Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

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Tema 2

Espacios vectoriales y aplicaciones

lineales

Varios son los objetivos de este tema. A diferencia de la lección anterior, que trataba de resolver problemas concretos encontrando algoritmos apropiados para ello, aqu´ı buscamos reglas para manejar vectores. Cuando se habla de vectores, uno piensa en principio en los vectores del plano (que ya hemos tratado someramente al explicar los números complejos) o los vectores en el espacio tridimensional. Estos son, sin embargo, ejemplos de una estructura, la de espacio vectorial, que tiene sentido sin la referencia geométrica. De esta forma, la palabra vector ha de entenderse en un sentido más general, como elemento de un conjunto que tiene unas reglas operacionales determinadas. As´ı, los polinomios son vectores, las matrices son vectores, etc. Tenemos entonces que explicar lo que se entiende por espacio vectorial, las operaciones entre sus elementos, los vectores, y las relaciones entre espacios vectoriales a través de las aplicaciones lineales.

2.1. Ejemplo. Vectores en el plano

Para introducir la idea de lo que es un espacio vectorial, vamos a recordar alguno de los m´as conocidos y utilizados. Vamos a considerar el conjunto de vectores ~v en el plano con base en el origen, que naturalmente se puede identificar con el conjunto de puntos (x, y), con x, y ∈ R, es decir, R2_{. Recordemos que para}

generar nuevos elementos en R2 _{podemos sumar vectores}

~v1= µ x1 y1 ¶ , ~v2= µ x2 y2 ¶ ⇒ ~v1+ ~v2= µ x1+ x2 y1+ y2 ¶ ,

o multiplicar un n´umero real por un vector:

λ ∈ R, ~v = µ x y ¶ ⇒ λ~v = µ λx λy ¶ .

El hecho de que estas dos operaciones entre vectores en el plano verifiquen una serie de reglas (v´ease la definici´on general) significa que el conjunto de vectores en el plano con base en el origen o R2_{adquiere lo}

que se llama estructura de espacio vectorial. De manera que, en general, para obtener un espacio vectorial, necesitamos un conjunto de elementos y dos operaciones sobre ese conjunto que permitan generar nuevos elementos y que sigan unas reglas apropiadas.

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2.2. Espacios vectoriales

´

Unicamente consideraremos espacios vectoriales sobre el cuerpo K = R ó C. Un espacio vectorial (e. v.) sobre el cuerpo K de escalares es un conjunto no vac´ıo V formado por elementos ~x ∈ V , dotado de una operación interna + : V × V → V y de una operación externa · : K × V → V de manera que se verifican las propiedades siguientes:

(1) Para cualesquiera ~x, ~y, ~z ∈ V

~x + (~y + ~z) = (~x + ~y) + ~z.

(2) Para cualesquiera ~x, ~y ∈ V

~x + ~y = ~y + ~x.

(3) Existe un elemento neutro ~0 ∈ V tal que para cada ~x ∈ V se tiene que ~x + ~0 = ~0 + ~x = ~x. (4) Para cada ~x ∈ V existe un elemento opuesto −~x ∈ V tal que ~x + (−~x) = (−~x) + ~x = ~0. (5) Para cada ~x ∈ V y α, β ∈ K, α · (β · ~x) = (αβ) · ~x. (6) Para cada ~x ∈ V y α, β ∈ K, (α + β) · ~x = (α · ~x + β · ~x). (7) Para cada ~x, ~y ∈ V y α ∈ K, α · (~x + ~y) = (α · ~x + α · ~y). (8) Para cada ~x ∈ V , 1~x = ~x. Proposici´on 2.1

De las propiedades anteriores se deduce que si ~x ∈ V y α ∈ K son tales que α · ~x = 0, entonces necesariamente α = 0 ´o ~x = ~0.

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores. Ejemplos

1. V = Rn _{con las operaciones}

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+ y1, . . . , xn+ yn)

α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , αxn), α ∈ R,

es un espacio vectorial para n = 1, 2, 3, . . ..

2. V = Cn _{con las operaciones de antes puede ser un espacio vectorial sobre R o sobre C.}

3. V = Mm,n(K), con las operaciones definidas en el tema 1, es un espacio vectorial sobre K.

4. V = P [X], espacio de todos los polinomios en una variable y coeficientes complejos, es, con las operaciones habituales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar, un espacio vectorial sobre K.

5. V = Pn[X], espacio de los polinomios en una variable, coeficientes complejos y grado a lo sumo n es,

con las operaciones habituales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar, un espacio vectorial sobre K.

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2.2. ESPACIOS VECTORIALES 21

2.2.1. Combinaciones lineales. Subespacios vectoriales

As´ı pues, un hecho importante de los espacios vectoriales es que se pueden sumar vectores y multiplicar vectores por escalares, es decir, formar combinaciones lineales de vectores, obteniendo as´ı nuevos elementos del espacio vectorial. Dado un e.v. V sobre K, se dice que un vector ~v ∈ V es combinaci´on lineal del sistema finito {~v1, ~v2, . . . , ~vm} si existen escalares λ1, λ2, . . . , λmde manera que

~v = λ1~v1+ λ2~v2+ · · · + λm~vm= m

X

k=1

λk~vk.

Notemos que el vector ~0 es combinaci´on lineal de cualquier sistema de vectores.

Dentro de un espacio vectorial puede haber conjuntos que son en s´ı mismos espacios vectoriales. Por ejemplo, cualquier plano que pase por el origen en R3_{. Son los llamados subespacios vectoriales, es decir,}

subconjuntos que son cerrados bajo las operaciones del espacio vectorial.

Definici´on. Sea V un e.v. sobre K. Se dice que un subconjunto no vac´ıo W ⊂ V es un subespacio vectorial si cumple:

(i) ~x + ~y ∈ W si ~x, ~y ∈ W . (ii) λ~x ∈ W si λ ∈ K, ~x ∈ W .

Esto equivale a la siguiente condición: W es subespacio vectorial si y sólo si toda combinación lineal de elementos de W es a su vez un elemento de W . En particular, el vector ~0 está en todo subespacio. Ejemplos

(1) Para una matriz A ∈ Mm,n(K) el conjunto de soluciones del sistema lineal homog´eneo A~x = ~0 es un

subespacio vectorial de Kn_.

(2) El conjunto de vectores de R3_,

W = {(0, 0, 1)T_{, (0, 1, 0)}T_},

no es un subespacio vectorial, pues el vector (0, 0, 1)T _{+ (0, 1, 0)}T _{= (0, 1, 1)}T _{no pertenece a W .}

Todo conjunto de vectores G, aunque no sea un subespacio vectorial, lleva asociado uno. Es el llamado espacio generado por G y es el conjunto de todas las combinaciones lineales formadas con elementos de

G. Es el m´ınimo subespacio vectorial que contiene a G y se denota por hGi o span(G).

Ejemplos

(1) Para una matriz A ∈ Mm,n(K) se puede definir: 1. El espacio columna de A, que es el subespacio de

Km_{generado por las columnas de A. 2. El espacio fila de A, que es el subespacio de K}n _{generado por las}

filas de A.

(2) El conjunto de vectores de R3_,

G = {(0, 0, 1)T_{, (0, 1, 0)}T_},

genera el subespacio vectorial

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2.2.2. Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensi´

on

Una descripci´on m´as expl´ıcita de un e.v. puede darse a partir de relaciones entre sus elementos los vectores.

Sea V un e.v. Se dice que los vectores ~x1, . . . , ~xn∈ V son linealmente dependientes si existen escalares

λ1, . . . , λn ∈ K no todos nulos verificando

λ1~x1+ · · · + λn~xn = ~0.

Esto significa que algún vector del sistema es combinación lineal de los restantes. Rec´ıprocamente, si un vector ~x ∈ V es combinación lineal de los vectores ~x1, . . . , ~xn entonces existen escalares λ1, . . . , λn con

~x = λ1~x1+ · · · + λn~xn,

es decir,

(−1)~x + λ1~x1+ · · · + λn~xn= ~0,

y los vectores ~x, ~x1, . . . , ~xn son linealmente dependientes.

Se dice que los vectores ~x1, . . . , ~xn ∈ V son linealmente independientes cuando no son linealmente

dependientes, es decir, si ninguno de los vectores es combinaci´on lineal de los restantes. Esto significa que si planteamos una combinaci´on lineal nula

λ1~x1+ · · · + λn~xn = ~0,

entonces necesariamente λ1 = · · · = λn = 0. Luego veremos un m´etodo pr´actico para determinar la

independencia lineal de un conjunto de vectores dado.

Si consideramos los vectores como flechas desde el origen, no es dif´ıcil visualizar la dependencia lineal en el espacio tridimensional. Dos vectores son dependientes si est´an en la misma recta, y tres vectores son dependientes si est´an en el mismo plano.

Se dice que un conjunto finito de vectores {~x1, . . . , ~xn} es libre cuando los vectores ~x1, . . . , ~xn son

linealmente independientes. Caso de no ser libre, el conjunto se denomina ligado.

Pasamos ahora a explicar lo que es una base en un espacio vectorial. Para manejar en la práctica muchos espacios vectoriales, se suele buscar un conjunto finito y destacado de vectores, de manera que cualquier otro vector del espacio vectorial pueda escribirse como combinación lineal de los vectores de este conjunto. Esto no siempre puede hacerse, pues hay espacio vectoriales que no pueden describirse completamente por un conjunto finito de vectores. Sin embargo, hay otros que s´ı admiten tal propiedad; son los llamados espacios vectoriales de generación finita. Por ejemplo, todo vector de R3 _{(x, y, z)}T _es

una combinaci´on lineal

x(1, 0, 0)T_{+ y(0, 1, 0)}T_{+ z(0, 0, 1)}T

de los vectores (1, 0, 0)T_{, (0, 1, 0)}T_{, (0, 0, 1)}T_{; de este modo, el espacio vectorial R}3_{es de generaci´on finita,}

pues todo vector de R3 _{puede escribirse como combinaci´on lineal de un conjunto finito de vectores.}

Vamos a restringirnos a partir de ahora a espacios vectoriales de generaci´on finita. Se dice que un conjunto G = {~x1, . . . , ~xn} de vectores de un espacio vectorial V es un sistema generador de V si todo

vector de V puede escribirse como combinaci´on lineal de los vectores de G.

Para poder describir completamente todos los vectores de un espacio vectorial, necesitaremos entonces que ´este admita un sistema de generadores. Sin embargo, no es suficiente con esto. Para ver el porqu´e, consideremos el siguiente ejemplo de vectores en el plano:

~v1= (1, 0)T, ~v2= (0, 1)T, ~v3= (1, 1)T.

Cualquier vector ~v = (x, y)T _{de R}2 _{se puede escribir como combinaci´on lineal de estos tres vectores; por}

ejemplo,

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2.2. ESPACIOS VECTORIALES 23 De esta manera, el conjunto G = {~v1, ~v2, ~v3} es un conjunto de generadores de R2. Sin embargo, hay un

problema. Por ejemplo, el vector ~v = (1, 1)T _{se puede escribir como}

~v = 2~v1+ 0~v2− ~v3,

o tambi´en como

~v = −~v1+ ~v2+ 2~v3.

El hecho de que un mismo vector se pueda escribir como combinación lineal de los tres vectores de más de una forma da lugar a confusión. As´ı, necesitamos que los vectores del sistema generador que tomemos verifiquen que cualquier vector se pueda escribir como combinación lineal de ellos sólo de una forma.

Siguiendo con el mismo ejemplo, observemos que si ahora tomamos el conjunto G0 _{= {~v}

1, ~v2}, ´este

sigue siendo un sistema de generadores de vectores del plano, pues si ~v = (x, y)T _{es cualquiera, se puede}

escribir

~v = x~v1+ y~v2.

La diferencia entre G y G0 _{es que el primero es un sistema libre y el segundo es ligado. El hecho de}

conseguir que los vectores que formen G0 _{sean linealmente independientes implica que cualquier vector}

se puede escribir como combinaci´on lineal de tales vectores s´olo de una forma. En efecto, si tenemos un vector cualquiera ~v escrito, con respecto a G0_{, de dos formas}

~v = x~v1+ y~v2= x0~v1+ y0~v2,

entonces se tiene

(x − x0)~v1+ (y − y0)~v2= ~0,

y como ~v1y ~v2 son independientes, necesariamente x − x0= y − y0= 0, es decir, x = x0, y = y0; luego ~v

se escribe s´olo de una forma con respecto a los vectores de G0_.

Generalizando lo razonado para el ejemplo a un espacio vectorial cualquiera, observamos que para evitar que un vector pueda expresarse de más de una forma como combinación lineal de los vectores de un sistema generador, hay que exigir a éstos que sean linealmente independientes. Esto da lugar a la definición de base. Se dice que un conjunto de vectores B = {~x1, . . . , ~xn} ⊂ V es una base de V cuando

B es un sistema generador y libre. A˜nadir la propiedad de independencia lineal a la de generador implica que cada vector ~v ∈ V puede expresarse de una y s´olo una manera como combinaci´on de los vectores de una base.

A todo esto hay que añadir dos cosas: la primera es que podemos tener más de una base en un espacio vectorial de generación finita. As´ı, en el ejemplo anterior, G0 _{forma una base, pero también G}00_{= {~v}

1, ~v3}

forma una base, o tambi´en G000_{= {~v}

2, ~v3}. Lo segundo a mencionar es el llamado teorema de la base:

Teorema 2. Todas las bases de un espacio vectorial de generación finita V son finitas y poseen el mismo número de elementos. Este n´umero se denomina dimensión del e. v. V y se escribe dimKV .

Ejemplos.

(1) Bases can´onicas (v´ease el ejercicio 1). Ya hemos visto que los vectores (1, 0, 0)T_{, (0, 1, 0)}T_{, (0, 0, 1)}T

constituyen un sistema generador de R3_{. Adem´as, son linealmente independientes, pues cualquier}

com-binaci´on lineal nula de ellos

λ1(1, 0, 0)T + λ2(0, 1, 0)T + λ3(0, 0, 1)T = (0, 0, 0)T,

genera un sistema lineal de tres ecuaciones trivial con λ1= λ2= λ3= 0. De este modo, forman una base

de R3_{llamada base can´onica. Por tanto dim}

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(2) En general, la base can´onica de Rn _{como espacio vectorial sobre R es el conjunto de n vectores,} ~e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)T ~e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)T .. . ... ~en = (0, 0, 0, . . . , 1)T,

de modo que dimRRn= n, n = 1, 2, . . ..

(3) En el espacio de los polinomios de grado menor o igual que un entero no negativo n y coeficientes reales, denotado por Pn[X], la base can´onica viene dada por los monomios

1, x, x2_{, . . . , x}n_,

de manera que dimRPn[X] = n + 1, n = 0, 1, . . ..

(4) A partir de la interpretacin geomtrica de la dependencia e independencia lineal, es claro que en en R2_{y en R}3 _{todas las bases tienen 2 y 3 vectores respectivamente.}

Las siguientes propiedades establecen las formas para obtener bases de sistemas generadores y de sistemas libres.

Teorema 2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n. Se satisfacen las siguientes propiedades: 1. Un sistema generador G ⊂ V es una base si y s´olo si no se puede reducir a un nuevo sistema

generador.

2. Siempre se puede obtener una base B de un sistema generador, descartando vectores si es necesario. 3. Si G es un sistema generador, entonces tiene como m´ınimo n elementos. Adem´as, G es una base si

y s´olo si contiene exactamente n elementos.

4. Un sistema libre L ⊂ V es una base si y sólo si no se puede ampliar a otro sistema libre. 5. Cualquier sistema libre se puede extender a una base, añadiendo más vectores si es necesario. 6. Si L es un sistema libre, entonces tiene a lo sumo n elementos. Además, L es una base si y sólo si

tiene exactamente n elementos.

7. Todo subespacio W de V tiene dimensi´on menor o igual que n. Si la dimensi´on de W es n, entonces

W = V .

Es f´acil comprobar las propiedades 3 y 6 en Rn_{. (T´engase en cuenta lo que ya se conoce sobre la}

resoluci´on de un sistema con la eliminaci´on gaussiana).

Por tanto, una base es un conjunto independiente m´aximo. No puede ser m´as grande porque entonces perder´ıa la independencia (propiedad 4 del Teorema 2). No puede ser menor porque entonces no generar´ıa todo el espacio (propiedad 1 del Teorema 2).

En términos generales, para determinar si un conjunto de vectores forma una base, hemos de com-probar que es un sistema generador y que es un sistema libre. Sin embargo, los distintos resultados del Teorema 2 tienen su aplicación a la hora de determinar bases de un espacio vectorial. En este sentido, las propiedades 3 y 6 son bastante útiles cuando se conoce la dimensión del espacio en el que está uno trabajando. As´ı, la propiedad 3 dice, por ejemplo, que si tenemos tres vectores en R3 _{que forman un}

sistema generador, entonces directamente forman una base, pues su n´umero es exactamente la dimensi´on de R3_{. Nos ahorramos entonces comprobar que son linealmente independientes. Igualmente, si uno conoce}

dos vectores en R2 _{que son linealmente independientes, la propiedad 6 nos dice que entonces forman una}

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2.2. ESPACIOS VECTORIALES 25

2.2.3. Coordenadas de un vector respecto a una base. Cambio de base

Hemos visto que lo que hace el concepto de base algo útil es que recurriendo a una de ellas, cualquier vector queda identificado mediante los coeficientes de la única combinación lineal que lo expresa en función de los vectores de aquélla. A estos coeficientes se les llama coordenadas. En un e. v. de dimensión finita, si se dispone de una base, conocer un vector viene a ser lo mismo que conocer sus coordenadas en la base. Sea V un e. v. sobre K con dim(V ) = n y sea B = {~b1,~b2, . . . ,~bn} una base de V . Cada vector ~x ∈ V

se puede escribir de forma ´unica como combinaci´on lineal de los elementos de B:

~x = x1~b1+ x2~b2+ · · · + xn~bn.

Se dice que x1, x2, . . . , xnson las coordenadas del vector ~x respecto de la base B. Cuando se sobreentiende

cu´al es la base B, se suele escribir ~x = (x1, x2, . . . , xn)T o bien, en otro caso, M (~x, B) = (x1, x2, . . . , xn)T.

Por ejemplo, el vector ~v = (1, 2, 3)T _{tiene coordenadas en la base can´onica}

~v = ~e1+ 2~e2+ 3~e3.

Si se dispone de dos bases B y B0 _{en un mismo e. v. V , cada vector ~x ∈ V tendr´a dos sistemas}

de coordenadas, uno respecto de cada base. Si se conoce una base respecto de la otra, va a ser posible relacionar unas coordenadas con otras; las relaciones que ligan a los dos sistemas de coordenadas se llaman ecuaciones del cambio de base.

Pongamos primero un ejemplo. Como hemos visto, dada la base can´onica B = {~e1, ~e2, ~e3} de R3, el

vector ~v = ~e1+ 2~e2+ 3~e3tiene por coordenadas ~v = (1, 2, 3)T en la base B. Consideramos ahora otra base

de R3_{, por ejemplo B}0 _{= {~v}

1, ~v2, ~v3}, donde ~v1 = (1, 1, 0)T, ~v2= (0, 1, −1)T, ~v3 = (−1, 1, −1)T. Nuestro

problema es expresar el vector ~v con respecto a la nueva base B0_{, es decir, calcular sus coordenadas en}

esta base. Imaginemos que tales coordenadas son

~v = x01~v1+ x02~v2+ x03~v3.

Observemos que los vectores de B0 _{se expresan con respecto a la base can´onica B del siguiente modo:}

~v1 = (1, 1, 0)T = ~e1+ ~e2,

~v2 = (0, 1, −1)T = ~e2− ~e3,

~v3 = (−1, 1, −1)T = −~e1+ ~e2− ~e3.

Sustituyendo, se tiene:

~v = x0

1~v1+ x02~v2+ x03~v3= x01(~e1+ ~e2) + x02(~e2− ~e3) + x03(−~e1+ ~e2− ~e3)

= (x01− x03)~e1+ (x01+ x02+ x03)~e2+ (−x02− x03)~e3.

pero, por otro lado,

~v = (1, 2, 3)T _{= ~e}

1+ 2~e2+ 3~e3.

Tenemos entonces dos expresiones de un mismo vector en la base B; deben por tanto coincidir. Entonces,

x01− x03 = 1

x0

1+ x02+ x03 = 2

−x0

2− x03 = 3.

Es decir, que las nuevas coordenadas satisfacen el sistema  1₁ 0₁ −1₁ 0 −1 −1    x 0 1 x0 2 x0 3   =  1₂ 3   ,

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que, resolviendo, proporciona los valores x0

1= 5, x02= −7, x03= 4 y M (~v, B) = (5, −7, 4)T. Hay que fijarse

en la matriz del sistema: su primera columna est´a formada por las coordenadas del vector ~v1 en la base

B, la segunda columna est´a formada por las coordenadas del vector ~v2 en la base B y la tercera tiene

por elementos las coordenadas del vector ~v3en la base B.

Este procedimiento se puede generalizar. Sea V un e. v. sobre K de dimensi´on n. Sea B = {~b1,~b2, . . . ,~bn}

una base de V , en las que las coordenadas de un vector ~x ∈ V se denotan por M (~x, B) = (x1, x2, . . . , xn)T.

Sea B0 _{= {~b}0

1,~b02, . . . ,~b0n} otra base de V , en la que las coordenadas de ~x ∈ V se denotan por M (~x, B0) =

(x0

1, x02, . . . , x0n)T. Supongamos que se conocen los vectores de B0 en funci´on de los de B, es decir,

~b0 1 = q11~b1+ q21~b2+ · · · + qn1~bn ~b0 2 = q12~b1+ q22~b2+ · · · + qn2~bn .. . = ... ~b0 n = q1n~b1+ q2n~b2+ · · · + qnn~bn.

Entonces, las coordenadas M (~x, B) = (x1, x2, . . . , xn)T vendr´an, en funci´on de las coordenadas M (~x, B0) =

(x0

1, x02, . . . , x0n)T, dadas por las f´ormulas

x1 = q11x01+ q12x02+ · · · + q1nx0n

x2 = q21x01+ q22x02+ · · · + q2nx0n

.. . = ...

xn = qn1x01+ qn2x02+ · · · + qnnx0n,

que matricialmente se escribe

M (~x, B) = QM (~x, B0_), _{Q = M (B}0_{, B) =}     q11 q12 · · · · · · q1n q21 q22 · · · · · · q2n · · · · · · · · · · · · · · · qn1 qn2 · · · · · · qnn     .

La matriz Q se llama matriz de cambio de base de B0_{a B y es una matriz invertible. Como ha mostrado}

la construcci´on del sistema, hay que observar que las columnas de Q = M (B0_{, B) son las coordenadas}

de los vectores de la base B0 _{con respecto a la base B. Precisamente, su matriz inversa es la matriz del}

cambio de coordenadas inverso, de B a B0_{, es decir}

M (~x, B0) = Q−1M (~x, B) = M (B, B0)M (~x, B). Este es, con frecuencia, el problema a resolver.

Ejemplo. Supongamos que B = {~b1,~b2,~b3}, con ~b1 = (1, −1, 0)T, ~b2 = (0, 1, 0)T, ~b3 = (1, 0, −1)T.

Supongamos tambi´en que B0 _{= {~}_b0₁_{, ~}_b0₂_{, ~}_b0₃_{}, con}

~ b0₁ _{= ~b}₁_{− ~b}₂_, ~ b0 2 = ~b1+ ~b3, ~ b0 3 = ~b2− ~b3.

Si ~x = ~b1− ~b2+ 2~b3, las coordenadas de ~x en B0 (~x = α~b01+ β~b02+ γ~b03) satisfar´an

  ₋₁1 2   =   _{−1 0}1 1 0₁ 0 1 −1     α_β γ   , que resolviendo da lugar a los valores α = 0, β = 1, γ = −1.

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2.3. SUBESPACIOS FUNDAMENTALES DE UNA MATRIZ 27

2.3. Subespacios fundamentales de una matriz

2.3.1. Definici´

on y propiedades

Pasamos ahora a describir un procedimiento para resolver en la pr´actica varios problemas que se han ido planteando en secciones anteriores. Concretamente:

1. Cómo describir los subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita. 2. Cómo determinar una base de un subespacio.

3. C´omo obtener una base de un sistema generador dado. 4. C´omo formar una base a partir de un sistema libre dado.

Con respecto al problema 1, generalmente los subespacios (que no sean el formado exclusivamente por el vector nulo) se describen de dos maneras. La primera consiste en dar un sistema de generadores del subespacio (en particular, una base) que pueden disponerse como el espacio fila o el espacio columna de una matriz. En la segunda, podemos dar una lista de restricciones acerca del subespacio; en lugar de decir cuáles son los vectores en el subespacio, se dicen las propiedades que deben satisfacer. Generalmente estas restricciones vienen dadas más o menos expl´ıcitamente por un conjunto de ecuaciones lineales, de modo que el subespacio queda descrito como el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo

A~x = ~0 y cada ecuaci´on del sistema representa una restricci´on. En el primer tipo puede haber filas o

columnas redundantes y en el segundo puede haber restricciones redundantes. En ninguno de los dos casos es posible dar una base (resolver el problema 2) por mera inspección, es necesario algún procedimiento sistemático.

El método que aqu´ı explicaremos está basado en el proceso de eliminación gaussiana de una matriz

A dado en el tema 1 y la matriz U escalonada superior que quedaba asociada a ´esta al final del proceso.

Con este procedimiento vamos también a poder resolver los problemas 3 y 4 y el problema añadido de cómo pasar de una representación de un subespacio a la otra.

Definici´on. Supongamos que reducimos una matriz A ∈ Mm,n(K) mediante operaciones elementales a

una matriz U de forma escalonada. Llamemos r al n´umero de pivotes de U , de tal modo que las ´ultimas

m − r filas de U son id´enticamente nulas. A este n´umero r se le llama rango de la matriz A.

Hay una relaci´on entre el rango r y la independencia lineal: precisamente, r es el n´umero de filas linealmente independientes de la forma escalonada U .

Los subespacios fundamentales de una matriz A ∈ Mm,n(K) son los siguientes:

1. Espacio fila f il(A): es el espacio generado por las filas de A. 2. Espacio nulo Ker(A) = {~x/A~x = ~0}.

3. Espacio columna col(A): es el espacio generado por las columnas de A. 4. Espacio nulo por la izquierda Ker(AT_{) = {~x/A}T_{~x = ~0}.}

La relación entre los subespacios fundamentales de una matriz y los subespacios vectoriales es la siguiente: si el subespacio viene dado por un sistema de generadores, será el espacio fila (o el espacio columna) de la matriz cuyas filas (o columnas) sean los vectores del sistema generador. Si el subespacio viene dado por un conjunto de restricciones, se escribirá como el espacio nulo o el espacio nulo por la izquierda de una matriz, la del sistema homogéneo dado por las restricciones. Queda claro entonces que para determinar una base de un subespacio tenemos que analizar la manera de determinar una base de los subespacios fundamentales de una matriz. En ello tendrá que ver su forma escalonada obtenida por eliminación gaussiana.

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1. Espacio fila de A. La eliminación actúa en A para producir una matriz escalonada U ; el espacio fila de U se obtiene directamente: su dimensión es el rango r y sus filas distintas de cero constituyen una base (pruébese). Ahora bien, cada operación elemental no altera el espacio fila, pues cada fila de la matriz U es una combinación de las filas originales de A (razonar que para dos vectores cualesquiera

< ~v1, ~v2 >=< ~v1, ~v2− α~v1 >, para todo escalar α). Como al mismo tiempo cada paso puede anularse

mediante una operaci´on elemental, entonces

f il(A) = f il(U ),

por tanto, f il(A) tiene la misma dimensión r y la misma base. Hay que notar que no comenzamos con las m filas de A, que generan el espacio fila y descartamos m − r para obtener una base. Podr´ıamos hacerlo, pero puede ser dif´ıcil decidir cuáles filas descartar; es más sencillo tomar simplemente las filas de

U distintas de cero.

Ejemplo. Determina una base del subespacio de R4 _{generado por los vectores ~v}

1 = (1, 1, 0, 1)T, ~v2 =

(1, 2, 2, 1)T_{, ~v}

3= (3, 4, 2, 3)T.

Disponemos los vectores generadores como las filas de una matriz

A =  1 1 0 1_{1 2 2 1} 3 4 2 3   .

El subespacio es entonces el espacio fila de A. Reducimos por eliminaci´on gaussiana,

A =  1 1 0 1_{1 2 2 1} 3 4 2 3   →  1 1 0 1_{0 1 2 0} 0 1 2 0   →  1 1 0 1_{0 1 2 0} 0 0 0 0   = U.

Puesto que U tiene dos pivotes, r = 2, de modo que la dimensi´on del subespacio es dos. Como una base de f il(U ) lo forman las dos primeras filas, lo mismo ocurre con f il(A), de manera que una base del subespacio es ~w1= (1, 1, 0, 1)T, ~w2= (0, 1, 2, 0)T.

2. Espacio nulo de A. Es el formado por los vectores ~x tales que A~x = ~0. En la eliminaci´on gaussiana se reduce el sistema A~x = ~0 al sistema U~x = ~0 precisamente sin alterar ninguna de las soluciones. Por tanto, el espacio nulo de A es el mismo que el de U ,

Ker(A) = Ker(U ).

De las m aparentes restricciones impuestas por las m ecuaciones A~x = ~0 s´olo r son independientes, especificadas precisamente por las r filas de U distintas de cero. As´ı, el espacio nulo de A tiene dimensi´on

n − r, que es el número de variables libres del sistema reducido U~x = ~0, correspondientes a las columnas de U sin pivotes. Para obtener una base, podemos dar el valor 1 a cada variable libre, cero a las restantes y resolver U~x = ~0 para las r variables básicas por sustitución regresiva. Los n − r vectores as´ı producidos forman una base de Ker(A).

Ejemplo. Determina una base del subespacio W de R4_{, formado por los vectores ~x = (x}

1, x2, x3, x4)T

tales que

−x1+ x2− x3+ 2x4 = 0

2x1− 2x2+ x3 = 0

5x1− 5x2+ 3x3− 2x4 = 0

Se tiene que W = {~x ∈ R4_{/A~x = ~0} donde}

A =  −1₂ ₋₂1 −1₁ 2₀ 5 −5 3 −2   .

(11)

2.3. SUBESPACIOS FUNDAMENTALES DE UNA MATRIZ 29 La eliminaci´on gaussiana lleva a que W = Ker(U ) donde

U =  −1 1 −1 2₀ _{0 −1 4} 0 0 0 0   .

Como en este caso n = 4 y r = 2, la dimensi´on de W es n − r = 2. Las variables b´asicas son x1 y x3 y

las libres x2 y x4. El sistema U~x = ~0 queda

x1+ x3 = x2+ 2x4

x3 = 4x4

Dando los valores x2 = 1, x4= 0, tenemos el vector ~v1= (1, 1, 0, 0)T. Con los valores x2= 0, x4= 1 se

obtiene ~v2= (−2, 0, 4, 1)T. Los vectores ~v1, ~v2forman una base de W .

3. Espacio columna de A. Podr´ıamos tener en cuenta que las columnas de A son las filas de AT _y

actuar sobre AT_{. Es mejor, sin embargo, estudiar el espacio columna en t´erminos de los n´}_{umeros originales}

m, n y r.

Es importante destacar que A no tiene el mismo espacio columna que U . La eliminaci´on gaus-siana altera las columnas. Sin embargo, cada vez que ciertas columnas de U formen una base del espacio columna de U , las correspondientes columnas de A forman una base del espacio columna de A.

La razón es la siguiente: sabemos que A~x = ~0 si y sólo si U~x = ~0. Los dos sistemas son equivalentes y tienen las mismas soluciones. En términos de multiplicación de matrices, A~x = ~0 expresa una dependencia lineal entre las columnas de A, con coeficientes dados por las coordenadas de ~x. Por tanto, cada una de estas dependencias corresponde a una dependencia lineal U~x = ~0 entre las columnas de U y con los mismos coeficientes. Si el conjunto de columnas de A es independiente, lo mismo es válido para las columnas de

U y viceversa.

Ahora, para encontrar una base de col(A), partimos de encontrar una base de col(U ). Pero una base de col(U ) la forman las r columnas de U que contienen los pivotes. As´ı, tenemos:

La dimensión de col(A) es igual al rango r, que es la dimensión de f il(A): en cualquier matriz, el número de filas independientes es igual al n´umero de columnas independientes. Una base de col(A) está formada por aquellas r columnas de A correspondientes, en U , a las columnas que contienen los pivotes.

Ejemplo. Para la matriz

A =  1 2 0 1_{0 1 1 0} 1 2 0 1   , la eliminaci´on gaussiana lleva a que

U =  1 2 0 1_{0 1 1 0} 0 0 0 0   .

Para U , las columnas con pivote son la primera y la segunda, luego una base de col(A) est´a formada por las dos primeras columnas de A: (1, 0, 1)T_{, (2, 1, 2)}T_.

4. Espacio nulo por la izquierda de A. Es el espacio nulo de AT_{. Como para cualquier matriz, se}

tiene que

(12)

esta regla puede aplicarse a AT_{, que tiene m columnas. Como rango fila=rango columna = r, entonces}

dimKer(AT_{) = m − r. Se puede determinar una base de Ker(A}T_{) de la misma manera que se ha hecho}

con el espacio nulo de A.

Ejercicio. Determina una base de los cuatro subespacios elementales de la matriz

A =     2 4 0 2 6 −2 1 0 8 2 1 2 −4 1 −3 −5     .

Explicado el procedimiento para obtener una base de un subespacio, resolvemos los problemas pendi-entes.

Para obtener una base de un sistema generador (problema 3), basta con hallar una base del espacio fila de la matriz cuyas filas son los vectores generadores.

Ejemplo. Obtenemos una base del subespacio generado por el sistema de generadores de R3_{: ~v} 1 =

(1, 2, 1)T_{, ~v}

2= (3, 2, 1)T, ~v3= (4, 0, 0)T, ~v4= (−1, 2, 1)T.

Disponemos los vectores como las filas de una matriz y reducimos a forma escalonada     1 2 1 3 2 1 4 0 0 −1 2 1     →     1 2 1 0 −4 −2 0 −8 −4 0 4 2     →     1 2 1 0 −4 −2 0 0 0 0 0 0    

La dimensi´on del espacio fila es dos, luego de los cuatro vectores s´olo dos son independientes. Una base del subespacio lo forman los vectores (1, 2, 1)T_{, (0, −4, −2)}T_.

Para obtener una base de un espacio vectorial a partir de un sistema libre (problema 4) basta con ampliar el espacio fila correspondiente con vectores que van siendo independientes, hasta completar la dimensi´on.

Ejemplo. Completamos a una base de R4_{a partir de los vectores ~v}

1= (1, 1, 0, 1)T, ~v2= (1, 2, 2, 1)T, ~v3=

(3, 0, 2, 3)T_.

Disponemos los vectores como las filas de una matriz y reducimos a forma escalonada.  1 1 0 1_{1 2 2 1} 3 0 2 3   →  1₀ 1₁ 0 1_{2 0} 0 −3 2 0   →  1 1 0 1_{0 1 2 0} 0 0 8 0   .

Si a˜nadimos una cuarta fila con un pivote, por ejemplo, (0, 0, 0, 1)T_{, tenemos que la dimensi´on del espacio}

fila de la matriz que forman los tres primeros vectores y este cuarto es cuatro, luego un vector que completa a una base es, por ejemplo, (0, 0, 0, 1)T_.

Para calcular las ecuaciones de un subespacio a partir de un sistema generador, se dispone el sistema generador como las filas de una matriz, y a ésta se añade una fila con un vector genérico. Se reduce la matriz as´ı formada por eliminación gaussiana, obligando a que se anule la última fila de la forma escalonada final.

Ejemplo. Obtenemos las ecuaciones del subespacio generado por los vectores ~v1 = (1, 0, 3)T, ~v2 =

(13)

2.4. OPERACIONES CON SUBESPACIOS 31 Disponemos los vectores como las filas de una matriz, a˜nadiendo una tercera fila con un vector gen´erico (x, y, z)T _{del subespacio y reducimos a forma escalonada:}

 _{−2 3 −1}1 0 3 x y z   →  1 0_{0 3} 3₅ 0 y z − 3x   →  1 0_{0 3} 3₅ 0 0 z − 3x − (5/3)y  

Como el vector (x, y, z)T _{est´a en el subespacio, la dimensi´on del espacio fila de la matriz ha de ser dos,}

luego la ´ultima fila de la forma escalonada tiene que ser nula. Por tanto, el subespacio es

W = {(x, y, z)T/z − 3x − (5/3)y = 0}.

Al rev´es, para dar un sistema generador a partir de las ecuaciones de un subespacio, basta con calcular una base del espacio nulo de la matriz del sistema de ecuaciones.

2.4. Operaciones con subespacios

Una vez que sabemos determinar una base de un subespacio vectorial, nos queda operar con ellos. B´asicamente, se pueden realizar dos operaciones con subespacios: intersecciones y sumas.

2.4.1. Intersecci´

on de subespacios

Sea V un e. v. y W1, W2subespacios vectoriales de V . La intersecci´on W = W1∩ W2es el conjunto de

vectores de V que est´an a la vez en W1 y W2. No es dif´ıcil ver que W es un subespacio vectorial. N´otese

que la intersecci´on cualquiera es no vac´ıa, pues al menos el vector nulo est´a en W .

Para describir la intersección de subespacios, la manera más natural es poner cada subespacio en forma de un sistema de ecuaciones homogéneo. La intersección será aquel subespacio que verifique todas las restricciones a la vez.

Ejemplo. Para los subespacios

W1 = {(x, y, z)T/x + y + z = 0}

W2 = {(x, y, z)T/x − z = 0}

el subespacio W1∩ W2es

W1∩ W2 = {(x, y, z)T/x + y + z = 0, x − z = 0}

2.4.2. Suma de subespacios

Sea V un e. v. y W1, W2 subespacios vectoriales de V . Observemos que, en general, la uni´on de

subespacios W1∪ W2 (el conjunto de vectores que est´an en algunos de los dos subespacios) no es un

subespacio vectorial. Por ejemplo, si W1es el subespacio de R2generado por el vector ~w1= (1, 0)T y W2

es el subespacio generado por ~w2= (0, 1)T, naturalmente los vectores ~w1y ~w2 est´an en W1∪ W2, pero la

suma ~w1+ ~w2= (1, 1)T no est´a en W1∪ W2.

Se puede definir, sin embargo, la suma de subespacios W = W1+ W2 como el subespacio generador

por la uni´on W = hW1∪ W2i.

Contrariamente a la intersecci´on, una manera sencilla de describir el subespacio suma consiste en determinar un sistema generador o una base de cada subespacio y quedarse con los independientes, obteni´endose de esta manera una base del subespacio suma.

(14)

Ejemplo. Obtenemos una base del subespacio suma W1+ W2 donde

W1 = {(x, y, z)T/x + y = 0, z = 0}

W2 = {(x, y, z)T/z = 0}.

Una base de W1 es ~w1 = (1, −1, 0)T y de W2, ~w2 = (1, 0, 0)T, ~w3 = (0, 1, 0)T. Entonces, ~w1, ~w2 y ~w3

forman un sistema generador de W1+ W2. Ahora, el vector ~w1depende de los otros dos, luego una base

del subespacio suma est´a formado por ~w2= (1, 0, 0)T, ~w3= (0, 1, 0)T. Es decir, W1+ W2= W2.

La forma de determinar una base del subespacio suma muestra que todo vector ~w de W = W1+ W2

puede escribirse como suma ~w = ~w1+ ~w2donde ~w1∈ W1 y ~w2∈ W2.

Cuando los subespacios s´olo tiene en com´un el vector nulo, W1∩ W2 = {~0}, el subespacio suma se

denomina suma directa de W1y W2y se denota por W = W1⊕W2. En este caso, los vectores componentes

~

w1, ~w2 de la descomposici´on ~w = ~w1+ ~w2 de cualquier vector ~w de la suma que mencion´abamos antes

son ´unicos: los vectores de W s´olo pueden descomponerse de una forma. Adem´as, en este caso, dada B1

una base de W1 y B2 una base de W2, B1∪ B2 es una base de W1⊕ W2.

Respecto a las dimensiones de los subespacios suma e intersecci´on, se tiene el siguiente resultado: F´ormula de las dimensiones. Si W1y W2 son dos subespacios vectoriales de dimensi´on finita

dim(W1+ W2) = dim(W1) + dim(W2) − dim(W1∩ W2).

En particular, si W1∩ W2= {~0},

dim(W1⊕ W2) = dim(W1) + dim(W2).

2.5. Aplicaciones lineales

Se pueden establecer relaciones entre espacios vectoriales, a través de las llamadas aplicaciones lineales. Antes de dar la definición formal, vamos a mostrar algunos ejemplos para intentar explicar qué significa que una aplicación entre espacios vectoriales sea lineal.

En el plano R2 _{pueden darse varias transformaciones, con interpretaci´on geom´etrica, entre vectores.}

Por ejemplo, se puede aumentar o reducir de tama˜no un vector (homotecias).

¡¡ ¡¡ ¡ µ ~v = (x, y) ¡¡ ¡ µ T~v = (1 2x,12y) ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡µ T~v = (2x, 2y)

Desde el punto de vista algebraico, esto significa multiplicar cada componente del vector por una constante λ ∈ R. Si 0 < λ < 1, el vector se reduce de tamaño, si λ > 1, aumenta. En el caso de que λ < 0, el vector cambia además de sentido. Todo ello genera una transformación entre vectores (homotecia de centro el origen y razón λ),

T : R2_{→ R}2 µ x y ¶ 7−→ T (x, y) = µ λx λy ¶ .

(15)

2.5. APLICACIONES LINEALES 33 ´

Este es un primer ejemplo de una transformación lineal entre espacios vectoriales. Se dice que es lineal por lo siguiente: si uno toma una combinación de dos vectores cualesquiera y le aplica la homotecia, el vector resultante es el mismo que si aplicamos primero la homotecia a los vectores originales y luego hacemos la combinación lineal a los vectores transformados. Fijémonos por último en que la aplicación se puede escribir como el producto de una matriz por el vector genérico, en la forma

µ x y ¶ 7−→ T (x, y) = µ λx λy ¶ = µ λ 0 0 λ ¶ µ x y ¶ .

El siguiente ejemplo tiene también su interpretación geométrica. Se trata de girar los vectores del plano un ángulo determinado α.

©©©© ©©©© © *~v = (x, y) ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¸ T (~v) α θ

Para dar una expresión a esta tranformación entre vectores podemos hacer uso de los números com-plejos que tratamos en el tema preliminar. Recordemos que un vector en el plano con base en el ori-gen y coordenadas ~v = (x, y)T _{representa también el complejo z = x + iy o, en forma trigonométrica}

z = r cos θ + ir sin θ, donde x = r cos θ, y = r sin θ, r = |z| =px2_{+ y}2_{y θ es el argumento principal de z.}

Observemos entonces que un giro de ´angulo α proporciona un nuevo vector, es decir, un nuevo complejo, cuyo m´odulo es similar al del vector de inicio, mientras que uno de sus argumentos se obtiene sumando

α al argumento θ. De este modo, el nuevo complejo puede escribirse T (z) = r cos (θ + α) + ir sin (θ + α),

es decir, el vector transformado tiene por coordenadas

T (~v) = (r cos (θ + α), r sin (θ + α))T_.

En t´erminos de las componentes originales x e y, hay que tener en cuenta que x = r cos θ, y = r sin θ y las relaciones

cos(θ + α) = cos(θ) cos(α) − sin(θ) sin(α), sin(θ + α) = cos(θ) sin(α) + sin(θ) cos(α). Podemos entonces escribir que

T (~v) = T (x, y) = (x cos(α) − y sin(α), x sin(α) + y cos(α))T = µ cos α − sin α sin α cos α ¶ µ x y ¶ ,

transformaci´on que se expresa como producto de una matriz por el vector de salida. La aplicaci´on

T : R2_{→ R}2 µ x y ¶ 7−→ T (x, y) = µ cos α − sin α sin α cos α ¶ µ x y ¶

es lineal. Esto puede razonarse como antes. Si combinamos dos vectores y el vector resultante gira un ángulo α, el resultado es el mismo que si primero giramos los vectores originales un ángulo α y luego hacemos la combinación lineal a los vectores resultantes del giro.

(16)

Naturalmente, no todas las aplicaciones son lineales. Por ejemplo, otra de las transformaciones que pueden hacerse en R2 _{es a˜}_{nadir una cantidad fija a cada componente α, β 6= 0 de los vectores. Por}

ejemplo, podemos generar la aplicaci´on

T : R2_{→ R}2 µ x y ¶ 7−→ T (x, y) = µ x + 1 y + 1 ¶ .

Esta transformaci´on no es lineal. Si, por ejemplo, sumamos dos vectores y a la suma se a˜nade el vector (α, β)T _{= (1, 1)}T_{, el resultado no es el mismo que si primero a˜}_{nadimos (α, β)}T _{= (1, 1)}T _{a los vectores}

originales y luego sumamos. Hay que observar tambi´en que esta transformaci´on no puede escribirse como producto matriz por vector.

Estos ejemplos pretenden mostrar que para que una aplicaci´on entre espacios vectoriales sea lineal, su actuaci´on sobre los vectores debe conmutar con las operaciones de los subespacios: combinar los vectores y transformar debe dar el mismo resultado que transformar primero los vectores y luego combinarlos.

2.5.1. Definici´

on y propiedades

Para un uso en posteriores lecciones, introducimos aqu´ı el concepto de aplicaci´on lineal, que permite establecer relaciones entre los espacios vectoriales. Dados dos espacios vectoriales U y V sobre un mismo cuerpo K, se dice que una transformaci´on T : U → V es lineal cuando

(i) T (~x + ~y) = T (~x) + T (~y), ~x, ~y ∈ U .

(ii) T (λ~x) = λT (~x), ~x ∈ U, λ ∈ K.

Esto es

T (λ1~x1+ · · · + λm~xm) = λ1T (~x1) + · · · + λmT (~xm),

λ1, . . . , λm∈ K, ~x1, . . . , ~xm∈ U.

Ejemplos. Con la definici´on, se puede comprobar que las aplicaciones siguientes (1) T : R3_{→ R}3_{, T ((x, y, z)}T_{) = (x + y, y + z)}T_.

(2) T : P3[X] → P2[X], T (p(x)) = p0(x),

son lineales.

Con las aplicaciones lineales se pueden realizar tres operaciones:

Suma: si T, S : U → V son aplicaciones lineales, entonces la aplicaci´on T + S : U → V , (T + S)(~x) =

T (~x) + S(~x) es una aplicaci´on lineal.

Producto: si T : U → V es una aplicaci´on lineal y λ ∈ K, entonces la aplicaci´on (λT ) : U → V , (λT )(~x) = λT (~x) es lineal.

Composición: si U, V, W son espacios vectoriales, T : U → V , S : V → W son aplicaciones lineales, entonces la aplicación S ◦ T : U → W , (S ◦ T )(~x) = S(T (~x)) es una aplicación lineal.

Asociada a una aplicaci´on lineal, T : U → V hay dos subespacios destacables: N´ucleo: Ker(T ) = {~x ∈ U/T (~x = 0} ⊂ U ,

(17)

2.5. APLICACIONES LINEALES 35

2.5.2. Matriz de una aplicaci´

on lineal. Cambio de base

En espacios de dimensi´on finita, para manejarse con aplicaciones lineales, es mejor utilizar coorde-nadas. Ello va a permitir relacionar las aplicaciones lineales con las matrices, lo que hace m´as sencillo el uso de las primeras.

Sean U y V espacios vectoriales de dimensi´on finita sobre un mismo cuerpo K. Sean BU = {~u1, . . . , ~un},

BV = {~v1, . . . , ~vm} bases en U y V respectivamente. Sea T : U → V una aplicaci´on lineal. Se define la

matriz de la aplicaci´on lineal T en dichas bases como la matriz M (T, BU, BV) ∈ Mm,n(K) cuyas columnas

son las coordenadas de las im´agenes por T de los vectores de la base de partida BU, expresadas en la

base de llegada BV, esto es

M (T, BU, BV) = [M (T (~u1), BV) · · · M (T (~un), BV)].

Ejemplos.

[1] Para la aplicaci´on lineal T : R4_{→ R}3_{, T (x}

1, x2, x3, x4) = (x1+ x2+ x3, x2+ x4, x1+ x2+ x3+ x4),

se tiene que, en las bases can´onicas

M (T, Bc R4, Bc_R3) =  1 1 1 0_{0 1 0 1} 1 1 1 1   .

La razón es la siguiente: la primera columna de la matriz corresponde al vector imagen por T del primer vector de la base canónica en R4_{, escrito con respecto a la base canónica en R}3_{, esto es}

T ((1, 0, 0, 0)T) = (1, 0, 1)T,

(imagen del vector de coordenadas x1 = 1, x2 = 0, x3 = 0, x4= 0). As´ı, las otras columnas se obtienen

como

T ((0, 1, 0, 0)T_{) = (1, 1, 1)}T_,

T ((0, 0, 1, 0)T) = (1, 0, 1)T, T ((0, 0, 0, 1)T_{) = (0, 1, 1)}T_.

[2] Para la aplicaci´on lineal T : P4[X] → P3[X], T (p(x)) = p0(x) se tiene que en las bases can´onicas

Bc P4[X]= {1, x, x 2_{, x}3_{, x}4_}, _Bc P3[X]= {1, x, x 2_{, x}3_}, la matriz de T es M (T, B_Pc₄_[X], B_Pc₃_[X]) =     0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4     .

Veamos c´omo se van generando las columnas. La primera es la imagen por T del primer vector, el polinomio p(x) = 1. Como p0_{(x) = 0, entonces T (p(x)) es el polinomio nulo, luego sus coordenadas}

son todas nulas en cualquier base. La segunda columna de la matriz es la imagen por T del polinomio

p(x) = x. esto es

T (p(x)) = p0_{(x) = 1 = 1 + 0x + 0x}2_{+ 0x}3_,

de coordenadas (1, 0, 0, 0) en la base can´onica de P3[X]. Estas coordenadas forman la segunda columna

de la matriz. As´ı sucesivamente,

T (x2) = 2x = 0 · 1 + 2x + 0x2+ 0x3→ (0, 2, 0, 0), T (x3_{) = 3x}2_{= 1 = 0 · 1 + 0x + 3x}2_{+ 0x}3_{→ (0, 0, 3, 0),}

(18)

vamos generando las columnas de la matriz. Hay que destacar tres cosas importantes:

(i) La matriz de una aplicaci´on M (T, BU, BV) tiene tantas filas como la dimensi´on del espacio de

llegada V y tantas columnas como la dimensi´on del espacio de partida U (v´eanse los ejemplos anteriores).

(ii) La expresi´on de la matriz depende de las bases elegidas: si cambian las bases, cambia la matriz. Insistiremos m´as adelante sobre ello.

(iii) En la pr´actica, fijadas bases en U y V , podemos expresar la aplicaci´on lineal como un producto matriz por vector: si ~x = x1~u1+ · · · + xn~un, siendo (x1, . . . , xn)T las coordenadas del vector ~x en

la base BU, entonces, como T es lineal

T (~x) = x1T (~u1) + · · · + xnT (~un) = M (T, BU, BV)      x1 x2 .. . xn     .

Esto facilita el manejo de las aplicaciones lineales. As´ı, en el ejemplo [1] anterior

T (x1, x2, x3, x4) =  1 1 1 0_{0 1 0 1} 1 1 1 1       x1 x2 x3 x4     , y en el ejemplo [2], si p(x) = a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4, T (p(x)) =     0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4           a0 a1 a2 a3 a4      , que es el polinomio a1+ 2a2x + 3a3x2+ 4a4x3.

Cambio de base en las aplicaciones lineales

Ya hemos comentado que al cambiar las bases en los espacios vectoriales cambia la matriz de la apli-cación lineal. Veamos cómo afectan los cambios de base. Consideremos una apliapli-cación lineal T : U → V de la que conocemos su matriz asociada M (T, BU, BV) cuando fijamos las bases BU, BV. Imaginemos

que cambiamos las bases a B0

U, BV0 y queremos determinar la matriz asociada a T en estas bases,

M (T, B0

(19)

2.5. APLICACIONES LINEALES 37 UBU 6 UB0 U ~x VBV -VB0 V 6 T (~x) -M (T, BU, BV) M (T, B0 U, BV0 ) M (B0 U, BU) M (BV0 , BV)

Las flechas a la izquierda y a la derecha son las que llevan, respectivamente, un vector escrito en la base

B0

U en el mismo vector expresado ahora en la base BU y cualquier vector escrito en la base BV0 en el

mismo vector expresado ahora en la base BV. Ambas transformaciones vienen entonces dadas por las

correspondientes matrices de cambio de base M (B0

U, BU), M (BV0 , BV) de las que hablamos al principio

de la lecci´on (coordenadas de un vector respecto a una base y cambio de base). As´ı, por ejemplo, la flecha de la izquierda lleva un vector ~u ∈ U en

M (B0

U, BU)~u,

y la flecha de la derecha lleva un vector ~v ∈ V en

M (B0

V, BV)~v.

Por otro lado, las flechas de arriba y de abajo corresponden a la aplicaci´on lineal T pero en bases distintas. Supongamos que conocemos la matriz asociada a T arriba, es decir M (T, BU, BV), pero no la de abajo

M (T, B0

U, BV0 ), que es la que queremos calcular.

Fij´emonos ahora en que tiene que ser igual llevar un vector ~x ∈ U desde la esquina inferior izquierda a su imagen T (~x) en la esquina superior derecha por los dos caminos siguientes: flecha izquierda + flecha arriba o bien flecha abajo + flecha derecha. En t´erminos matriciales, el primer camino es

M (T, BU, BV)M (B0U, BU)~x, y el segundo es M (B0 V, BV)M (T, B0U, B0V)~x, por tanto M (T, BU, BV)M (BU0 , BU)~x = M (BV0 , BV)M (T, BU0 , BV0 )~x.

Ahora bien, el vector ~x en este razonamiento es arbitrario, de modo que la igualdad vectorial es en realidad una igualdad matricial

(20)

De aqu´ı despejamos la matriz que nos interesa,

M (T, B0

U, B0V) = M (B0V, BV)−1M (T, BU, BV)M (B0U, BU)

= M (BV, BV0 )M (T, BU, BV)M (B0U, BU).

Ejemplo. Para la aplicaci´on lineal T : U → V , siendo U = R3_{, V = R}2 _{y las bases}

BU = {(1, 0, 0)T, (0, 1, 0)T, (0, 0, 1)T}, BV = {(1, 0)T, (0, 1)T}

B0

U = {(1, 0, 0)T, (1, 0, 1)T, (1, 1, 0)T}, BV0 = {(1, −1)T, (0, 1)T},

se sabe que la matriz de T en las bases BU, BV es

M (T, BU, BV) = µ −1 0 1 2 −1 1 ¶ . Entonces M (T, BU0 , BV0 ) = µ 1 0 −1 1 ¶−1µ −1 0 1 2 −1 1 ¶ 1 1 1_{0 0 1} 0 1 0   =?

Fijémonos entonces que una aplicación lineal suele venir dada o bien en forma expl´ıcita, es decir, dando su imagen para un vector genérico, o bien, si hemos fijado bases, a través de un producto matriz por vector.

Por último, la siguiente fórmula de dimensiones relaciona en su demostración el núcleo y la imagen de una aplicación lineal con subespacios fundamentales de una cualquiera de sus matrices asociadas. Teorema 3. Sean U y V espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo cuerpo K y T : U → V una aplicación lineal. Entonces

dim(U ) = dimKer(T ) + dimIm(T ).

En efecto, si n = dim(U ), m = dim(V ) y fijamos bases cualesquiera en ambos espacios, sea A ∈

Mm,n(K) la matriz de T en tales bases. Por un lado,

dimKer(T ) = dimKer(A) = n − r,

siendo r el rango de la matriz A. Por otro lado,

dimIm(T ) = dimcol(A) = r,

de donde se obtiene la f´ormula.

EJERCICIOS DEL TEMA 2

Ejercicio 1. Para los siguientes espacios vectoriales E sobre R, comprueba que el conjunto de vectores dado es una base de dicho espacio (llamada base can´onica):

(1) E = Rn_{, B = {~e}

1, · · · , ~en}, ~ej vector de tama˜no n con todas sus componentes nulas excepto la j-´esima

que vale 1.

(2) E = Pn[X] (conjunto de polinomios de grado menor o igual que n y coeficientes reales), B =

(21)

2.5. APLICACIONES LINEALES 39 (3) E = Mmxn(R) (conjunto de matrices de m filas y n columnas con elementos reales), B = {A1,1, · · · , Am,n}

con Ar,s = Ir,s (matriz de m filas y n columnas con todos sus elementos nulos excepto el 1 de la posici´on

(r, s)).

(4) E = Cn_{, B = {~e}

1, · · · , ~en, ~v1, · · · , ~vn} con ~vj el vector de n componentes, todas ellas nulas salvo la

j-´esima que vale i y ~ej el del apartado (1).

Calcula la dimensión de cada uno de ellos. ¿ Qué bases canónicas se obtienen al considerar los anteriores espacios vectoriales sobre C?.

Ejercicio 2. De los siguientes subconjuntos de R3_{, identifica los que son subespacios vectoriales de R}3_,

razonando tu respuesta: (a) {(x, y, z)T_{/y = 0}}

(b) {(x, y, z)T_{/x = 0, y + z = 1}}

(c) {(x, y, z)T_{/x = y, z = 2x}}

Ejercicio 3. ¿Cu´ales de los siguientes subconjuntos de R4 _{son subespacios? Cuando lo sean halla su}

dimensi´on y una base.

a) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3, x4)T con x1x3x4= 0.

b) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3, x4)T que satisfacen x1− 2x2+ 4x3− x4= 0.

c) El conjunto de los vectores (x1, x2, x3, x4)T con x1= 0 y x4= 2.

Ejercicio 4. Si B = {~b1,~b2,~b3}, con ~b1= (1, −1, 0)T, ~b2= (0, 1, 0)T, ~b3= (1, 0, −1)T y B0= {~b01, ~b02, ~b03},

con ~b0

1 = (1, −2, 0)T, ~b02 = (2, −1, −1)T, ~b03 = (−1, 1, 1)T, calcula M (~x, B0) sabiendo que M (~x, B) =

(1, −1, 2)T_.

Ejercicio 5. Determina una base y la dimensi´on de V + W y V ∩ W donde V y W est´an generados respectivamente por los vectores x1, . . . , xk e y1, . . . , ym siguientes:

a) x1= [1, 2, 1, 0]T, x2= [−1, 1, 1, 1]T, y1= [2, −1, 0, 1]T, y2= [1, −1, 3, 7]T.

b) x1= [1, 2, −1, −2]T, x2= [3, 1, 1, 1]T, x3= [−1, 0, 1, −1]T, y1= [2, 5, −6, −5]T, y2= [−1, 2, −7, −3]T.

Ejercicio 6. En R4 _{se consideran los subespacios:}

(i) F generado por a1, a2, a3 con

a1= [1, 1, 1, −3]T, a2= [3, −2, 3, −4]T, a3= [−1, −6, −1, 8]T.

(ii) G = {[x, y, z, t]T_{/y − t = 0, 2y + 3t = 0}.}

(iii) H generado por b1, b2, b3 con

b1= [0, 1, 0, 0]T, b2= [1, 0, −1, 2]T,b3= [2, 0, 0, 2]T.

Calcula ecuaciones, dimensión y una base de los subespacios F , G, H, F + G, F + H, F ∩ H, F ∩ G. Ejercicio 7. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son libres o ligados en función del valor del parámetro a:

a) [1, 2, −4]T_{, [−1, −2, a]}T_{, [a, 8, −16]}T_{, [1, −1, 5]}T

b) [1, 1, 0, 1]T_{, [1, 2, 2, 1]}T_{, [3, a, 2, 3]}T

c) [1, 2, 1, 0]T_{, [1, 1, 1, 1]}T_{, [a, 0, −1, −2]}T_{, [0, 1, −1, 1]}T_.

Ejercicio 8. En el espacio de los polinomios de grado menor o igual que 2 se considera el subespacio

S generado por los polinomios 1 + 2x, 2 + x2_{, 3 + 2x + x}2 _{y 4 + 4x + x}2_{. Halla una base de S y da las}

(22)

Ejercicio 9. Halla una base de los subespacios generados por los conjuntos de vectores siguientes, y ampl´ıa dichas bases hasta obtener una base del espacio R4_:

a) [2, 1, 3, 0]T_{, [−1, 0, 0, 2]}T_{, [3, 1, 1, 1]}T _{y [4, 1, −1, 2]}T_.

b) [2, 0, 1, 3]T_{, [1, 1, 0, −1]}T_{, [0, −2, 1, 5]}T _{y [3, −1, 2, 7]}T_.

Halla las coordenadas en las bases de R4 _{obtenidas en los apartados a) y b) del vector [1, 0, 2, 1]}T_.

Ejercicio 10. Sea P4[X] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 4 con

coefi-cientes reales.

(1) Demuestra que B = {1, x, x(x − 1), x3_{, x}4_{} es una base de P} 4[X].

Sea W el subconjunto de P4[X] definido por

W = {p(x) ∈ P4[X]/p(1) = p(−1) = 0}.

(2) Demuestra que W es un subespacio vectorial. (3) Encuentra la dimensi´on y una base de W . (4) Completa dicha base a una de P4[X], B‘.

(5) Halla la matriz de cambio de base M (B‘, B).

(6) Encuentra un subespacio V de P4[X] tal que P4[X] = W ⊕ V .

Ejercicio 11. Se considera el polinomio P (x) = x4_{+ 2x}3_{− x}2_{+ x − 1.}

a) Demuestra que los polinomios P (x), P0_{(x), P}00_{(x), P}000_{(x) y P}0000_{(x) forman una base del espacio}

vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 4.

b) Halla las coordenadas del polinomio 5x4_{− 3x}2_{+ 2x − 4 en dicha base.}

Ejercicio 12. Dado el subespacio S de R3_{generado por los vectores (1, 0, 3)}T_{, (−2, 3, −1)}T_{, determina}

si el vector (0, 4, 6)T _{pertenece o no a este subespacio.}

Ejercicio 13. Halla la dimensi´on y una base de los cuatro subespacios fundamentales asociados a las matrices siguientes: A =  1₀ 2₁ 0₁ 1₀ −2 −1 3 −2   , B =  _{−1 −2}1 2 0₁ 2₁ 1₀ 1 2 −3 −7 −2   , C =  ₁i −i 0₁ ₀ 0 0 1   .

Ejercicio 14. a) Construye una matriz cuyo espacio nulo est´e generado por (1, 0, 1)T_.

b) ¿ Existe una matriz cuyo espacio fila contenga al vector (1, 1, 1)T _{y cuyo espacio nulo contenga al}

vector (1, 0, 0)T_.

Ejercicio 15. Determina el rango de los siguientes conjuntos de polinomios de grado menor o igual que 3:

p1(x) = 1 + x + x2+ 2x3, p2(x) = −2 + 3x + 2x2− x3,

p3(x) = 1 − 2x + 2x3, p4(x) = 4x + 6x2+ 6x3.

Ejercicio 16. Sea T la aplicaci´on de R4_{en R}3 _{definida por}

T ([x1, x2, x3, x4]T) = [x1− 2x2+ x3− x4, 2x1− x2+ x4, 3x2− 2x3+ 3x4]T

a) Comprueba que T es una transformación lineal. b) Halla la dimensión y una base de Im(T ). c) Halla la dimensión y una base de Ker(T ).

(23)

2.5. APLICACIONES LINEALES 41 Ejercicio 17 Sea T la aplicaci´on de R3 _{en R}2 _{definida por}

T ((x, y, z)T_{) = (2x + y, y − z)}T_.

a) Comprueba que T es una transformaci´on lineal. b) Halla la dimensi´on y una base de Ker(T ) e Im(T ).

c) Dadas las bases {(1, 1, 1)T_{, (0, 1, 2)}T_{, (0, 2, 1)}T_{} de R}3_{y {(2, 1)}T_{, (1, 0)}T_{} de R}2_{, halla las}

correspondi-entes matrices de cambio de base y la matriz de la aplicaci´on en estas nuevas bases. Ejercicio 18. Sea T la transformaci´on lineal de R3_{definida por}

T ([x1, x2, x3]T) = [x1− x2+ x3, 2x1− 3x2− x3, −x1+ 4x2+ 5x3]T.

a) Halla la matriz de T en la base can´onica de R3_.

b) Sean ~v1 = [1, 1, 0]T, ~v2 = [1, 3, 2]T y ~v3 = [3, 1, 2]T. Halla la matriz de T en la nueva base B0 =

{~v1, ~v2, ~v3}.

c) Demuestra que T es invertible y da una expresi´on para T−1 _{como la que defini´o a T .}

Ejercicio 19. Determina una aplicaci´on lineal T : R4 _{→ R}3 _{tal que Ker(T ) est´e generado por los}

vectores (−1, 0, 0, 1)T _{y (1, 3, 2, 0)}T _{y tal que Im(T ) est´e generada por los vectores (1, 1, 1)}T _{y (0, −2, 1)}T_.

Ejercicio 20. Se considera la aplicaci´on lineal de P4[X] en R2 dada por:

T : P4[X] → R2

T (p) = (p(−1), p(1))T_.

a) Halla la matriz que representa a dicha aplicaci´on lineal en las bases can´onicas de ambos espacios. b) Halla una base de Ker(T ).

c) Se consideran las bases B = {1, x − 1, x2_{− 1, x(x}2_{− 1), x}4_{} de P}

4[X] y B0 = {(1, 1)T, (2, 1)T} de R2.