Particiones convexas en productos de grafos

Particiones convexas en productos de

grafos

Felipe Contreras Salinas DIM, Universidad de Chile

Convexidad

Definición

Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

Convexidad

Definición

Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

Convexidad

Definición

Un conjunto S de vértices de un grafo es convexo si ningún (u, v)-camino mínimo tiene vértices fuera de S, para todo par de vértices u, v en S.

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2} I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I _{Bipartitos: Polinomial}

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2}

I Cordados: O(1) I Cografos: O(n + m) I _{Bipartitos: Polinomial}

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2} I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I _{Bipartitos: Polinomial}

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2} I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m)

I _{Bipartitos: Polinomial}

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2} I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2} I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial I Planares: O(n7_{) para p = 2}

Particiones convexas

p-ParticiónConvexa

Entrada: Un grafo G

Salida: Si G tiene una partición en p conjuntos convexos.

I _{NP-completo para grafos arbitrarios y p ≥ 2} I Cordados: O(1)

I Cografos: O(n + m) I Bipartitos: Polinomial

Producto Cartesiano

Definición

G₁×_{G2 está dado por}

I V(G₁×G₂) =V(G₁) ×V(G₂)

I (u, x)(v, y) ∈ E(G₁×G₂) ssi

Producto Cartesiano

Definición

G₁×_{G2 está dado por}

I V(G₁×G₂) =V(G₁) ×V(G₂) I (u, x)(v, y) ∈ E(G₁×G₂) ssi

Producto Cartesiano

Definición

G₁×_{G2 está dado por}

I V(G₁×G₂) =V(G₁) ×V(G₂) I (u, x)(v, y) ∈ E(G₁×G₂) ssi

Métrica en el producto

Definición

Sean u, v ∈ V(G). Definimos el intervalo entre u y v como IG(u, v) = {w ∈ V(G) : w está en un (u, v)-camino mínimo}

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G₁×G₂). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G₁×G₂). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Demostración.

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G₁×G₂). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Demostración.

Métrica en el producto

Lema

Sean (u, x), (v, y) ∈ V(G₁×G₂). Entonces

d((u, x), (v, y)) = dG1(u, v) + dG2(x, y)

Demostración.

Observación

Sea P un camino mínimo en G1×G2. De este lema, tenemos que sus proyecciones en G1y G2son caminos mínimos.

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G₁×G₂). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G₁×G₂). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Demostración.

(⇒) _{Sea P (a, c)-camino mínimo que pasa por b. Entonces sus}

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G₁×G₂). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Demostración. (⇐) urza pls

Métrica en el producto

Lema

Sean a = (u, x), b = (v, y), c = (w, z) ∈ V(G₁×G₂). Entonces, b ∈ I(a, c) si y solo si v ∈ IG1(u, w), y ∈ IG2(x, z).

Demostración.

Observación

Sea S convexo en G1×G2. De este lema, tenemos que sus proyecciones en G1y G2son convexas.

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Demostración.

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Demostración. (⊇) _{urza pls}

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Demostración. (⊇) _{urza pls}

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Demostración. (⊇) _{urza pls}

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Demostración. (⊇) _{urza pls}

Convexidad en el producto

Teorema

Los conjuntos convexos de G₁×G₂son de la forma S₁×S₂, donde S₁y S₂son convexos en G₁y G₂, respectivamente.

Demostración. (⊇) _{urza pls}

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G₂de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G₁×G₂tiene una t-partición convexa ssi G₁ tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G₂de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G₁×G₂tiene una t-partición convexa ssi G₁ tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración. (⇐) urza pls

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G₂de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G₁×G₂tiene una t-partición convexa ssi G₁ tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración. (⇐) urza pls

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G₂de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G₁×G₂tiene una t-partición convexa ssi G₁ tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración.

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G₂de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G₁×G₂tiene una t-partición convexa ssi G₁ tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración.

Convexidad en el producto

Teorema

Sea G₂de p vértices tal que tiene una m-partición convexa, ∀m ∈ [p]. Entonces G₁×G₂tiene una t-partición convexa ssi G₁ tiene una q-partición convexa tal que t ∈ [q, pq].

Demostración.