Problemas de entrenamiento
PRIMER N
IVEL
Problema 1
El sábado, la Sra. Juárez gastó $ 360 en la compra de ropa y zapatos. Gastó una cuarta parte en zapatos. Con el resto compró un pantalón a $ 85, una campera a $ 120 y un saco de lana. ¿Cuánto pagó por el saco?
Solución:
La cuarta parte de 360: 360 / 4 = 90
El resto 360 – 90 = 270
Menos el pantalón 270 – 85 = 185
Menos la campera 185 – 120 = 65
Respuesta: por el saco pagó $ 65
Problema 2
El cuadrilátero ABCD está formado por 2 triángulos isósceles iguales y ACB = 25°. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del cuadrilátero?
Problema 3
Para la reunión Walter quiere comprar cajas de chocolates y bolsas de caramelos. Cada caja de chocolates cuesta $ 3 y cada bolsa de caramelos, $ 2.
Si quiere gastar no menos de $ 9 ni más de $ 18 y quiere llevar siempre de los dos artículos, ¿cómo puede hacer la compra? Da todas las posibilidades.
Solución
C = 2 x ACB = 2 x 25º = 50º; Â = C 50º En el triángulo ADC: D + 2 x ACB = 180º
D = 180º - 50º = 130º D = B = 130º
Problema 4
La figura ACDE tiene 882 cm de perímetro. ABDE es un rectángulo. CD = 282cm BC = BD AB es la mitad de BD
¿Cuál es el perímetro del triángulo BCD?
Solución: _ 882
282
600 es el perímetro de ACDE MENOS EL LADO CD. AB + BC + DE + AE = 600 cm.
Como BC es 2AB; AE es 2AB y DE = AB. 6 x AB = 600
600 / 6 = 100 AB = 100 cm y BC = 200 cm. El perímetro del triángulo BCD es
BC+ BD + DC = 200 cm. + 200 cm. + 282 cm = 682 cm Respuesta: El perímetro del triángulo BCD es 682 cm.
Problema 5
Esta semana Andrea, Blas y Camila compraron chupetines. El lunes, Andrea comió la cuarta parte de lo que habían comprado. El martes, Blas comió un tercio de lo que quedaba y, el miércoles, Camila comió la cuarta parte de lo quedaba. El jueves quedaba una docena de chupetines.
¿Cuántos chupetines habían comprado los chicos?
Solución:
El lunes, Andrea comió ¼; quedaron ¾.
El martes, Blas comió 1/3 de lo que quedaba 1/3 x ¾ = ¼ ; quedaron 2/4. El miércoles, Camila comió ¼ de 2/4, ¼ x 2/4 = 1/8.
Había 2/4 = 4/8, Camila se comió 1/8, el jueves quedaron 3/8; 12 chupetines son los 3/8 del total. 3/8 del total = 12 = 3 = 3 x 4 1/8 del total = 4 8/8 del total = 32 Respuesta: Los chicos habían comprado 32 chupetines.
Durante las vacaciones, Agustina, Camila y Martina se sacaron 35 fotos en total. Agustina está sola en 8 fotos. Camila está sola en 10 fotos. Agustina está en 19 fotos. Martina siempre está sola. ¿En cuántas fotos está Martina? ¿En cuántas fotos está Camila?
Solución
Agustina está sola en 8 fotos y en 11 fotos con alguien más. Camila está sola en 10 fotos. Martina está siempre sola entonces, en las 11 fotos en que está acompañada, Agustina está con Camila. Camila está en 21 fotos ( 10 + 11). Agustina o Camila están en 19 fotos (8 + 10 +11). Martina esta en 6 fotos (35 – 29 ).
Respuesta: Camila está en 21 fotos y Martina en 6.
También se puede resolver usando un diagrama como el siguiente
Problema 7
En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro, CD =AC y el cuadrilátero ACDE tiene 20 cm de perímetro.
¿Cuál es el perímetro del ABC DE?
Solución:
Como el triángulo es equilátero, hice el perímetro del triángulo dividido 3 (los lados del triángulo) y me dio 6 cm. (18cm/ 3 = 6 cm).
AC mide 6 cm.
AB + BC = 18 cm – 6 cm = 12 cm
+
CD + DE + EA = 20 cm – 6 cm = 14 cm Perímetro de ABCDE = AB + BC + CD +DE + EA = 26 cm
Problema 8
Cada __ representa un dígito. 6 __ __
x — 6 __ __ 1 __ 1 __ __ __ __ __ __ __ 0
¿Cuáles son los números que se multiplican? Da todas las posibilidades
Solución: La cifra de las unidades del primer factor es 5 ó 0
6 __ __ Si fuera cero, la cifra de las decenas del primer producto parcial x — 6 debería ser par (múltiplo de 6).
__ __ 1 __
1 __ __ __
__ __ __ __ 0
Entonces la cifra de las unidades del primer factor es 5.
6 __ 5
x - 6 6 x 5 = 30 x
__ __ 10 6 x la cifra de las decenas, más 3 termina en 1
Sólo puede ser 6 x3 + 3 = 21 ó 6 x 8 + 3 = 51.
i) Si es 3:
6 3 5 La cifra de las decenas del segundo factor sólo puede ser 2 ó 3 de lo
contrario
X __ 6 no habría un 1 en las unidades de mil del segundo producto parcial.
3 8 1 0 1 __ __ __ __ __ __ __ 0 6 3 5 6 3 5 x 2 6 x 2 6 3810 y 3810 son soluciones 1270 1905 16510 22860 ii) Si es 8 6 8 5 6 8 5 x 2 6 x 2 6
4110 es solución pero 4110 no es solución.
1370 2005
17810 24160
Problema 9
El lunes Ana abrió una caja de caramelos. Todos los mediodías saca algunos caramelos de la caja. El miércoles a la tarde, quedaban los dos tercios del total de caramelos. El jueves a la tarde, quedaban 24 caramelos que eran la cuarta parte del total.
Solución:
24 caramelos es la cuarta parte del total, 24 x 4 = 96. Había en total 96 caramelos. El miércoles le quedaron 2/3; 2/3 de 96 = 64.
El miércoles tenía 64 caramelos El jueves quedaban 24 caramelos.
40 caramelos
Respuesta: Ana sacó 40 caramelos de la caja el jueves al mediodía.
Problema 10
Luis eligió tres piezas de madera de un rompecabezas: un triángulo equilátero, un cuadrado y un rectángulo.
La pieza rectangular tiene 24 cm de perímetro.
Con las tres piezas armó la figura 1 que tiene 46 cm de perímetro. Después la desarmó e hizo la figura 2.
¿Cuál es el perímetro de la figura?
Solución:
Si los lados del rectángulo son l y a, 2l + 2a = 24 cm; l + a = 12 cm Los lados de la figura 1 son:
Perímetro figura 1 = (l + a) + a + (l + a) + (l + a) + a = 12 cm + a + 12 cm + 12 cm + a = 36 cm + 2a
46 cm = 36 cm + 2a 2a = 10 cm
a = 5 cm; l = 7 cm.
Indicamos en la figura 2 las longitudes conocidas: Per. del triángulo = 12 cm x 3 = 36 cm
Per. del cuadrado = 5 cm x 4 = 20 cm
Per. del rectángulo = (5 cm + 7 cm )x 2 = 24 cm El perímetro de la figura 2 es
= (36 cm – 5 cm) + 20 cm – 10 cm) + (24 cm – 5 cm ) =
= 31 cm + 10 cm + 19 cm = 60 cm. Respuesta: El perímetro de la figura 2 es 60 cm.
S
EGUNDO
N
IVEL
Problema 1
ABC es un triángulo de lados 3. 4 y 5 cm. Sobre cada lado de ABC se dibuja un rectángulo que tiene un lado igual al doble del otro.
¿Cuál es el perímetro de la figura que resulta? Si hay más de una solución, muéstralas todas. Solución: Perímetro fig 1 = 5 cm + 3 cm + 4 cm + 2 x 2 (5 cm + 3 cm + 4 cm) = 5 x (12 cm) = 60 cm Perímetro fig 2 = 5 cm + 3 cm + 4 cm + 2 x ½ (5 cm + 3 cm + 4 cm) = 2 x (12 cm) = 24 cm
Respuesta: Hay 2 figuras, de perímetros 60 cm y 24 cm.
Problema 2
Para recaudar fondos para su viaje de fin de curso, los chicos de séptimo venden gaseosa y tortas durante los recreos. Venden cada lata de gaseosa a $ 1 y cada porción de torta a $ 2.
Hoy vendieron 36 gaseosas y 32 porciones de torta.
Si pagaron $ 8 la docena de gaseosas y $ 12 por cada torta de las que obtuvieron 8 porciones, ¿cuál fue la ganancia del día?
Solución:
Vendieron 36 gaseosas a $1 cada una $ 36
32 porciones de torta a $2 cada una $ 64
Recaudaron ……….$ 100 Compraron 3 docenas de gaseosas a 4 8 cada una $ 24
4 tortas a $ 12 cada una $ 48
Gastaron ………..$ 72 Gastaron ……… $ 28 Repuesta: la ganancia fue de $28
Problema 3
Juan tiene una lata vacía,. Si la llena completamente con arena, todo pesa 870 gramos. Si sólo llena con arena las tres cuartas partes, todo pesa 735 gramos.
Solución.
_ 870 Así me dio cuántos gramos pesa una cuarta parte de la arena 735
135
135 x 3 = 405 Así sé cuánto pesan las tres cuartas partes de la arena. _ 735 lo que pesa la lata con tres cuartas partes de arena
405 lo que pesan las tres cuartas partes de la arena 330 lo que pesa la lata vacía
Respuesta: La lata vacía pesa 330 gramos.
Problema 4
El polígono ABCDEF tiene todos sus lados iguales. Además BM =MF y CN = NE.
El rectángulo BCEF tiene 146 cm de perímetro. El cuadrilátero ABCD tiene 114 cm de perímetro. El triángulo ABF tiene 98 cm de perímetro.
¿Cuál es el perímetro del triángulo ABM? ¿Cuál es el área del polígono ABCDEF?
Solución:
Comparé los perímetros de las figuras BCEF y ABF.
Como los lados: AB = BC , AF = FE y BF = BF, la diferencia entre los dos perímetros resulta CE. Entonces CE = (146 – 98) cm; CN = NE = 48 cm / 2 = 24 cm = 48cm
BM = 24 cm
Del rectángulo BCEF nos falta averiguar las medidas de BC y FE que son iguales. Al perímetro de BCEF le restamos las medidas de CE y BF.
146 cm – 48 cm x 2 = 50 cm
BC + EF = 50 cm BC = EF = 25 cm AB = 25 cm
Del cuadrilátero ABCD nos falta averiguar las medidas de AM y ND que son iguales. 114 cm – (50 cm x 2) = 14 cm
AM + ND = 14 cm AM = ND = 7 cm
Perímetro del triángulo ABM = AB + BM + AM
= 25 cm + 24 cm + 7 cm = 56 cm Área del polígono = 2x área BCNM + 4 x área ABM
= 2 x 25 cm x 24 cm + 4 x 7 cm x 24 cm 2 = 1200 cm2 + 336 cm2 = 1536 cm2 Respuesta: El perímetro del triángulo ABM 56 cm.
El área del perímetro ABCDEF es 1536 cm2.
Problema 5
Anibal quiere comprar una bicicleta. En el negocio le ofrecen: pagar al contado con un 3% de
descuento o pagar en 3 cuotas iguales con un 5% de recargo. Si elige pagar en cuotas, cada cuota es de $ 73,50. ¿Cuánto pagaría de contado?
Solución:
Si elige pagar en cuotas, en total abona $73,50 x 3 = $220,50
Por `pagar en cuotas tiene un 5% de recargo, entonces $220,50 es el 105% del precio (P) de la bicicleta- 105 % de P = 105 P = $ 220,50 100 P= 100 x $220,50 100 P = $210
Si paga al contado tiene un 3% de descuento, entonces abona: P – 3% de P. 97 P = 97 x $210 = $ 203,70
100 100
Respuesta : Al contado pagaría $203,70
Problema 6:
En la tienda, los pantalones de lana cuestan $ 70, los pantalones de algodón y las remeras $12. El sábado, tenían una promoción:
“si compra un pantalón de lana, le regalamos una remera.”
Ese día recaudaron $ 2540. Si habían vendido 34 pantalones y habían regalado 15 remeras, ¿Cuántas remeras vendieron?
Solución.
Regalaron 15 remeras. Vendieron 15 pantalones de lana. Y un pantalón de lana $ 70 15 de lana $ 70 x 15= $ 1050
Vendieron 19 pantalones de algodón (34 – 15) 19 de algodón $ 950 (50 x 19)
2540 – 1050 = 1490 1490 – 950 Ç= 540
Recaudaron $540 por x remeras de $12 cada una.
X = 540 / 12 = 45
Respuesta: Vendieron 45 remeras.
Problema 7
El rectángulo ACDF tiene 102 cm de perímetro. BC = 24 cm, CD = 15 cm y DO = 26 cm. El cuadrilátero BCDO tiene 70 cm de perímetro. El triángulo ABO tiene 30cm de
perímetro.
¿Cuál es el perímetro de AOEF?
Solución: El perímetro de BCDO es 70 cm. 26 cm + 24 cm + 5 cm = 65 cm 70 cm – 65 cm = 5cm OB= 5 cm EO = EB- OB 15 cm – 5 cm = 10 cm EO = 10 cm
El perímetro de ACDF es 102 cm 24 cm + 24 cm + 15 cm + 15 cm= 78 cm 102 cm – 78 cm = AB + FE 24 cm = AB + EF 24 cm / 2 = 12 cm AB = EF = 12cm El perímetro de ABO es 30 cm 12 cm + 5 cm = 17 cm 30 cm – 17 cm = 13 cm AO = 13 cm Per AOEF = 13cm +10 cm+12 cm + 15 cm = 50 cm Respuesta: El perímetro de AOEF es 50 cm
Problema 8:
En un club que tiene 5200 socios sólo el 40 % está en condiciones de votar. Hay tres listas: Blanca, Verde y Celeste. El 25% de los electores vota la lista Blanca, el número de
electores que vota la lista Verde es el doble de los que votan la Blanca y el resto de los electores vota la lista Celeste. ¿Cuántas personas votaron la lista Celeste?
Solución:
Socios en condiciones de votar: 40% de 5200 = 40 de 5200 = 2080 100
Vota la lista Blanca: 25 % de 2800 = 25 de 2800 = 520 100
Vota la lista Verde: el doble de los que votan la lista Blanca = 2 x 520 = 1040 Vota la lista Celeste el resto de los votantes 2080 – (520 + 1040) = 520
Respuesta: 520 personas votaron la lista Celeste.
Problema 9:
Luis dibujó dos triángulos isósceles, ambos con lados desiguales de 30 cm y tales que: -La razón de los perímetros es 2
-La razón entre los otros lados es 11/4
Con esos dos triángulos Luis arma un romboide haciendo coincidir los lados de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro de este romboide?
Solución:
Llamaremos L al lado desconocido del triángulo A1 y l al lado desconocido del triángulo A2
(15 + 21) 4= 11 l 15 x 4 + 8 l = 11l 15 x 4 = 11 l - 8 l 15 x 4 = 3 l 5 x 4 = l l = 20 cm L = 15 cm + 2 l = 15 cm * 40 cm L = 55 cm Perímetro dek romboide = 2 L + 2l
= 110 cm + 40 cm = 150 cm
Problema 10:
Dos terrenos rectangulares que tienen igual perímetro están en venta. El perímetro es de 8,66 m de fondo. El segundo tiene 10 m de frente.
Si un metro cuadrado cuesta $ 450, ¿Cuál es el precio de venta del segundo terreno?
Solución:
El perímetro del primer terreno es de 81,32 m ((8,66 + 32) x 2) El perímetro del segundo terreno es también 81,32m.
81,32 m = 2 x (10m+ fondo) = 20 m + 2 de fondo. 81,32 m – 20 m = 2 fondo
61,32 m = 2 fondo fondo = 30,66m Superficie del 2º terreno = 10m x 30,66 m = 306,60 m2. Precio del segundo terreno = 306,60 x 4500 = $ 137.970.
Problemas de entrenamiento
T
ERCER
N
IVEL
Problema 1
Aníbal tiene 12 bolitas iguales que quiere regalar a sus 3 amigos: Tomás, Pedro y Manuel, ¿De cuántas maneras puede hacerlo? Da todas las posibilidades.
Solución:
Determinamos cuántas bolitas puede regalarle Aníbal a sus tres amigos. Tomás (T), Pedro (P) y Manuel (M). Las cantidades son:
*10- 1 y 1 * 7 – 4 y 1 * 6 – 3y3
*9 - 2 y 1 * 7 – 3 y 2 * 5 – 5 y 2
*8 – 3 y 1 * 6 – 5 y 1 * 5 – 4 y 3
*8 – 2 y 2 *6 – 4 y 2 * 4 – 4 y 4
Veamos cómo puede repartir estas cantidades. En el caso 10 — 1 y 1:
Aníbal puede elegir a cualquiera de los 3 amigos para darle 10 bolitas. Elegido el que recibe 10, a los otros les da 1 bolita a cada uno. Hay 3 maneras de repartir las 12 bolitas en 10 - 1 y 1.
10 1 1
T P M P T M M T P
En el caso 9 - 2 y 1, Aníbal puede elegir a cualquiera de los 3 amigos para darle 9 bolitas. Elegido el que recibe 9, puede elegir a cualquiera de los otros 2 amigos para darle 2 bolitas. Elegidos los que reciben 9 y 2, el que queda recibe 1 bolita. Hay 3 x 2 = 6 maneras de repartir las 12 bolitas en 9 - 2 y 1.
9 2 1 T P M T M P P T M P M T M T P M P T
Los casos 8 - 2 y 2, 6 - 3 y 3 , 5 - 5 y 2 son equivalentes al 10 - l y l.
Los casos 8 - 3 y 1, 7 - 4 y 1, 7 - 3 y 2, 6 - 5 y l, 6 - 4 y 2, 5 - 4 y 3 son equivalentes al 9 - 2 y 1.
El caso 4 - 4 y 4 es único, le regala 4 bolitas a cada amigo. Hay 4 casos de 3 maneras cada uno, 7 casos de 6 maneras cada uno y 1 caso de una manera. Son 4x3 + 7x6+1= 55 posibilidades.
Aníbal puede regalar las 12 bolitas de 55 maneras.
Problema 2
De una hoja rectangular se cortan tres pedazos como indica la figura.
A es un cuadrado de 144 cm2 de área.
B es un cuadrado de 81 cm2 de área.
C es un triángulo rectángulo de 102 cm" de área.
Solución:
Lado del cuadrado A = la raíz cuadrada de 144 cm2 = 12 cm
Lado del cuadrado B = la raíz cuadrada de 81 cm2 = 9 cm
El triángulo C tiene un cateto igual al lado del cuadrado A, entonces su otro cateto es igual a
102 cms x 2 = 17 cm
12 cm
El área de la hoja rectangular es (12 cm + 9 cm) x (12 cm + 17 cm) = = 21 cm x 29 cm
= 609 cm2
El área del pedazo que sobra es :
609 cm2 – 144 cm2 – 81 cm2 – 102 cm2 = 282 cm2
Problema 3
En un monedero hay solamente monedas de 25 y de 50 centavos. El número de monedas de 25 centavos es el triple del número de monedas de 50 centavos.
Si se gastan 8 monedas de cada clase, ahora, la cantidad de monedas de 50 centavos es la quinta parte de la cantidad de monedas de 25 centavos.
¿Cuánto dinero había inicialmente en el monedero?
Solución
Si hay n monedas de 50 centavos. El número de monedas de 25 centavos es 3n.
Si se gastan 8 monedas de cada clase, hay n – 8 monedas de 50 centavos y 3n - 8 monedas de 25 centavos
Entonces: (n - 8) -5 = 3n - 8 5n - 40 = 3n – 8 5n - 3n = 40 - 8 2n = 32 n = 32 2 n = 16
Inicialmente había en el monedero: 16 x 50 centavos + 16 x 3 x 25 centavos= 800 centavos + 1200centavos = 2000 centavos
Problema 4
Encontrar un número entre 200 y 250 tal que si Le restamos 5 y lo dividimos por 7, El resultado Es un número entero que tiene resto 4 al dividirlo por 9.
Solución:
Llamamos x al número buscado.
Si (x –5) / 7 es un número entero k, entonces (x – 5) /7 = k
x - 5 = 7 x k
x = 7 k + 5
El número entero k tiene resto 4 al dividirlo por 9, luego: k = 9n + 4 para algún entero n.
Reemplazando k en (*) x =7 (9n + 4) +5 x = 63n + 28 + 5 x = 63n + 33 Si n = 1 x = 63 + 33 = 96 no está entre 200 y 250. Si n = 2 x = 126 + 33 = 159 no está entre 200 y 250. Si n = 3 x = 189 + 33 = 222 sí está entre 200 y 250. Si n = 4 x = 252 + 33 = 285 no está entre 200 y 250. El número buscado es 222.
Problema 5
ABCDEF es un hexágono regular de 24 cm de perímetro.
El trapecio ABCG es rectángulo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución:
La región sombreada se puede descomponer en el trapecio AFED y el triángulo rectángulo GDC. Marcamos O, el punto medio de AD.
Si unimos O con cada vértice del hexágono ABCDEF, el hexágono queda partido en 6 triángulo equiláteros iguales.
El área del trapecio AFED es la mitad del área del hexágono. El área del triángulo GDC es la mitad del área del triángulo OCD y 1/12 del área del hexágono.
Entonces:
Área de la región sombreada = ½ área ABCDEF + 1/12 Área ABCDEF = 7/12 Área ABCDEF
Lado del hexágono= 1/6 perímetro = 1/6 x 24 cm = 4 cm Calculamos la apotema del hexágono
Apotema = OM
En el triángulo rectángulo OME
OM2 + ME2 = OE2 OM2 = OE2 – ME2 OM2 = (4cm)2 – (2 cm)2 OM2 = 12 cm2 OM = raíz cuadrada de 12 cm OM = 3,46 cm
Área del hexágono = ½ perímetro x apotema = ½ x 24 cm x 3,46 cm
= 41,52 cm2
Área de la región sombreada = 7/12 x 41,52 cm2
= 24,22 cm2
Problema 6
Una hormiga recorre cada hora una distancia igual a dos tercios de lo recorrió la hora anterior.
Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿cuántos cm recorrió durante la primera hora?
Solución:
Una hormiga recorre
-en la primera hora x
- en la segunda hora 2/3 x
- en la tercera hora 2/3 . 2/3 x = 4/9 x
En total recorrió
9/9 x + 6/9 x + 4/9 x = 19/9 x 19/9 x = 76 cm
1/9 x = 76 cm / 19 = 4 cm
En la primera hora recorrió 9/9 x = 9 x 4 cm = 36 cm.
En la segunda, 6/9 x = 6cm x 4 cm = 24 cm y en la tercera, 4/9 x = 4cm x 4cm = 16 cm. Respuesta: Recorrió 36 cm en la primera hora.
Problema 7
En la circunferencia de centro O y diámetro AB se marcan los puntos C y D, uno en cada semiplano respecto de AB, de modo que DOB = 36º y CAO = 29º-
¿Cuánto miden los ángulos ADO y AOC?
Solución
En el triángulo isósceles ADO, de lados iguales AO y OD:
OAD +ADO + DOA = 180º OAD = ADO = x
DOA = 180º - 36º = 144º
Entonces 2 x + 144º = 180º
2x = 36º
x = 18º ADO = 18º
En el triángulo isósceles ACO, de lados iguales AO y OC:
APC + OCA + CAO =180º OCA = CAO = 29º AOC = y Luego y + 2 x 29º = 180º y + 58º = 180º y = 122º AOC = 122º Problema 8
¿Cuántos términos hay en la sucesión de números enteros: 10, 17, 24, 31,38, …, 374?
Solución:
En la sucesión de números enteros 10, 17, 24, 31,38, …, 374 la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre 7- 1º 10 2º 17 = 10 + 7 3º 14 = 17 + 7 = (10 + 7) 7 = 10 + 7 x 2 4º 31 = 24 + 7 = 10 + 7 x 2 + 7 = 10 + 7 x 3 5º 38 = 31 + 7 = 10 + 7 x 3 + 7 = 10 x 4 y así sucesivamente.
Entonces el término del lugar n es el número 10 + 7 x (n- 1). Para saber qué lugar ocupa el número 374 resolvemos:
10 + 7 x (n – 1) = 374 7 x (n – 1) = 374– 10 7 x (n – 1) = 364
n – 1 = 364 / 7 n – 1 = 52 n = 53 Respuesta: En la sucesión hay 53 términos.
Problema 9
Un comerciante compró un rollo de tela a $36 el metro. Al lavarla perdió un cuarto de su longitud. Después de lavada, la vendió a $ 60 el metro. Por la venta de todo el rollo ganó $576.
¿Cuántos metros de tela tenía el rollo que compro’
Solución
Compró un rollo de x m a $ 36 el m. Gastó $ 36 x
Al lavarla le quedaron ( x – ¼ x)m. Por la venta recaudó $ 60 ( x – ¼ x).
Como ganó $576 por la venta de todo el rollo. 60 ( x – ¼ x) – 36 x = 576 60 x – 15 x – 36 x = 576 9 x = 576
x = 576 / 9 x = 64
Respuesta El rollo que compró tenía 64 m de tela.
Problema 10
Completar el siguiente tablero con números distintos de cero; de modo que el producto de los tres números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal sea siempre el mismo.
4
12
2
24
Solucióna
b
4
c
12
d
e
2
24
Llamo x al producto de los tres números de cada fila, de cada columna y cada diagonal. Se cumplen las igualdades: x = 24 . 12 a x = 288 a x = 2 . 12 b x = 24 b x = 24 . 4 d x = 96 d x = 4 . 12 e x = 48 e x = a.c.e x = e . 2 . 24 x = 48 e x = c . d . 12 x = a . b . 4 Si x = 96 d y x = 12 cd, entonces 96 = 12 c c = 96 / 12 c = 6 Ahora puede obtener los otros números.
x = 24 . 12 . a = 288 . 6 = 1728 x = 1728 x = a.c.e = 6 . 8 .e 1728 = 48 e e = 1728 / 48
x = c.e . 12 = 8 . d . 12 = 96 d 1728 = 96 d d = 1728 / 96 d = 18 x = a . b . 4 . b = 24b 1728 = 24b b = 1728 / 24 b = 72 El tablero completo es
