Programación lineal flexible con restricciones difusas

Programación lineal flexible con restricciones difusas

Flexible linear programming with fuzzy constraints

Héctor Andrés López Ospina1 _{y Mauricio Restrepo López}2 RESUMEN

El presente trabajo tiene como objetivo presentar los conceptos básicos de la programación lineal flexible o progre-mación lineal con restricciones difusas. Dado que la literatura presenta dicha metodología para restricciones de de-sigualdad, se formula una metodología para restricciones de igualdad y de caja. Se muestra cómo un problema de este tipo equivale a uno de optimización paramétrica. Finalmente, se presentan dos ejemplos ilustrativos en los cua-les se muestra la ventaja de la metodología al mejorar la solución óptima y, por otro lado, la obtención de una re-gión factible en problemas con espacio de soluciones vacío.

Palabras clave: conjuntos difusos, programación lineal, optimización paramétrica. ABSTRACT

The present work shows the basic concepts underlying flexible linear programming or linear programming with fuzzy constrains. The literature often presents this methodology related to inequality constraints. This works deals with a methodology for box and equality constrains; it shows how this type of problem is similar to parametric optimisation. Two examples are given to show the advantage of using this methodology.

Keywords: fuzzy set, linear programming, parametric optimisation. Recibido: septiembre 12 de 2007

Aceptado: febrero 29 de 2008

1 _{Matemático, Universidad Nacional de Colombia. M.Sc., en Matemática Aplicada, Universidad Nacional de Colombia. Matemático-Universidad} Nacional de Colombia. Profesor, Facultad de Ingeniería, Universidad de la Sabana, Colombia. [email protected]

2 _{Magíster, en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia. Profesor, Facultad de ingeniería, Universidad de La Sabana, Colombia. mauricio.} [email protected]

Introducción

En muchos modelos de optimización, la solución obtenida puede no ser satisfactoria para quien toma decisiones, y por eso se hace necesario generar nuevos modelos, con el obje-tivo de alcanzar las diversas metas trazadas. Esto se puede lograr aumentando la capacidad de producción o inventario de algún artículo o producto, incrementando o disminuyen-do la demanda, elevandisminuyen-do la capacidad de carga o transporte, entre otros. Por otro lado, cuando se realiza la modelación matemática en el sector industrial por medio de optimiza-ción, debido a la cantidad de parámetros y restricciones, en muchos casos no es posible encontrar una solución factible. Por lo expuesto anteriormente, se presenta una metodología de optimización flexible u optimización con restricciones di-fusas que permite dar solución a dichos problemas a través de la “flexibilización” de las restricciones. Para tal efecto, se hace la descripción de un método usual de optimización di-fusa que convierte el problema original en un modelo de op-timización paramétrica. En la mayoría de la literatura se des-cribe dicha técnica para restricciones de desigualdad (Cárde-nas y Verdegay, 1999; Jaroslav, 2001). El presente documen-to también propone una formulación para restricciones de igualdad y restricciones de caja para las variables de decisión.

Las restricciones de igualdad son muy importantes en mode-los de programación lineal como transporte y planeación de la producción, donde se debe cumplir con una demanda de-terminada (Taha, 2004), problemas de inversión y mezcla de productos (Winston, 2005), distribución de bienes, flujo má-ximo, problema del agente viajero, entre otros, donde es ne-cesario modelar ecuaciones de balance (Taha, 2004; Wins-ton, 2005). Las restricciones de caja son muy comunes en to-dos los modelos reales de optimización. Por ejemplo, capaci-dad máxima y mínima de inventario, producción y transpor-te. En problemas de inversiones es natural tener una restric-ción de cantidad mínima y máxima de inversión en cada u-na de las opciones. En los modelos de flujo máximo siempre se debe suponer que entre los arcos existe una capacidad máxima y mínima de flujo, entre otros (Winston, 2005). Ini-cialmente se presentan algunos preliminares. Luego se descri-be la metodología para encontrar la solución de problemas de optimización lineal flexible, y finalmente, la se presenta algunos ejemplos ilustrativos de la teoría desarrollada.

Preliminares

R

epresentación de un problema de optimización

Todo modelo de optimización lineal se puede escribir de la forma:

( )

1 1 1 max , 1, , , , 1, , , , 1, , . n i i i n ji i j i n ki i k i i i i z x c x sujeto a a x b j m d x e k l r x w i n = = = = ≤ = = = ≤ ≤ =

∑

∑

∑

K K K (1)

donde x=

(

x1,K,xn

)

∈ Rn definen las variables de decisión. En este problema se tienen

m

restricciones de desigualdad y

l

restricciones de igualdad. Además,

r

i y

w

i son restriccio-nes de caja para cada una de las variables. Por notación se dirá que la región factible es

El problema (1) se escribe en forma matricial como:

, max w x r e Dx b Ax a sujeto x cT ≤ ≤ = ≤ donde: _{A∈ R}m n× _{, D∈ R}l n× _{, c∈ R ,} n _{b∈ R ,} m _{e∈ R , y} l , n

r w∈ R . Además, la región factible se escribe:

{

n: , ,

}

X= x∈R Ax b Dx e r≤ = ≤ ≤x w .

La idea fundamental es flexibilizar las restricciones en este tipo de problemas mediante conjuntos difusos.

Conjuntos difusos y

λ

−cortes

Definición 1 (Buckley y Esfandiar, 2002) Sea Y ⊆ R un

conjunto no vacío. Un subconjunto difuso de Y es una

función μ:Y→

[ ]

0,1.

El valor de y en la función, μ expresa una medida o grado para el cual y está en Y . Si μ

( )

y =1 entonces y∈ . Por Y

otro lado, si μ

( )

y =0se puede afirmar que y∉ . En el caso Y

que 0<μ

( )

y <1, dicho valor proporciona el grado o por-centaje de pertenencia de

y

en Y . μ

( )

x recibe el nombre

de función de pertenencia.

Definición 2 (Buckley y Esfandiar, 2002) Sea μ un

subconjunto difuso de Y y 0<λ≤1, se define un λ −corte como:

[ ]

{

y Y:

( )

y

}

μ λ = ∈ μ ≥λ En el caso que λ=0, se tiene que μ λ

[ ]

=Y.

Definición 3 (Buckley y Esfandiar, 2002) Intersección entre

conjuntos difusos: Dados μi,i=1,K,n conjuntos difusos

de Y , se define la intersección ∧ como

{

n

}

i n

i1μ =minμ1,μ2,K,μ ∧=

Definición 4 (Buckley y Esfandiar, 2002) Unión entre

conjuntos difusos: Dados μi,i=1,K,n conjuntos difusos

de Y , se define la unión ∨ como

{

n

}

i n

i 1μ =max μ1,μ2,K,μ ∨₌

Los conjuntos difusos permiten modelar la flexibilidad de las restricciones.

Programación lineal flexible

Un problema de programación lineal flexible o con restric-ciones difusas se escribe de la forma:

( )

1 1 1 max : , 1, , , , 1, , , , 1, , . n f i i i n ji i f j i n ki i f k i i f i f i z x c x sujeto a a x b j m d x e k l r x w i n = = = = ≤ = = = ≤ ≤ =

∑

∑

∑

K K K (2)

La notación

=

f y

≤

f indica que existe cierto grado de flexibilidad en las restricciones. Es decir, se permiten algunas violaciones o incumplimiento sobre las mismas. Una de las maneras de resolver y atacar este tipo de problemas es por medio de conjuntos difusos (Cárdenas y Verdegay, 1999; Ja-roslav, 2001).

Para realizar un análisis del modelo (2) se estudia cada tipo de restricción flexible de forma separada.

Función objetivo flexible

Esta sección está basada en lo expresado por Jaroslav (2001). Cuando la función objetivo es flexible o difusa, se supone que existe un valor de aspiración para la función objetivo. Dicho valor se notará d0∈ R. Es decir, se espera encontrar

un x∗∈X _{tal que}

( )

0

z x∗ ≥d . En muchos casos no es posi-ble encontrar un punto factiposi-ble que satisfaga esta condició, por lo cual se permite que la función objetivo pueda alcanzar valores menores a d . Para esto, se fija un valor 0 p que defi-0 ne el grado mínimo de cumplimiento o pertenencia al nivel

(

)

{

x1, ,x : ₁a x b , j 1, ,m; ₁d x e ,k 1, ,l;r x w,i 1, ,n.

}

. X i k i i i n i ki j n i ji i n K K K K ≤ = = = ≤ ≤ = =

∑

₌

∑

₌

tiene un grado de cumplimiento de 0. Si z x( )≥d₀, el grado de cumplimiento o nivel de pertenencia es 1. Además, si

0 0 ( ) 0

d −p ≤z x ≤d entonces el grado o porcentaje de cum-plimiento está dado por 0

0 ( ) 1 d z x p − − . Lo descrito

anteriormen-te se puede expresar por medio de la siguienanteriormen-te función de pertenencia trapezoidal para la función objetivo

z

:

0 0 0 0 0 0 0 1, ( ) 1 , 0 z si t d d t t si d p t d p si t p μ ⎧ ≥ ⎪ ₋ ⎪ =⎨ − − ≤ ≤ ⎪ _≤ ⎪⎩

Gráficamente, μ~_z(t) se describe de la siguiente manera:

Figura 1. Función de pertenencia para la función objetivo flexible. Jaroslav, 2001.

Luego, el problema (1) con función objetivo flexible es equi-valente a

[ ]

1 max : , 0, 1 n z i i i sujeto a c x x X λ μ λ λ = ⎛ ⎞ ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∈ ∈

∑

% (4)

Como puede verse en Jaroslav (2001), el problema (4) es e-quivalente al siguiente problema de optimización paramé-trica

(

)

[ ]

0 0 1 max : 1 , 0, 1 n i i i sujeto a c x d p x X λ λ λ = ≥ − − ∈ ∈

∑

(5)

cuya solución óptima

(

_λ∗_,x∗

)

_{se considera la solución del} problema (1) con función objetivo flexible.

Restricciones de desigualdad flexibles

Esta parte está basada en Cárdenas y Verdegay (1999) y Jaroslav (2001). Para cada una de las restricciones de desi-gualdad se definen las siguientes funciones de pertenencia:

1, ( ) 1 , 0 j j j j j j j j j si t b t b t si b t b t t si t b t μ ⎧ _≤ ⎪ ₋ ⎪ =⎨ − ≤ ≤ + ⎪ _{> +} ⎪ ⎩ 6)

Gráficamente, la función de pertenencia μj

( )

t es:

Figura 2: Función de pertenencia para restricciones de desigualdad. Jaroslav, 2001.

En este caso, dado un x=

(

x x1, 2, ,K xn

)

∈Rn y

( )

1 , 1, , n j ji i i h x a x j m = =

∑

= _K , entonces

-Si h_j

( )

x ≤ se dice que x tiene un grado de cumplimiento b_j

o pertenencia en la j - ésima restricción de 1, μj

(

h xj

( )

)

=1.

Si hj

( )

x ≥bj +tj,xtiene un grado de cumplimiento o

perte-nencia en la j -ésima restricción de 0, μj

(

h xj

( )

)

=0.

-Si bj ≤hj

( )

x ≤bj +tj entonces x satisface

( )

(

)

1 j( ) j j j j h x b h x t

μ = − − . Dicho valor define el grado o porcentaje de pertenencia.

Restricciones de igualdad y de caja

El aporte fundamental de este trabajo está centrado en la in-clusión de una metodología difusa que involucra restriccio-nes de igualdad y de caja.

Para cada una de las restricciones de igualdad se definen las siguientes funciones de pertenencia triangular, que permiten un porcentaje de incumplimiento tanto por déficit o por ex-ceso:

( )

1 , 1 , 0, , , k k k k k k k k k k k k k k k e t si e g t e g t e t si e t e f f si t e f ó t e g μ − ⎧ − − ≤ < ⎪ ⎪ ⎪ − =_⎨ − ≤ ≤ + ⎪ ⎪ _{> + < −} ⎪ ⎩ (7)

Figura 3. Función de pertenencia para restricciones de igualdad

En este caso, dado un x=

(

x x1, 2,K,xn

)

∈ Rn y

( )

, 1, , , 1 l k x d x m n i i ki k =

∑

= K = entonces

-Si m_k

( )

x ≥e_k + f_k o m_k

( )

x ≤e_k −g_k se dice que x tiene un grado de cumplimiento o pertenencia a la k-ésima restricción de igualdad de 0,

(

μk

(

mk

( )

x

)

=0

)

.

-Si ek ≤mk

( )

x ≤ek + fk,x tiene un grado de cumplimiento o pertenencia a la k-ésima restricción de

k k k f e m − − 1 .

De forma análoga se hace el análisis si ek−gk ≤t<ek.

Por otro lado, cada restricción de caja

r

i

≤

x

i

≤

w

i se puede definir de forma flexible por medio de la función de perte-nencia trapezoidal:

( )

1 , 1 , 0, , , 1, i i i i i i i i i i i i i i i i i r t si r u t r u t w si w t w v t v si t w v ó t r u si r t w μ − ⎧ − − ≤ < ⎪ ⎪ ⎪ − ⎪ − ≤ ≤ + = ⎨ ⎪ ⎪ > + < − ⎪ ≤ ≤ ⎪⎩ (8)

La representación gráfica de μ_i( )t se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Función de pertenencia para restricciones de caja

Es decir, si t=xi entonces:

-Si x_i satisface las restricciones r_i ≤x_i ≤w_i entonces su grado de pertenencia es 1,

(

μi

( )

xi =1

)

.

-Si xi >wi+vi o xi<ri−ui entonces su grado de cumplimiento de la

i

-ésima restricción es 0,

(

μi

( )

xi =1

)

.

-Si w_i ≤x_i ≤w_i +v_i entonces se tiene un grado de pertenencia de i i i v w x − − 1 . -Si r_i −u_i≤x_i <r_i entonces

_{( )}

i i i i i u x r x = 1− − μ .

Problema de optimización paramétrica equivalente

Por medio de la intersección de las funciones de pertenencia (3), (6), (7) y (8), aplicadas a cada tipo de restricción, la solución del problema de optimización lineal (2) es:

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

{

1 1 R max n m l z j j j k k k x∈ μ% z x ∧ ∧⎣⎡ = μ h x ⎤ ⎡⎦∧ ∧⎣ = μ m x ⎤⎦

( )

}

( )

1 9 n i= μi xi ⎡ ⎤ ∧ ∧_{⎣ ⎦}

Por la definición de ∧, (9) es equivalente al siguiente pro-blema maximin:

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

{

max min_n z , j j , k k , i i , x∈R μ z x μ h x μ m x μ x

}

( )

1, , , 1, , , 1, , 10 j= _K m k= _K l i= _K n Haciendo {z,1 j mmin,1k l,1i n}

{

z

(

z x

( )

)

, j

(

h xj

( )

)

, λ μ μ μ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =

( )

(

)

,

( )

}

. k m xk i xi μ μ

(10) se puede escribir como un problema de programación lineal,

( )

1 1 1 max , 1, , , , 1, , , , 1, , , [0,1] n z i i i n j ji i i n k ki i i i i c x a x j m a x k l x i n λ μ λ μ λ μ λ μ λ λ = = = ⎛ ⎞ ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ≥ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ≥ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≥ = ∈

∑

∑

∑

K K K (11) donde μ_z~(•)≥λ,μ_j(•)≥λ,μ_k(•)≥λ,μ_i(•)≥λ, son −

λ

cortes de cada una de las funciones de pertenencia. Dicho problema quiere alcanzar el nivel más alto de cum-plimiento o pertenencia a cada una de las restricciones. El modelo anterior es equivalente al siguiente problema de op-timización paramétrica:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

0 0 1 1 1 max 1 1 | , 1, , , 1 1 , 1, , , 1 1 , 1, , , 0, 1 n i i i n ji i j j i n k k ki i k k i i i i i i c x d p a x b t j m e g d x e f k l r u x w v i n λ λ λ λ λ λ λ λ = = = ≥ − − ≤ + − = − − ≤ ≤ + − = − − ≤ ≤ + − = ∈

∑

∑

∑

K K K (12)

Matricialmente, (12) se expresa de la siguiente manera:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

0 0 max 1 1 1 1 , 1 1 0, 1 T i c x d p Ax b t e g Dx e f r u x w v λ λ λ λ λ λ λ λ ≥ − − ≤ + − − − ≤ ≤ + − − − ≤ ≤ + − ∈

Existen métodos numéricos propios de optimización paramé-trica que pueden ser aplicados para encontrar la solución de (12), y además es posible utilizar técnicas propias de optimi-zación lineal relajando el espacio factible.

Ejemplos

Ejemplo 1 Producción para utilidad máxima: Un fabri-cante de juguetes prepara un programa de producción para dos tipos de juguetes, muñecas y soldados, con base en la in-formación concerniente a sus tiempos de producción dados en la siguiente tabla:

Máquina A Máquina B Máquina C Muñecas

Soldados 2 horas 1 hora 1 hora 1 hora 1 hora 3 horas

Para la operación de la máquina A se dispone de 70 horas; para la máquina B 40 horas; para la máquina C 90 horas. Las utilidades en cada muñeca y cada soldado son $4 y $6, res-pectivamente. El modelo matemático de optimización que re-presenta dicha situación es:

max 4 6 2 70 40 3 90 , 0, z x y x y x y x y x y = + + ≤ + ≤ + ≤ ≥ (13)

donde

x

es el número de muñecas a fabricar y y el número de soldados.

Por medio del paquete de optimización LINDO se obtiene la siguiente solución óptima: _z∗=210,

25 , 15 = = ∗ ∗ _y x .

Gráfi-camente, (13) se expresa como se muestra en la Figura 5.

Figura 5. Región factible para problema (13)

Supongamos que el fabricante desea obtener utilidades de $300 o como mínimo $260. Para esto es posible ampliar el número de horas para cada una de las máquinas de la si-guiente forma: Máquina A, hasta 80 horas (es decir, 10 horas extras); máquina B, hasta 70 horas (30 horas extras). Máquina C, hasta 120 horas (30 horas extras). De esta forma, el mode-lo de programación flexible se escribe:

(

)

(

)

(

)

(

)

max 4 6 300 1 40 2 70 1 10 40 1 30 3 90 1 30 , 0, 0 1. x y x y x y x y x y λ λ λ λ λ λ + ≥ + − + ≤ + − + ≤ + − + ≤ + − ≥ ≤ ≤ (14)

Se trata de encontrar el mejor

λ

que satisfaga la utilidad deseada con los mínimos recursos en horas adicionales. Una aproximación gráfica de (14) es la que se presenta en la figura 6.

Además, con la relajación del espacio factible a _R3 _{se obtiene}

la solución λ=0, 25, x=24, y=29. El factor de cumpli-miento o satisfacción para cada restricción es:

Restricción Porcentaje _{de cumplimiento} Valor obtenido función objetivo Máquina A Máquina B Máquina C 25% 30% 56,7% 30% $ 270 77 horas 53 horas 111 horas

En todos los casos, es necesario utilizar horas extras. Aunque el número de horas extras de la máquina A: 7 horas (70% de las horas adicionales) es menor que el número de horas para la máquina B: 13 horas (43,3% de las horas adicionales), el porcentaje o nivel de cumplimiento de la restricción de dicha máquina es mayor puesto que utilizó un menor porcentaje del recurso adicional. En la función objetivo se logra un por-centaje de cumplimiento del 25% sobre la meta de $300 to-mando un valor de $270, pero se incrementó en un total de $60, sobre la solución original.

Ejemplo 2 Región factible vacía: Una compañía de encues-tas telefónicas ha sido contratada para llevar a cabo una en-cuesta sobre hábitos televisivos entre las familias de las zonas rurales y urbanas de una ciudad determinada. El cliente ha determinado que se deben entrevistar 150 familias, entre ellas mínimo 30 deben ser de zonas rurales y máximo 60. De las familias de la zona urbana se deben entrevistar como mínimo 40 y máximo 100. Por este servicio, la empresa recibe $6.000 por cada entrevista a familias de la zona rural y $5.000 por cada entrevista a las familias de zona urbana. Por la expe-riencia obtenida anteriormente, se determina que la comp-añía realizará un gasto de $2.500 por cada llamada a las zo-nas rurales y $2.000 a zozo-nas urbazo-nas y sólo se dispone de $320.000 para realizar dichas llamadas. En este problema el objetivo es maximizar las ganancias.

Las variables de decisión son:

-

x

: número de llamadas a familias de zonas rurales -y: número de llamadas a familias de zonas urbanas El modelo matemático que representa dicha situación es

max 3500 3000 150 30 60 40 100 2500 2000 320000 z x y x y x y x y = + + = ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤

Este problema no tiene solución factible, por lo cual se hace necesario que algunas restricciones tengan algún nivel de fle-xibilidad (restricciones difusas). Para esto el cliente permite que el número de entrevistados pueda estar entre 140 y 155. Además, que el máximo número de familias a entrevistar de la zona rural sea 65. No se hacen modificaciones en el resto de

ma con restricciones difusas se puede ver como un problema de optimización con dos objetivos:

(

)

(

)

(

)

(

)

max 3500 3000 , 150 1 10 150 1 5 30 60 1 5 40 100 2500 2000 320000 z x y x y x y x y λ λ λ λ = + − − ≤ + ≤ + − ≤ ≤ + − ≤ ≤ + ≤ (15)

La región factible para el problema (15) se puede describir gráficamente como se muestra en la Figura 7.

Figura 7. Aproximación gráfica de la región factible del problema (15)

Utilizando el método de la

ε

- restricciones de programación multiobjetivo descrito en Smith et al. (2000), (15) se puede escribir como:

(

)

(

)

(

)

max 3500 3000 150 1 10 150 1 5 30 60 1 5 40 100 2500 2000 320000 j z x y x y x y x y λ λ λ λ ε = + − − ≤ + ≤ + − ≤ ≤ + − ≤ ≤ + ≤ ≥ (16)

donde la variación paramétrica de

ε

_j genera la frontera de Pareto. En la siguiente tabla se describen las soluciones obtén-das λ

z

x y _{Llamadas totales} 0,1 468.000 48 100 148 0,4 468.000 48 100 148 0,5 467.000 52 95 147 0,6 467.000 52 95 147 0,7 X X X X

A partir de λ=0,7 no se obtienen puntos factibles. Es decir, el máximo valor de pertenencia obtenido en la intersección de todas las restricciones es 0,6.

Conclusiones

La programación lineal flexible es una herramienta de pro-gramación difusa que sirve para resolver problemas de opti-mización, donde la solución óptima no es satisfactoria para el tomador de decisiones o la gran cantidad de restricciones y limitaciones no genera puntos factibles. La metodología que incluye las restricciones de igualdad y de caja difusas permi-tió mejorar soluciones óptimas y encontrar soluciones facti-bles en problemas con espacio factible vacío. Además, este desarrollo permite abarcar problemas más generales de pro-gramación lineal. Sería interesante aplicar esta técnica en modelos donde el valor de los parámetros correspondientes al lado derecho de cada una de las restricciones sea incierto o difuso.

Por otro lado, dependiendo de la aplicación se puede explo-rar la utilización de funciones de pertenencia de tipo no li-neal como lo desarrollado en Taha (2004). Además, es posi-ble comparar los resultados obtenidos por medio de progre-mación lineal flexible con modelos de prograprogre-mación por me-tas Smith et al. (2000). Aunque el desarrollo matemático es distinto, se puede notar que la filosofía es muy parecida.

.

Bibliografía

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Cárdenas, J., Verdegay, J., Modelos de optimización con datos imprecisos Servicio de Publicaciones., Universidad de Murcia, 1999.

Jaroslav, R., Soft Computing: Overview and Recent Developments in Fuzzy Optimization., Ostravská univerzita. Listopad, 2001.

Smith, R., Jaramillo, P., Poveda, G., Mesa, O., Dyner, I., Valencia, D., Decisiones con múltiples objetivos e incertidumbre., Facultad de Minas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, 2 Edición, 2000.

Taha, H., Investigación de Operaciones., Séptima edición, Editorial Pearson, 2004.

Vasant, P., Optimization in product mix problem using fuzzy linear programming., Department of Mathematics, American degree Program, Nilai International College. Malasia, 2004.

Winston, W., Investigación de Operaciones: Aplicaciones y algoritmos., Séptima edición, Editorial Thomson, 2005