Particiones convexas en productos de grafos

Texto completo

(1)

Particiones convexas en productos de

grafos

Felipe Contreras Salinas DIM, Universidad de Chile

(2)

Convexidad

Definición

Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

(3)

Convexidad

Definición

Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

(4)

Convexidad

Definición

Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

(5)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2 I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

(6)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2

I Cordados: O(1) I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

(7)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2 I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

(8)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2 I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m)

I Bipartitos: Polinomial

(9)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2 I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

(10)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2 I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial I Planares: O(n7) para p = 2

(11)

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2 I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

(12)

Producto Cartesiano

Definición

G1×G2 está dado por

I V(G1×G2) =V(G1) ×V(G2)

I (u, x)(v, y) ∈ E(G1×G2) ssi

(13)

Producto Cartesiano

Definición

G1×G2 está dado por

I V(G1×G2) =V(G1) ×V(G2) I (u, x)(v, y) ∈ E(G1×G2) ssi

(14)

Producto Cartesiano

Definición

G1×G2 está dado por

I V(G1×G2) =V(G1) ×V(G2) I (u, x)(v, y) ∈ E(G1×G2) ssi

(15)

Métrica en el producto

Definición

Sean u, v ∈ V(G). Definimos el intervalo entre u y v como IG(u, v) = {w ∈ V(G) : w está en un (u, v)-camino mínimo}

(16)

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G1×G2). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

(17)

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G1×G2). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Demostración.

(18)

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G1×G2). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Demostración.

(19)

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G1×G2). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Demostración.

Observación

Sea P un camino mínimo en G1×G2. De este lema, tenemos que sus proyecciones en G1y G2son caminos mínimos.

(20)

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G1×G2). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

(21)

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G1×G2). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Demostración.

(⇒) Sea P (a, c)-camino mínimo que pasa por b. Entonces sus

(22)

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G1×G2). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Demostración. (⇐) urza pls

(23)

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G1×G2). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Demostración.

Observación

Sea S convexo en G1×G2. De este lema, tenemos que sus proyecciones en G1y G2son convexas.

(24)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

(25)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

Demostración.

(26)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

Demostración. (⊇) urza pls

(27)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

Demostración. (⊇) urza pls

(28)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

Demostración. (⊇) urza pls

(29)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

Demostración. (⊇) urza pls

(30)

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G1×G2son de la forma S1×S2, donde S1y S2son convexos en G1y G2, respectivamente.

Demostración. (⊇) urza pls

(31)

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G2de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G1×G2tiene una t-partición convexa ssi G1 tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

(32)

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G2de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G1×G2tiene una t-partición convexa ssi G1 tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración. (⇐) urza pls

(33)

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G2de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G1×G2tiene una t-partición convexa ssi G1 tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración. (⇐) urza pls

(34)

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G2de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G1×G2tiene una t-partición convexa ssi G1 tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración.

(35)

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G2de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G1×G2tiene una t-partición convexa ssi G1 tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración.

(36)

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G2de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G1×G2tiene una t-partición convexa ssi G1 tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración.

(37)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :