CONTROL ROBUSTO DESCENTRALIZADO
PARA
UN SISTEMA DE L´INEA DE VISTA
L´opez G., Tang Y.
Facultad de Ingenier´ıa, UNAM.
Coyoac´an 04510, DF, M´exico.
[email protected], [email protected]
Resumen— En este art´ıculo se presenta un esquema de control robusto descentralizado para una planta no lineal multivariable denominada Sistema de L´ınea de Vista (SLV) para hacer regulaci´on usando retroalimentaci´on de estado en presencia de perturbaciones acopladas y mas a ´un cuando el SLV apunta hacia el objetivo en todo momento. Los resultados obtenidos en simulaci´on confirman la estabilidad asint´otica (obtenida mediante la t´ecnica de Lyapunov) de los subsistemas interconectados.
Palabras clave: Control descentralizado, Retroalimentaci´on de estado, Servomecanismos no lineales.
I. INTRODUCCION´
En los sistemas actuales de posicionamiento de antenas, radares, veh´ıculos, sat´elites, etc. cada vez adquieren mayor importancia las aplicaciones del SLV debido a la necesidad de seguir un objetivo que puede estar fijo o en movimiento. Con base en el progreso de la tecnolog´ıa ´optica y el procesamiento de im´agenes es posible registrar informaci´on v´ıa directa del objeto a seguir, la cual, al ser procesada puede ser usada por el SLV; para lograr esto, el sensor detecta las condiciones f´ısicas del blanco (por ejemplo: sus dimensiones, la distancia a la que se encuentra y la velocidad) y se procede a realizar una estimaci´on o predicci´on de la posici´on donde se encontrar´a dentro de un campo de visi´on establecido de corta o amplia apertura, con base a esto, es posible obtener informaci´on del objeto cada vez mas precisa debido a la resoluci´on del sensor; siendo as´ı que: en sistemas de navegaci´on (v´ıa computadoras) usados en barcos, guiado de misiles, etc, la regulaci´on y el seguimiento son fundamentales pues se est´an estimando par´ametros en l´ınea del objeto a seguir.
El Control Descentralizado (CD) ha adquirido importancia considerable para plantas de gran escala y complejidad; mismas que, es conveniente dividir en subsistemas de menor orden; los cuales est´an interconectados entre s´ı; pues, cada subsistema es controlado por un controlador independiente; el cual, depende de las variables locales disponibles para medici´on y mas a´un cuando se usa la retroalimentaci´on de estado. Por otro lado; es importante destacar que el CD tiene
alta dimensionalidad y es muy robusto en cu´anto a fallas (por ejemplo: en los sistemas de comunicaci´on entre componentes); es decir, si alg´un subsistema falla no implica que toda la planta falle y deje de funcionar; por otro lado; las leyes de control locales son de f´acil implementaci´on. Con base en las caracter´ısticas y ventajas del control descentralizado; se procede aplicar esta t´ecnica a un sistema relativamente no muy grande ni complejo referido al Sistema de L´ınea de Vista que; por sus propiedades din´amicas, estructurales y de modelo matem´atico facilitan la implementaci´on del sistema de control.
Desde el punto de vista de control se han aplicado diversas t´ecnicas para controlar al SLV y estabilizarlo; por ejemplo: v´ease el control difuso con desacoplamiento en (Nie Junhong, 1997) y (K. C. Tan, T. H. Lee, E. F. Khor and D. C. Ang, 2002); tambi´en se han usado sistemas de control adaptable para estos servomecanismos multivariables no lineales con aplicaciones en tiempo real obteniendo resultados satisfactorios en seguimiento asint´otico tal y como se aprecia en (Lee et al., 1997); a su vez, hay trabajos en donde la medici´on proporcionada por los sensores favorece a los sistemas de control directo o indirecto tal y como puede consultarse en (Peter et al, 2003) y as´ı abordar el impacto que tienen las perturbaciones y los ruidos en la ley de control para cada subsistema.
En la secci´on 2 se da una descripci´on breve del sistema f´ısico y se aborda de manera global el modelo matem´atico; en la secci´on 3 se define la ley de control robusta descentralizada haciendo ´enfasis en las interconexiones y perturbaciones y probar estabilidad en lazo cerrado de los subsistemas interconectados; en la secci´on 4 se reportan y discuten los resultados obtenidos en regulaci´on para cada subsistema en presencia de las perturbaciones y finalmente se dan las conclusiones.
II. PROBLEMA DE REGULACION PARA EL´ SLV Dado el SLV mostrado esquem´aticamente en la Figura 1 y expresado en las ecuaciones (1) y (2); ´este, debe
apuntar hacia un objetivo fijo en presencia de perturbaciones externas (por ejemplo: cuando el sistema esta montado sobre una plataforma m´ovil); para mayor informaci´on y detalles de ´este sistema pueden consultarse (T. H. Lee, J. H. Nie and M. W. Lee, 1997) y (Nie Junhong, 1997).
Figura 1. Sistema de L´ınea de Vista tomado de (Nie Junhong, 1997).
De la Figura 1 puede apreciarse que los motores (M1, M2) est´an acoplados entre s´ı; M1 provoca un movimiento rotacional alrededor del eje 1 movi´endose as´ı respecto al plano horizontal y M2 gira respecto al eje 2 movi´endose as´ı respecto al plano vertical; la combinaci´on simult´anea de ´estos movimientos produce la orientaci´on del sistema por medio del sensor ´optico hacia un objetivo fijo en la direcci´on deseada.
El problema consiste en dise˜nar la ley de control robusta para cada motor usando la retroalimentaci´on de estado; de tal forma que, el SLV sea estable en presencia de perturbaciones externas y par´ametros inciertos y mas a´un considerando las interconexiones de los subsistemas.
El modelo matem´atico expresado en ecuaciones de Euler Lagrange y dado con detalle en (T. H. Lee, J. H. Nie and M. W. Lee, 1997) se compone por dos ecuaciones diferenciales de segundo orden no lineales; escritas en (1) y (2); donde θ = [θ1, θ2]T representan las rotaciones
asociadas en los ejes 1 y 2; ˙θ = [ ˙θ1, ˙θ2]T es el vector
correspondiente a las velocidades.
M1(θ) ¨θ1+ F1(θ, ˙θ) + G1(θ, ˙θ3) = τ1 (1)
M2(θ) ¨θ2+ F2(θ, ˙θ) + G2(θ, ˙θ3) = τ2 (2)
N´otese que las funciones M1(θ) y M2(θ) est´an asociadas
con los momentos de inercia del sistema mec´anico SLV; F1(θ, ˙θ) y F2(θ, ˙θ) pueden considerarse t´erminos de
interconexi´on pues dependen de las variables locales de cada subsistema; G1(θ, ˙θ3) y G2(θ, ˙θ3) son t´erminos
asociados con la perturbaci´on (expl´ıcitamente se consider´o a ˙
θ3) y τ1 y τ2 son los torques aplicados a los actuadores
respectivamente, cada uno de ´estos t´erminos se detalla en las expresiones dadas para: M1, F1, G1, M2, F2y G2 que
se escriben a continuaci´on: M1 = A + D + (B + D + H) cos2θ2 + 1 2(E + G) + 1 2(G − E)sinθ2 F1 = −(B − D + H) ˙θ1θ˙2sin 2θ2 + 1 2(G − E) ˙θ1 ˙
θ2cos θ2+ J ˙θ1θ˙2sin θ2cos θ2
G1 = J ˙θ2θ˙3cosθ2 M2 = C + F 4 + H F2 = 1 2(B − D + H) ˙θ 2 1sin(2θ2) − 1 4(G − E) ˙θ 2
1cos θ2− J ˙θ12sin θ2cos θ2
G2 = −J ˙θ1θ˙3cos θ2
Donde A denota el momento de inercia del gimbal externo alrededor de g1= v1; B, C, y D representan los
mo-mentos de inercia del gimbal interno alrededor de r1, r2, r3
respectivamente; E, F y G denotan los momentos de inercia del espejo alrededor de m1, m2, m3respectivamente; H y J
son los momentos de inercia del rotor del flywheel alrededor de r1yr3 respectivamente; con v, g, r, m se establecen las
coordenadas en los ejes para el sistema en movimiento en uni´on con los gimbals interno y externo, el rotor y el espejo respectivamente tal y como se aprecia en la Figura 1. Puede observarse de las ecuaciones din´amicas de este sistema no lineal que existen interacciones fuertes entre los dos canales particularmente alrededor de la rotaci´on del flywheel.
III. LEY DE CONTROL DESCENTRALIZADA
Con base en la construcci´on esquem´atica del SLV y las ecuaciones din´amicas que lo modelan, es posible aplicar la estructura del CD para esta planta multivariable no lineal estableciendo leyes de control robustas ante perturbaciones; para lograr esto el sistema se expresa en las variables de estado definidas como: x11 = θ1, x12 = θ2 y los
subsistemas siguientes: SUBSISTEMA 1: ˙ x11 = x21 ˙ x21 = M1−1(θ)[τ1− F1(θ, ˙θ) − G1(θ, ˙θ3)] y1 = x11 SUBSISTEMA 2: ˙ x12 = x22 ˙ x22 = M2−1(θ)[τ2− F2(θ, ˙θ) − G2(θ, ˙θ3)] y2 = x12
El objetivo del problema de control es regular y1 y y2
a valores constantes r1 y r2 respectivamente; para obtener
esto, consid´erese la superficie deslizante s = k0σ+k1e1+e2
para el subsistema (1) donde e1 = y1 − r1, e2 = ˙e1,
˙σ = −k0 + µsat(µs) con k0 > 0, k1 > 0, µ > 0;
donde k0 y k1 se escogen de tal manera que el polinomio
λ2+k1λ+k0sea Hurwitz. La raz´on por la cual se selecciona
la superficie deslizante es por la necesidad de conmutaci´on que presentan los actuadores en las rotaciones ya sea en sentido horario o antihorario. Por otro lado, se aprecia que s tiene un t´ermino σ el cual tiene un efecto de acci´on integral para hacer converger el error de estado estable a cero; esta acci´on integral puede consultarse con detalle en (Sridhar Seshagiri and Hassan K. Khalil, 2005). Cuando la trayectoria del subsistema llega a la superficie deslizante y considerando la condici´on de alcanzabilidad s ˙s < 0 (v´ease (Wilfrid Perruquetti Jean Pierre Barbot, 2002)) el error e1 converge asint´oticamente a cero; con base en esto y
derivando la ecuaci´on de la superficie deslizante se obtiene: ˙s = k0˙σ + k1˙e1+ ˙e2 (3)
Donde los t´erminos ˙σ, ˙e1 y ˙e2 son:
˙σ = −k0σ + µsat( s µ) ˙ e1 = e2 ˙ e2 = M1−1(θ)[τ1− F1(θ, ˙θ) − G1(θ, ˙θ3)]
Sustituyendo ˙σ, ˙e1y ˙e2 en (3) se obtiene la din´amica de s:
˙s = k0[−k0σ + µsat(
s
µ)] + k1e2 + M1−1(θ)[τ1− F1(θ, ˙θ) − G1(θ, ˙θ3)]
Se sabe que la ecuaci´on (1) tienen t´erminos de in-terconexi´on F1 y perturbaci´on G1; y, de igual forma la
ecuaci´on (2) tiene interconexi´on y perturbaci´on en F2y G2
respectivamente. Ahora, considere la ecuaci´on diferencial de segundo orden expresada en coordenadas generalizadas qi dada en (4) para el subsistema local i-´esimo, en la
cual, Mi representa la matriz de inercias, Zi representan
las interconexiones, Di son las perturbaciones y ui es la
entrada.
Mi(qi) ¨qi+ Zi(q, ˙q) + Di(qi, ˙qi) = ui; i = 1, ..., N (4)
Por otra parte, ex´aminese la ley de control robusta dada en (5) misma que, puede consultarse en (Y. Tang, M. Tomizuka, G. Guerrero, and G. Montemayor, 2000) donde, M0
i representa los valores nominales de cada subsistema, ˙qir
es la velocidad de referencia y ˙qid es la velocidad deseada ˙
qir = ˙qid− Λiq˜i, Λi > 0; ˜qi es el error de seguimiento
expresado como: ˜qi= qi(t) − qid(t) y Ki> 0.
ui= Mi0(qi) ¨qir− Kisi+ wi (5)
De la ecuaci´on previa, la superficie deslizante si se dise˜na
como si= k0iσ + k1ie1i+ e2i con los par´ametros k0i > 0,
k1i > 0 y wi se define en (6) para compensar par´ametros
inciertos, perturbaciones e interconexiones. wi= −(δSi)2 si δSiksik + i ; δ > 0 i> 0 (6) Donde Si = 1 + ksik + . . . + ksik p ; p > 0 (7) Por otra parte, el control dado en (5) se puede reescribir como la suma de dos partes; la primera, asociada para el sistema nominal y la segunda asociada con el control robusto, esto es:
ui= Yi(qi, ˙qi, ˙qri, ¨q r i)θ
0
i − Kisi+ wi (8)
Es decir, esta ´ultima expresi´on puede considerarse un con-trol equivalente dado para el subsistema i-´esimo escrito como: ueq = U1+ U2; donde U1 = Yi(qi, ˙qi, ˙qir, ¨q
r i)θ
0 i,
donde Yi es el regresor y θ0i es el vector de par´ametros;
as´ı U2= −Kisi+ wi
.
Con base en el control dado en (8) se procede a obtener las leyes de control u1 y u2para los subsistemas 1 y 2 del
SLV establecidas como:
u1 = M10(q1)¨qr1− K1s1+ w1
u2 = M20(q2)¨qr2− K2s2+ w2
Por otra parte, es importante se˜nalar que el CD impone restricciones din´amicas a cada subsistema si; pues, las
leyes de control obtenidas u1y u2dependen de los estados
locales del sistema i-´esimo. Dentro del esquema general de los sistemas de gran escala (interconectados los subsistemas
entre s´ı) es importante definir las variables de inter´es e identificar la importancia de las interconexiones; pues, con base en esto es como se formula la ley de control; mas a´un, cuando se tienen presentes las perturbaciones acopladas y las externas.
En la Figura 2 se observa la configuraci´on del CD para el SLV; donde, los controladores locales se dise˜nan usando la retroalimentaci´on de estado.
Figura 2. Control descentralizado multivariable para SLV.
Debido a que el SLV se compone por dos subsistemas interconectados y se han planteado las leyes de control para cada uno de ´estos se tiene como objetivo de control hacer regulaci´on para cada subsistema; por lo cual, es necesario que el sistema global sea asint´oticamente estable. Lo que significa estabilizar cada subplanta en forma simult´anea en presencia de perturbaciones acopladas y mas a´un; cuando hay perturbaciones externas que afectan la din´amica de toda la planta. Siendo as´ı que la estabilidad del SLV es fundamental, por lo que, se hace uso del m´etodo del Lyapunov para probar estabilidad en malla cerrada de los puntos de equilibrio de cada subsistema del SLV y asegurar que el error de estado estable converja a cero.
Para el subsistema 1 considere la funci´on candidata de Lyapunov V = 12s2; donde V > 0 y s 6= 0; entonces,
obteniendo la derivada ˙V = s ˙s y sustituyendo ˙s establecido en (3) se plantea:
s[k0˙σ + k1˙e1+ ˙e2] ≤ 0 (9)
Para cumplir con la condici´on anterior, se propone hacer −λs = k0˙σ +k1˙e1+ ˙e2para satisfacer −λs2≤ 0; de lo que
se obtiene: −λs − k0˙σ − k1e2= M1−1(θ)[τ1− F1(θ, ˙θ) −
G1(θ, ˙θ3)]. Lo que implica que ˙V (s) = −λs2 ≤ 0, por
lo tanto, se cumple que s = 0 es asint´oticamente estable. Con el mismo procedimiento descrito previamente se prueba estabilidad para el subsistema 2 con ley de control u2dada
como:
u2= M20(q2) ¨q2r− K2s2+ w2 (10)
Donde M0
2 corresponde al valor nominal; K2 > 0; s2 =
k0σ + k1e1 + e2 y w2 se dise˜na mediante la expresi´on
dada en (6). Similarmente se plantea la funci´on candidata de Lyapunov V = 12s2; donde V > 0 y s 6= 0 se
obtiene la derivada y se aplica la condici´on s ˙s ≤ 0. Por otro lado, cabe mencionar que la suma de las funciones de Lyapunov asegura la estabilidad del SLV y adem´as es posible escoger otras funciones siempre y cuando cumplan con las restricciones.
IV. REGULACION USANDO RETROALIMENTACI´ ON DE´ ESTADO
Para realizar las simulaciones se utiliz´o la plataforma simulink de Matlaby el m´etodo num´erico ode45(Dormand-Prince) en paso variable. En vista de la Figura 2 y considerando que se quiere hacer regulaci´on para y1= θ1
y y2 = θ2 se propone la se˜nal escal´on unitario U (t) para
las referencias 1 y 2, esto es: r1= U1(t) y r2= U2(t).
Los par´ametros propuestos para la planta son: m01=5.8; m02=2.24; las constantes de los momentos de inercia se
proponen como: A = 1; B = 1; C = 1; D = 1; E = 1; F = 1; G = 1; H = 1; J = 1.
Los par´ametros usados para la ley de control u1 son:
Λ1= 1; K1= 100; los valores de s1son k01= 50, k11=50;
los valores para ˙σ son k0= 50 y µ=0.1 y los valores para
el c´alculo de w1 son delta = 10, epsilon1=0.002 y p = 3.
Los par´ametros de simulaci´on para la ley de control u2
son:Λ2 = 1 K2 = 20; los valores de s2 son k02 = 50,
k12 = 50; los valores para ˙σ son k0 = 50 y µ=0.1
y los valores para el c´alculo de w1 son delta = 10,
epsilon2=0.002 y p = 3.
Se consider´o como perturbaci´on local en cada subsistema ˙
θ3=0.15 y se aplic´o un perturbaci´on senoidal externa a
todo el sistema dada por f (t) =0.5∗sin(30 ∗ t).
En la Figura 3 se aprecia la regulaci´on de θ1 del
subsistema 1 con perturbaci´on acoplada. Se observa que la respuesta esta acotada pr´acticamente por abajo del 2 por ciento respecto al valor deseado en un tiempo pico de 0,1 s aten´uandose r´apidamente en 0,2 s lo cual es muy satisfactorio. Por otro lado, en la respuesta de estado estable se aprecian oscilaciones que disminuyen en amplitud conforme el tiempo se incrementa; esto es, se obtiene estabilidad asint´otica y la convergencia del error de estado estable tiende a cero.
Por otro lado, en la Figura 4 se aprecia la regulaci´on de θ2 del subsistema 2 con perturbaci´on acoplada. N´otese que
la se˜nal alcanza un sobrepaso del 2 por ciento en 0,1 s y que la amplitud de la respuesta oscilatoria va aten´uandose mas lentamente; es importante observar que esta din´amica local tambi´en se debe a la contribuci´on de manera indirecta que tienen las interconexiones en la ley de control propuesta; por lo cual, se confirma la estabilidad del subsistema 2.
Figura 4. Regulaci´on θ2 con perturbaci´on senoidal
Con base en las respuestas obtenidas en regulaci´on y la convergencia del error de estado estable a cero se validan las leyes de control propuestas para el SLV; pues, se consigue el objetivo deseado y se confirma el uso del control robusto descentralizado. Cabe mencionar que las leyes de control son robustas ante variaci´on en los par´ametros del sistema y variaci´on en las referencias.
Por otro lado, es importante se˜nalar la convergencia de la se˜nales de error; pues, en el transitorio se aprecia como disminuye la amplitud del error y en el estado estable converge r´apidamente a cero. Adem´as, apreci´ese que los efectos de las perturbaciones son compensados satisfactoriamente, esto se observa en las Figuras 5 y 6.
Figura 5. Se˜nal de error para el subsistema 1.
Figura 6. Se˜nal de error para el subsistema 2.
V. CONCLUSION´
Los resultados obtenidos para el Sistema de L´ınea de Vista al hacer regulaci´on usando control descentralizado por retroalimentaci´on de estado muestran que las leyes de control son robustas y se logra que la respuesta de los actuadores sea satisfactoria en el transitorio, para despu´es estabilizarse y lograr que el error de estado estable converja pr´acticamente a cero; lo que significa que el SLV sigue a un objetivo fijo en presencia de perturbaciones.
VI. AGRADECIMIENTO
El presente trabajo fue realizado con el apoyo otorgado por el proyecto PAPIIT IN106206 de la UNAM.
REFERENCIAS
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Nie Junhong (1997). Fuzzy Control of Multivariable Nonlinear Servomechanisms with Explicit Decoupling Scheme. IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS, VOL. 5, NO. 2, MAY 1997, Pages 304-311
Wilfrid Perruquetti Jean Pierre Barbot (2002). Slinding Mode Control in Engineering. Marcel Dekker, Inc. New York, 2002, Pages 14-15
Peter J. Kennedy, Member, IEEE, and Rhonda L. Kennedy, Member, IEEE (1997). Direct Versus Indirect Line of Sight (LOS) Stabilization. IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL. 11, NO. 1, JANUARY 2003
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K. C. Tan, T. H. Lee, E. F. Khor and D. C. Ang (2002). Design and real-time implementation of a multivariable gyro-mirror line-of-sight stabilization platform. Fuzzy Sets and Systems, Volume 128, Issue 1, 16 May 2002, Pages 81-93
Y. Tang, M. Tomizuka, G. Guerrero, and G. Montemayor (2000). Decentralized Robust Control of Mechanical Systems. IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, VOL. 45, NO. 4, APRIL 2000
