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POLIEDROS C + V = A + 2 POLIEDROS PRISMAS PIRÁMIDES. CUERPOS DE REVOLUCIÓN Cono. Cilindro. Esfera. Las Figuras geométricas que estudiaremos son:

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(1)

Las Figuras geométricas que estudiaremos son:

 POLIEDROS

 PRISMAS

 PIRÁMIDES

▪ Cilindro

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

▪ Cono

▪ Esfera

POLIEDROS

Son cuerpos que están limitados por caras planas.

Son cuerpos geométricos que se forman a partir de polígonos (triángulos, cuadrados, rectángulos, pentágonos,) de manera que dividen al espacio en dos regiones: interior y exterior.

Los poliedros tienen elementos comunes, algunos de los cuales son:

Caras: cada uno de los polígonos que forman o limitan un poliedro.

Aristas: lados de los polígonos (intersección de dos caras del

poliedro).

Vértices: son los puntos donde se juntan tres o más aristas.

Atendiendo al número de caras, un poliedro se denomina:

tetraedro, (si tiene 4 caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), octaedro (8), etc. A partir del octaedro no se le da ningún nombre, sino simplemente poliedro de X caras.

(2)

POLIEDROS REGULARES

Los poliedros regulares son aquellos en que sus caras son polígonos regulares iguales, de forma que en cada vértice concurren el mismo número de caras.

Aunque parezca raro solo es posible construir 5: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro  Con triángulos equiláteros construimos 3 clases de poliedros regulares:

-

Tetraedro

: 4 caras -

Octaedro

: 8 caras -

Icosaedro:

20 caras

 Con cuadrados construimos solo uno: -

Cubo

: 6 caras

 Con pentágonos regulares se puede hacer otro.

-

Dodecaedro:

12 caras

Sólo estudiaremos el área de los poliedros regulares y no su

volumen

AREA de un poliedro

Para visualizar las caras de los poliedros se utilizan sus desarrollos, ya que

transformándolos en figuras planas, resulta más sencillo.

El Área de un poliedro es la suma

de las áreas de los polígonos que

lo forman.

En general lo que haremos para calcular el área de un poliedro será:

1º- Calcular el área de una cara

A1 cara

2º- Multiplicarla por el número de caras (n)

(3)

ACTIVIDADES

1.- Has construido un cubo de papel de lado o arista 5 cm. Calcula el área de la cartulina que has usado.

{ A=150 cm2}

2.- De un tetraedro de 8 cm de lado (arista), calcula : a) La superficie que tiene cada cara

b) La superficie total del tetraedro {a) 27,6 cm2 ; b) AT=110,4 cm2}

3.- En un parque se ha instalado un monumento a las matemáticas en forma de octaedro de arista 4 m.

a) Es necesario pintarlo para que no se oxide. ¿Cuántos m2 se deben pintar?

b) Si para cada m2 se necesita ¼ kg de pintura ¿Cuántos kilogramos habrá que

comprar?

{ 56 m2; b) 14 kg }

4.- ¿Qué área tiene un dodecaedro de arista 7 cm y apotema de cada pentágono 4 cm?

{A= 840 cm2}

5.- Se quiere construir un icosaedro de aluminio de arista 7 dm

a) ¿Qué superficie tendrá cada cara?

b) ¿Qué superficie de chapa de aluminio se necesitará para construirlo?

{ a) A1cara = 21,4 dm2 ; b) At= 428 dm2 }

6.- Halla el área de las siguientes figuras: a) un cubo de arista 3 cm

(4)

P R I S M A S

Un prisma es un tipo de poliedro definido por las siguientes características :

- Las bases son polígonos iguales

- Las caras laterales son paralelogramos (rectángulos, cuadrados o romboides) que tienen

un lado común con cada una de las bases.

Se llama altura del prisma recto a la longitud de una cualquiera de las aristas de las caras laterales.

Tipos de prismas:

Prismas irregulares: aquellos cuyas bases son polígonos irregulares Prismas regulares: aquellos cuyas bases son polígonos regulares.

El nombre de los prismas regulares depende del polígono regular de las bases.

Así tenemos prismas: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales etc.

 Prismas rectos: aquellos cuyas cuyas aristas laterales son perpendiculares a las aristas de las

bases. Sus caras laterales son rectángulos

 Prismas oblicuos: aquellos cuyas aristas laterales no forman ángulo recto con las aristas de la base

(5)

Estudiaremos los prismas regulares y rectos

Además veremos otro prisma importante que es el ortoedro que representa muchas figuras de la vida cotidiana como una caja, un armario o un edificio.

El ortoedro es un tipo de prisma denominado paralelepípedo

Paralelepípedo es un prisma en el que las bases son paralelogramos.

Sus caras laterales son paralelas e iguales dos a dos, es decir tiene 6 caras paralelas dos a dos

El ORTOEDRO es un paralelepípedo recto, es decir es un prisma

que tiene todas sus caras rectangulares

11.- De estos cuerpos geométricos indica cuáles son prismas. Si alguno no lo es, explica el porqué.

12.- a) De los siguientes prismas indica cuáles son regulares , irregulares, rectos u oblicuos

A B C D E F G

b) ¿Hay algún paralelepípedo? Indícalo c) ¿Y ortoedro? Indícalo

Área de un prisma

En un prisma podemos hablar de dos tipos de áreas: Área lateral y Área total

ÁREA LATERAL (AL) de un prisma es la suma de las áreas de las caras laterales.

ÁREA TOTAL (AT) de un prisma, la suma del área lateral más las áreas de las bases.

Para calcular el área de los prismas lo primero que tenemos que hacer es visualizar el desarrollo de cada uno

Así por ejemplo en un prisma recto hexagonal tenemos 6 rectángulos y 2 hexágonos

A

T

=A

L

+ 2·A

B

(6)

Ejemplo: Calcular el área lateral y total del prisma cuadrangular recto de arista básica 6 cm y altura 25 cm

Solución:

Acara lateral = 6·25 = 150 cm2 AL= 4·Acara =4.150= 600 cm2 ABase = 6·6 = 72 cm2

Luego: AT = AL + 2.AB = 600+36·2 = 600+72 = 672 cm2

ACTIVIDADES

13.- Calcula el área total del prisma recto pentagonal aquí dibujado

{AL= 345cm2; AT = 501cm2}

14.- Calcula el área lateral y total de un prisma cuadrangular recto de arista básica 4 cm y arista lateral 7 cm {AL= 112 cm 2 ; AT= 144 cm 2 }

16.- Halla el área lateral y total de un prisma hexagonal regular de arista básica 3 cm , apotema del hexágono 2 cm y arista lateral 9 cm

{AL= 162 cm 2

; AT= 198 cm 2

}

17.- Halla el área de un ortoedro de 12 x 8 x 5 cm . {A=392 cm2}

18.- ¿Cuál es el área de un ortoedro cuyas dimensiones de base son 4 y 10 cm y la altura es 3 cm.?

{ AT= 164 cm2} a) 12 cm 5 cm 8 cm

(7)

P I R Á M I D E S

Una pirámide es un poliedro definido por:

- Una base, que puede ser un polígono cualquiera.

- tantos triángulos como lados tiene la base, con un vértice común, que se llama vértice de la pirámide. Dependiendo del tipo de polígono de la base, tenemos:

- Triangulares ( si la base es un triángulo),

- Cuadrangulares ( si la base es un cuadrado),

- Pentagonales (si la base es un pentágono).

La altura de una pirámide es la longitud del segmento que es perpendicular a la base y tiene por extremos el vértice de la pirámide y un punto del plano que contiene la base.

Una pirámide regular tiene como base un polígono regular y todas las caras laterales son iguales.

En una pirámide regular se llama apotema de la pirámide a la altura de una cualquiera de las caras laterales.(altura de cada triángulo)

Area lateral y total de una pirámide regular

En una pirámide regular las caras laterales son triángulos iguales, la apotema coincide con la altura del triángulo.

El área total de una pirámide es la suma del área lateral y el área de la base.

Ejemplo 1 [ dada la arista básica y la arista lateral ]

Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular en la que el lado de la base mide 18 m y las aristas laterales son de 15 m.

Solución: A Base = 18·18 = 324 m2

Aplicamos Pitágoras para calcular la apotema, (altura de cada triángulo) a =15 m .

A

Total

=A

Lateral

+ A

Base

18m b= 9 m

c a=15m c =

a

2

b

2 = c=

15

2

9

2 = 22581=

144

=12 m (apotema o altura de cada triangulo)

(8)

A cara lateral= 2

12 · 18

=108 m2 ; ALateral = 4·Acara= 4·108 = 432 m2 ; ATotal= AB + AL=324 + 432 = 756 m2

ACTIVIDADES

22.- Calcular el área lateral y total de una pirámide cuadrangular de 8 cm de arista lateral y 4 cm de

arista básica. { AL= 61,6 cm2 ; AT =77,6 cm2 }

23.- En una pirámide pentagonal la arista básica es 3 cm, la apotema del pentágono 2 cm y la arista lateral 5 cm.

a) Calcula el área lateral de la pirámide

b) Halla el área total { AL= 36 cm2 ; AT= 51 cm2}

24.- Calcular el área lateral y total de una pirámide cuadrangular de 13 cm de arista lateral y 10 cm de lado de la base. { AL= 240 cm 2 ; AT= 340 cm 2 }

(9)

CUERPOS DE REVOLUCIÓN:

cilindro, cono y esfera

Un cuerpo es de revolución si se obtiene al girar una figura plana alrededor de un eje - Si hacemos girar un rectángulo sobre uno de sus lados obtenemos un cilindro - Si hacemos girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos obtenemos un cono - Si hacemos girar una media circunferencia sobre el diámetro obtenemos una esfera

CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geométrico que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de un lado. El lado del rectángulo que permanece fijo se llama altura.

Al lado opuesto se llama generatriz.

Los otros dos lados del rectángulo son los radios de los círculos que forman la base.

Desarrollo del cilindro

Area lateral y total:

El área lateral es la de un rectángulo que tiene por ancho, la longitud de la circunferencia y por alto la altura del cilindro. Recordando la formula de la longitud de la circunferencia L=2··r ALateral= base · altura =

ALateral= L circunf · h = 2 r ·h

Ejemplo: Hallar el área lateral y total de un cilindro de 5 cm de radio y 8 cm de altura. ALateral= 2r·h =2 · 3,14 · 5 ·8 = 251,2 cm2 A Base = r2 = 3,14 · 52 = 3,14 · 25= 78,5 cm2 A = A + 2·A = 251,2 + 2 · 78,5 = 408,2 cm2 A Lateral= 2r·h

A Total= A Lateral+ 2·ABase

(10)

ACTIVIDADES

26.- Para construir un cilindro de 7 cm de altura y 3 cm de radio. ¿Qué superficie de cartulina se necesita?

{AL= 131,9 cm 2 ; AT= 188,4 cm 2 }

27.- Calcula el área lateral y total de un cilindro de 10 cm de altura y radio de las bases, 4 cm.

{ AL= 251,2 cm2 ; AT= 351,7 cm2 }

28.- Un taller metalúrgico recibe el encargo de fabricar botes cerrados de latón de 25 cm de altura

y 16 cm de diámetro.

a) ¿Cuánto latón se necesita para cada bote?

b) Con 420 m2 de latón, ¿Cuántos botes se pueden fabricar? { a) AT=1256 + 2·201= 1658 cm

2

; b) 2533 botes }

29.- ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado por ambas bases que tenga 1,8 m de radio y 8 m de altura?

{ AT= 90,4 +2·10,2 = 110,8 m2 }

30.- Se han de impermeabilizar el suelo y las paredes interiores de un aljibe circular abierto por arriba.

El radio de su base mide 4 m y la altura 5 m.

Si cuesta 18 € impermeabilizar 1 m2, ¿cuál es el coste de toda la obra?

(11)

CONO

El cono es el cuerpo geométrico que se obtiene cuando un triángulo rectángulo gira sobre uno de los catetos.

- el lado (cateto) que actúa como eje se llama altura, - el otro cateto se llama radio y

- la hipotenusa se llama generatriz del cono.

Desarrollo

Area lateral y total:

Al igual que ocurre con el cilindro, el área lateral está condicionada por la longitud de la circunferencia: El área lateral se calcula como el área de un triangulo

de base 2 r y altura g AL= r g g r altura base

 

2 2 2 . -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

Ejemplo: Hallar el área lateral y total de un cono de 3 m de radio y 8 m de altura. Para obtener la generatriz aplicamos el Teorema de Pitágoras:

g=

3

2

8

2 = 73= 8,5 m AL= ·r·g = 3,14·3 ·8,5 = 80,1 m2

AB = ·r2= 3,14 ·32 = 28,3 m2 AT= AL +AB = 80,1 + 28,3 =108,4 m2

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.

ACTIVIDADES

31.- Calcula el área lateral y total de un cono de 2 cm de radio y 6 cm de generatriz. { AL=37,7 cm2; AT= 50,3 cm2}

32.- Calcula el área lateral y total de un cono de radio 30 cm y altura 40 cm.

{AL=4710 cm2; AT= 7536 cm2}

33.- De un cono de radio 6 m y de generatriz 10 m. Halla el área lateral y total

{ AL=188,4 m2; AT=301,4 m2}

A

L

=

·r·g

A

Total

= A

Lateral

+A

Base

(12)

34.- Calcula el área lateral y total de un cono de 12 cm de altura y 4 cm de radio.

{ AL= 158,3 cm2; AT= 208,5 cm2}

35.- Se quiere construir un cono de metal de altura 12 cm y generatriz 15 cm

¿Qué cantidad de chapa metálica se necesita? { AL= 423,9 cm

2

; AT= 678,2 cm 2}

36.- Una torre acaba en forma de cono, cuyo radio es de 3 m y su altura de 10 m.

Se quiere forrar de pizarra dicho cono. Si el precio de la pizarra está a 84 €/m2,

¿cuál es el coste de la obra?

{AL= 98 m

2 ; Coste=8.232 € }

ESFER A

Cuando giramos un semicírculo alrededor de su diámetro obtenemos una esfera..

El centro de la circunferencia es el centro de la esfera, y el radio de la circunferencia es el radio de la esfera. La fórmula para calcular el área de una esfera es:

Ejemplo: Calcular el área de una esfera de 3 cm de radio: A =4··r2 = 4· 3,14· 32 = 113,04 cm2

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

37.- Calcula el área de una esfera de 12 m de diámetro. { A= 452,2 m2 }

38.-.La cúpula de un edificio tiene forma de media esfera cuyo radio mide 9 metros. Calcula su superficie.

{ A=508,7 m2}

39.- Calcula el área sombreada de las dos figuras a) y b):

(13)

VOLÚMENES

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

El metro cúbico (m3) es la unidad fundamental de volumen en el Sistema Internacional.

El metro cúbico se define como “el volumen de un cubo de 1 m de arista”.

 La mayor parte de los volúmenes se obtienen multiplicando el área de la base por la altura

 Hay excepciones como:  el volumen de una pirámide y de un cono que valen ABh

3 1

y el volumen de una esfera que es 3

3 4

r

 

CUERPO GEOMÉTRICO Dibujo VOLUMEN

CUBO V=a·a·a =a3 (V=lado3)

ORTOEDRO V=AB·h (V=a·b·c) PRISMA (triangular,cudrangular, pentagonal,hexagonal) V=AB·h PIRÁMIDE V =ABh 3 1 CILINDRO V=AB·h CONO V=ABh 3 1 ESFERA V= 3 3 4 r  

a 1m h V=AB·h

(14)

Actividades de Cálculo de Volúmenes

42.- Halla el volumen de un cubo de 3,5 m de arista.

{V=42,9 m3 }

43.- Halla el volumen del prisma dibujado

{ V=1700 cm3 }

44.- Calcular el volumen de un prisma recto cuadrangular regular de 5 cm de arista básica y 15 cm de altura.

{V= 375 cm3 }

45.- Una piscina, con forma de ortoedro, de 24 m de larga, 8 m de ancha y 2,5 m de profundidad?

,a) ¿Qué volumen de agua puede contener?

b) ¿Cuánto tiempo emplearía un grifo que vierte 200 litros (dm3) por minuto en

llenar la piscina ?

{ a) V= 480 m3 ; b) t=2400 min }

46.- Halla el volumen del prisma pentagonal de la figura

{ V= 897 cm3 }

47.- Halla el volumen del cilindro cuyas medidas están en centímetros

{ V=339,6 cm3}

48.- Calcular el volumen de un cilindro de 18 cm de altura y 5 cm de radio.

{V=1413 cm3}

(15)

50.- Halla el volumen de una pirámide cuadrangular de 4 m de arista básica y 7 m de altura?

{V=37,3 m3}

51.- Calcular el volumen de una pirámide de Gizeh (en Egipto), que tiene una altura de 137,2 m y una base

cuadrada de 233 m de lado.

{V=2.482.816,9 m3}

52.- Calcular el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm.

{V=37,7 cm3}

53.- Calcular el volumen de un cono cuya generatriz es 15 cm y el radio de la base 9 cm

{V=1.017,4 cm3}

54.- Halla el volumen de los siguientes cuerpos cuyas medidas

están dadas en centímetros

{a) 301,4 cm3 ; b)1280 cm3}

55.- ¿Cuál de los dos envases de palomitas tiene mayor volumen?

{Vcono=1339,7 cm3 ; vpirámide = 864 cm3}

(16)

Cálculo de Áreas y Volúmenes

56.- De un cubo de arista 4 hm, hallar:

a) El área total

b) El volumen

{ a) AT=96 hm2 ; b) V= 64 hm3 }

57.- El prisma hexagonal del dibujo de altura 5 cm, arista básica 3 cm y apotema de la base 2,5 cm, Hallar: a) El área lateral y total

b) El volumen { a)AL= 90 cm2 AT=135 cm2 b) V=112,5 cm3 }

58.- Un bloque de pisos tiene forma de prisma recto de 30 m de altura y base cuadrada de 12 m de lado . Hallar:

a) El área lateral y total

b) El volumen { a) AL=1.440 m2 ; AT= 1728 m2 ;b) V=4320 m3 }

59.- Dado el ortoedro de la figura hallar:

a) El área total b) El volumen

{ a) AT= 2800 cm 2

b) V= 9600 cm3 }

60.- Calcula el área total y el volumen de la siguiente pirámide

{ Atotal = AB + AL = 144 + 240 = 384 cm 2

; V=384 cm3 } .

(17)

61.- De un cilindro recto de radio de la base 4 cm y altura 15 cm , halla:

a) El área lateral y total

b) El volumen

{a) AL= 376,8 cm2; AT=477,2 cm2; b)V=753,6cm3}

62.- Calcular de un cilindro de 4 cm de diámetro de la base y 9 cm de altura.

a) El área total

b) El volumen

{ a) AT= 113 + 2·12,6 = 138,2 cm2 ; b)V=113,4 cm3}

63.- De un cono de radio 6 m y de generatriz 10 m. Halla:

a) El área lateral y total

b) El volumen

{a) AL=188,4 m2; AT=301,4 m2; b) h=8 m ; V=301,3 m3}

64.- De un cono de 15 cm de altura y diámetro de la base 10 cm. Hallar:

a) El área lateral y total

b) El volumen { a) AL= 248,1 cm2 AT= 326,6 cm2 b) V= 392,5 cm3 }

65.- Escribe el nombre de cada figura y del grupo al que pertenece:

(18)

66.- Un depósito en forma de ortoedro tiene las siguientes dimensiones 4 x 5 x 3 m

Se quiere pintar techo, paredes y suelo.

a) ¿Qué cantidad de pintura se necesitará si cada m2 necesita 2 litros de pintura?

b) ¿Cuánto se gastará si cada bote de 5 litros vale 30 €? c) ¿Qué volumen tiene el depósito?

{ AT=94 m2 ; a) 188 litros ; b) 38 x30=1.140 €; c) V= 60 m3}

67.- De un prisma regular de base cuadrangular que tiene por arista de la base 3 cm y altura 6 cm. Calcula: a) El Área total b) El Volumen { a) AT= 90 cm 2 ; b) V= 54 cm3 }

68.- Dada una esfera de 6 cm de radio, hallar: a) El área de la superficie esférica

b) El volumen de la esfera

{a) A=452,2 cm2; b) V =904,3 cm3 }

69.- Una lata de tomate tiene una altura de 12,1 cm y un radio de 5 cm a) Hallar el área lateral y total

b) Hallar el volumen de tomate que cabe en la lata.

{ a) AL=380 cm 2 ; AT= 537 cm 2 b) V= 950 cm3 }

70.- El depósito de gasolina de un camión es una esfera de 7 dm de diámetro.

¿Cuál es su capacidad? { V=179,5 dm3}

71 .- Un monolito tiene forma de pirámide pentagonal de lado de la base 2 m y apotema 1,7 m , siendo la altura del monolito 7 m. Hallar:

¿Qué volumen ocupa el monolito?

(19)

70.- Un almacén de grano tiene la forma y dimensiones del dibujo.

Es necesario pintar sus paredes con una pintura que cuesta 10 €, el m2.

¿Cuánto costará la obra?

{ Coste=1.963 €; (A=AL. cono + AL .cilindro = 39,3 + 157 = 196,3 m2 ).}

77.- Calcula el volumen de una habitación de 2,3 m de altura, cuya planta tienen la forma y dimensiones indicadas.

{ V Total = 27,6 +8,2 = 35,7 m3} .

79.- Halla el volumen de la Tierra (suponiéndola esférica) sabiendo que su radio es de 6370 Km.

{V= 1,082·1012 km3 }

4 m

3 m

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