C3.- Comportamiento en Flexion

(1)

Ing. Omart Tello Malpartida

CURSO

CONCRETO ARMADO I

Comportam

iento

en fl

exión

de Vig

as.-

Rango

Elásti

co e Inelás

tico.-

Estado E

lástico

no Agrie

tado

(EENA

).-

Estado

Elásti

co Agri

etado

(EEA)

.

Introducción

Viga simplemente apoyada som

Viga simplemente apoyada sometida a cargas concentradasetida a cargas concentradas b b

h h

(2)

Introducción

Si las cargas concentradas se incrementan, la zona de estudio

(flexión pura), atraviesa las siguientes etapas:

Concreto Armado I Ing. Omart Tello Malpartida Variación de los esfuerzos y deformaciones con el incremento del momento aplicado

RANGO ELASTICO (METODO DE SERVICIO) RANGO INELASTICO (METODO DE ROTURA) EENA EEA

DISEÑO EN SERVICIO

(rango elástico)

Sección sin fisurar (a) La carga externa es pequeña, los esfuerzos de compresión y de tracción en la sección no superan la resistencia del concreto, no se presentan fisuras. Sección fisurada (b) Se alcanza el denominado momento critico (Mcr), bajo el cual se desarrollan las primeras fisuras.

Sección fisurada (c) El concreto al agrietarse no resiste esfuerzos a tracción y este es absorbido íntegramente por el refuerzo.

La sección pierde rigidez pues su momento de inercia disminuye, esto ocasiona que las deflexiones sean mayores, en esta etapa el concreto tiene una distribución de esfuerzos lineal.

Conforme aumentan las cargas, las fisuras se van ensanchando y se dirigen al eje neutro. Si se retira las carga repentinamente, las fisuras se cerraran, pero si el elemento se recarga estas reaparecerán rápidamente. Esfuerzos Permisibles en el Rango Elástico: Concreto: f ct= f r= 2√f´c f cc= 0.5 f´c Acero: f _s= 0.5 fy

EENA

EEA

(3)

DISEÑO EN ROTURA

(rango inelástico)

Sección sin fisurar (d) El refuerzo alcanza el esfuerzo de fluencia, aunque el concreto no llega a su máxima resistencia. La distribución de esfuerzos en el concreto adoptan una

distribución aproximadamente parabólica.

Concreto Armado I Ing. Omart Tello Malpartida Sección fisurada (e)

Conforme se incrementa la carga, la deflexión se incrementa rápidamente y las fisuras se ensanchan, el acero entra en la fase de endurecimiento por

deformación y finalmente el concreto falla por aplastamiento.

Conforme aumentan las cargas, las fisuras se van ensanchando y el eje neutro se desplaza hacia arriba. Si se retira las carga repentinamente, las fisuras no se cerraran.

Esfuerzos de flexion en vigas

Existen tres estados:

Estado 1 : EENA.

No requiere refuerzo

en tracción

Estado 2: EEA

(Diseño en Servicio)

Estado 3: En

condiciones Ultimas.

(Diseño en Rotura)

R A N G O I N E L A S T I C O R A N G O E L A S T I C O

(4)

Estado Elástico No Agrietado (EENA)

 La sección es analizada de acuerdo a la teoría de vigas homogéneas

elásticas. (concreto : fct< fr, fcc< 0.50f’c, Acero : fs< 0.5 f y)

 La sección de concreto armado (heterogénea) es remplazada para el

análisis por una sección equivalente de concreto (homogénea) denominada “sección trasformada”, donde el área de refuerzo se sustituye por un área equivalente de concreto [(n-1) As], ubicada en el mismo nivel del acero

Concreto Armado I Ing. Omart Tello Malpartida

SECCION TRANSFORMADA EN VIGAS CASO B SECCION REAL CASO A Sección Transformada At= Ac+n As Sección Transformada At= Ag+(n-1) As Sección Real A_s d

Para pequeñas cargas:

Calculo de la relación modular “n”



Acero grado 60

: Es = 2x10

6

k/cm

2

,



Concreto armado

: Ec = 15000

√

f´c Kg/cm

2

n = Relación modular = E

_s

/ E

_c

f’c (k/cm

2

₎

175

210

280

350

420

560 n

10

9

8

7

6

5

(5)

Estado Elástico Agrietado (EEA)

 Concreto:

Esfuerzo Compresión por flexión : fcc< 0.50f’c (Rango Elástico)

Esfuerzo Tracción por flexión : fct> fr (Agrietado)  Refuerzo:

Esfuerzo en tracción (f_s):

Es calculado por equilibrio f_s< 0.5f_y (Rango Elástico)

Sección Transformada At= Ac+n As Sección Real E.N

Ejemplo: EENA

25 d = 59 cm. h = 65 cm.

A

_s f’c = 210 k/cm 2 fy = 4200 k/cm 2 As = 3 φ 1” M(+) _{= 5.5 t-m = 550,000 k-cm}

 En la sección de concreto armado indicado en la figura,

calcular los esfuerzos en el concreto y el acero, cuando se aplica el momento flector de 5.5 t-m.

6 cm.

Centroide del grupo de varillas

(6)

Sección Transformada

n A _s 25 d = 59 cm. h = 65 cm. (n-1) A _s 25 h = 65 cm. d = 59 cm.

As = 3

φ

1” = 3 ( 5.1 cm

2

)= 15.3 cm

2

(n-1) As =8 (15.3 cm

2

_{) = 122.4 cm}

2

Calculo de eje neutro (E.N)

25

d = 59 cm. h = 65 cm.

(n-1) As = 122.4 cm 2

y

Elem. A i (cm 2 ) Y i (cm) A i .Y i (cm 3 )

1 25x65=1625 32.5 52812.5 2 122.4 6 734.4 1747.4 53546.9 6 cm. 53546.90 1747.4

.

i i i

A Y

30.64 cm

A

=

∑

=

∑

E.N

(7)

Calculo de I

_E.N

25

d = 59 cm. h = 65 cm.

(n-1) As = 122.4 cm 2

y

Elem. I i (cm 4 ) d =│Y-Y i │ A i .d 2 (cm 4 )

1 25x65 3 _{/12 = 572135.42} _{32.5-30.64=1.86} _1625(1.86)2 ₌ 5621.85 2 0 30.64-6=24.64 122.4(24.64) 2 ₌ 74312.66 572135.42 79934.51 6 cm. 2 . . .

.

572,135.42 79,934.51

E N i i E N 4 E N

I

A d

I

652,069.93 cm

=

+

=

+

=

∑ ∑

E.N

Esfuerzos en el concreto

. . 2 c cc 4 2 t ct 4 2 2 <0.5f'c=0.5(210)=105 kg/cm M Y 550000 k-cm x 34.36 cm f =28.58 k/cm I 652069.93 cm M Y 550000 k-cm x 30.64 cm f =25.84 k/cm 2. I 652069.93 cm

<

f'c=2 210=28.98 kg/cm

=

25 d = 59 cm. h = 65 cm. (n-1) As = 122.4 cm 2 30.64 6 cm. 34.36 E.N

f

_cc

=

28.58 k/cm 2 f _cs

f

_ct

=

25.84 k/cm 2 ! Rango Elástico ¡ ! No Agrietado ¡ 24.64

(8)

Esfuerzos en el acero

d = 59 cm.

30.64 34.36 E.N

f

_cc

=

28.58 k/cm 2 f _cs= 20.78 k/cm 2

f

_ct

=

25.84 k/cm 2 ! Rango Elástico ¡ 24.64 2 cs 2 cs f 25.84 k/cm = 24.64 cm 30.64 cm f = 20.78 k/cm 25 h = 65 cm.

A

_s 6 cm. Esfuerzos en la Sección Transformada de concreto Sabemos. f _s= n. f _c f _s= 9 ( 20.78 k/cm 2 ₎ f _s= 187.02 k/cm 2 _{< 0.5 f} y =0.5 ( 4200 k/cm 2 ) = 2100 k/cm 2

Estado Elástico Agrietado (EEA)

 El esfuerzo de tracción por flexión en el concreto excede el valor admisible [fr = 2 f’c], por lo tanto se encuentra agrietada en la zona en tracción

 El esfuerzo en compresión por flexión en el concreto no excede del admisible [0.5 f’c], por lo tanto se encuentra en el rango elástico.

 En la zona en tracción, como el concreto esta agrietado, el refuerzo colocado absorte íntegramente el esfuerzo en tracción.

Estado Elástico y la Sección Agrietada

(9)

Calculo de Eje Neutro (E.N)

. 2 2 2 0 . . ( ) 2 ( ) . . . (1 ) 2 . . . (1 ) 2 2. . (1 ) . E N M Kd b Kd n As d Kd Kd b n As d K bd K n As K As K n K bd = ⎡ ⎤₌ ₋ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − = − ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟ − ⎝ ⎠

∑

A _s b d h n A _s b K.d d E.N f _c T = f _s. A _s 2 2 2 2. . .(1 ) (2. . ) 2 ( . ) 2( . . . ) . 0

Haciendo: ρ= As: C uantia de acero en t

K n K K n raccion b. K n n n n d K ρ ρ ρ ρ ρ ρ = + = − + − − =

Calculo de esfuerzos

b d h y = K.d/3 f _c J.d = d- K.d/3 J = 1- K/3 K.d _{C = (Kd)(f} c ).b/2 n A _s K.d T = f s . A s f _c C = (Kd)(f _c ).b/2 T = f s . A s

Σ

M

_c

= 0

M = T. Jd = (As.fs)Jd

fs = M/As. Jd

Σ

M

_T

= 0

M = C. Jd = (Kd.fc.b/2).Jd

fc = 2M/Kd. Jd.b

M

(10)

Ejemplo: EEA

25 d = 59 cm. h = 65 cm.

A

_s f’c = 210 k/cm 2 fy = 4200 k/cm 2 As = 3 φ 1” M(+) _{= 11 t-m = 11 x 10}5_k-cm

 En la sección de concreto armado indicado en la figura,

calcular los esfuerzos en el concreto y el acero, cuando se aplica el momento flector de 11 t-m.

6 cm.

Centroide del grupo de varillas

Sección Transformada

n A _s 25 d = 59 cm. h = 65 cm.

As = 3

φ

1” = 3 ( 5.1 cm

2

_{)= 15.3 cm}

2

n. As = 9 (15.3 cm

2

_{) = 137.7 cm}

2 As b d h n A _s K.d

(11)

Calculo de Eje Neutro (K.d):

2 2 2 2. . .(1 ) (2. . ) 2 ( . ) 2( . . . ) . 0

Haciendo: ρ= As : Cuantia de acero en t

K n K K n raccion b. K n n n n d K ρ ρ ρ ρ ρ ρ = + = − + − − =

A _s b = 25 d = 59 h = 65 n A _s b K.d = 20.53 d E.N f _c T = f _s. A _s ρ= 15.3/25x59 ρ= 0.0103 n. ρ = 0.093 K = 0.348 K.d = 20.53 cm 44.47

Esfuerzo en el concreto ( fc) y acero (fs)

A _s b = 25 d = 59 h = 65 n A _s b K.d = 20.53 d E.N f _c T = f _s. A _s K = 0.348 K.d = 20.53 cm J = 1 - K/3 J = 0.884 J.d = 52.16 cm 44.47 J.d = 52.16 C K.d / 3 fs = M/A s .Jd = 11x10 5 k-cm/(15.3 cm 2 )(52.16cm) fs = 1378.5 k/cm 2 _{< 0.5 fy = 2100 k/cm}2 fc = 2M/Kd.Jd .b = 2(11x10 5 _{k-cm)/(20.53cm)(52.16cm)(25cm)} fc = 82.50 k/cm 2_{< 0.5 f’c = 105 k/cm}2 ! Rango Elástico ¡ ! Rango Elástico ¡

(12)

Conclusiones:

1.- Eje Neutro:

El plano del eje neutro se ha desplazado hacia arriba de y = 30.64 cm (EENA) a y = 44.47 cm (EEA)

2.- Esfuerzos:

A pesar que el momento flector se ha duplicado el esfuerzo de tracción del acero ha aumentado de 187.02 k/cm 2_{(EENA) a 1378.5 k/cm}2 _{(EEA) aprox. 7}

veces y el esfuerzo en compresión del concreto ha aumentado de 28.98 k/cm 2 _{(EENA) a 82.20 k/cm}2

(EEA) aprox.2.8 veces.

Conclusiones:

3.- Momento de Inercia (I):

Sección Agrietada:

A i I i (cm 4 ) d =│Y-Y i │ A i .d 2 (cm 4 )

513.25 25x20.53 3 _{/12 =} 18027.09 20.53/2=10.27 513.25(10.27) 2 ₌ 54133.97 137.7 0 44.47-6=38.47 137.7(38.47) 2 ₌ 203787.86 18,027,09 257921.83 n A _s=137.7 25 K.d = 20.53 E.N 44.47 6 cm. I = 275,948.92 cm 4_(EEA) I =652,069.93 cm 4_(EENA) La Inercia se reduce en 42.31 %

(13)