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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

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(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE

SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

__________________________________

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,

GEOLOGÍA Y CIVIL

“Escuela de Formación Profesional De Ingeniería Civil”

TRABAJO ENCARGADO Nº01

“DESARROLLO DE EJERCICIOS DE CINEMÁTICA DE

PARTÍCULA Y CUERPO RÍGIDO”

LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR

SHAMES IRVING 4

ta

Edición

CURSO : DINAMICA SIGLA : IC- 244 CICLO ACADÉMICO : 2012-II

GRUPO : N° 06 (SHAMES 4ta Edición) DOCENTE : Ingº Cristian CASTRO PEREZ.

INTEGRANTES :-AGUILAR HUICHO, Edgar. -GARCIA RAMOS, Wilson Luis. -ORE MENDOZA, John. (MM) - SULCA SANTIAGO. Emerson. FECHA : Ayacucho, Junio del 2013

Ayacucho – Perú

2013

(2)

11.8. Las partículas Ay B están limitadas a moverse en la acanaladura circular de 1.5m de radio. Al mismo tiempo estas partículas deben estar también en una ranura con forma de parábola. La ranura se muestra en línea discontinua para el tiempo t = 0. Si la ranura se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 1m/s. ¿Cuál es la velocidad y la aceleración con las que se acercan las partículas entre si para t = 1s?

Solución

i) Para la partícula A: Como se mueve en la dirección x a la velocidad constante de 1m/s considerando que inicio en el origen de coordenadas.

(3)

t

X

t

X

t

V

X

A A A A

1

Pero

0

ˆ

ˆ

1

ˆ

AX A AX AX A AX

a

i

x

a

s

m

i

V

i

x

V

Además tenemos 2 1 2

x

y

y

x

Como x = t 2 1

t

y

j

t

a

j

y

a

j

t

V

j

y

V

AY A AY AY A AY

ˆ

4

1

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

2 3 2 1

Finalmente para t = 1s

s

m

j

V

s

m

i

V

I

AY AX

ˆ

2

1

ˆ

1

) 

2

ˆ

4

1

0

)

s

m

j

a

a

II

AY AX

Conclusión:

s

m

V

s

m

V

V

V

A A A

12

.

1

4

5

4

1

1

2

1

1

2 2 2 2

25

.

0

16

1

4

1

0

s

m

a

a

a

A A A

Rpta: La partícula A se acerca a B con una velocidad de 1.12m/s y con una aceleración de 0.25m/s2

(4)

ii) Para la partícula B: De la manera similar resolvemos para B.

t

X

t

X

t

V

X

B B B B

1

Pero

0

ˆ

ˆ

1

ˆ

BX B BX BX B BX

a

i

x

a

s

m

i

V

i

x

V

Además tenemos 2 1 2

x

y

y

x

Como x = t 2 1

t

y

j

t

a

j

y

a

j

t

V

j

y

V

BY B BY BY B BY

ˆ

4

1

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

2 3 2 1

Finalmente para t = 1s

s

m

j

V

s

m

i

V

I

BY BX

ˆ

2

1

ˆ

1

) 

2

ˆ

4

1

0

)

s

m

j

a

a

II

BY BX

Conclusión:

s

m

V

s

m

V

V

V

B B B

12

.

1

4

5

4

1

1

2

1

1

2 2 2 2

25

.

0

16

1

4

1

0

s

m

a

a

a

B B B

Rpta: Se ve que la partícula B se acerca con la misma velocidad y aceleración de la partícula A.

(5)

11.10. El yugo A se mueve hacia la derecha con una velocidad V = 2m/s y una aceleración = 0.6m/s2 cuando se encuentra en una posición d = 0.27m del eje y. Un pasador está limitado a moverse dentro de la ranura del yugo y esta forzada mediante un muelle a deslizar sobre una superficie parabólica. ¿Cuáles son los vectores velocidad y aceleración del pasador en el instante de interés? ¿Cuál es la aceleración normal a la superficie parabólica en la posición que se muestra?

Solución Por formula sabemos:

x

a

x

V

px px

y

a

y

V

py py

Por MRUV: Tenemos

)

.(

...

...

...

...

10

3

2

)

6

.

0

(

2

1

2

2

1

2 2 2 0

t

t

x

t

t

x

at

t

V

x

Sabemos: 4 2 2 2 2

1000

108

100

624

10

3

2

2

.

1

2

.

1

t

t

y

t

t

y

x

y

(6)

)

...(

...

...

250

324

50

624

)

...(

...

...

250

108

50

624

2 3

II

t

y

a

I

t

t

y

V

py py

Luego para x=0.27m en (*)

0

7

.

2

20

3

10

3

2

27

.

0

10

3

2

2 2 2

t

t

t

t

t

t

x

Resolviendo tenemos

s

t

0

.

13

2 2 3

ˆ

5

.

12

)

13

.

0

(

250

324

50

624

ˆ

623

.

1

)

13

.

0

(

250

108

)

13

.

0

(

50

624

s

m

j

a

a

s

m

j

V

V

py py py py

a) Finalmente los vectores velocidad y aceleración de p

s

m

j

i

V

V

V

V

x y

)

ˆ

623

.

1

ˆ

2

(

2

)

ˆ

5

.

12

ˆ

6

.

0

(

s

m

j

i

a

a

a

a

x y

b) Hallar la aceleración normal a la superficie parabólica en la posición que se muestra.

(7)

a

V

Pero

a

a

a

a

a

a

T T N T N

:

2 2 2 2 3 2 2 2

250

108

50

624

10

6

2

t

t

t

V

y

x

V

62500

37500

2439225

16848

2916

2

37500

4878450

67392

17496

125

1

2 4 6 3 5

t

t

t

t

t

t

t

V

Pero, t = 0.135

s

m

a

s

m

V

8

.

169

T

8

.

169

Además: 2 2 2

341

.

4

169

.

8

51

.

12

51

.

12

5

.

12

6

.

0

s

m

a

a

a

a

a

s

m

a

a

N N T N

(8)

11.16. Se sopla el grano hacia un contenedor de tren abierto con una velocidad V0 de 6m/s ¿Cuáles deben ser las elevaciones máxima y mínima para asegurar que todo el grano cae en el tren? Omitir el rozamiento y el viento.

Solución

CASO I: Para que todo el grano caiga a una distancia no menor de 4.5m, entonces hallaremos “d” mínimo. En el eje x:

s

t

t

t

d

V

x x

8

.

0

5

.

4

6

En el eje y: 2 0 0 0 2 0 2

2

1

)

(

)

(

2

at

t

V

X

X

X

X

a

V

V

F F F

m

d

d

1

.

3

)

8

.

0

)(

8

.

9

(

2

1

min 2

(9)

CASO II: Para que todo el grano caiga a una distancia no mayor de 7.5m, entonces hallaremos “d” máximo. En el eje x: x x x x

V

d

t

t

d

V

s

t

t

1

.

3

6

5

.

7

En el eje y: 2 0 0 0 2 0 2

2

1

)

(

)

(

2

at

t

V

X

X

X

X

a

V

V

F F F

m

d

d

3

.

8

)

3

.

1

)(

8

.

9

(

2

1

max 2

11.34. Una diversión de un parque de atracciones consiste en una cabina en la que el pasajero esta fijo en posición sentada. La cabina gira alrededor de A con una velocidad angular ω. La cabeza de una persona de altura media esta situada a 3m del eje de rotación en A. Se sabe que si la cabeza de una persona esta sometida a una aceleración de 3y/o mas en la dirección de su propio cuerpo en cualquier instante la persona se sentirá incomoda y posiblemente mareada. Por tanto. ¿Cuál es el máximo valor de ωen r/min para evitar estos efectos, utilizando un factor de seguridad de 3?

(10)

Solución Sabemos:

ds

d

V

V

seg

rad

V

Se sabe también:

V

a

n

n

a

a

n

.

.

a

n

.

2

2

)

(

3 g

2

3

)

81

.

9

(

3

2

9

.

8

s

rad

1

.

3

Luego convirtiendo

rev

min

a

RPM

min

1

60

.

2

1

.

1

.

3

rev

s

s

rad

RPM

)

(

2

186

RPM

6

.

29

RPM

6

.

29

max

(11)

11.56. Una rueda esta girando en el instante t con una velocidad angular de

ω = 5rad/s. En este instante, la rueda tiene también un ritmo de cambio de la

velocidad angular de 2rad/s2. En este instante, un cuerpo B se esta moviendo a lo largo de un radio con una velocidad de 3m/s respecto al radio y esta aumentando esta velocidad a un ritmo de 1.6m/s2. Estos datos están dados para cuando el radio, sobre el que se esta moviendo B, esta en posición vertical y para cuando B esta a 0.6m del centro de la rueda, como se muestra en el diagrama. ¿Cuales son la velocidad y la aceleración de B en este instante respecto al sistema de referencia fijo xyz?

Solución Datos: En el eje x:

m

s

m

a

s

m

V

6

.

0

6

.

1

3

2 2

s

rad

s

rad

2

5

Haciendo coincidir el sistema de coordedanas fijo y móvil (XY-xy) de centro O y O´ Donde: XY: Sistema fijo.

xy: Sistema móvil. Sabemos :





R

V

r r

R

a







(

)

2



(12)

Hallando los valores:

i) Movimiento del sistema móvil xyz

0

0

0

R

R

R





2

ˆ

2

ˆ

5

s

rad

k

s

rad

k



ii) Movimiento de la partícula “p” respecto al sistema xyz

2

ˆ

6

.

1

ˆ

3

ˆ

6

.

0

s

m

j

s

m

j

j





iii) De las ecuaciones de movimiento relativo tenemos.





R

V

r

)

ˆ

6

.

0

ˆ

5

(

0

ˆ

3

j

k

j

V

s

m

i

j

V

i

j

V

)

ˆ

3

ˆ

3

(

)

ˆ

3

(

ˆ

3

iv) r

R

a







(

)

2



)

ˆ

3

ˆ

5

(

2

)

ˆ

6

.

0

ˆ

5

(

ˆ

5

)

ˆ

6

.

0

ˆ

2

(

0

ˆ

6

.

1

j

k

j

k

k

j

k

j

a

i

i

k

i

j

a

1

.

6

ˆ

1

.

2

ˆ

5

ˆ

(

3

ˆ

)

30

ˆ

i

j

i

j

a

1

.

6

ˆ

1

.

2

ˆ

15

ˆ

30

ˆ

2

)

ˆ

4

.

13

ˆ

8

.

2

(

s

m

j

i

a

(13)

11.68. Un eje roscado gira con una posición angular θ = 0.315t2rad. Una tuerca situada sobre el eje gira relativa al mismo son una velocidad angular de ω = 0.4t rad/s. Cuando t = 0, la tuerca esta a una distancia de 0.6m de A. ¿Cuales son la velocidad y la aceleración de la tuerca para t = 10s? el paso de rosca es de 5mm. Dar los resultados en las direcciones radial y transversal.

Solución Datos:

m

r

t

s

rad

t

rad

t

6

.

0

0

4

.

0

315

.

0

2 La tuerca esta a 0.6 de A. Para t = 10s =?

Luego analizamos el movimiento del brazo para t = 10s Paso de rosca es de 5mm.

Cuando se dice paso de rosca se entiende como una distancia avanzada a lo largo del tornillo durante una revolución completa.

(14)

RPS

t

s

rad

t

s

rad

t

5

2

4

.

0

4

.

0

Avanza

)

(

1

1000

5

completa

revolucion

RPS

m

Para

RPS

t

5

m

t

d

1000

Nos pide en direcciones radial y transversal (coordenadas polares) Tenemos

s

rad

s

rad

t

rad

t

63

.

0

63

.

0

315

.

0

2

0

1000

1

1000

6

.

0

0

r

r

t

r

d

r

r

a) Velocidad de la tuerca es:

ˆ

ˆ

r

r

V

r

s

t

10

ˆ

63

.

0

1000

6

.

0

ˆ

1000

1

t

t

V

r

ˆ

76

.

3

ˆ

1000

1

r

V

b) La aceleración es:

ˆ

)

2

(

ˆ

)

(

2

r

r

r

r

a

r

(15)

ˆ

)

63

.

0

(

1000

2

)

63

.

0

(

1000

6

.

0

ˆ

)

63

.

0

(

1000

6

.

0

t

t

2

t

t

t

t

a

r

ˆ

)

004

.

0

376

.

0

(

ˆ

)

69

.

23

(

r

a

ˆ

372

.

0

ˆ

69

.

23

r

a

11.75. Un vehículo, en el cual una masa M de 0.5kg rota con una velocidad angular igual a 5rad/s, se mueve con una velocidad V dada como V =1.5senΩtm/s respecto al terreno, con t expresado en segundos. Cuando t= 1s, la barra AM está en la posición que se muestra, en ese instante. ¿Cuál es la fuerza dinámica ejercida por la masa M a lo largo del eje de la barra AM si Ω = 3rad/s?

Solución

0

0

1

0

5

r r

m

s

rad

Dato:

R



1

.

5

sen

t

r O A A O

a

a

a



(

)

2



r r O

R

a







(

)

2



0

)

ˆ

1

ˆ

5

(

ˆ

5

0

0

R

k

k

i

a

O



)

ˆ

1

ˆ

5

(

ˆ

5

k

k

i

R

a

O



)

ˆ

5

(

ˆ

5

k

j

R

a

O



(16)

i

R

a

O



25

ˆ

Como:

R



1

.

5

sen

t

t

t

t

t

R



1

.

5

(



cos

)

1

.

5

(

1

)

cos

]

cos

[

5

.

1

t

R



Para:

3

rad

s

;

t

1

s

]

3

cos

3

[

5

.

1

R



s

m

i

R



4

.

45

ˆ

i

i

a

O

4

.

45

ˆ

25

ˆ

s

m

i

a

O

20

.

55

ˆ

Luego para hallar la fuerza dinámica analizamos desde un sistema móvil.

Donde F1 es la fuerza dinámica observada por el sistema “M”

Haciendo DCL del cuerpo “ρ”

1

º

30

F

mg

tg

3

/

1

º

30

mg

tg

mg

ma

s

3

mg

ma

s Como:

m

0

.

5

kg

;

9

.

8

2

s

m

g

2

97

.

16

s

m

a

s s

ma

F

1

)

97

.

16

(

5

.

0

1

F

N

F

1

8

.

49

(17)

11.81. Un tren se esta moviendo a una velocidad de 2.8m/s. que velocidad mínima deberá experimentar el automóvil A para evitar ser embestido por el tren? ¿Cuanto tardara en cruzar la vía del tren? utilizar solo un procedimiento multirreferencia.

Solución

De acuerdo con ello fijamos los siguientes sistemas de referencia:

xy: al tren. XY: al terreno.

Esto se muestra.

La velocidad dexy, y por lo tanto del tren, relativa a los ejes XY es decir R es

s

m

j

sen

i

ˆ

2

.

8

45

º

ˆ

)

º

45

cos

8

.

2

(

La velocidad del automóvil relativa a los ejes XY es de

s

m

j

sen

V

i

V

A

cos

70

º

ˆ

A

70

º

ˆ

)

(

Podemos decir, entonces:

y xy

XY

V

R

(18)

Figura (a) Por tanto:

)

ˆ

º

45

8

.

2

ˆ

º

45

cos

8

.

2

(

)

ˆ

º

70

ˆ

º

70

cos

(

V

A

i

V

A

sen

j

V

xy

i

sen

j

)

...(

ˆ

)

º

45

8

.

2

º

70

(

ˆ

)

º

45

cos

8

.

2

º

70

cos

(

V

i

V

sen

sen

j

I

V

xy A A

Para que el automóvil pase rozando, el vector velocidad del automóvil respecto al tren

Vxy, debe seguir un curso de forma que este vector forme un ángulo β0 con el eje

horizontal dado por la siguiente figura.

)

....(

º...

47

.

126

200

30

º

135

º

135

0 0

II

Arctg

Volvamos a la ecuación (I), para la vector velocidad relativa actual Vxy (Fig. (a) el ángulo β) igualamos con (II)

(19)

º

47

.

126

)

(

)

(

x

V

y

V

Arctg

xy xy

)

º

47

.

126

(

)

45

cos

8

.

2

º

70

cos

(

)

º

45

8

.

2

º

70

(

tg

V

sen

sen

V

A A ;

º

45

cos

º

45

sen

Operando:

)]

º

47

.

126

(

1

[

º

45

cos

8

.

2

)

º

47

.

126

(

º

70

cos

º

70

[

sen

tg

tg

V

A

s

m

V

A

9

.

77

Para hallar el tiempo.

)

...(

...

1

0 0 t x

dr

V

dt

dt

dr

V

220

.

67

...

...

.(**)

)

º

65

(

200

m

x

x

Arcsen

x

V

t

1

Reemplazando datos:

s

t

t

6

.

22

77

.

9

67

.

220

(20)

11.111. Se muestra una sección superior de un aspersor. El agua entra en el centro desde abajo y luego pasa por los pasajes del impulsor. El impulsor esta girando con una velocidad angular ω constante e igual a 8r/min. El agua abandona el impulsor con una velocidad relativa de 3m/s y formando un ángulo de 30º respecto a r. ¿cuales son la velocidad y la aceleración del agua respecto al terreno cuando esta abandona el impulsor? Dar los resultados en las direcciones radial, axial y transversal. Utilizar un solo sistema de referencia.

Solución

Movimiento del sistema móvil xyz respecto al sistema XYZ

R

R

R

R

2





(21)

Sabemos ω =8r/min, transformando a rad/s

s

rev

rev

60

min

1

.

1

2

.

min

8

s

rad

8

.

0

i

R

j

R

ˆ

21

.

0

ˆ

2

.

0





0

84

.

0



s

rad

El movimiento de la particulaP respecto al sistema xyz(móvil) Como el punto P coincide con el sistema móvil tenemos:

?

?

0



i)

N

a

T

a

T

V

N T relat

ˆ

ˆ

ˆ





N y T Hallamos ˆ ˆ

j

i

N

j

i

T

ˆ

2

1

ˆ

2

3

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

2

3

ˆ

s

m

j

i

j

i

ˆ

2

3

ˆ

2

3

3

ˆ

2

1

ˆ

2

3

3





N

a

T

a

T

ˆ

N

ˆ



Pero ρ = constante

(22)

0



Finalmente:





R

V

j

i

V

j

j

i

V

k

j

j

i

V

ˆ

25

.

1

ˆ

6

.

2

ˆ

25

.

0

ˆ

5

.

1

ˆ

6

.

2

0

ˆ

84

.

0

ˆ

25

.

0

ˆ

2

3

ˆ

2

3

3

Hallando aceleración:









2

)

(

R

a

Reemplazando tenemos

j

i

a

2

.

31

ˆ

4

.

37

ˆ

15.40. Se representa esquemáticamente el conjunto de pistón, biela y cigüeñal de un motor. El motor esta rodando a 3000r/min. En la posición que se muestra. ¿Cuál será la velocidad del pasador A relativa al bloque del motor y cual será la velocidad angular de la biela AB?

(23)

Solución Nos pide: Donde

AB Además

0

Considerando que ωCB positivo en sentido anti horario.

Por ley de senos

sen

r

sen

L

)

90

(

sen

r

sen

sen

L

90

cos

cos

90

sen

r

L

cos

*

...

...

cos

r

Lsen

i) Hallando ωAB

Pero ωAB = , lo cual derivamos (*)

)

(

)

(

cos

rsen

L

sen

r

L

cos(

)

)

...(

...

cos

i

L

sen

r 

Luego como

cos

r

Lsen

L

r

sen

cos

?

?

AB A

V

(24)

2 2

)

cos

(

cos

L

r

Reemplazando en (i) 2 2

)

cos

(r

L

L

sen

r 

Pero

0 Donde 2 2 0

)

cos

(r

L

L

sen

r

Respuesta:

min

3

75

225

0

r

mm

r

mm

L

Convirtiendo en m y en rad/s, si.

s

r

rad

r

60

min

1

.

1

2

.

min

3

0

s

rad

314

.

0

0

m

r

m

L

075

.

0

225

.

0

Reemplazando, tenemos velocidad angular de AB.

2 2 0

)

cos

(r

L

L

sen

r

2 2

)

º

30

075

.

0

(

)

255

.

0

(

255

.

0

º

30

314

.

0

075

.

0

os

sen

s

rad

245

.

0

(25)

ii) Hallando velocidad del pasador A. Por ley de senos

sen

m

sen

r

rsen

msen

Derivando:

cos

sen

m

r

rsen

m cos

r

msen

sen

Además 2 2

)

cos

(

cos

L

r

r

msen

r

r

L

m

.

)

cos

(

2 2

L

r

sen

cos

L

r

r

L

cos

)

cos

(

2 2

cos

)

cos

(

2 2

r

r

L

L

Para

s

rad

m

r

m

L

245

.

0

º

30

075

.

0

225

.

0

Reemplazando tenemos

º

30

cos

075

.

0

)

º

30

cos

075

.

0

(

)

225

.

0

(

245

.

0

225

.

0

2 2

s

rad

183

.

0

(26)

15.57. Hallar la velocidad y la aceleración del centro de A. Solución Datos:

s

m

i

a

s

m

i

V

B B

ˆ

2

ˆ

3

)

2

,

3

2

(

BA

)

0

,

3

2

(

)

2

,

0

(

BA

(27)

En el cuerpo rígido utilizamos la ecuación de movimiento plano. Además:

k

k

ˆ

ˆ



Como la barra AB tiene un movimiento plano Entonces. BA B A

V

V

i)

M A

i

k

i

j

V

3

[

ˆ

(

2

3

ˆ

2

ˆ

]

3

2

0

ˆi

M

2

0

ˆj

0

ˆ

k

)

ˆ

3

2

ˆ

2

(

i

j

M

...(*)

...

...

ˆ

3

2

ˆ

)

2

3

(

ˆ

3

2

ˆ

2

3

j

i

V

j

i

i

V

A A

Hallamos ω por CIR

B

B

R

V

2

3

2

3

B B

R

V

Luego en *

j

V

j

i

V

A A

ˆ

2

3

3

3

3

2

3

2

6

ˆ

2

3

3

3

ˆ

3

2

3

2

6

(28)

ii) Hallando la aceleración de A.

Como la barra AB tiene un movimiento plano

)

(

BA BA B A

a

a





N M A

i

k

i

j

k

k

i

j

a

ˆ

(

2

3

ˆ

2

ˆ

)

2

3

2

3

ˆ

2

3

2

3

]

ˆ

2

ˆ

3

2

[

ˆ

ˆ

2

N

k

M

i

a

A

ˆ

2

3

2

3

ˆ

2

Hallando M y N

3

2

0

ˆi

M

2

0

ˆj

0

ˆ

k

j

i

M

2

ˆ

2

3

ˆ

3

2

0

ˆi

N

2

0

ˆj

0

2

3

2

3

ˆ

k

j

i

N

ˆ

2

3

2

3

6

ˆ

2

3

2

6





P A

i

i

j

k

i

j

a

ˆ

2

3

2

3

6

ˆ

2

3

2

6

ˆ

2

3

2

3

ˆ

3

2

ˆ

2

ˆ

2

Hallando P

2

3

2

6

0

ˆi

P

2

3

2

3

6

0

ˆj

0

2

3

2

3

ˆ

k

(29)

j

i

P

ˆ

)

2

3

2

(

18

ˆ

)

2

3

2

(

3

18

2 2

j

i

j

i

i

a

A

ˆ

)

2

3

2

(

18

ˆ

)

2

3

2

(

3

18

ˆ

3

2

ˆ

2

ˆ

2

2 2





j

i

a

A

ˆ

)

2

3

2

(

18

3

2

ˆ

)

2

3

2

(

3

18

2

2

2 2



Hallando

?



Por falta de datos no se concluye el ejercicio

15.80. Una grúa se mueve hacia la derecha con una velocidad de 1.4m/s. la pluma

OB, que tiene una longitud de 15m, se esta elevando con una velocidad angular ω2relativa a la cabina de 0.4rad/s, mientras que esta ultima esta girando con una velocidad angular ω1 de 0.2rad/s relativa a la base. ¿Cuál será la velocidad del pasador B relativa al terreno en el instante en el que OB forme un ángulo de 35º con el terreno? El eje de rotación de o de la pluma esta a 1m de distancia del eje de rotación

(30)

Solución

Ubicando: sistema de referencias

s

rad

A

6

.

0

4

.

0

2

.

0

0 2 0 2 2 0 1 0 2

Como nos pide VB/Tierraprimero hallamos VB/0, pero eso hallamos en coordenadas

esféricas. Por formula:

V

V

V

V

r

sen

r

r

r

V

Tenemos datos

0

2

.

0

0

6

.

0

0 1 0 2

s

rad

s

rad

Además

0

15

m

r

r

s

rad

s

rad

A

0

.

4

2

.

0

0 1

(31)

Como :

46

.

2

9

0

sen

r

V

r

V

r

V

r

s

rad

V

V

V

V

V

V

B B B r

33

.

9

46

.

2

9

0

0 2 2 2 0 2 2 2 0 Nos pide: VB/T 0 0T B T B

V

V

V

Por dato:

s

m

V

V

0T

1

.

4

33

.

9

4

.

1

0 0 r T B B r T T B

V

V

V

V

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