por las

condiciones , donde B es la distancia entre el fondo del condiciones , donde B es la distancia entre el fondo del

acu

acuíífero y el nivel del mar. Entonces la soluciófero y el nivel del mar. Entonces la solución para n para h(x) toma la forma: h(x) toma la forma:

2 ( )

N

(

)

h x

x l

x

B

K

=

− +

(38)

Flujo regional unidimensional

¾

se puede ver que sin recarga no hay nada que

_{se puede ver que sin recarga no hay nada que}

incite al flujo y la soluci

ó

n es simplemente

h(x)=B. Con recarga la soluci

ó

n se puede re

-

-escribir como:

escribir como:

2 2

( )

[ ( )

][ ( )

]

N

(

)

h x

B

h x

B h x

B

x l

x

K

−

=

−

+

=

−

(39)

Flujo regional unidimensional

¾

¾ De esta soluciDe esta solución se obtienen dos observaciones: la ón se obtienen dos observaciones: la primera; la soluci

primera; la solución es simón es siméétrica respecto del punto trica respecto del punto

medio del dominio (x= l/2), que es donde se encuentra el medio del dominio (x= l/2), que es donde se encuentra el

nivel m

nivel máximo del nivel freáximo del nivel freático. Esto es porque las dos ático. Esto es porque las dos condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces condiciones de frontera tienen el mismo valor. Entonces

el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye el agua se infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye hacia fuera horizontalmente, de la mitad del dominio hacia fuera horizontalmente, de la mitad del dominio hacia las fronteras izquierda y derecha. La segunda hacia las fronteras izquierda y derecha. La segunda

observaci

observacióón, es que cuando el incremento en la carga h n, es que cuando el incremento en la carga h sobre B es peque

sobre B es pequeño respecto del grosor de B, la no ño respecto del grosor de B, la no linealidad del problema no es significativa y la

linealidad del problema no es significativa y la

transmisividad puede ser razonablemente aproximada transmisividad puede ser razonablemente aproximada por . esto puede ser afirmado representando la carga por . esto puede ser afirmado representando la carga

como como

(40)

Flujo regional unidimensional

¾

Entonces cuando , la carga h no difiere mucho

_{Entonces cuando , la carga h no difiere mucho}

del grosor de B. en ese caso t

é

rminos con e2 ,

se pueden despreciar porque son muy

peque

ñ

os. la sustituci

ó

n de h en la soluci

ó

n da

[

][

] [ ][

]

[

]

2 2 2 2

( )

2

2 2 (

)

2 ( )

(

)

h x

B h x

B

N

B

B h x

B

x l

x

K

ε

−

+

=

+

=

+

≈

=

−

=

−

(41)

Flujo regional unidimensional

¾

La cual resuelta para h(x) da

_{La cual resuelta para h(x) da}

( )

(

)

2 N

h x

B

x l

x

KB

= +

−

(42)

Flujo regional unidimensional

(43)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Como ejemplo final de soluciones

_{Como ejemplo final de soluciones}

anal

í

ticas en una dimensi

ó

n, consid

é

rese

el caso de flujo radial a un pozo en un

acu

(44)

Flujo en coordenadas radiales

¾

El dominio del medio poroso comienza en el

_{El dominio del medio poroso comienza en el}

radio del pozo denotado como r

_w_w

, y se extiende

hacia el radio exterior denotado por r

_ext_ext

.

¾

Se asume simetr

_{Se asume simetr}

í

a radial, entonces no hay

variaci

ó

n en la carga hidr

á

ulica con la variaci

ó

n

angular, el promedio vertical es aplicado.

¾

(45)

Flujo en coordenadas radiales

¾

En base a la ecuaci

_{En base a la ecuaci}

ó

n

2 * 2

1 ( , )

( , )

( ( , ))

_i

( , )

0 T

h r t

S

h r t

q r t

Q

r

r r

t

⎛

∂

⎞

∂

+

−

+

=

⎜

_∂

⎟

_∂

⎝

⎠

(46)

Flujo en coordenadas radiales

¾

La ecuaci

_{La ecuaci}

ó

n gobernante de flujo escrita en

coordenadas radiales y bajo condiciones

estacionarias toma la forma:

0,

_w

_ext

h

T

r

∂

_⎛

∂

_⎞

−

_⎜

_⎟

=

< <

∂

_⎝

∂

_⎠

(47)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Para resolver esta ecuaci

_{Para resolver esta ecuaci}

ó

n deben especificarse

las condiciones de frontera interior y exterior.

Para el caso de condiciones de carga fijas

,

.

( )

(

)

w

ext

h r

h

h r

h

=

(48)

Flujo en coordenadas radiales

¾ ¾

la soluci

_{la soluci}

ó

n es un

logaritmo con la

siguiente forma:

ln(

)

( )

(

)

ln(

)

w w ext w ext w

r

h r

h

r

=

+

−

(49)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Si se da la raz

_{Si se da la raz}

ó

n de flujo en el pozo, la

condicione de frontera en el interior es una

condici

ó

n de flujo, la cual puede ser re

-

escrita

como

(2

)

w

r r

h

KB

r

Q

r

π

=

∂

⎛

⎞

₌

⎜

_∂

⎟

⎝

⎠

(50)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Con lo cual la soluci

_{Con lo cual la soluci}

ó

n toma la forma:

( )

ln

2 w

ext

Q

r

h r

h

T

r

π

=

−

(51)

Flujo en coordenadas radiales

¾

En el caso de dos condiciones de carga fijas la

_{En el caso de dos condiciones de carga fijas la}

raz

ó

n esta dada por

2 ln

ext w ext w

h

T

r

π

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

(52)

Flujo en coordenadas radiales

¾

En el caso de una raz

_{En el caso de una raz}

ó

n de flujo dada en

el pozo, la raz

ó

n total de flujo hacia el

mismo para alg

ú

n radio r esta dada por

Q

(53)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Esto es consistente con la ecuaci

_{Esto es consistente con la ecuaci}

ó

n gobernante,

la cual establece que el flujo total en la direcci

ó

n

radial no varia con un cambio en la coordenada

radial;

2 rT

h

0 r

π

r

∂

_⎛

∂

_{⎞ =}

⎜

⎟

∂

_⎝

∂

_⎠

(54)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Esto es consistente con un simple

_{Esto es consistente con un simple}

razonamiento f

í

sico, en el sentido de que

en alg

ú

n lugar en donde no haya fuentes

o sumideros dentro de alg

ú

n dominio, los

flujos entrantes y salientes se atribuyen a

las fronteras. Por tanto , dentro del

dominio, en estado estacionario, la raz

ó

n

de flujo total debe ser constante para

alg

(55)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Que forma tendr

_{Que forma tendr}

í

a una fuente o sumidero en

este caso radial y cuales serian las

implicaciones. Una posibilidad seria tener

recarga como en el caso anterior. Pero en el

caso de un acu

í

fero confinado, a menudo se

tiene fluido fluyendo hacia o desde un acu

í

fero

v

í

a goteo hacia o desde un acu

í

fero adyacente

a trav

é

s de un acuitardo que separa a los dos

acu

í

feros. Debido a la ley tangente se considera

que el flujo en un acuitardo esencialmente

vertical y en un acu

(56)

Flujo en coordenadas radiales

¾

¾ Si se considera que las fugas de agua a travSi se considera que las fugas de agua a travéés de un s de un acuitardo como debidas a un decremento en la carga acuitardo como debidas a un decremento en la carga

en el acu

en el acuífero causado por bombeo de un pozo en ífero causado por bombeo de un pozo en ese acu

ese acuíífero, entonces bajo la suposicifero, entonces bajo la suposicióón de carga n de carga constante en el acu

constante en el acuíífero encima del acuitardo y flujo fero encima del acuitardo y flujo estacionario tanto en el acuitardo como en el

estacionario tanto en el acuitardo como en el acu

acuíífero, se podrfero, se podría escribir la ecuaciía escribir la ecuacióón para el flujo n para el flujo en el acuitardo como en el acuitardo como i i i 2 2 0, , ( ) ( ), ( ) _encima h K B z B B z h B h r h B B h ∂ − = < < + ∂ = + =

(57)

Flujo en coordenadas radiales

¾

donde la carga hidr

_{donde la carga hidr}

á

ulica en el acuitardo se

denota con , la conductividad hidr

á

ulica en el

acuitardo se denota con y el grosor del

acuitardo con . N

ó

tese que la dependencia

radial viene de la condici

ó

n de frontera del

fondo, la cual sirve para acoplar el flujo en el

acuitardo con la carga del fondo del acu

í

fero

(h(r)). No hay derivadas de con respecto a r en

la ecuaci

ó

n dado que se considera flujo vertical

en el acuitardo.

(58)

Flujo en coordenadas radiales

¾

La soluci

_{La soluci}

ó

n de esta ecuaci

ó

n es simple y esta

dada por:

i

( , )

( ) (

_cima

( ))

z

B

h r z

h r

h

h r

B

−

=

+

−

(59)

Flujo en coordenadas radiales

¾

La derivada de esta ecuaci

_{La derivada de esta ecuaci}

ó

n da el flujo

volum

é

trico a trav

é

s del acuitardo

i

i (

cima

( ))

z

K

q

h

h r

B

= −

−

(60)

Flujo en coordenadas radiales

¾

dado que la cantidad de agua que sale de

_{dado que la cantidad de agua que sale de}

la base del acuitardo es la misma que la

cantidad de agua que entra por parte

superior del acu

í

fero esta dada por la

ecuaci

(61)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Esto debe aparecer en la ecuaci

_{Esto debe aparecer en la ecuaci}

ó

n gobernante

para el acu

í

fero, de forma tal que la ecuaci

ó

n

gobernante para el acu

í

fero se transforma en:

i

i (

cima

)

0,

w sal

h

K

T

r

h

r

B

∂

_⎛

∂

_⎞

−

_⎜

_⎟

−

− =

< <

∂

_⎝

∂

_⎠

(62)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Dado que esta ecuaci

_{Dado que esta ecuaci}

ó

n es mas

complicada que las que se han resuelto

hasta el momento, las soluciones

anal

í

ticas pueden ser obtenidas para h(r)

por medio de series, espec

í

ficamente

Bessel.

(63)

Flujo en coordenadas radiales

¾

Una observaci

_{Una observaci}

ó

n interesante es que t

é

rminos

para fuentes internas ( goteo), significa que la

importancia de las fronteras externas decrecen,

hasta el limite de un dominio semi

-

infinito, toda

el agua que suministra al pozo viene de goteo.

Por tanto soluciones significativas pueden ser

derivadas en dominios semi

-

infinitos cuando un

termino de goteo esta presente, esto no es

cierto en ausencia de tales fuentes debido a que

todo el suministro debe venir de la frontera, y

para dominios semi infinitos esto conduce a

cargas que no est

á

n limitadas, y por tanto no

tiene significado practico

(64)

Flujo en coordenadas radiales

¾

En el caso semi

_{En el caso semi}

-

infinito, la ecuaci

ó

n

gobernante y las condiciones de frontera

apropiadas pueden ser escritas como

(65)

Flujo en coordenadas radiales

i i 2 ( ) ( ) 0, , (2 ) lim ( ) lim ( ) 0 w cim cim w w r r sal r r h h d dh K d dh r h h r r r dr dr KBB dr dr dh KB r Q dr h r h dh r dr λ π = →∞ →∞ − ⎛ ⎞₊ _{− =} ⎛ ⎞₊ ₌ _{< < ∞} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ₌ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = =